被人忽略的“穷”猜想（五）：关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想（完结）

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博： http://weibo.com/duodaa

导读语： 近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。

然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。

数学问题玩悬赏是从什么时候开始的大概很难考证出一个准确结果了。不过，近现代以来为数学问题悬赏征答的风气据说是埃尔德什带起来的。这位以高质量论文巨量产出闻名数学界的数学家，总是喜欢把自己提出数学猜想添上几十、几百或者几千美元的彩头。一方面，吸引其他人来关注，另一方面，用一种奇特的方式，展示每个问题在他心目中的地位。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第五篇，完结篇：关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。

在他的诸多问题中，最贵的被悬赏3000美元。叫做关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。这个问题的彩儿后来被提高5000美元。不过，还是和100万没法比。


还是从简单情况说起。我们都知道，1+1/2+1/3+…把所有正整数倒数加起来是发散的。但如果我们不把所有整数取完，而只取其中的一个子集，在把子集的中的每个数做倒数求和，那么有可能收敛。比如，我们取所有2的正整数次幂的集合，得到1/2+1/4+1/8+…，这个能算出来是收敛于1的。


我们只来关注让那些倒数和发散的子集，并且认为这些子集都是从小到大排序的。那么，这个子集里是不是一定能包含任意长度的等差数列。打个比方，我叫出一个数100，你就能在其中找到a, a+d, a+2d, ..., a+99d这样形式的100个数，而叫出1000，你也能找到p, p+q, p+2q, ..., p+999q这样的。无论叫多少，都能从中找出对应个数的数，他们正好是等差数列？这就是关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。


问题有多难呢？这里举一个例子，比如利用数论知识我们可以知道，如果上面的子集取所有质数，那么所有质数的倒数和是发散的。那么质数中存在任意长度的等差数列？答案是肯定的，这是由陶哲轩和格林合作完成证明。这个证明可以说是陶神在数论方向的顶级神作之一，他能获得菲尔兹奖和这个作品有很大关系。也就是说，在这个问题里，找一个极特殊的情况，也有可能是菲尔兹级别的问题。


不过，陶哲轩和格林的方法太过于特殊，很难推广到一般情况。要完全证明，估计还很久远。

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博： http://weibo.com/duodaa