作者： 桃夭灼灼。

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一、伽利略的疑惑

    物理学家伽利略曾提出这么一个问题。我们知道任何一个偶数都可以写成2n（n为自然数）的形式，因此对于任何一个自然数n，都可以将它乘以数字2而得到一个偶数2n。此外，如果有两个不同的自然数n和m，按照上面的方式可以得到两个不同的偶数2n和2m，换句话说，不可能有两个不同的自然数对应着同一个偶数。现在的问题是，按照这个方式，可以将自然数和偶数作一对一的对应，同时表明自然数似乎和偶数是一样多的。但是直觉告诉我们，偶数只是自然数的一部分，或者仅占自然数的一半，因为还有另一半是奇数。

伽利略对于这个问题思考很久，但无法给出令人满意的结果。在此之后的两百年间，数学家对于涉及到无穷大的问题，总是以“比任何数都大”的方式处理。

二、康托的解答

    19世纪，数学家康托作出这么一个设想：如果我们承认自然数的确是和偶数一样多，那会带来什么样的影响？

    要承认这个事实，首先从有限多个事物开始说起。比如有五个苹果装在篮子里，有五本书放在书架上，我们的第一反应是它们的数量都是5，但我们忽略了一个过程，我们是用阿拉伯数字5来表达这个结论。可是，一旦停止使用任何一种计数方式（如阿拉伯数字，罗马数字等），我们的想法仍然认同它们一样多，因为可以给这五个苹果和五本书贴上不同的标签，比如用大写字母ABCDE表示五个苹果，用小写字母abcde表示五本书，然后让每一个大写字母与相应的小写字母对应，这样五个苹果和五本书是一样多的。

    此外，对于五个苹果和七本书，可以肯定它们是不一样多的。更进一步，只要所研究的问题中事物数量是某个自然数，类似于上面贴标签的方法，总能得出谁多谁少的结论。但是语言文字中使用的字母、符号总是有限（例如英语有26个字母，俄语有33个字母，日语有71个假名），而对于事物数量稍多一些的整体，却无能为力，因此数字起到了一个非常重要的作用，其中自然数的引入帮助我们自动完成了这么一个一对一的贴标签过程。

    接下来考虑这么一个事实。如果事先有100个人，旁边还有一堆书，但不知有多少，现在让每个人都拿一本书，最终正好拿完，并且没有一个人会拿走两本书，也没有一个人没有书，那么一定有100本书，自然不需要一本一本地去数。

如果实现的人数也不知道，当然我们还是不知道有多少本书，但仍然可以肯定，人数和书本的书目是一样多的，尽管我们对于其中的数量一无所知。这个事实表明：由人所构成的集体与由书本所构成的整体之间的个数相同。

    总之，只要所研究的问题中事物数量是有限，那么一定可以建立一个一对一的对应来确定谁多谁少，而无需知道有多少和是多少。这个结论给予我们一个启发：对于涉及到无穷多个事物的两个整体，能否用类似的方式来区别这两个整体所含有事物数量是否有差别？但是要注意，在无穷多个事物组成的整体中，已经不能用“数量”或“个数”的概念。

    康托对此给出了一个令人满意的结果。他认为凡是有无穷多个事物的一个整体，可以用“势”（“基数”）来描述这个整体中所含有事物的多少。当然，对于一个数量有限的整体，势就是它所含有事物的个数。其次，对于两个整体A和B，只要能在A和B之间建立起一个一对一对应，而不管A和B究竟有多少（即使有无穷多个），我们就认为他们有相同的势。例如，取A为全体自然数，而B是全体偶数，根据开始给出的对应方式，A和B有相同的势。这样自然就解决了伽利略提出的问题，但它打破了我们的常识性认识，即欧几里德在《几何原本》一开始就提出的规定：整体比部分多。

    对于集合中元素的“个数”，如果可以用一个具体的数字来表达，则称这个集合是有限集，反之，如果找不到一个具体的数字来表达“个数”，或者说集合中元素的“个数”比任何一个自然数都大，则称这个集合是无限集。对于有限集，在组合数学中有广泛研究。对于无限集，根据康托的思想，将无限集中元素的“个数”称为“势”。两个无限集A和B之间如果有一个一一映射（既是单射又是满射），则这两个集合有相同的势，称为对等的。

