作者：伊恩·斯图尔特，英国沃里克大学数学教授,因其大量优秀的数学科普作品而响誉世界。

《给年青数学人的信》是作者伊恩·斯图尔特尝试部分更新《一个数学家的辩白》，也就是说，更新那些或许会影响一个年轻人的决定，如考虑取得数学学位和可能的数学专业生涯。这些给“梅格”的信件大致遵照时间先后，从她高中一直写到在大学获得永久教职为止。书中讨论许多的议题，包括最初关于职业生涯的决策到职业数学家的工作哲学，以及数学家研究题材的本质，不只有一些实在建议，还提供来自数学圈子内的见解，并且解释数学家到底在做什么。

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第一封信 为何学数学？

亲爱的梅格!

或许如你所预期，得知你考虑攻读数学时，我非常高兴。不只是因为数个夏天前，你用数星期反复阅读《时间的皱纹》（A Wrinkle in Time）的时间并未白费，同时也不枉我费心对你解释超立方体和高维空间。我不依顺序回答你的问题，先回答其中最实际的问题：除了我以外，有谁真的靠数学维生？

这个问题的答案和许多人所想的不一样。我所服务的大学在几年前对校友进行调查，发现在种种学位之中，有数学学位的人平均收入最高。需要提醒你的是，虽然这是在他们成立医学院之前的事，但至少驳倒一项谬论：学数学的人无法拥有高收入的工作。

事实是我们每天到处都可遇到数学家，只是很难察觉而已。我过去的学生有的管理酿酒厂、创立他们自己的电子公司、设计汽车、编写计算机程序和在股票市场交易期货，我们几乎从未认识到银行经理或许拥有数学学位，发明和制造DVD和MP3播放器的人们中有很多是数学家，或是将木星卫星令人惊异的照片传输至地球的技术里也包含大量的数学。我们知道医生有医学学位，律师有法律学位，因为那些是特殊和明确定义的专业，要求同等专业的训练。但人们不可能在建筑物的铜制铭牌上发现有证照的数学家的名字，替该数学家打广告：这位数学家在获得一大笔费用后，可以帮忙解决想要解决的任何数学问题。

我们的社会消费了大量的数学，但一切只在幕后进行，原因相当直接：数学属于幕后。当驾驶一辆汽车，你绝对不想考虑所有那些复杂的机械方面的东西，只想钻进车子里将它开走。了解车子机械的基本状况，当然对你成为好的驾驶员有所帮助，但绝不是一定要这样才行的。同样地，数学也是如此。你希望车子的导航系统引导方向，而不需自己来计算所涉及的数学。此外，你希望即使不了解信号处理和误差修正码，你的电话仍可以运作。然而，我们其中的一些人需要知道如何运算数学，否则上述的汽车和电话将无法运作。如果其他人能够了解我们日常生活是如何必须依靠数学，那将是一件好事。为何将数学远远放在幕后，这是因为许多人完全不知道数学藏身在幕后。

我有时觉得，要改变人们对于数学的态度，最好的方式是，在任何用到数学的东西上贴上写着“内含数学”的红色标签。当然在每一部计算机上都会贴上一张，又如果照字面的解释，我们也应该在每一位数学老师身上贴上一张。我们也应该将红色数学标签贴在每一架飞机、每一部电话、每一辆车、每一个交通标志、每一种蔬菜……

蔬菜？

是的。农夫只是照着他们父亲和祖先流传下来的模式耕种，这种日子早已过去。几乎所有你能买到的蔬菜，都是长期和复杂商业培植计划的结果。“实验设计”数学意义上的整个主题，在二十世纪早期被发展出来，用来提供一个系统的方式去评估新种的植物，遑论基因修改的较新方法。

等等，这不是生物学吗？

当然是生物学，但也是数学。基因学在生物学里最早使用数学，人类基因组计划之所以成功，不只是因为生物学家做了许多明智的工作，也因为发展出强大的数学方法，用以分析实验结果，并且从非常破碎的数据里重建准确的基因序列。

所以，蔬菜得到一个红色标签。如同蔬菜，其他东西也应贴上一个红色标签。

你看电影吗？你喜欢特效吗？《星球大战》（Star Wars）和《魔戒》（Lord of the Rings）里面有数学？ 最早的完全计算机动画电影《玩具总动员》（Tory Story），促成了大约二十篇数学论文的发表。“计算机绘画”不只是使用计算机来做画，也是让图画看起来更真实的数学方法。为了做出这些效果，需要立体几何的知识、光的数学，以及在起始和完成的影像间内插一连串平滑的动作，等等。“内插”是一个数学的想法，如果没有许多聪明的数学，内插将不会产生作用——又一个红色标签！

