告诉孩子们我们为什么要证明！
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作者：刘洪涛
初中数学课开始学习几何证明。学生总不明白，一看就是直角为什么还要去证明，信不过眼睛用量角器总可以吧？
经常也有网友发家里小孩的数学作业，质疑老师的古板：一个问题有更简便的解法，为什么一定要按老师的要求解答？还声讨题目的奇葩：鸡腿和兔腿一眼就能看出区别为什么还要去计算几只鸡几只兔？
我想这里面的问题是学生和普通大众对于数学学科的目的不清楚，看不懂教材和老师的要求也就不奇怪了。
数学，特别是初中以上的数学课，学习的是一种思维方式，并不是简单的去找出练习题的答案。如果以给出答案为目的当然是怎么方便怎么来。比照驾照考试中的倒车入库。有很多方式把车弄到指定位置，找个吊车、找人代驾或力气大一点的把它推进去都可以。显然，这些方法都是不允许的，驾驶人必须亲手按照规定的程序倒车入库，他被考查的是场地操作能力，包括方向盘的操控和对速度、距离的感觉。
每道数学题都在考查学生是否掌握某种数学能力，即使他以另外的方法把答案解出来了，他在这一要求的能力上依然是不合格的。
另外，新引入一种方法时，课本一般是从学生熟悉的问题入手。这时，学生对新方法不熟悉，而对该问题又有熟练的办法，这时喜旧厌新也是人之常情。不过很快，面对新的问题，他们会知道新方法用起来会更加简单，就像熟练掌握技术后，自己上去倒车入库也就是诸多方法中最简便的了。几个星期过去，班里的学生熟悉了证明的方法，在推理中体会到了思维的乐趣，这跟用工具解决问题是完全不同的体验。
回过来说在几何课上学习证明的目的。这是在学习公理化的演绎推理能力。
公元前300年左右，欧几里得在他的著作《几何原本》中以5条公理及23个定义出发，推导出467个命题建立完备的几何学体系。其基本的逻辑是“如果……那么……”。如果公理成立，那么推导出的这些命题也成立。在之后的2000多年，《几何原本》已有1000多种不同的版本，在西方世界被认为是影响力仅次于《圣经》的一本书。明朝时传教士把《几何原本》带到中国，徐光启把它翻译为中文。
作业本里的图形可以直接用工具来测量，对于很多宏观和微观的事物却不容易有实用的工具。在新闻媒体里我们经常会看到一些天文现象的预测。早在1629年，开普勒预言1631年11月7日将出现水星凌日现象，12月6日金星也将凌日。果然，在预报的日期，巴黎的加桑狄观测到水星通过日面。这是最早的水星凌日观测。金星凌日因为发生在夜间，因而当时的人们未能观测到。开普勒是通过研究前人的天体观测记录，得出了行星运动定律。他的预言是推理思维的结果：如果这些定律是成立的，那么可以推测出某一时刻行星所处的位置。
欧几里得几何的另一基础是公理化。对于讨论、研究的课题必须有一个大家都认可的前提。今天，这种公理化的思维已经被广泛接受。我们来看《独立宣言》中的一段话：
“我们认为下面这些真理是不言而喻的：人人生而平等，造物者赋予他们若干不可剥夺的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。为了保障这些权利，人类才在他们之间建立政府，而政府之正当权力，是经被治理者的同意而产生的。当任何形式的政府对这些目标具破坏作用时，人民便有权力改变或废除它，以建立一个新的政府；其赖以奠基的原则，其组织权力的方式，务使人民认为唯有这样才最可能获得他们的安全和幸福。”
如果人人生而平等，天赋人权不可剥夺，那么对此目标形成破坏作用的政府就可以被人民废止。正是在这样的思维逻辑下，一个现代化民主国家得以建立，并激励着其他国家的人们追求公平和正义。
数学总被质疑有什么用。除了实际的功用，数学带给人类的理性不正是使人能与其他动物区别的关键所在吗？
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