    对于全体偶数组成的集合，显然和全体自然数组成的集合有相同的势，当然还有很多集合与全体自然数组成的集合有相同的势，例如分数和自然数一样多，有理数和自然数一样多。为此，规定全体自然数组成的集合的势为“阿列夫零”。这个称呼来自于希伯莱字母“阿列夫”，其原因或许在于数学家康托是犹太人。如果一个无限集的势为阿列夫零，称为可数集，反之一个无限集的势不是阿列夫零，称为不可数集。除了阿列夫零以外，康托还为我们规定了阿列夫一、阿列夫二、阿列夫三……等无穷多种势，同时他得出了一个重要的结论：任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势。这就说明没有最大势。

此外，康托首先看到了一个自然而重要的问题：在阿列夫零和阿列夫一之间是否存在一个中间势？他并没有解决这个问题，但他相信没有这个中间势。这就是著名的康托连续统假设。这个假设现在终于被人们搞清楚了，它可以作为一条公理，并且与集合论中其它一些公理是独立的。

三、希尔伯特旅馆

    在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特把康托的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首，他本人则提出了一个有趣的故事。

    有一个旅馆，我们称它为希尔伯特旅馆。第一天来了一位客人要求入住，但老板表示已经客满，不过老板想出了一个方法。首先，他让一号客房中的客人搬出，让外面等待的客人入住一号客房。然后让二号客房中客人搬出，让原先一号客房中的客人入住二号客房，再让三号客房中的客人搬出，让原先二号客房中的客人入住三号客房。依此方式，最终让每个客人都有自己的客房（包括新来的客人）。

    第二天，又来了一些游客，人数大约在100人左右，旅馆老板表示已经客满，不过聪明的老板又想出了一个方法。首先安排第一个游客入住，所作的安排与第一天入住的客人所作的安排一样。待第一个游客住下，又安排第二个游客入住，所作的安排与第一个游客所作的安排一样。最后，依次安排第三个、第四个游客直至最后一个游客入住。第三天，又有很多游客要求入住，人数无法确定，总是有无穷多人，老板表示已经客满，但他有方法可以让每个客人有自己的客房。

我们暂时不去关心老板最后的安排，这个故事被数学家们称为希尔伯特旅馆，借此他引出数学上的“可数无穷大”概念。与现代图论结合，又产生了网络枢纽无堵塞观点。

四、尾言

    自康托提出连续统假设以来，数学家一直致力于解决这个问题。但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进行公理化处理，并先后尝试建立了几个集合论公理系统。人们通常使用的是策梅洛和弗兰克尔建立的ZFC公理系统。进行公理化后，基本上都能消除悖论。1938年哥德尔证明了连续统假设和ZFC公理系统不矛盾，两者是协调的。1963年美国数学家科恩又证明了连续统假设和ZFC公理系统是彼此独立的，是不可能判定真假的。这样在ZFC公理系统中，连续统假设是不可能判定真假的，这是60年代集合论的最大进展之一。正如帕斯卡比喻的那样：人只是漂浮在无限和虚无这两个无底深渊之间的一叶扁舟，我们总想要追求某种确定性，但却永远也抓不住，一不小心我们的整个基础就会分崩离析，而下面就是那无底深渊。在数学上，人永远只是探索者，没有“终结者”。

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作者： 桃夭灼灼。

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作者： 熊π，就读于北师大附属实验中学高二。

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SPCS全称为Stanford Pre-Collegiate Studies，又名“斯坦福大学天才少年培养计划”。美国“数学大联盟杯赛” 与SPCS通力合作，专门针对具有杰出才华的中学生，精心设计适合他们成长的课程和题目，在中学阶段就积极介入对他们的培养，旨在为他们今后的成长打下坚实的基础。

2016年8月，一年一度的美国数学大联盟杯决赛（9-12年级）在斯坦福大学如期举行。从去年11月开始，经过初赛、复赛层层选拔，来自八个国家98名翩翩少年成为了幸运的参赛者。作为中国赛区的幸运儿之一，笔者在决赛中基本发挥水平，以第17名的成绩斩获一枚优秀奖（Certificate of Merit）。