当然还包括因特网，完全是数学运作。目前最主要的搜索引擎Google使用数学方法，根据矩阵代数、概率理论和网络的组合数学，去寻找最可能包含用户所需信息的网页。

但因特网的数学较这些更为基本。电话网络依赖数学，它不像旧时，当时接线生必须手动将电话线路插入总机，而今天这些电话线必须同时传输数百万个信息。有太多人想要和朋友谈话、传真或上网，以致我们必须分享电话线、海底光缆和卫星中继器，否则网络无法承受那么繁忙的交通。所以每一段谈话都被分解成数千个小段，只有约1%的小片段被实际传输，其余的99%借着填补间隙的方式尽可能地被复原（之所以行得通，是因为取样虽短但频率非常高，以致你声音的改变比取样的间距来得慢很多）。噢！整个信号被编码，以致任何的传输错误不仅可被检测出来，也可重新放到正确的接收位置。

如果没有大量的数学，现代通信系统将无法运作。编码理论、傅立叶分析（Fourier analysis）、信号处理……

总之，你上网购买机票、订位、前往机场、坐上飞机后飞往他处。飞机之所以能够飞行，是因为工程师使用流体流动和空气动力学的数学进行设计，确保飞机可以飞在天上。飞机使用全球定位系统（简称GPS，定位系统由一组卫星构成）来导航，卫星信号经由数学分析，可以在数英尺的误差内告诉你飞机的位置。每一个航班都必须列入时间表，才能让每一架飞机处于正确的位置，这需要其他领域的数学。

亲爱的梅格，这是数学运作的方式。你问我数学家是否都隔绝在大学里，或是否有部分数学家的工作和实际生活有关。其实你实际生活的全部，就如同一艘在数学海洋里徜徉的小船，上下摆动。

但很少有人注意到这一点。逃避数学会让我们感到自在，但却贬损了数学。这真可耻，这样一来，人们认为数学没有用处、不必在意，数学只是智力游戏而已，没有真正的重要性。因此，我才想要看见那些红色标签。事实上，不用红色标签的最佳理由，是大部分的地球都将被红色标签所覆盖。

你的第三个问题最为重要，也最令人哀伤。你问我是否必须放弃对美的感受以研读数学，是否所有事情将变得只剩下数字、方程式、定理和公式。梅格，敬请宽心，我不会怪你问这个问题。可惜这是个非常普遍却错得离谱的想法，和真相恰好相反。

数学对我而言如下：它让我以全新的方式知觉这个我所居住的世界，让我对自然的定律和模式开了眼界，并提供全新的关于美的经验。例如，当我看见彩虹，我不仅是看到一道光亮多彩的圆弧，也不仅是看到雨滴对阳光的影响，雨滴将白色日光还原为构成日光的色彩成分。我发现彩虹既美丽又启发灵感，对彩虹不仅只是光线的折射而心存感激，这些颜色就像红色（还有绿色和蓝色）的鲱鱼。彩虹的形状和亮度需要解释：为何是圆弧状？ 为何光线如此之亮？

或许你尚未想过这些问题。你已经知道，当阳光受到雨滴的折射时会出现彩虹，因为阳光的每一种颜色会朝稍微不同的角度转向，并从雨滴反射进入我们的双眼。但事情不是如此简单，为何数以万计雨滴折射产生的数以万计有色光线，不会重叠并模糊掉呢？

答案在于彩虹的几何学。当光线在雨滴内部进行反射，雨滴的球状形体导致光线聚焦于某一特定方向，每一滴雨滴发射出明亮的圆锥形光线，或是说每一种颜色的光形成自己的圆锥体，而每一种颜色形成之圆锥体的角度稍有不同。当我们望向彩虹，我们的眼睛只能侦测到位于特定方向的圆锥体，每一种颜色的方向在天空形成一个圆弧。所以我们看到许多同心圆，每一种颜色形成一个同心圆。你所见到的彩虹和我所见到的，是由不同的雨滴所形成。我们的眼睛位于不同的位置，所以我们侦测到由不同的雨滴所产生的不同圆锥体。

彩虹是个人经验。

某些人认为这样的理解会“破坏”情感的体验，因为它会产生对美感满足的某种压抑，但我认为这是无聊的想法。做这样声明的人通常喜欢假装自己充满诗意，对世界奇妙事物抱持开放的态度，但事实上他们严重缺乏好奇心：拒绝承认世界比他们自身的有限想象来得更奇妙。自然永远比你所想的更深邃、更丰富、更有趣，数学提供你一个非常有用的方式去欣赏自然的美。理解的能力是人类和其他动物最大的不同，我们应该珍视。许多动物都有情绪，但只有人类能理性思考。我必须要说，我对彩虹几何学的理解，为它的美增加了新的光彩，而情感的体验却一点也不会因此变少。

