如果你不跟你的学生讨论数学，谁来讨论呢？
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在我读高中的第一年时，教我几何的老师有一天走进教室向我们发出挑战：用直尺和圆规把一个角三等分。谁成功了谁就可以在这门课上得A。我们将不需要做任何的家庭作业，或者参加任何的测试。什么都不用做了。当然，似乎想解决这个问题的想法太美好以至于不可能是真的。但当时在读9年级的我并不知道这是一个不可能解决的问题。于是我开始着手解决这个看起来简单的问题。
我想到了大约十几个错误的证明，这些证明中包括像这样的推理：好了，当你适当移动圆规一点点你就可以画这条线，于是就解决了！当然，这个推理是错误的，这是一种没有经过证明的方法。这是一个刚了解什么的证明的新手最容易犯的错误。
但是我的老师没有只告诉我我错了，或是坚定地认为我是注定要失败的；相反，他让我分享了每一个失败的证明背后的想法，让我发现了在我论据中的不严谨之处。他坐在我旁边时，我们广泛地谈论了什么能构成一个证明以及什么不能。他知道我会犯错。他知道这是一个不可能的任务。但是他依然认真地听我讲述。
我的老师在倾听我的想法时的开放态度，鼓舞着我继续努力，并不断尝试新的方法。随着我学的数学知识越来越多，我重新回到了这个问题上面。我尝试过三角学，尝试过微积分，尝试过作一条我称作“1”的单位长度的距离。看完电影《心灵捕手》后，我认为如果我做出所有图解的镜像，可能会对解决问题有帮助。我的每一种想法都是错的。但是沿着这条路，我学会了逻辑量词，我学会了证明，我学会了鉴别我证明中的错误。最后，当我在研究生代数课上看见这个证明是不可能被实现时，泪水缓缓流过的脸盘，却浇灌出了我心中快乐之花。
这个故事可以引发很多不同的讨论。Ben Braun为这篇博客写了一篇很漂亮的文章 （http://blogs.ams.org/matheducation/2015/05/01/famous-unsolved-math-problems-as-homework/）， 讨论了关于学生致力于困难且不可能解决的问题的价值所在。我很看好这篇文章。我想去探究非正式数学讨论的价值，特别是当这些数学思想是不成熟甚至可能是错误的时候；这些价值在于激励我们的学生和别人分享他们的思想；这些价值在于参与到和我们学生的讨论当中。
我们为什么需要花时间讨论数学?
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正因为认识到对学生讲授数学并不是最有效的教育方式， 主动学习、探究学习、项目为导向的小组学习以及其他学习方法变得流行起来。在学习数学中鼓励交流是所有这些方法中产生的额外结果；而首先我想说，我十分赞成谈论数学，因为这样做对鼓励课堂内和课堂外开放的数学交流有着额外的教育上和文化上的益处。
1， 通过在一起讨论数学，我们的学生提升了他们的表达能力以及对数学思想的直觉。在一次授课中，我绕着教室走了一圈，倾听学生们的想法，我有时会听到学生们的对话可以最好的描述为“电话”游戏（传话游戏）的对立面。一个学生试着对我描述一个问题，尽管语无伦次，但他的队友们了解到他的想法，有时会插嘴，给出一个条理较清楚的表达。由于其他的人给出的更清晰的表达，最后他们给出了一个相当不错的问题陈述。在这个陈述基础上，我们可以引入更多正式的数学语言和定义。如果在第一次语无伦次的表述后，我直接把标准的枯燥冗长的陈述告诉他们了，我可能就剥夺了学生学习发展他们自己的思想的机会。同样，如果我假装我在自己做研究时，或与合作者会面时没有遵循类似的“逆向电话游戏”现象, 那一定是欺骗我自己。
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2， 数学交流可以激发出多元的想法，多元的视角以及多元的解答。恰当地来讲，大多数的我们，或者教育者们，都希望我们的学生能欣赏用不同解法解同一问题的过程。传统的教育可能让我们仅仅能展示一种解法，没法让学生尝试用不同的方式去思考，更糟糕的是，即使他们的解法是正确的他们也可能会认为他们不同的解法是错误的。通过给我们学生一些时间让他们团队学习，团队交流，我们也就给了他们时间让他们从队友之间的交流中学习解决同一问题的不同途径。相比于在全班同学面前，学生也许更愿意在小组讨论或私人聊天中问这样的问题“我们解决这个问题用了这样或那样的方法，这些方法都是正确的吗？”
