被人们忽略“穷”猜想（四）：沙努尔猜想

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导读语： 近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。

然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第四篇：沙努尔猜想。


沙努尔猜想(Schanuel’s Conjecture)其实是超越数论中最基本最前沿的问题之一。这个猜想其实并没有被“忽略”过。在2009年5月由科学出版社出版的《10000个科学难题•数学卷》中也有专门的介绍。这里把他写出来还是因为他“穷”。沙努尔其实提出了两个猜想，一个是猜想本身，一个是沙努尔猜想的逆猜想，各自悬赏1000美元，共2000美元。


本文只介绍猜想本身，它已经足够难了。


我们先来回忆两个高等代数中的内容。对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在不全为零的有理数$q_1,q_2,…,q_n$,使得$q_1\cdot z_1 + q_2\cdot z_2 + … + q_n\cdot z_n = 0$，我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上线性独立。比如，我们可以证明$1$和$1/2$不是线性独立的，只需要取$q_1=1,q_2=-2$就行。而$1$和$π$是线性独立的，因为π是无理数。另外一个概念，对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在一个有理系数的$n$元非零多项式$P$，使得$P(z_1,z_2,…,z_n)=0$，我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上代数独立。比如$1$和$π$不是代数独立的，我们可令$P(x,y)=1-x$，于是$P(1,π)=0$。而只有一个$π$它本身是代数独立的，因为$π$是超越数。


沙努尔猜想说：对于$n$个在有理数域上线性独立复数$z_1,z_2,…,z_n$,,它们和$e^{z_1},e^{z_2},…,e^{z_n}$组成的$2n$个复数中，最少有$n$个是在有理数域上代数独立的。


关于这个猜想的一个有趣的特例。当$n=2$时，令$z_1=1,z_2=πi$，由欧拉公式$e^{πi} + 1 = 0$，沙努尔猜想能推出$e$和$π$是代数独立的。就是这样一个特殊情况，人们也还没有证明。实际上，现在我们对这两个最常使用的无理数四则运算后的结果知道的并不多，连$e+π$和$e/π$是有理数还是无理数都还不知道。

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