决赛共10道题，本人做出了其中6道。有一道三角函数题最为可惜，有思路有方法应该会做可是临场没做出来，从考场一出来就做出来了。
超出了高一学生知识结构的有两道一元四次方程，笔者回国后查阅高等代数资料得到解决。最有意思的是一道涉及“二项展开式”的填空题，题目短小易懂，系数锋芒毕露。笔者临场简直像小狗啃榴莲——无从下口。

【题目】如果 ，那么 的值是多少？

【疑问一】等式右边会出现一次项二次项吗？

因为 ，所以常数项容易求，在等式两边令x=0，则有a_0 = 2^2016。但是右边会出现一次项二次项吗？笔者感觉x的最小指数应该是2015，貌似a_1, a_2, ……, a_2014应该为0。

岂止笔者有这样粗浅的认识！因为组委会始终没有提供参考答案，回国后笔者曾就此题向今年刚刚升入北大元培学院的高三学长请教，他参加过中国数学联赛，他的第一感觉跟笔者的竟然完全相同！

【疑问二】利用二项式定理能解决问题吗？ 
  

  
这三种情况下对应的系数之和即为 ，所以

    对于电脑来说，写几行程序这点运算不算什么。但是考场上连普通计算器也不准携带，笔者水平有限，至此陷入了僵局……

【疑问三】怎么会出现-1/2，这么奇怪的系数？

 ，三个一组三个一组，每组中连续出现两个-1/2 ，太奇怪了。由【疑问一】、【疑问二】可知，用常规的实数0,1赋值不可能有这种效果出现。想想我们所见过的成千上万不计其数的数，实数也好虚数也罢，哪一个数的整数次幂会以3为周期，并且同时含有系数 ？

虚数单位i的整数次幂周期为4，显然不满足。

等等……别着急！试试1的三次虚根如何？对对对，肯定是它， ω！

笔者感觉肯定是它，久违啦，ω！

【解】 

 
设

 
   
这正是：初看小狗啃榴莲，系数锋芒毕露；再看二项展开式，运算言不堪苦。
众里寻他千百度，暮然回首虚数；九九归一成正果，醍醐灌顶开悟！

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这是到目前为止我们哆嗒数学网收到的年龄最小的作者投稿——一名小学五年级的同学写的一篇书信体作文。这篇文章，内容切入点和一些用词稚气未脱，大概符合现在小学生的思考方式。但是，文章行文所用的手段还是比较老练，相信其指导老师费了不少心力帮助修改。我们哆嗒的每个读过此文的小编，都有非常喜欢。

哆嗒一直希望身边每个人都来普及数学、数学家、数学界的知识。你知道一分，就分享一分，知道十分，就传授十分，不必在意别人嘲笑你“半灌水响叮当”。只要对数学知识有足够尊重，投稿文章无论水平高低，内容深浅都可能是我们发布的内容。——这位王怡淋小同学做到了。

本来所有文章会有个一起投票的流程，对于这位小朋友，我们觉得把他放到一堆成年人里投票排位是一件残忍的事情。所以，未来投票列表里不会出现这篇文章，我们也准备了一份小礼品，直接寄给这位小作者（貌似是他老师代收）。

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致华罗庚的一封信

河北省保定市永华南路小学 王怡淋

敬爱的华罗庚大师：

     您好！我是五年级的一名小学生。数学课上，老师总是提起您的名字；语文课上，老师也总是给我们讲起您的事迹。我对您充满了好奇：为什么您的数学学得那么好？为什么初中毕业就能成长为伟大的数学家……读了您的传记，我才对您有了更深入的了解，更加敬佩您了！

    我敬佩您的自学能力和刻苦精神！虽然您从小就显出数学天赋，但因为家境贫寒，初中毕业不得不退学。在您应当接受教育的岁月，一个“穷”字剥夺了您的梦想！但是您并没有丢掉数学学习，依然边帮助家里干活边自学数学，顽强的自学到了十八岁！这得需要多大的毅力呀！