3， 通过与学生讨论他们的想法，在他们的学习过程中，我们可以提供针对性的关注。当我们在与学生交流时，我们可以快速评估出不同学生之间的差异，比如有的学生除了最难的问题几乎可以完成所有的家庭作业，而有的学生依然在努力奋斗第一个问题，与前者谈论第一个问题以及和后者讨论最难的问题都属于浪费时间。因材施教，从学生们已经理解到了什么，我们可以决定他们最需要学什么。
最重要的是，我们帮助学生们学习知识的方式是赞赏他们当场提出来的问题和展现出的数学思想；而不是在讲解问题中穿插一些所谓的知识点，并希望学生们多多少少能从其中受益。
数学交流是数学课堂的延伸
William Thurston为美国数学会公告写了一篇名为《论数学中的证明和改进》的文章（Thurston 1994)，其中写道：
数学家们养成了一个无效的交流习惯......我们按照自已对学生“应当”知道什么的理解，用机械的语言讲述着数学；而学生却在挣扎着实现更简单的目标：理解我们的语言，揣测我们的思维模式。
在一个例子中他进一步解释了这个想法。如果Alice和Bob是给定领域的研究人员。Alice有可能可以用一杯咖啡的时间大致给Bob讲述一项最近研究发展中背后的思想。但是相比之下，Bob可能需要从一小时长的学术报告会中势力搜寻相似的见解，或者中花几个小时阅读Alice的论文。Thurston继续说道：
为什么非正式的交谈相比与听报告和读论文更加高效？在一对一的交谈中，在正式的数学语言之外有更多的交流途径。他们运用手势，画图表，通过语音语调或者肢体语言，让交流变得更像一个双向式的交流。这样人们才能重点关注他们最需要注意的地方。
对比起来，学术报告和写论文有赖于更深入的数学形式描述，它们阻止听众以主观和直觉和方式与其中的数学进行互动。
作为专业的数学家，我们都有这方面的经历。我们坐着听完整个学术报告，除了前五分钟外我们并没有听懂任何东西。我们已经读过论文中的一个句子20遍了，但仍不能理解其中的含义。但我们也在喝咖啡时中我们求教同事、合作者或朋友，并从他们的回答中找到灵感。所以，如果这就是当作为专家的我们试图学习新的东西时的情形，这和我们的学生试图学习数学有什么区别？
我们怎样才能促进数学上的交流
在理论上，这个讨论可能会引起很多人的共鸣，但是因为许多理由，贯彻这些思想或许比较困难。这儿有一些可以在任何地方落实的具体的建议:
1, 让我们在每节课用5分钟让你的学生解决一道例题，这道例题可以简单到“(3x+1)²的导数是什么？”然后让学生与他们的同桌对比答案，如果正确，相互鼓励对方。如果你有更多的时间，用更多的时间给学生更多的问题。一个由学生完成的例子比一个写在黑板上的例子更有价值。
2, 鼓励学生参加你的答疑，你助教的答疑以及校园数学帮助中心。提醒他们每天利用好这些资源。做一个能接受新思想的可亲近的教授。你的学生也是人，他们大多数都对“耍酷”感兴趣。如果你从个人的角度去接近他们，他们更愿意问你数学问题。
3, 和你的学生分享你数学奋斗史。其中一个原因是我们大多数能当上数学家是因为我们乐意去解决那些一眼看上去不可能解决的问题。但是在我们学生的眼里，我们似乎是无所不知的解题指南，可以解决所有数学问题。我们需要努力消除这个界限。
4, 号召学生投入到你解决问题的过程中去。要求他们明确有力地表达，为什么他们要这么做，以及提升他们的灵活变通应对错误思想的能力。Rachel Levy关于此提出了一些有意义的建议（http://maateachingtidbits.blogspot.com/2016/09/5-ways-to-respond-when-students-offer.html）。
Pelzer老师，希望你能看到这篇文章，感谢你与我分享思想。我三等分角失败了，但这个过程却点亮了我生命中对数学的求知欲。
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