彩虹只是一个例子。我观察动物也和常人的角度不同，因为我注意到动物移动时对应的数学模式。当我注视一块水晶，我留意到原子晶格和外在色彩的美丽。在波浪、沙丘、太阳起落、雨滴落在水坑溅起涟漪，甚至停在电话线上的鸟，我也都能看到数学。此外，如同望向弥漫大雾的海洋，我模糊了解到，这些日常奇妙的事物充满无限的未知。

数学的内在美丽也不应该被轻视、被忽略，数学研究本身就已非常美丽优雅。数学的内在美并不是我们在学校里使用的“加法”。虽然加法背后的一般原则自有其美丽之处，但它们大多难看又无定形。数学的内在美丽存在于：想法、普遍性、突然一闪而过的灵感，以及使用直尺和圆规尝试三等分某个角度就等同于去证明3是一个偶数；我们无法建构一个等边七边形，但可建构一个等边十七边形；没有方法可以解开单结；为何某些无限大比其他还大，而某些应该较大的无限大结果却相等；等于连续平方之和（1+4+9…）的唯一平方数为4900（1除外）。

梅格，因为你有一个合乎逻辑和追根究底的心灵，你有成为优秀数学家的潜力。你不会满意于模糊的论点，你想要看到细节并亲自检查，你不只是想知道如何让事物运作，而且也想知道为何事物能够运作。此外，你的来信让我企盼，将来你能和我目前一样，能够看到数学的有趣和美丽——以一种独特的看待世界的方式。

我希望，这为你研读数学建立了所需要的背景。

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2016年的研究生入学考试在去年年底就结束了。我们哆嗒数学网的小编录制数学一的选择、填空题的讲解视频与各位读者们分享。

为什么只录制选择题和填空题，这是因为大题解答题的详细解答在网上很容易找到，而选择题和填空在网上一般只有答案，很难找到过程(也许是藏的深，没找到)。互联网是一个互通有无的大平台，我们尽量做互联网上“无”的部分，“有”的内容，我们保持好分享的态度就可以了。

为什么是数学一？这是因为，每年数学一的题目基本定下了所有考研数学的基调——一些考研辅导专家如是说。

从网上各大门户网站评论区的“哀嚎”来看，大家觉得这一次的考题非常难，至少比去年难不少。但当我们把我们的视频放在群里时，部分参加了考试群友反应是——听这么一讲，这次的数学题挺简单的。

但是，考场外的轻松讨论氛围和考试实战拼命的紧张氛围是不一样的。我们录制的视频质量也不太好，有杂音，有的讲解声音也不太清晰。这次放出，就当自我激励，下次会改进的。

大部分学校的考试成绩会在春节假期后的一周内公布，祝大家好运！

下面的视频，是我们认为选择、填空题里最变态的一道。链接里可以观看所有的讲解。

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转自微信公众号 数海拾贝 ， 作者：意琦行

波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。 曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

        在我看来，《怎样解题》本身并不能直接带来对解某个具体的题目时的武力值大幅加成．事实上，它更多的是告诉我们如何通过不断的解题实践更快速的积累解题经验，从而使得数学能力得到更好的锻炼．下面这张表是我整理出来的大纲，每次解完题以后回顾一下自己的解题过程，可以让收获满满的哦！

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我相信谁也没想到，一个案子的庭审直播，抢了所有2016年开年贺岁片的风头。是的，快播案的庭审已经火的不行不行的了，各路好手在互联网上“施展绝技”，不断对庭审的情况发散、恶搞、改编，再次将“快播案”的大片推向高潮。

然而，对于学过数学专业的哆嗒数学网小编们，却从这个庭审实录中发现了一些小机会——我们发现，它其实也是一个数学公理化方法的一个科普案例！

数学公理化方法是说，从一组不定义的原始概念(或者说基本概念)和一组不加证明而预先承认的命题出发，经过精确定义和逻辑推理而得到其他的全部概念和定理的、建立数学体系的方法.。这里“一组不加证明而预先承认的命题”就叫做公理。

这里，我们要小小的提醒一下。我们要从“公理是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理.”这个中学版本的理解中脱离出来。形式化的数学当中，当我们要建立数学体系，完全可以不以实践检验为标准，只有你给出的一组公理中，它们互不矛盾就可以通过逻辑推导，演绎出一个数学体系——只是这个体系有没有用，是另外一件事。

现在，大多数数学家认为，现代数学可以建立在公理化集合论的基础之上，这个公理系统叫做ZFC公理系统。C是Choice的首字母，表示选择公理。选择公理就是一个没法通过实践佐证的公理，有兴趣的读者可以试着去搜索相关资料。

那么，和快播案有什么关系？

其实，法律条文可以大致可以看成一个公理体系，法庭辩论也可以看出指出对方“证明错误”，宣告自己“证明无误”的过程。我们哆嗒数学网的小编不是法律方面的专家，法律上的事不好多说。但是，我们隐隐的发现控辩双方都默认下面的“公理”：

