十大坑爹高数题

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开学啦！进了大学，数学上，第一个要学习的就是高等数学或者数学分析了。这是让有的人感到头痛，有的人带到新奇的学科。利用高中集合和函数做衔接，我们进入了一个新的数学世界。见到之前没见过的函数，之前没见过方法。也颠覆了之前对数学的一些理解。

学习数学，“刷题”是必然不能少。我们不断的做练习，遇到了各种奇怪的题，然后被我们逐个解决。然而，有一些“长”得很像高等数学题目的问题，其实在高数或者数学分析框架下很难解决，而用更高级的办法几乎是秒杀。高数高手们遇到了这些问题，就算是掉坑里了。

这里，哆嗒数学网小编为你列举十个“坑”。问题方式为了方便大家参与讨论，都以“是否”形式提问。以下提到的函数，如无特殊说明，都为$R→R$的实函数。




No.10
函数的单调性高中就学啦，一个单调函数可以是$y=x$这样的连续函数，还可以是$y=x·sgn(x)$这样有间断点的函数。你还能写出很多单调函数，有无穷多个间断点。不过你画图象时，这些函数的间断点大概都是一个一个离散开的。那么间断点可能稠密吗？
问题： 是否存在一个在无理数点连续，有理数点不连续的严格单调函数。
高级秒杀：有理数是可数的。利用级数构造一个特别的函数。见http://duodaa.com/?qa=906，第二题。


No.9 
有的人也许学了黎曼函数$R(x)$，他是一个有所有无理点处连续，所有有理点处不连续的函数。那么可以反过来吗？
问题：是否存在一个在有理数点连续，在无理数点不连续的函数。
高级秒杀：先要知道$G_δ$集，$F_σ$集的概念，连续点集只能是$G_δ$。而有理数集不是$G_δ$集。


No.8 
好了，我们学了导数了，虽然高中也学过，没有像高数那样，平凡的对一个函数某点是否可导进行讨论。“可导必然连续，连续不必可导”，这一句顺口溜一直记于脑海。老师还说，存在处处连续，但处处不可导的函数呢。那么，对于严格单调函数，会怎么样呢。
问题：是否存在一个严格单调，但处处不可导的函数。
高级秒杀：有个定理是说：单调函数是几乎处处可导的。


No.7
一个可导函数$f(x)$求导数后变成了$f'(x)$，$f'(x)$还是一个关于$x$的函数呢。$f'(x)$可能不再连续呢！那么$f'(x)$可能处处不连续吗？
问题：是否存在一个可导函数，它地导函数处处不连续。
高级秒杀：连续函数列只能收敛到一个间断点集为第一纲集的函数。而实数集是第二纲集。


No.6
函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$，高中就见过啦。高中还让你证明他是奇函数，在多给一些已知条件的情况下，求$f(1)$、$f(8)$什么的。到了大学，在给定$f(x)$连续情况下，我们能证明$f(x)$的图象一定是过原点的直线，那么如果f(x)不连续呢。
问题：如果函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$，$f(x)$是否有不连续的例子。
高级秒杀：实数看成有理数域上的线性空间是无限维的，还要用到线性代数中基的概念。当然，我们承认选择公理。见http://www.duodaa.com/?qa=704。


No.5
高中里的集合交并运算，都是有限个里在做，多没意思。大学里可以对无限个集合求交并啦。比如R可以写成形如$[n,n+1)$的并集，其中n跑遍整数集合。注意到，对于不同的整数，他们还两两不交呢。那么把半开半闭区间改成闭区间呢？
问题：实数集是否能写成一列不相交闭区间的并。
高级秒杀需要知道：基数、完备集的概念，完备集的基数是不可数的。而如果可以写成，那些区间的端点可以构成完备集。


No.4
泰勒展开真神奇，能把一些函数写成一个幂级数的形式。但我们一定也知道了，就算是一个无穷次可导的函数，他本身也不一定等于它的泰勒级数。那么展开式是多项式的情况呢？
问题：一个无穷次可导函数在任意一点的泰勒展开式都是多项式，这个函数是否是多项式。
高级秒杀：利用贝尔纲定理，精巧的构造一些东西，大概不能算秒杀。见http://www.duodaa.com/?qa=920


No.3
对于形如两个数列取幂$f(n)^{g(n)}$这样的，计算极限，我们有了很多办法。比如凑重要极限形式计算，取对数计算等等。但有一些形式非常简单的极限，解决却不容易。
问题：$n→∞$时，数列$|sin(n)|^{1/n}$的极限是否等于$1$。
高级秒杀：刘维尔数的概念，以及π不是刘维尔数。后者是Mahler在1953年的论文上写的，不过，如果不是专门这个方向的一般看不懂，哆嗒数学网小编的也看不懂。见http://www.duodaa.com/?qa=2476/


No.2
高中就知道了自然对数底$e$，老师还说他是无理数，但没告诉我为什么是无理数。上了大学，我们终学会了如何证明$e$是无理数。于是，跃跃欲试，要证明其他数是否是无理数了。
问题：$\sqrt{2}^\sqrt{2}$是否是有理数。
高级秒杀：格尔丰德-施奈德定理可以推出他是超越数，当然就是无理数啦。


No.1 
接上个问题。同样，我们还学会了证明圆周率$π$是无理数。两个无理数相加可不一定是无理数呢。
问题：$e+π$是否是有理数。
高级秒杀：些问题人类还没有解决。你能秒杀我叫你大神！。

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