被人们忽略“穷”猜想（二）：柯拉柯斯基序列问题

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导读语： 近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。

然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第二篇：柯拉柯斯基序列问题。


我们来看下面这个只由“1”和“2”组成的字符串：
 
“122112122122112112212112122112112122122112122121121122122112”


我们把上面那个字符串中，连续出现最长的相同数字的那部分，叫做这个字符串的一节，那以这个字符串就由很多节组成。从左往右数，第一节是“1”，由1个“1”组成，第二节是”22”，由2个“2”组成，第三节是“11”，由2个“1”组成，第四节是“1”，由1个“1”组成，等等。我们再做一件事，从左往右开始，把每一节里组成数字的个数写出来，拼成一个新的字符串，你会得到：第一个数字是1，第二数字是2，第三个数字是2，第四个数字是1，第五数字是1，第六个数字是2……。拼在一起，”12211212212211211…”。太坑了！居然和原来的那个的前面的部分一模一样！


实际上，我们可以做出一个无限长的“字符串”。这个“字符串”只由“1”和“2”组成，并且按上面的办法，把每一节的个数写出来拼成一个新的无限长的“字符串”，两个字符串是一模一样的！如果，这时我们还规定“字符串”的第一个字符是是“1”的话，这个字符串还是唯一确定的。这个唯一确定的“字符串”就叫做柯拉柯斯基序列(Kolakoski sequence)。


一位名叫Chris Kimberling数学教授围绕这个数列提出了5个问题，并为每个问题悬赏200美元。这五个问题是：


1、 这个数列是否有显式表达的公式？
2、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次，那么它是不是一定会再出现一次？比如“2122122”。
3、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次，那么把这串数字倒着写的一串新数字是不是也一定会出现一次？比如“122122”，“221221”。
4、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列出现过一次，那么把1换成2，2换成1得到新的一串数字是不是也一定会出现一次？比如“122122”，”211211”。
5、 数字“1”在这个字符串里的出现频率是否是存在，如果存在是否等于0.5。


Chris Kimberling说，虽然是五个问题但你解决其中任意一个，就有可能顺便解决其它的问题，尤其是后面4个问题。


对于第5个问题，维基百科上给出目前最好的结果是，如果这个频率存在，那么这个频的值不会超过0.50084。不过，在维基百科上看，这只是一个声明结果，没有公开发表。

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