“公理A”：淫秽内容是不道德的。

“公理B”：公诉方代表民众群体的抽样。

“公理C”：公诉方的行为都是道德的。

"公理D"： 民众对不道德的东西都是厌恶的。

于是由公理A、B、C、D推导演绎，得到“定理E”、“定理F”以及相关推论。

“定理E”： 公诉方对于淫秽内容不能主动找，也不能看。

推论： 公诉方不能知道各种“动作片”的网址、女优、H画师……

“定理F”： 民众对淫秽内容是厌恶的。

于是快播方面多次利用上述“公理”，以及“公理”导出的“定理”和“推论”，呛的公诉方狼狈不堪。比如：

“色情网站从来不是互联网网站的主流。要不公诉人给我几条色情网址看看。”

“我不会用大家厌恶的东西来宣传，这样对发展用户是有害的。”

“按公诉人的说法，中国有如此大量得网民在观看色情网站，这不合逻辑。”

(询问完公诉人的快播使用情况后)“刚刚统计了一下，快播市场占有率为75%，使用快播观看淫秽视频的占比为0%”

然而，这法庭上的“公理”体系的演绎结果在法庭上的表现几近完美。但是否合乎事实呢。

同样，我们还是不敢妄言。但对于"公理D"，小编还是有点小声音要出。在小编的朋友圈子里，至少很多时候“某些影片”对“某些朋友”们(坚决让“某些朋友”背锅)是有吸引力的。也许这些人现在是很厌恶了，但是在某些时间段内，比如青少年时期，他们可能很沉迷。你也许会挑战，说是因为小编的朋友圈污浊不堪，但谁又能帮我解释一下，苍老师的1600万的微博粉丝，从何而来——难道仅仅因为她是预防艾滋病的大使？

当然，无论事实如何，这样的一组“公理”的确演化出了一套非常“赏心悦目”，娱乐性极强体系。让我们知道，当你不得不承认一些默认“公理”时，推理和演绎的能量是巨大的。

最后的避免误解的声明：本文没有支持控辩双方的任何一方，特别的，没有支持公诉方。

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你如何证明自己掌握了所学的东西？通常你没有别的选择，除了参加测试。

一种新的算法能让你在增长知识的同时，废除所有的正式测试。该算法由美国斯坦福大学和谷歌公司的研究人员共同研发，能分析学生之前做练习题时的表现，辨别出他们最容易在哪些地方出错，并且形成一幅整体知识图。

利用软件追踪学生进步的想法并不新鲜。不过，迄今为止很少有人尝试利用深度学习—— 一门通过消化大量数据让机器学习的尖端学科。

来自斯坦福大学的Chris Piech及其团队成员向他们的系统提供了140多万名学生就在线学习平台“可汗学院”上所设置数学问题给出的答案，并且作出了相应评分。他们还训练一个神经网络按照类型将问题分类：哪些涉及平方根、斜率，或者比如计算图表上的一条线在哪儿同水平轴相交。

掌握了所有这些信息后，该系统开始了解每名学生在每个问题类型上的解决能力。该模型仅通过研究几十道已经回答过的其他问题，便可使预测一名学生做对或做错一道新练习题的准确率达到85%。Piech在日前于加拿大蒙特利尔举行的神经信息处理系统会议上展示了这一成果。

他还构想了一个更为复杂的版本：不仅能预测一名学生可能在哪些问题上出错，还能知道其中的原因所在。Piech说，“如果我们都能负担得起雇佣一名在思考你应当学什么上花费大量时间的指导教师”，这当然是件好事。虽然这并不现实，但“有一天我们或许仅利用这种类型的软件，便能找到一个人在哪些方面存在困难，并且帮助他改善”。他同时认为，该系统最终会变得足够精确，从而将所有测试废除。（徐徐）

《中国科学报》 (2016-01-04 第2版 国际)

原文地址：http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2016/1/335388.shtm

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2015年12月22日美国白宫消息，新一期的美国科学界的国家最高荣誉美国国家科学奖章获奖名单已经颁布。一共有9位科学家获得殊荣。颁奖典礼将于2016年年初于白宫举行，届时美国总统奥巴马奖为这些科学界授予荣誉。

9位科学家中有两位的工作与数学密切相关。他们是麻省理工荣誉教授，数学家迈克尔·阿廷(Michael Artin)，以及普林斯顿大学教授，生态学家西蒙·莱温(Simon A. Levin)。

迈克尔·阿廷主要研究领域是现代代数几何。他的父亲是埃米尔·阿廷，是20世纪杰出的代数学家之一。迈克尔·阿廷于1963年到麻省理工学院数学系工作直到退休。迈克尔·阿廷获得过2002年斯蒂尔终身成就奖以及2013的沃尔夫数学奖。沃尔夫奖的颁奖词提到他在代数几何的“数个令人困惑的领域做出了奠基性贡献”。

