无穷与直觉
原文作者：德夫林，斯坦福大学数学教授，英国数学科普作家。
翻译作者：Y.W.，哆嗒数学网翻译组成员，就读于北京四中。
校对：donkeycn
投稿可发至邮箱1178853280@qq.com，详情参见征稿说明（截止日期延期至4月28日）。
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格雷•安东尼克在纽约时报上好玩的专栏“数趣”刊登了伯克利数学家艾迪•弗兰克关于人类大脑在理解无穷上的难题的贡献。如果你还没有读这期报道，你应该去看看（http://wordplay.blogs.nytimes.com/2016/05/30/frenkel-cantor/?_r=0）。
无穷带来了不少反直觉的结果。举个经典的例子：希尔伯特的旅店。这里有无穷多个房间，每个房间都印上各自的自然数编号：房间1，房间2，房间3等等，直到所有自然数都被用到，有一个晚上，一位旅客来到宾馆前台，前台告诉他说宾馆的房间已经满了。“但是不要担心，先生，”前台服务生说，“我刚刚在大学上了一门数学课，所以我知道怎么帮你找个房间。给我一分钟，让我打几个电话。”过了一会儿，这位旅客得到了一个房间。服务生让每位客人搬到房间号为下一个整数的房间。所以房间1的客人搬到了房间2，房间2的客人搬到了房间3，以此类推。每个人都换了房间，谁也没有离开旅店，但是房间1为这位新客人腾空了。
我认为所有MAA Online（MAA为美国数学协会的缩写）的普通读者都熟悉这个著名的例子。但是我觉得大多数人都不能把这个例子上升到无穷的层面来理解。一会儿看到可数无穷（基数为א_0）和第一个不可数无穷（基数为א_1，小于等于实数的基数c）的时候，你们就会发现这比想象的还奇妙。
无穷带来的另一个让我目瞪口呆的结果和树有关。不是在森林里长的树，是在数学家使用的术语中提到的树。
一棵树就是一个偏序集 (T,<)。树中所有小于x的元素构成的集合{y∈T: y < x} 是良序的。也就是说这棵树有特定的生长方向（通常是图中的竖直向上方向），分支也都向上生长。通常来说，一棵树有一个独特的最小元素，这个元素被称为根。如果遇到了一棵没有根的树，你可以在不改变树的其他部分的结构的情况下手动加一个根。
由于每个树上的元素都位于它的前继构成的唯一良序集的顶端， 因此每个树上的元素在树中都有良好定义的高度： 即前继构成的集合的序数。对于每一个序数k，我们可以用T_k来表示树中所有高度为k的元素的集合。 T_k被称为T的第k层。T_0包含树的根，T_1是根的所有直接后继的集合，以此类推。
综上所述，树靠下的部分如图所示，（树中每一个“小黑点”就是一个节点）：
（其实可以有所不同，每一层的元素数量没有限制，或者说每一个元素的后继元素的数量没有限制）
König引理是集合理论的经典例子。König引理指出，若T是一棵有着无穷个节点的树， 且对每个自然数n，T_n是有限的， 则T有一个无穷的分支， 即有一个无穷的线性序子集。
这很好容易证明。你可以用递归来定义一个分支{x_n: n为自然数}。令x_0为树的根。尽管树是无穷的，但T_1是有限的。 T_1中至少有一个节点元素的上面有无穷个元素比这个节点大。令x_1为T_1中这样的一个元素。由于x_1 的上面也有无穷个元素大于x_1，而在T_2中只有有限个后继元素， 所以T_2中至少有一个x_1的后继元素的上面有无穷个元素比x_1大。令x_2为T_2中一个这样的元素。同理，可定义T_3中的x_3，使其上面有无穷个元素，以此类推。这个简单的过程可以清楚地定义一个无穷分支{x_n: n为自然数}。
以上是König引理成立的理由。然后人们试图通过类比来证明如下命题：若你有一颗不可数的树（即基数至少是א_1的树）T，且对于每一个可数序数k，T_k是可数的，则T有一个不可数的分支，即满足如下条件的一个线性序子集：对于每一个可数序数k，该线性序子集与T_k的交不空。
但就这样下来， 然而事实显示上述命题不成立。 我们可以构造这样一棵不可数的树：对于每一个可数序数k，T_k都是可数的，然而这棵树却没有不可数的分支。这样的树被称为Aronszajn树。 这样的树最初被一个俄罗斯数学家构造出来。
下面是构造Aronszajn树的具体方法。 树的元素是严格递增的（有限或可数超限）有界有理数序列。 树中的序为序列的扩展（比如序列(1,2,3,5)是序列(1,2,3)的扩展）。显然，这样的树不会有不可数的分支。 因为否则它的极限（更确切地说：集合论意义下的并集）将是一个不可数的严格递增的有理数序列，这与有理数构成可数集合的事实矛盾。
你可以通过对树的层来递归构造这样的树。 T_0由空节点构成。构造完T_k后， 你可以通过给T_k中的每个序列s加上任意一个可能的递增值来得到具有（k+1）的项严格递增的有理数序列，从而得到T_(k+1) 。也就是对于每一个T_k中的s和任一大于或等于s的上确界的有理数q附加到s，并将结果放入T_(k+1)。T_(k+1)就是可数个可数集合的并集，因此它自己也可数。
当范围仅限于自然数时，这样的常规递归就满足定义了，但当递归覆盖到可数序数时， 你需要处理极限序数，即那些不是任何更小序数的后继序数的序数。
为了实现这棵树关于极限层的定义，你需要构造一棵符合以下被称为Aronszajn性质的树：对每一对层T_k和T_m，其中k<m， 对T_k中的每个序列s及大于s的上确界的有理数q，存在T_m中的序列t，序列t扩展了s且序列t的上确界比q小。
由于我们把T_k中的每一个序列都扩展到所有可能扩展到的序列，所以刚才给出的从T_k出发得到T_(k+1)的定义满足上述特性。
现在假设m是一个极限序数，且我们已经对每一个k<m定义了T_k。对于满足k<m的T_k中的每个任意给定的元素s及每个大于s上确界的有理数q，根据整数的递归来定义一条通过树已构造部分的路(s_i : i为自然数)，且使它的极限（作为有理数序列）的上确界为q。
首先，你要选择严格递增的有理数序列(q_i : i为自然数)，且使q_0超过s的上确界，且极限为q。
你还要选择严格递增的比m小的序数序列(m_i : i为自然数)，且极限为m， 且使s在树中位于m_0层的下面。
现在你可以用Aronszajn性质来构造序列(s_i : i为自然数)使s_i位于m_i层，且s_i的上确界比q_i小。
为每一组s和q 构造这样的一条路(s_i : i为自然数)， 并令T_m（编者注：原文写的是T_k，应该是作者笔误）包含所有如此构造出来的有理数序列的极限。值得注意的是这样定义的T_m是可数的。
显然这样定义的构造满足Aronszajn性质，因此可以继续这样构造下去。
于是，我们完成了我们想要的构造。
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