想想我们现在，生活条件优越，不愁吃不愁穿，想要什么有什么，我们还有什么资格不好好学习，珍惜我们现在的学习机会？我们应该在学习上刻苦努力，勤动脑，勤动手。课上跟紧老师，课下认真完成作业，珍惜并用好我们的美好学习时光！

我敬佩您对数学的痴迷与热爱！您在帮家里干活时，冬天在账台上看数学书，演算数学题，入了迷，竟然忘了接待顾客，被人称为“罗呆子”！进入清华，您就给自己五、六个小时的睡眠！想想自己对待学习和时间真是不应该！我一定向您学习，对学习要认真，尤其是听课、做题时注意力要集中，不能走思，不能干别的事；对待时间，要有计划有安排，要做很多有用的事！

我敬佩您的坚强品质！由于您得了一次重病，造成终身残疾，只能借助手杖走路。但您并没有被吓倒，您还幽默却很坚定地说：“我用健全的头脑，代替不健全的双腿！”这种精神，让您从一个初中毕业生成长为一代数学大师！您真的很了不起！我们四肢健全，身体健康，学习生活中遇到点儿困难算的了什么呢？我们应该笑着生活！

我更敬佩您的爱国精神！您这样一位大师，完全有条件留在美国，和家人一起享受优越的生活——住洋房，开汽车。可是您毅然放弃这些，在新中国诞生后，“为了国家民族”，回到了祖国的怀抱。用自己所学，为我国的现代化建设做出了突出的贡献。

华罗庚大师，您是我们学习的榜样！您如同一盏明灯，指引我们在知识的海洋尽情遨游；您如同一股清泉，滋润着我们健康快乐成长。我一定好好学习，勤奋努力，学习更多的知识，增长本领，用自己的力量为国家做出贡献！

此致

敬礼

                                                                    崇敬您的小学生：王怡淋

                                                                        2017年4月5日

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作者： 季真俊，就读于华东师范大学。

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 在同学刚刚步入微积分时，相信有很多人都会在这一个极限上摸不着头脑：这是一个的“∞的0次方”形式的未定式，因此常规的四则运算都对其无济于事。

在华东师范编写的第四版数学分析上，给出了两边夹的做法：

可这个证明有些让人有点摸不着头脑，下面我们就来介绍这一个极限的由来：

引理1：

证：

令，则可以得到以下结论：

引理2：

再令，则又可以得到以下结论：

引理3：

再来看我们一开始提出的那个问题：求，由引理3可直接得到

而且还可以得到这个极限的加强形式：

当然，有些了解stolz定理的同学也会说，这个极限完全不需要这么麻烦，取对数之后使用stolz定理，也可以直接得到答案。

不错，但是如果我们认真研究一下引理1和stolz定理的关系，则不难发现引理1的逆命题便是stolz定理的一个特殊情况，而在与均存在的情况下，引理1及其逆命题是互相等价的。因此我们并不需要用上stolz这把“牛刀”去宰一只鸡，而仅仅使用其一个特殊情况就够了。

除此以外，也可以先对其取对数后利用归结原则将数列极限转化为函数极限以后洛必达求解。

下面我们考察这个极限的一个变型：
 

例：求，其中，

方法一：

 
方法二：

以上两种方法虽然本质相同，但由于处理原式的技巧不同，其繁简度亦有很大差异，因此我们在思考问题时同样要注意：是否有更快的捷径？

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原文作者：多贝茜，女，国际数学联盟前主席，被誉为小波分析奠基人之一。

翻译作者：我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员，大学教师。

校对：donkeycn

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近期在北卡罗来纳州艺术博物馆(NCMA)展出的圣约翰事迹祭坛画，是14世纪Francescuccio Ghissi的作品。它共有九个场景组成：8副小图描绘了圣约翰传教时的场景，而中间大图描绘了圣约翰肋部被钉死在十字架上的场景。19世纪末该祭坛画被锯开，九块中的八块被卖给了不同的收藏家。而描绘一个较小的场景的最后一块却丢失了。