西蒙·莱温虽然是生态与进化学系的教授，但他曾经是位数学家。西蒙·莱温的研究领域是复杂理论(complexity theory)——利用数学模型和数据来分析生态、社会分配以及金融系统的学科。西蒙·莱温是美国国家科学院院士、美国艺术与科学院院士，2005年京都奖得主。

美国国家科学奖章由美国国会于1959年设立，1962年首次颁奖。美国国家科学奖章是美国的最高科学奖，由美国总统颁发，每年一次，获奖者每次不超过20名。主要授予在物理学、化学、生物学、数学、工程科学、行为科学及社会科学方面作出卓越贡献的科学家。美国总统奥巴马发言说：“科学与技术是解决美国一些最重大挑战的基石。这些美国科学家今天产出的知识能让我们国家不断革新向前，同时也对世界上无法计数的其他国家的人们有所帮助。他们所做的工作就是美国民众智慧的证明。”

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2016数学界第一巨奖，科学突破数学奖揭晓。来自加州大学伯克利分校的数学家Ian Agol获得该奖项。

科学突破奖是科学界奖金最高的奖项,每位获奖者会获得300万美元的奖金。此奖设立数学奖，在数学奖方面，它的奖金堪称土豪，有多土豪可以参考我们哆嗒数学网小编去年的文章。

此次数学突破奖授予美国加州大学伯克利分校的Ian Agol，表彰他在低维拓扑和几何群论方面做出的贡献，其中包括在解决稳和（tameness）问题、虚哈肯猜想（virtual Haken conjecture）和虚纤维猜想（virtual fibering conjecture）方面的工作。让人惊奇的是，Ian Agol在获奖职位介绍的时候，依然还只是副教授，而非正教授。

以下是颁奖盛典的剪辑，2016科学突破奖颁奖盛典剪辑，数学奖得主Ian Agol的镜头在2分46秒。

另外，值得一提的是，这回科学突破奖的得主中出现了中国人的身影。

今年的基础物理突破奖颁给了增进人类对宇宙最深层问题理解的成果。基础物理突破奖授予以下5个团队的1377名团队成员。他们在中微子振荡领域的基础性发现和探索，使我们得以一窥超越粒子物理标准模型的物理学新疆界。其中包括由中国科学院高能物理研究所王贻芳所长，以及就职于加州大学伯克利分校、劳伦斯国家实验室的物理学家陆锦标教授领导的大亚湾核反应堆中微子实验；

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美国有多个机构对大学进行排名，其中最有影响力的就是由《美国新闻和世界报导》在每年下半年公布排名，也就是常说的每年的USNEWS排名。日前，2016年USNEWS全球最佳大学排名已经公布。哈佛大学、麻省理工学院、加州大学伯克利分校三所美国大学分列前三，与去年毫无变化。

我们哆嗒数学网的小编最关心的还是数学学科的排名。这一回，中国学校在这个榜单的表现可以说是让人惊异的。

还是先说总体排名—前十名被英美法三个国家的大学完全占据。数学学科的前四名被美国大学包揽。第一名是斯坦福大学，而加州大学伯克利分校、普林斯顿大学、哈佛大学分列二、三、四名。另外三所美国大学，加州大学洛杉矶分校、麻省理工学院、纽约大学还分别占据了第七、九、十的位置。英国的牛津大学和剑桥大学的排名分别是第五和第八。而法国的皮埃尔和玛丽居里大学，即巴黎第六大学排在并列第五的位置。值得一提的是，中国的北京大学、复旦大学双双进入前二十，分别是第十五名，第二十名，是前二十中仅有的非欧美大学。

亚洲方面，中国大学表现抢眼。前十名中，来自中国的大学占据了其中八把交椅。其中内地七所，香港一所。另外两个名额被韩国和日本的两所大学占据。

中国共有28所大学进入榜单。其中内地23所，香港4所，台湾1所。下面是具体排名，注意排名中有并列的情况。

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作者，逆蝶，哆嗒数学网群友

读读欧拉, 读读欧拉, 他是我们大家的老师———拉普拉斯(Laplace)

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler), 瑞士数学家, 是18世纪数学界最杰出的人物之一. 他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文. 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已!

数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯. 阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语, 牛顿因为苹果闻名世界, 高斯少年时就显露出计算天赋, 唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻. 然而，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字.

欧拉对于无穷级数似乎有着十分独特的见解. 关于级数神乎其技的变形, 用对数函数逼近调和级数并计算出欧拉常数γ, 利用无穷乘积得到平方倒数和为π²/6, 以及计算出所以正整数的和为-1/12(在某些特殊的意义下), 还有一些很漂亮的连分数展开式, 这些都出自于欧拉之手.

