被人们忽略“穷”猜想（三）：箱式乘积问题

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导读语： 近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。

然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第三篇：箱式乘积问题。


学过拓扑的同学都知道，对于实数集的可数无穷笛尔卡乘积$R^ω$的拓扑有两种生成方式。第一种，也是最常用的，叫做吉洪诺夫(Tychonov)乘积，就是取所有形如有限个开区间与剩下无限个R做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这样，好处是可以保持很多有限乘积拓扑的性质。另外一种做法，虽然不常用，但想法却很自然，就是用所有开区间做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这个叫做箱式乘积(Box Product)，生成的拓扑叫做箱式拓扑(Box Topology)。箱式拓扑，一般大家不太喜欢因为很多性质不太好。比如说紧空间的乘积可能不紧，$R^ω$甚至都不可能成为度量空间。


虽然不太喜欢，但我们可以提问。箱式乘积问题(The Box Product Problem)是问：实数集的可数无穷箱式乘积是否是正规空间。即对其中任意两个不相交的闭集，是否存在分离它们的开集。


如果把可数的条件换成不可数在1994年被证明不是正规空间。而可数无穷的情况，在那之前的20多年前的1972年，在承认连续统假设的情况下，证明了猜想是成立的。但这不是大家想要的结果，但最少说明猜想本身一定不是假命题。现在只剩两种可能，要么猜想真成立，要么猜想是不可判定的命题。如果是后者，从以往的情况来看，问题将会变成非常麻烦。


纽约州立大学水牛城分校的教授Scott W. Williams给这个问题的悬赏是42美元。问题提出已经过了三、四十年了，上网查了查，没有查到这个奖金是否一直没变过……

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