数学在该幅祭坛画近百年首次展出中功不可没。该项工作是我和我的几个同事参与的一个项目中的一部分。我们已经开发出新的数学技术, 不仅可以逆转老化的观察效果, 同时也可解决并消除善意但并不令人满意的保护工作的影响。这些技术也可以用于世界上其他艺术品的修复工作。

（下面便是复原后的Francescuccio Ghissi圣约翰祭坛画）

无独有偶，数学化图像分析多年来一直在使用,而且有形式多样。但另外一个关键事件是修复了另外一幅作品，解决了艺术史学家们几十年的争议。

15世纪休伯特•凡•艾克和扬•凡•艾克两兄弟共同创造了一件伟大的艺术巨作——根特祭坛画。该作品有12块木板组成，其中的八块由铰链链接。当画屏合上的时候，中间一层的最右边一块显示了圣母领报的场景；而在其背景中，放在支架上的是一本中世纪著作中翻开的一页。然而尚不清楚凡•艾克兄弟只是想画一本书还是想将书上的真实文本一起画上。如果是后者,那么艺术历史学家想辨识那些文本。

该幅画的部分问题在于其表面上有深浅不一的棕色细裂缝，非常类似于画上的字母，许多裂缝倾斜方向类似字母的笔画。这些裂缝阻碍了潜在的文本的阅读,甚至连破译手稿的专家也难以理解。

2010年，艺术品保护工作者展开了根特祭坛画的恢复工作。该项目的部分工作，就是对该作品进行高精度的摄影。这是破译画板上潜在文本的机会。艺术史家马克米兰•马滕斯询问我和我的同事能否采用高分辨率扫描及数学方法解决问题。 

我们的工作有两个步骤：找到一种方法来自动检测众多的裂缝，然后再进行修补（或消除）。后者是采用他人开发的先进的处理方法。但裂缝检测变成了一个难题。最后,我们不得不依赖于画板的X射线成像,选出明显的裂缝, 结合几种滤波方法，测出合适的数据。

裂缝修复后,尽管产生的潜在文本看起来和以前一样难辨认。但是不依赖古文书学家，他们辨认出了12组单词,明确表示凡艾克画了一个真实的文本。令艺术史学家欣喜的是,他们识别出这些是来自于托马斯•阿奎那在圣母领报节写的神学文本并在14世纪初在弗兰德斯由文士复抄下的。

在这个项目中获得的经验对于修复Ghissi的祭坛画是至关重要的。在展览准备的过程中，荷兰艺术家和艺术品修复专家夏洛特•卡斯珀接受委托画一幅丢失的画板的替代品。他和北卡罗莱纳州艺术博物馆馆长大卫•斯蒂尔一起设计了Ghissi风格的构图；场景的构思来自于《金色传奇》（Golden Legend），一本记载中世纪圣徒生活的畅销书，以及前面的七块小画板。

当更换面板准备好时，它生动地展示了崭新的祭坛画有多么明亮和闪闪发光。但人们还清楚地发现，卡斯珀的画板很难和其他相邻的八块画板在同一个画框中展示。原画板的年代比较老，色彩也不那么鲜艳，新画板的“光彩”会喧宾夺主。虽然原话板才是真正的祭坛画而在某种程度上讲新的画板并不是。

于是，数学分析有了用武之地。在研究了老画板以及新的画板之后，我们做了一个高分辨率的数字版的新画板，模仿650年的老化色素使得金色看起来更加陈旧而色彩更加柔和。我们还增加了一个可信的裂缝模式。总之，我们在无形中老化画板。老化版本的印制使得我们完成了圣约翰祭坛画。

同样的技术分析也可以应用在相反的方向：原来是将微调后的数字图像处理从新过渡到老，而现在我们也想把现有画板进行高分辨率成像并且将陈旧老化的颜色匹配成为“粉饰一新”的版本，由此复原14世纪的成果。为此我们仍然需要检测和修复裂缝，但重要的是我们已经学会了如何处理根特祭坛画。