平方倒数和, 也即是

\begin{align*}\cfrac 1{1^2}+\cfrac 1{2^2}+\cfrac 1{3^2}+\cfrac 1{4^2}+\cdots=\cfrac {\pi^2}6. \end{align*}

欧拉得到这个结果之后并没有就此止步, 而是继续计算了

\begin{align*} \cfrac 1{1^4}+\cfrac 1{2^4}+\cfrac 1{3^4}+\cfrac 1{4^4}+\cdots=&\cfrac {\pi^4}{90}\\ \cfrac 1{1^6}+\cfrac 1{2^6}+\cfrac 1{3^6}+\cfrac 1{4^6}+\cdots=&\cfrac {\pi^6}{945}\\ \cfrac 1{1^8}+\cfrac 1{2^8}+\cfrac 1{3^8}+\cfrac 1{4^8}+\cdots=&\cfrac {\pi^8}{9450} \end{align*}

等诸多结果， 欧拉也曾因计算出平方倒数和而名噪一时.

欧拉的成就数不胜数, 单单是级数方面就已经令人叹为观止. 我们在此只是举一些例子, 几乎完全抛弃了严格性去得到一些结果, 并且所得的结果都是对发散级数而言的. 通过一些看似美妙的结论, 来说明对发散级数进行求和的重要性.

例1 对两个等比级数并求和
\begin{align*}
1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=&\cfrac 1{1-x}\\
\cfrac 1x+\cfrac 1{x^2}+\cfrac 1{x^3}+\cfrac 1{x^4}+\cdots=\cfrac {\cfrac 1x}{1-\cfrac 1x}=&-\cfrac 1{1-x}
\end{align*}
将第二个级数写成
$
\cdots+\cfrac 1{x^4}+\cfrac 1{x^3}+\cfrac 1{x^2}+\cfrac 1x=-\cfrac 1{1-x}
$
与第一个式子相加
$
\cdots+\cfrac 1{x^4}+\cfrac 1{x^3}+\cfrac 1{x^2}+\cfrac 1x+1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=0.
$
于是就得到了一个形式上很美妙的式子, 在其中取$x=1$就有
$
\cdots+1+1+1+1+1+1+1+1+1+\cdots=0.
$
由于这是个双边级数, 我们并不打算去探讨它的意义(欧拉似乎对他得到的这个结果甚为满意). 有心的读者可以发现出现这种现象的原因是由于对于任意的$x$两个级数都不可能同时收敛造成的, 这说明发散级数还具有一些形式上的美.

例2 之前重点讨论了格兰迪级数的求和问题, 得到的结果无不例外的都是$\cfrac 12$, 现在我们默认这件事情, 来计算通项的每一项都是1的级数, 也即级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1$的和.
记
$
S=1+1+1+1+1+1+\cdots
$
又有
$
\cfrac 12=1-1+1-1+1-1+\cdots
$
相减得
$
S-\cfrac 12=2(0+1+0+1+0+1+\cdots)=2S,
$
$
\Longrightarrow S=-\cfrac 12.
$
于是就得到了
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1=1+1+1+1+1+1+\cdots=-\cfrac 12.
$
如果在计算过程中把作差那一步用相加来代替, 就会得到$\cfrac 12$的结果, 这是由于级数发散引起的. 我们通过做差得到$-\cfrac 12$是因为它恰好是$\zeta(0)$的值, 还有就是因为之后几个例子的计算所用的方法也都是做差. 现在继续看下面的例子.

例3 通过交错整数级数的和来计算正整数的和.
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(n+1)=1-2+3-4+5-6+\cdots
$
与阿贝尔权的直积为
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(n+1)x^n=\cfrac 1{(1+x)^2}.
$
于是其阿贝尔和为$\cfrac 14$.
记
$
S=1+2+3+4+5+6+\cdots
$
又有
$
\cfrac 14=1-2+3-4+5-6+\cdots
$
相减得:
$
S-\cfrac 14=2(2+4+6+8+\cdots)=4(1+2+3+4+\cdots)=4S.
$
于是就得到了
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)=1+2+3+4+5+6+\cdots=-\cfrac 1{12}.
$
在这里使用做差是很自然的, 不会出现上例那种问题, 因为如果是相加得话就只能得到分母是奇数的项, 也就不能写成$S$的倍数了. 另外这里的结果$-\cfrac 1{12}$亦恰好是$\zeta(-1)$的值.

我们不厌其烦的再看最后一个, 然后直接推广它.

例4 整数平方和等于0.
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(n+1)^2=1^2-2^2+3^2-4^4+5^2-6^2+\cdots
$
与阿贝尔权的直积为
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(n+1)^2x^n=\cfrac {1-x}{(1+x)^3}.
$
于是其阿贝尔和是0. 记
$
S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+\cdots
$
又有
$
0=1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+\cdots
$
相减得:
$
S=2(2^2+4^2+6^2+8^2+\cdots)=8(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots)=8S.
$
于是就得到了
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+\cdots=0.
$
而恰好又有$\zeta(-2)=0$.

