写给大一初学数分高数的朋友们：浅浅说说两个病态函数
作者： e^iπ+1=0，就读于上海科技大学生命科学学院。
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编者按： 当我们进入大学,开始大学数学学习的时候，我们发现，尽管我们还是从熟悉的集合、函数的概念学起，但总觉得有哪些不对。函数的样子变得更奇怪，更抽象。那些奇怪的函数，被称作病态函数。此文就是为刚刚学习大一数学的人们，简单的拆解一下两个著名的病态函数。
数学的抽象性体现在很多地方，简单的例子如对于高维空间的探讨，又比如对无穷的探讨，都给人高度抽象的感觉。其实所谓抽象，很多时候和反直观或者不直观联系在一起。说道反直观，有一类函数不得不提，那就是病态函数，字面上很容易理解，就是“不正常”的函数，他们具有反直观想象的性质，甚至可称得上是数学家的梦魇。庞家莱曾将魏尔斯特拉斯举出来的病态函数的例子称为“一种对常识的蹂躏”。但是，在数学中，研究病态函数是很必要的，他们的存在丰富了我们的视野，加深了对于数学的了解。
最有名的病态函数的例子莫过于以下两个：
（a）狄利克雷函数
（b）魏尔斯特拉斯病态函数
a≥3是一个奇数，b是严格介于0与1之间的一个常数且满足ab≥1+3π/2，则函数是处处连续和处处不可微的。
第一个函数相信大家都不陌生，在学习函数连续性的时候都会有所接触，包括在学习黎曼积分的时候应该对其也有一定的了解。狄利克雷函数处处不连续，它的图像是不可能被严格画出来的，但是大致上是两条平行线。（这样说也不符合事实，因为这两条“直线”处处不连续。）正是这样一个函数，打开了一扇新的大门，黎曼积分。
事实上在黎曼积分之前，数学家和科学家已经能熟练掌握应用一些基本的定积分规则和使用，但事实上这大多并不建立于严谨的体系。直到黎曼的出现，他给出了黎曼积分的定义，从而为定积分带来了福音。
现在依据黎曼积分的定义，我们可以判断这样一个病态的函数究竟可不可积，答案是不可积的。证明其实也很简单，对狄利克雷函数选择相同的分划，但是取不同的介点集，得到的是不同的结果，由此可知黎曼积分不存在。
看起来判定一个函数不可积似乎并没有什么意义，但事实上黎曼积分的出现，是对定积分的一次规范，使得数学家可以在定义和逻辑构造的世界中自由地研究函数，而不是只能对结果做猜测，这是极其重要的。
但是故事并没有结束。虽然黎曼积分判定狄利克雷函数不可积，但是数学家并没有放弃它，相反，一种新的积分定义隆重登场，使得这个病态函数也具有可积性，这就是勒贝格积分。简单来说，黎曼函数是通过划分定义域取介点集，而勒贝格积分则是通过划分值域来操作。一个经典的解释方式是，假设我们手上有一角硬币，五角硬币和一元硬币，现在我们有两种方式去计算总和，一种是将所有硬币一字排开来数，从头数到尾，这等同于黎曼积分，从定义域的下界走到上界一遍；但我们同样有另一种选择，那就是将相同币值的硬币摞起来然后计算每种币值拥有多少个硬币，相乘再相加得到结果，而这就是勒贝格积分的基本思想。
所以我们现在对狄利克雷函数考虑勒贝格积分，狄利克雷函数只有两类值，这里我们选取最初的取值，即1,0的取值情况。那我们可以发现，考虑闭区间0到1上的积分，再将值域分割，考虑值域所对应的定义域的“长度”（术语叫做测度，但是为方便理解这里姑且叫长度），再相乘相加，根据勒贝格测度的定义我们可以得到的是这个和是0。这样一来狄利克雷函数便勒贝格可积了，且积分值为零。
这是数学理念上的一种突破，从定义域的探讨转向对值域的探讨。而且事实证明能够勒贝格可积的函数大大扩增，可见理念上小小的突破换来的可能是一片广阔的天空。
狄利克雷函数的故事其实还有很多，这里暂且不表，让我们转向一个更有挑战性的病态函数。魏尔斯特拉斯病态函数，可能这个函数不如狄利克雷函数有名，但是对于所有学习数学分析的同学这个函数还是应该有所了解的。而这个函数的性质是如此的病态以至于尝尝被认做理性推导对直觉世界的重大打击。
相信大家在学习函数连续性和函数可微性的时候遇到过这样的口诀“可微必连续，连续不一定可微”。是的，函数连续不一定可微，这样的例子数不胜数，最简单的就是绝对值函数y=|x|，在零处连续但是不可微。不知道大家有没有这样的疑问，一个连续函数究竟能不可微到什么程度呢？比如说绝对值函数，虽然在0处不可微，但是在其他点上既连续又可微。那我们猜想，连续函数是不是一定存在可微的点呢？
不幸的是，这个直观上正确的答案是错误的。魏尔斯特拉斯病态函数就是这样的一个例子。首先这不是一个初等函数，而它的图像与狄利克雷函数一样是不可能被严格画出来的。关于这个函数连续但是处处不可微的证明相信上百度能搜索得到，证明的核心思路分两步，先证明其连续（这个学了函数项级数的一致收敛后很容易），再证明其处处不可微（这个就很麻烦了）。证明处处不可微的思路是，每一点对应的导数定义的极限，都可以找到一个子列，使得这个子列的极限是无穷大。但是证明过程相对复杂，这里不赘述，有兴趣可参见《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》，这里面的证明不像教科书里那样死板。
但是看过这个证明的人，无不为魏尔斯特拉斯的卓越推理能力折服。他的证明好比是一场气势恢宏的交响乐，证明中的每个部分都承担一部分职责，而魏尔斯特拉斯犹如指挥家将他们整合为极其协调的整体。这种超越直觉的洞见，用定义，逻辑和不等式狠狠地摧毁了直观主义。
这里只介绍了两种比较著名的病态函数，但是这个家族的成员数量远多于此。他们的出现，可以说是对直觉的挑战，是对数学深层次的思考。引用《微积分的历程》的一段评价魏尔斯特拉斯工作的文字来结束全文：
“在持续不断的起伏中，数学家们建立起雄伟的理论体系，然后寻找足以揭示他们思想界限的恰当反例。这种理论与反例的对照成为正确推理的引擎，凭借这种工具，数学得以进步。因为我们唯有知道某些特性是如何丧失的，方能了解他们是怎么样发挥作用的。同样，我们唯有认清直觉是如何把人引入歧途，方能如实地评价推理的威力。”
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