在根特祭坛画裂缝移除的过程中，X射线成像起到了至关重要的作用。所以我们要求NCMA的管理员提供圣约翰祭坛画的X射线照片。在这些X射线照片中最显著的特征是一个恼人的重叠网格结构。这个后来发现是由于在19世纪和20世纪初一个相当标准的保护措施。为了减少翘曲，管理员计划在修复老欧洲绘画时将木板厚度降至1厘米或更少。为了达到这个效果，他们随后在后面支撑了硬木网或硬木支架。这个硬木网包括沿着木纹方向的固定组件和穿过固定部分垂直于木纹的滑动组件构成。

然而支架不能一直支撑。在极端的情况下，实木板所反应的应力约束会产生大的裂缝。专家被要求仔细清除原有的支架，取而代之的是一个具有较小刚性的支撑结构，这使得面板能够自然翘曲。然而这是一个非常棘手并且耗资巨大的过程。

令修复人员烦恼的是，支架的网格结构会隐藏在绘画和试图从X射线成像收集到的保护修复细节中。我们想知道数学分析和图像处理能否有助于移除这些真实影像时,我们的初步方案受到了热情的帮助, 数个不同博物馆的工作人员尝试提供各种数据以实现我们的想法。特别有用的是同一幅画在有支架和没有支架的情况下的X射线成像，对我们验证计算结果是至关重要的。Rujie (Rachel) Yin，
杜克大学数学系的研究生，负责了该项工作。

这个项目是我们面临的最大挑战。其中一个复杂的问题是即使在一块木头里，木纹也会有很大的变化。这使得当其他细粒度和细长的纹理存在时，难以可靠地识别木纹纹理——很可能修复人员要在图画的X射线成像中更好地揭示笔触模式的不同。只消除支架木纹的目的使得任务变得更加具有挑战性，因为被观测到的木纹一般都不是孤立的。支撑区域包含画板和支架的纹理，而无支撑区域只包含画板的纹理。(不幸的是,辨别这个木纹图案没有太多用处,因为画板的纹理将是不同的,而且只有几厘米。)

我们求助于机器学习算法区分那些有可能属于画板和其他有可能来自于支架的特征。当支架和画板的纹理显著不同时，我们开发的算法取得了良好的效果。不幸的是对于根特祭坛画,相同的木材——佛兰德橡树——同时用于画板和支架,算法在解析纹理的时候遇到了一些麻烦。此外该算法速度非常缓慢。

幸运的是,目标用户是地球上最有耐心的人: 艺术品修复人员在用棉签和蒸馏水清理绘画时通常连眼睛都不眨一下, 所以对他们来说,一个算法运行几个小时是完全可以接受的。Yin的概念验证代码已经被转变成一个更强大的版本，附带一个能够被艺术品修复人员使用的端口。该开源软件可以免费下载。

新展览中，新老版本的祭坛画都在大屏幕上展示，除了短纪录片展示图像处理以外，还（非常印象派地）解释了数学进行“复原”和“老化”的过程。

现在我们致力于其他问题。例如, 19世纪极少数情况下会遇到的一种画板,两面都有绘画,但没有分开，使两面可以同时展示，画板的x射线图像比可见光照片显示了所有的更为突出的典型细节——但缺点是该图像是两面画混合的结果。能否利用两个单面画的可见光照片的信息，将混合x射线图像分解为两个单面画的x射线图像吗?这也是一个具有挑战性的问题,我们已有了初步结果,但仍然希望做得更好。另外还有很多其他问题也亟待解决。

到目前为止，我们的艺术史家和艺术文物修复工作提供了有趣的数学问题，已经让我们远远地超出了现成工具的简单应用。尽管我们还没有建立新的数学理论，但我认为这只是一个时间问题，我愿意打赌它会发生在未来10年之内。而且我敢打赌，10年前我们的艺术界的合作者都不会预测数学会在他们自己的工作中如此有价值。

他们发现了我们一直都知道的事情——数学无处不在。

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原文作者：德夫林，斯坦福大学数学教授，英国数学科普作家。

翻译作者：Y.W.，哆嗒数学网翻译组成员，就读于北京四中。

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格雷•安东尼克在纽约时报上好玩的专栏“数趣”刊登了伯克利数学家艾迪•弗兰克关于人类大脑在理解无穷上的难题的贡献。如果你还没有读这期报道，你应该去看看（http://wordplay.blogs.nytimes.com/2016/05/30/frenkel-cantor/?_r=0）。