根据上面的几个例子可以猜测似乎对于整数的任何正整数次幂和, 都可以利用这种方法计算出来, 而其结果却和黎曼$\zeta$函数的值符合的很好, 譬如不难得到幂为3的时候交错级数与阿贝尔权的直积的和函数为$\cfrac {x^2-4x+1}{(1-x)^4}$, 进而计算出最终的结果$\cfrac 1{120}$也恰是$\zeta(-3)$. 我们知道$z=-2n$(其中$n$是正整数)时$\zeta(-2n)=0$, 但是$z$为奇数时$\zeta(-2n+1)$的规律却很复杂. 那么我们问, 是否可以用上述方法直接计算出偶数幂的情况呢？

例5 为简便记$f_m(x) (m\ge 0)$是级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(n+1)^{2m}$与Abel权的直积, 即
\begin{align*}
f_m(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(n+1)^{2m}x^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)^{2m}(-x)^n.
\end{align*}
相应地, 记幂为$2m$的整数和为$s_m$, 我们归纳证明$f_m(1)=0$.
由于
\begin{align*}
x^2f_m(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)^{2m}(-x)^{n+2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty} (n-1)^{2m}(-x)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n-1)^{2m}(-x)^n,
\end{align*}
相加可得
\begin{align*}
(1+x^2)f_m(x)=&1+\sum\limits_{n=1}^{\infty} ((n+1)^2+(n-1)^{2m})(-x)^n\\
=&1+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^m\binom{2m}{2k}n^{2k}(-x)^n\\
=&1+2\sum\limits_{k=0}^m\sum\limits_{n=1}^{\infty}\binom{2m}{2k}n^{2k}(-x)^n\\
=&1+2(-x)\sum\limits_{k=0}^m\binom{2m}{2k}f_k(x).
\end{align*}
带入$x=-1$, 并利用归纳假设$f_k(1)=0(1\le k\le m-1)$以及$f_0(1)=\cfrac 12$易见
$
2f_m(1)=1+2(-1)(\cfrac 12+f_m(1))
$
由此即得$f_m(1)=0$.
再用与前面几例相似的方法得到关系式:
$
(1-2^{(2m+1)})s_m=f_m(1).
$
于是就有整数的偶次幂和为0, 从而与$\zeta$函数符合的很好.

通过以上对发散级数的计算得到了一个很奇特的结论: 借助于阿贝尔和计算出的整数幂和与黎曼$\zeta$函数通过解析延拓得到的结果是一样的! 其实这并不是偶然的, 而是可以用多重对数函数来解释并加以严格证明的. 通过这些计算也可以说明, 发散级数的定义就如函数的解析延拓一样, 是确实有其存在意义的.

另外有一点需要值得注意: 虽然通过阿贝尔和间接地计算出了整数幂和, 但是整数幂和却不能通过阿贝尔权直接计算出来, 也即是说整数幂和并不是阿贝尔和. 这是因为我们之前讨论的那些具体的几种求和方法, 其实对于柯西和是正负无穷的时候也是成立的, 所以其权和也一定是发散到正无穷的.

下面将阿贝尔权用于三角级数, 来看看会得到什么结论.

例6
$
\cfrac 1{1-a(\cos x+i\sin x)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a^n(\cos x+i\sin x)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a^n(\cos nx+i\sin nx).
$
比较实部虚部得
\begin{align*}
\cfrac {a\cos x-a^2}{1-2a\cos x+a^2}=&\sum\limits_{n=0}^{\infty} a^n\cos nx
\cfrac {a\sin x}{1-2a\cos x+a^2}=&\sum\limits_{n=0}^{\infty} a^n\sin nx
\end{align*}
我们只关注第一个式子, 直接令$a=1$可得
$
\cfrac 12=1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x\cdots.
$
从$\pi$处积分得
$
\cfrac {\pi-x}2=\sin x+\cfrac 12\sin 2x+\cfrac 13 sin 3x+\cfrac 14\sin 4x+\cdots\quad(0<x<2\pi).
$
而这正是锯齿形函数的傅里叶展开式(不过却无从得知欧拉为什么会从$\pi$处积分, 因为如果从0处积分, 那么所得的结果就是不正确的了).

连求两次导数可得
$
0=1^2\cos x+2^2\cos2x+3^2\cos3x+4^2\cos4x+\cdots
$
令x$=0$得
$
1^2+2^2+3^3+4^2+\cdots=0.
$
其实可以不断地连续求两次导, 得到
$
1^{2m}+2^{2m}+3^{2m}+4^{2m}+\cdots=0.
$
注,这里遵循欧拉说“直接令$a=1$”, 是因为$x=2k\pi(k\in Z)$的时候$\cos x=1$, 如果先带入$x=0$的值再令$a\rightarrow 1^-$, 得到的就不是$\cfrac 12$了, 也就是说唯独在$x=2k\pi$的点处三角级数的阿贝尔和不是$\cfrac 12$, 所以才“直接令$a=1$”.

