凯莱三次结点型曲面
原文作者：John Baez
译文作者：Donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学。
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一个三次曲面是一个由3次多项式方程所定义的曲面。一个结点型曲面是一个仅有的奇点都是普通二重点的曲面：也就是说，它的奇点看起来就像是3维空间中按下面方程所定义的锥面的锥顶。
x² + y² = z²
凯莱三次结点型曲面（参见上面由 Abdelaziz Nait Merzouk 给出的图），是拥有最多（即4个）可能的普通二重点的三次曲面。事实上，每一个拥有4个普通二重点的三次曲面都与它是同构的。
凯莱三次结点型曲面可由如下方程定义：
wxy + wxz + wyz + xyz = 0
该方程定义了一个复维数为2的C4的子集S。需要注意的是，如果(w , x , y , z)∈C4是该方程的解，那么它的任何倍数(cw , cx , cy , cz)也是。因此我们可以射影化S，将任何一个解与它的任何倍数视为是相同的。于是我们得到了复射影空间CP³中的代数簇X。该簇具有复维数2，所以它被称为一个复曲面。为了获得一个普通的实2维曲面，我们将它与CP³中的一个RP³的拷贝作交集。
现在让我们着眼于RP³，相应地我们将得到很多普通3维空间R³的拷贝。上面的图片显示了凯莱三次结点型曲面在其中一个拷贝中的部分图像。
凯莱三次结点型曲面的简单二重点出现在w，x，y，z中有三个坐标为零的地方。超平面w + x+ y + z = 1决定了CP³中的一个C³ 的拷贝；并且如果把所有四个坐标都限制为实数时，将给出一个R³ 的拷贝，同时这些二重点恰好构成一个正四面体的四个顶点。此外，凯莱三次结点型曲面的对称群是S4，即正四面体的对称群。
谜题1. 凯莱三次结点型曲面上有9条直线。其中6条包含了上述四面体的棱。那么另外3条呢？
下文讨论了凯莱三次结点型曲面的一些有趣性质：
·Bruce Hunt, Nice modular varieties, Experimental Mathematics 9 (2000), 613–622.
特别地，他解释了它是如何作为一个球的商的紧化以及某特定的阿贝尔4-流形的模空间。
谜题2. 证明：通过变量代换，凯莱三次结点型曲面也可以由如下方程定义。
w³ + x³ + y³ + z³ = (w+x+y+z)³
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