跑不完的龟兔赛跑
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兔子：如果比赛可以再来，我能在你的龟壳上打瞌睡吗？
乌龟：如果可以的话，我能定义起点就是终点吗？
这是一个古老而又经典的故事，我们知道，兔子在速度上有绝对的优势，因为大意轻敌，才输掉了这场赛跑。换句话说，如果兔子认真与乌龟比赛，乌龟必输无疑，可伶的乌龟难道就只能把胜利的希望寄托于兔子的粗心大意上吗？在既定的赛道下，兔子凭借速度上的优势，率先跑完整个赛道，根据比赛规则，谁先跑完这段赛道所对应的有限路程谁就取胜，结合现实中的田径比赛，这一点很容易理解。可要是我们把比赛环境从有终点扩展到没有终点，那还会是兔子赢吗？换句话说，我们可以定义这样一种形式的龟兔赛跑：兔子和乌龟同在一个没有终点的无限空间里面比赛跑步。
要分出胜负的前提是要制定一个比赛规则，在有限空间里面，谁先到达给定终点谁就是胜利者，兔子比乌龟先到终点等价于在既定的路程下（直线赛跑），当兔子到达终点的时候，乌龟总在兔子已跑完的路程中，所对应的一段路程里，全程来看，乌龟经过的路程包含于兔子经过的路程（如下图所示）。
在有限的空间里面比赛，既定的赛道下，兔子和乌龟都会产生一个有限长度的路程集合 S，根据兔子和乌龟所产生路程集合之间的包含关系，来定输赢。同样，依据路程集合之间的包含关系，我们可以把比赛的胜负判定从有限空间推广到在无限空间，假设兔子的速度大于乌龟且都保持匀速，比赛一开始，兔子就会和乌龟拉开差距，可是在这个没有尽头的比赛里面，兔子漫无目标地奔跑着，全然不顾乌龟的情况，对于乌龟来说，也很迷惘，于是它顺着兔子的脚印走，兔子跑过的路程，他也走过，兔子走出个 A 形，乌龟也会走出个 A 形，兔子走出个 B 形，乌龟也会走出个 B 形。我们每隔相同的一段时间 t 记录一次乌龟的轨迹 s，那么比赛一开始，经过时间 t 后我们记录为 s1 ，那么在下一段时间中所产 生的路程我们记录为 s2 ，这样我们会得到序列： s1 , s2 , s3 ,... ，对于超于乌龟的兔 子来说，兔子也具有这样一段序列，时间的无限性决定了存在无限个 t 时间段，也就会产生无数个si ，这样下来，我们得出一个结果：在无限空间里面，如果兔 子漫无目的的跑，乌龟紧跟其后，这样一来，乌龟就会根据兔子所留下的脚印建立与兔子路程元素一一对应的映射关系，兔子和乌龟就会产生同一个由无数个路程元素所构成的无穷路程集合 S，从这个角度来说，乌龟和兔子打平了（如下图所示）。
第一回合下来，得知与乌龟平起平坐的兔子心中很不服气，他发誓要在下一回合中以更快的速度来超越乌龟，不明真相的兔子依然漫无目的、四处寻找胜利的目标，聪明的乌龟，终于想出了战胜兔子的方法。比赛一开始，乌龟并没有紧跟兔子其后，而是另辟蹊径的乱走一通，经过 t 时间段后再重新回到了兔子的轨迹上来，沿着兔子的轨迹行走下去，这样一来，乌龟除了产生与兔子一样的路程集合 S，还多出了他自己走出的路程，而就因为这段路程，不管兔子再怎么使蛮劲也无法弥补，从这个角度来讲，乌龟取得了第二回合的胜利（如下图所示）。
兔子思来想去之后，终于知道了自己失败的原因，归根结底，智慧才是决定成败的关键，和前两个回合一样，兔子一马当先，乌龟心中暗自高兴，依然沿袭第二回合的战术，可没过多久乌龟就发现兔子正在一棵树下睡大觉，乌龟以为兔子又开始犯同样的错误了，索性撇下兔子不管，自己再次另辟蹊径，当乌龟从兔子留下的最后一个脚印出发，以一条直线往点 A 走去时，兔子突然从侧面杀过来，在 A 点兔子和乌龟相遇，乌龟懵了，他往兔子来的方向一看，再看了看自己走过的路径，和兔子所构成的路径正好围成一个三角形，由于两边之和大于第三边，这样看来，从兔子脚印消失的那段算起，兔子经过了比乌龟多的路程，况且还比最开始自己另辟蹊径所产生的路程加起来还多，这就意味着：从比赛开始到 A点龟兔相遇，兔子走过了比乌龟多的路程。这时乌龟才意识到自己上了兔子的当，那乌龟还能反败为胜吗？是依旧自己走还是回到兔子的轨迹上，此时的乌龟必须为自己做出个选择，如果都不选，那么乌龟就只能和兔子在 A 点处站着直到天长地久，这样下去，兔子赢，可是不管乌龟怎么选择，其结果都一样，只要乌龟稍作移动，哪怕是很小的一段（不妨将一小段近似的看作为一条直线），那么兔子凭借速度上的优势，始终能走出与乌龟围成三角形的途径，这样一来我们把每一次的相遇做一次记录，就构成了两个不同的无限路程集合，兔子所产生的无限路径集合中的每一个路程元素都大于乌龟所产生的。从这个角度上来讲，兔子取得了胜利（如下图所示）。
在这个三局两胜制的比赛中，照目前形势来看，第三局的比赛显得尤为重要，经过前两局比赛的洗礼，兔子和乌龟心中都以明了，乌龟：我不能打第一枪，如果我一跑，那么兔子必然会凭借速度优势把我各个击破。兔子：我不能松懈，我要时刻盯着这个老奸巨猾的乌龟，一有机会我就要超越他。乌龟和兔子：我不能一直和他僵持下去，要赢得比赛我一定要放手一搏！比赛开始后，兔子还是采取对乌龟各个击破的战术，乌龟无可奈何，不这道该怎么办才好。乌龟再次陷入迷惘之中，可是希望往往出现在绝望的时候，乌龟发现前方出现了一个很窄的通道，在这个通道里面行走，兔子只能勉强的挤进去，然而乌龟却能行走自如，兔子在整段狭窄的路径里，并没有超越乌龟，只是和乌龟走了一模一样的路程，这让乌龟心中重新燃起了希望，聪明的乌龟终于又一次找到了战胜兔子的方法：如果我总能在这个无限空间里面找到一段路径：只能容我这个狭小的身躯进去，兔子挤不进去。那么我一旦进去，兔子就不能对我实现超越了，当然兔子不会坐以待毙，因为我会一直在这个通道里面不停地走动产生路程，当我在狭窄的通道里够弥补之前兔子超越我的那段路程的同时，沉不住气的兔子必定也会不停的跑动，在地上产生脚印，有了他的脚印，出来后，我就一定能产生和他一样多的路程，然而兔子也会争分队秒的对乌龟实施超越。（如下图所示）
变是永恒的，不变是暂时的，在这个无限的空间里比赛，不存在绝对的胜利者，有的只是自身优劣的转换。
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