例7 下面介绍欧拉对于一个发散级数的处理:
根据级数
$
\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^nn!=1-1!+2!-3!+4!-5!+\cdots
$
构造幂级数
$
y=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^nn!x^{(n+1)}=x-1!x^2+2!x^3-3!x^4+4!x^5-5!x^6+\cdots
$
这里与阿贝尔权稍有不同. 另外有$x^n$显然是控制不住$n!$的, 所以可以把下面的处理方式只当成是形式化的操作.
两边微分得
\begin{align*}
y'=1-2!x+3!x^2-4!x^3+&5!x^4-6!x^5+\cdots=\cfrac 1{x^2}(x-y)\\
\Longrightarrow e^{-\frac 1x}y'+e^{-\frac 1x}\cfrac 1{x^2}y=&\frac {e^{-\frac 1x}}x\\
\Longrightarrow (e^{-\frac 1x}y)'=&\frac {e^{-\frac 1x}}x\\
\Longrightarrow y=&e^{\frac 1x}\int_0^x\cfrac {e^{-\frac 1t}}tdt
\end{align*}
取$x=1$,可以得到:
$
1-1!+2!-3!+4!-5!+\cdots=e\int_0^1\cfrac {e^{-\frac 1t}}tdt.
$
另一方面, 也可以利用$\Gamma$函数的知识进行计算:
根据
\begin{align*}
n!=\Gamma(n+1)=\int_0^{\infty} t^ne^{-t}dt
\end{align*}
可得
\begin{align*}
x&-1!x^2+2!x^3-3!x^4+4!x^5-5!x^6+\cdots\\
=&\int_0^{\infty} (x-x^2t+x^3t^2-x^4t^3-x^5t^4+\cdots)e^{-t}dt\\
=&\int_0^{\infty} \cfrac {xe^{-t}}{1+xt}dt.
\end{align*}
取$x=1$,可以得到:
$
1-1!+2!-3!+4!-5!+\cdots=\int_0^{\infty} \cfrac {e^{-t}}{1+t}dt
$
于是就得到了一个有限数.

我们不对其作出什么合理的解释, 只不过通过两种求和方式的比较可以说明阿贝尔权还是不够广泛. 第二种求和方式中可以看出最终得到的关于$x$的函数在复平面去掉负实轴以外的地方都是解析的.

注, 读者可以发现在以上的几个例子中所用到的词语基本上都是“计算”而不是“证明”, 因为它们并不具有严格性.

利用调和级数发散, 还可以得到素数倒数和发散.

例8 素数倒数和是发散的.

证明: 由于$n$的没有大于$n$的素因子, 所以有
$\prod_{p\le n}\cfrac 1{1-\frac 1p}=\prod_{p\le n}(1+\cfrac 1p+\cfrac 1{p^2}+\cdots)\ge 1+\cfrac 12+\cdots+\cfrac 1n.
$
于是$\prod_p\cfrac 1{1-\frac 1p}$发散. 根据无穷乘积与无穷级数的关系可知$\sum\limits_p\cfrac 1p$发散.

下面我们来做一些看起来毫无合理性可言的事情, 但结果却出乎意料.
$
\ln(1+\cfrac 12+\cfrac 13+\cfrac 14+\cdots)=\sum\limits_p \cfrac 1p.
$
这时等式两边都是$\infty$, 在两边都截取到求和的第n项, 即
$
\ln(H_n)\sim\sum\limits_{k=1}^n \cfrac 1{p_k}.
$
然后根据$H_n\sim \ln n$就有
$
\cfrac 1{p_n}\sim \ln(H_n)-\ln(H_{n-1})=\ln(1+\cfrac 1{nH_{n-1}})\sim\cfrac 1{n\ln n}.
$
于是得到了第$n$个素数的分布$p_n\sim n\ln n$.
最后由于
$
p_{[\frac n{\ln n}]}\sim [\frac n{\ln n}]\ln([\frac n{\ln n}])\sim \cfrac n{\ln n}\ln\cfrac n{\ln n}=\cfrac {\ln n-\ln\ln n}{\ln n}n\sim n.
$
也即是素数分布定理
$
\pi(n)\sim \cfrac n{\ln n}.
$

下节会介绍与格兰迪级数非常相似的0-1级数, 它是同格兰迪级数同样有趣但又不失重要性的一类级数. 为了对某些特殊的0-1级数求和, 还会引入切萨罗和的两种推广, 并且会在文章的最后对发散级数的讨论做一个总结.

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