被100万美元“缉拿”的比尔猜想

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2013年6月，美国数学会在其网站发布，将比尔猜想(The Beal Conjecture)的悬赏额度提升到100万美元（当然钱由赞助者提供啦）。于是，这个猜想继哥德巴赫猜想、千禧年七问题之后，又一个有“百万身价”的数学猜想。俗话说，重赏之下必有勇夫，在100万的高额刺激下，一定会有更多的数学家关注这个问题的。

比尔猜想是这样一个命题：设$A,B,C,x,y,z$都是正整数，且$x,y,z>2$。若$A^x+B^y=C^z$，那么$A,B,C$必有大于$1$的公因数,这里$A^x$表示$A$的$x$次方。

然而，当哆嗒数学网的小编百度这个“比尔猜想”的时候，在搜索结果首页却是大量“吐槽”这个猜想的条目。甚至，有人还说，这个猜想值100万“简直一个笑话”。

首先，如果这个命题对的。那么是这个问题的难度证将会相当相当的逆天。因为这时，只需要令$x=y=z$，这时方程变成了$A^x+B^x=C^x$。于是两边约去最大公因数，就能得到没有公因数的解。这样就得到了矛盾。于是这里方程只能无解。哇呜，我们做了什么？对！我们证明了著名的费马大定理！就是说，如果这个命题如果能得到证明，我们用这个能一句话证明费马大定理。而费马大定理的难度，我这里就不再多说了。

有人试图找过一些满足方程的例子。比如$2^x+2^x=2^{x+1}$，这里有公因数2。$7^3+7^4=14^3$这里有公因数$7$。但去找一个反例，似乎也不太容易。前些时候，日本数学家望月新一声明证明了ABC猜想，而ABC猜想能推出满足比尔猜想的反例最多有限多个。我相信有不少数学家或者程序员把这个方程验证到了很大的数，而没找到反例。如果，ABC猜想也被证实。那么反例可能非常非常的大，如果数学理论不能给一个比较好的寻找方向，那么对于无穷多的自然数来讲，找这样的反例，无异于大海捞针。

这里再多说几句。有的所谓的“反例”是不合法的。比如$1^x+2^3=3^2$，因为我们要求所有指数位置的数都得大于$2$。而所有底数，也只能在正整数范围内。这里有一个好玩的事：有人找到了底数在高斯整数内取值的“反例”$(-2+i)^3+(-2-i)^3=(1+i)^4$，于是得到了象征性的50美元的奖金。

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