谈谈关于素数间隔若干事情
原文作者：Chris K. Caldwell，田纳西大学马丁分校教授。
译文作者：豆浆，哆嗒数学网翻译组成员，互联网行业数据分析师。
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素数的最新记录：2^74207281 – 1(x^y 表示x的y次方)，它有22338618位数，由Cooper, Woltman, Kurowski, Blosser 和GIMPS 在2016年1月7日发现的。
- g(n)的介绍以及定义
一个很常见的问题：连续素数的间隔可以有多大？在我们回答这个问题之前，让我们先来谨慎地明确间隔的定义（有两个不同的常见定义）。对于每一个素数p，使g(p)等于p和大于p第一个素数之间的合数数量。因此，设第n个素数为p_{n} (p_{n}表示字母p的下标是n)，我们有：
p_{n+1} = p_{n} + g(p_{n}) + 1
.
即,g(p_{n})是p_{n}和p_{n+1}之间的间隔的大小。
由素数定理我们知道小于n的素数大约有n/ln(n)个，所以ln(n)是小于n的素数之间的平均间隔。然而，这些间隔会有怎样的宽度范围呢？下面我们将会讨论这个问题的几个方面。
- lim inf g(n) = 1(?) 和 lim sup g(n) = 2
首先要注意的是孪生素数就是使得g(p) = 1的p, p+2，所以从孪生素数猜想我们就有这个猜想：有无穷多个p，使得g(p) = 1（或者等价于lim inf g(n) = 1）。
第二个需要注意的是g(p)可以任意大。不妨令n为大于1的任意整数，考虑下面这个连续的整数列：
n!+2, n!+3, n!+4, n!+5, ..., n!+n
注意到2可以整除第一个数，3可以整除第二个数，以此类推，n可以整除第n-1个数，证明了这个数列的所有数都是合数。所以如果p是小于n!+2的最大素数，那我们就得到g(p) > n-1。显然，应该还有产生相同间隔的更小的数。例如，素数42842283925351与它后一个素数之间有777个合数。——这是间隔为777的最小的素数，并且它远小于778！+2（一个有1914位数的数）。（也可以使用更小的数，不大于n的连续素数乘积：n#，而不是使用n!）.
最后一段，我们已经证明 lim sup g(n) = ∞，然而因为平均间隔是关于ln(n)，所以我们期望得更多。Westzynthius在1931年证明了：lim sup g(n)/ln(p_{n}) = ∞ 。
意味着对于每一个B>0，都有无穷多个素数p满足g(p) > B log p。在我们讲述更多之前，我们应该来看看数据上的证据。
- 记录素数间隔的表格及图形
在下列表格里，我们列出了最大间隔在381以内的情况。这些是首先出现的至少是这个长度的间隔。例如，在素数277900416100927之后有一个879个合数的间隔（才出现下一个素数）。这是首先出现的这个长度的间隔，但还不是一个最大的间隔，因为素数218209405436543之后紧接着有905个合数。
首次出现的间隔
|
间隔 |
首次 |
间隔 |
首次 |
间隔 |
首次 |
间隔 |
首次 |
|
0 |
2 |
33 |
1327 |
117 |
1349533 |
247 |
191912783 |
|
1 |
3 |
35 |
9551 |
131 |
1357201 |
249 |
387096133 |
|
3 |
7 |
43 |
15683 |
147 |
2010733 |
281 |
436273009 |
|
5 |
23 |
51 |
19609 |
153 |
4652353 |
287 |
1294268491 |
|
7 |
89 |
71 |
31397 |
179 |
17051707 |
291 |
1453168141 |
|
13 |
113 |
85 |
155921 |
209 |
20831323 |
319 |
2300942549 |
|
17 |
523 |
95 |
360653 |
219 |
47326693 |
335 |
3842610773 |
|
19 |
887 |
111 |
370261 |
221 |
122164747 |
353 |
4302407359 |
|
21 |
1129 |
113 |
492113 |
233 |
189695659 |
381 |
10726904659 |
对每一个非负整数g，令p(g)是最小的由至少g个合数跟着的素数。这个表告诉我们p(148) = p(149) = ... = p(153) = 4652353。
根据上述值，我们在下边画出lnp(g)与g的图像。可能你开始明白为什么Shanks在1964会猜想：ln p(g) ~ sqrt(g) (sqrt表示开根号)
而且Weintraub在1991年估计：ln p(g) ~ sqrt(1.165746g)。
- g(p)的界
给定p，可能g(p)就会有一个上限。通过素数定理我们就能证明，对于任意实数e>0，存在某个整数n，使得总存在一个素数p满足：m < p < (1+e)m(对任意m > n)
这证明了，对于所有的p > max( n,1+1/e )，有g(p) < ep。或者更简洁地说，对于n > k，有g(p_{n}) < ep_{n}。)这里有几个关于e,k的具体数对：
对于n > 9, 有 g(p_{n}) < (1/5) p_{n} (Nagura 1952)
对于n >118, 有 g(p_{n}) < (1/13) p_{n} (Rohrbach & Weis 1964 )
对于n >2010760, 有 g(p_{n}) < (1/16597) p_{n} (Schoenfeld 1976 )
1937年，Ingham在Hoheisel的开创性工作的基础上加工，从而证明了：p^(5/8 + eps)的某个常数倍是g(p)的上界（对于任意eps > 0）。许多人已经对5/8进行改进，我所知道的最新的记录是0.535，由R. Baker 和 G. Harman完成（但肯定的是，在现在这已经被改进了）。
.
- g(p)/ln p , g(p)/(ln p)²又如何呢？
再次，素数定理证明g(p)/ln p的均值是1，但我们怎么认识g(p)/ln p这个数列呢？Ricci证明这个集合的极限点集具有正的勒贝格测度，但迄今为止被证明的极限点只有无穷（上述提到的点）。
对于lim inf g(p)/ln(p)的各种上界已经被发现，包括0.248（当然，孪生素数猜想和素数K元组猜想都要求下限为0）。在一个相关的猜想，Cramer猜想：
lim sup g(p)/(ln p)² = 1
Granbille修改了Cramer猜想，揭示了它低估了间间隔的大小，Granbille猜测，对于任意一个小于欧拉常数的常数c：有无穷多个p，使得g(p) ≥ 2e^{-c}ln²p。这里的常数c类似于Merten定理的常数M。
这个猜想可以被证明吗？还不行，但是Cramer表示，如果黎曼猜想被证实了，那么我们就可以得到一个比较弱的结果：
g(p)<k ln p sqrt(p)。
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