坑爹的马费大定理及其推广

作者：XX 

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定理一：（哆嗒数学网小编之马费大定理，见这里）对于 $n\in\mathbb{N}^*,n\ge3$，不存在正整数$x,y,z$ 满足$n^x+n^y=n^z$ 。
证：不妨设$x\le y$ ，两边同时除以$n^x$ 得$1+n^{y-x}=n^{z-x}$ ，显然$n$ 能整除右边但不能整除左边。  证毕。
                                                                          
注：这个定理用模$n-1$ 来做也十分简便。但选择上述做法是因为它能顺带得到$n=2$ 的情形，并且具有一般性，可用于下述推广：

定理二：对于$n\in\mathbb{N}^*,n\ge2$ ，不存在正整数$x_1<x_2<\cdots<x_p ; y_1<y_2<\cdots<y_q,x_1<y_1$ ，自然数 $0\le a_1,a_2,\cdots,a_p,b_1,b_2,\cdots,b_q\le n-1$ ，满足$a_1n^{x_1}+a_2n^{x_2}+\cdots+a_pn^{x_p} = b_1n^{y_1}+b_2n^{y_2}+\cdots+b_qn^{y_q} $
 。
证： 两边同时除以$n^{x_1}$ 得

$a_1+a_2n^{x_2-x_1}+\cdots+a_pn^{x_p-x_1} $

$= b_1n^{y_1-x_1}+b_2n^{y_2-x_1}+\cdots+b_qn^{y_q-x_1} $，
 显然$n$ 能整除右边不能整除左边。证毕。

实际上，我们有下面定理：

定理三:任一大于一的自然数$n$，对任意正整数N都能唯一表示为$a_0+a_1n+a_2n^2+\cdots+a_pn^p$ ，其中$a_i\le n-1,i=1,2,\cdots,p$ 。
注：此命题是一个经典的数论定理，它是进制理论的基础。