人人都可以成为“神奇的设计师”！
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作者，读，某杂志社编辑。
上述是出自英国游戏专家亨利•杜德尼的研究成果，1903年，杜德尼发现可以把等边三角形分成四部分，经重新拼合后变成正方形。
这个设计我很早就知道，但从未对其有过关注，直至近年，有新闻报道，提到这一游戏被英国建筑师“相中”，他们获得设计灵感，建造了一种奇妙的房子，可随着季节的不同而呈现不同的稳定结构，以适应不同的气候环境（http://tech.ifeng.com/discovery/detail_2012_12/10/20012762_0.shtml）。
巧合的是，设计师们似乎十分喜欢杜德尼的这一发现，他们对此做了很多精心地尝试与应用。
如设计师David Ben-Grünberg和Daniel Woolfson精心设计的“百变茶几”，就是充分利用了杜德尼三角形多变的造型（http://www.333cn.com/industrial/sjxs/138462.html）。
2015北京国际设计周的混凝土灯具作品展上，有件展品为“杜德尼”灯，也是类似的创意（http://www.verydesigner.cn/article/25424）。
最近，看到微信群里大家也在传“杜德尼三角形”的神妙，不禁想加深一下大家对这一现象的认知。
这种变换的游戏，神奇但不玄妙，数学可以引导我们正确看待这一问题，从而让每个人都成为“神奇的设计师”！
其实，我们看到这一特例，就不禁想问：这是巧合吗？这是唯一的特例吗？
那么，我想说，这不是巧合，也不是特例，而是经过精心计算得到的结果。
换句话说，并不一定需要正三角形，面对一个“长相普通”，甚至“歪瓜裂枣”的三角形，我们仍有可能将之变形成为一个“端正、大方、得体”的正方形，当然，方法还是类似于“杜德尼三角形”的变形，我们不妨称此方法为“简单四分”。
数学的演算比较复杂，为了保证大部分人不头晕，我们就直接上结论了：
（一）拿到任意一个△ABC，我们先判断其是否可“简单四分”，请按以下顺序操作：
1）度量高h与底边l，确保高与底边之比介于2/5≤t（=h/l）≤2之间（不妨设底边左右端点分别为B，C，其对应高为AK）；若不存在，则△ABC不可“简单四分”；
2）计算X（=2t-t2）（[0,1]），k ([-1,2])的值，其中k使得向量KC正好是向量BC的k倍；
3）判断是否满足如下的结论：
i 当0≤X＜1/4时，若 满足sqrt(x)-1≤k≤sqrt(x)或1-sqrt(x)≤k≤2-sqrt(x)，则三角形可“简单四分”；(sqrt表示开根号，下同)
ii 当1/4≤X≤1时，若 满足sqrt(x)-1≤k≤2-sqrt(x)，则三角形可“简单四分”，
i、 ii皆不满足，则△ABC不可“简单四分”。（注：“简单四分”只是代表一种方法，并不一定分成四块，有些临界情况只需要分成三块）
三思而后行，这一判断可能花费你较多的时间，因为三角形有三条边，如果你选择的三角形比较“糟糕”的话，那你所花的时间可能就是别人的数倍。当然，如果你自认为自己是行动派，而不是预言派，直接操作也是可以的。
好了的话，那我们就可以开始行动了！
当然，还请仔细筛查，我们下面要做的事，类似于让“丑小鸭变成白天鹅”，万一选到“冒牌货”，那就不妙了——可能你白忙活半天，也没法让戏法变成功。
（二） 对于判断通过的△ABC，我们可按照如下顺序画出四块，使其拼成一个正方形：
还是先要回到杜德尼的方法上去。我们发现，杜德尼充分发挥了中点作为旋转对称中心的特点。
如图，其中，DE作为中位线，与底边BC平行，即DE∥NK，又有DE=NK，显然，四边形DNKE为平行四边形（一开始我直观还以为是个矩形，其实不是）。
这个平行四边形是杜德尼“正三角形四分”的一个关键，它很特殊，而且有固定的作法，以任意△ABC为例：
（1）对于符合判断条件的底边BC以及底边上的高h，求出△ABC的面积S=a2（a＞0）；
（2） 取AB，AC的中点D，E，连结DE；
（3） 以E为圆心(也可以D为圆心，后续操作方式类似)，a为半径画弧，与直线BC交于点N（当有两个交点时，只能取左交点；若无交点，则操作无法完成），连结DN；
（4）过点E作DN的平行线交底边BC于点K（如果不存在，则操作无法完成），则四边形DNKE就是我们所要作的平行四边形。
显然，从这个特殊的平行四边形的作法，善于思考的人已经知道我们之前为什么要对三角形进行判断了。
第（3）（4）步的作法是有限制的， 这个平行四边形若无法作出来，那我们就无法按照杜德尼的“简单四分”的方法，对一个三角形进行裁剪拼合。
虽然任意△ABC不一定行，但是经过了前面的筛选后，被我们“选中”的△ABC绝对能行！
恭喜你，当你画出这个“平行四边形”的四个顶点D，N，K，E时，再连结EN，作DQ⊥EN于点Q，KP⊥EN于点P，（这里的操作同样体现在了判断的标准中）即可得到你想要的“四分”三角形，将它裁剪后，就能变成一个正方形。
如上所示，我们只谈操作的话，还是不繁的，所以只是行动派的话，也是可以完成的。不过他们属于后知后觉的那种人，不到最后一刻，完全不知道这一三角形是否可以“简单四分”为正方形。
这样一来，相信你作为一个“神奇”的三角形裁剪设计师，还是愿意先花点时间做个“预言”，然后再选择操作，不是吗？
神奇源于数学，而数学的思考可以帮助我们揭示这种神奇。
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