无穷带来了不少反直觉的结果。举个经典的例子：希尔伯特的旅店。这里有无穷多个房间，每个房间都印上各自的自然数编号：房间1，房间2，房间3等等，直到所有自然数都被用到，有一个晚上，一位旅客来到宾馆前台，前台告诉他说宾馆的房间已经满了。“但是不要担心，先生，”前台服务生说，“我刚刚在大学上了一门数学课，所以我知道怎么帮你找个房间。给我一分钟，让我打几个电话。”过了一会儿，这位旅客得到了一个房间。服务生让每位客人搬到房间号为下一个整数的房间。所以房间1的客人搬到了房间2，房间2的客人搬到了房间3，以此类推。每个人都换了房间，谁也没有离开旅店，但是房间1为这位新客人腾空了。

我认为所有MAA Online（MAA为美国数学协会的缩写）的普通读者都熟悉这个著名的例子。但是我觉得大多数人都不能把这个例子上升到无穷的层面来理解。一会儿看到可数无穷（基数为א‎_0）和第一个不可数无穷（基数为א‎_1，小于等于实数的基数c）的时候，你们就会发现这比想象的还奇妙。

无穷带来的另一个让我目瞪口呆的结果和树有关。不是在森林里长的树，是在数学家使用的术语中提到的树。

一棵树就是一个偏序集 (T,<)。树中所有小于x的元素构成的集合{y∈T: y < x} 是良序的。也就是说这棵树有特定的生长方向（通常是图中的竖直向上方向），分支也都向上生长。通常来说，一棵树有一个独特的最小元素，这个元素被称为根。如果遇到了一棵没有根的树，你可以在不改变树的其他部分的结构的情况下手动加一个根。

由于每个树上的元素都位于它的前继构成的唯一良序集的顶端， 因此每个树上的元素在树中都有良好定义的高度： 即前继构成的集合的序数。对于每一个序数k，我们可以用T_k来表示树中所有高度为k的元素的集合。 T_k被称为T的第k层。T_0包含树的根，T_1是根的所有直接后继的集合，以此类推。

综上所述，树靠下的部分如图所示，（树中每一个“小黑点”就是一个节点）：

（其实可以有所不同，每一层的元素数量没有限制，或者说每一个元素的后继元素的数量没有限制）

König引理是集合理论的经典例子。König引理指出，若T是一棵有着无穷个节点的树， 且对每个自然数n，T_n是有限的， 则T有一个无穷的分支， 即有一个无穷的线性序子集。

这很好容易证明。你可以用递归来定义一个分支{x_n: n为自然数}。令x_0为树的根。尽管树是无穷的，但T_1是有限的。 T_1中至少有一个节点元素的上面有无穷个元素比这个节点大。令x_1为T_1中这样的一个元素。由于x_1 的上面也有无穷个元素大于x_1，而在T_2中只有有限个后继元素， 所以T_2中至少有一个x_1的后继元素的上面有无穷个元素比x_1大。令x_2为T_2中一个这样的元素。同理，可定义T_3中的x_3，使其上面有无穷个元素，以此类推。这个简单的过程可以清楚地定义一个无穷分支{x_n: n为自然数}。

以上是König引理成立的理由。然后人们试图通过类比来证明如下命题：若你有一颗不可数的树（即基数至少是א‎_1的树）T，且对于每一个可数序数k，T_k是可数的，则T有一个不可数的分支，即满足如下条件的一个线性序子集：对于每一个可数序数k，该线性序子集与T_k的交不空。

但就这样下来， 然而事实显示上述命题不成立。 我们可以构造这样一棵不可数的树：对于每一个可数序数k，T_k都是可数的，然而这棵树却没有不可数的分支。这样的树被称为Aronszajn树。 这样的树最初被一个俄罗斯数学家构造出来。

下面是构造Aronszajn树的具体方法。 树的元素是严格递增的（有限或可数超限）有界有理数序列。 树中的序为序列的扩展（比如序列(1,2,3,5)是序列(1,2,3)的扩展）。显然，这样的树不会有不可数的分支。 因为否则它的极限（更确切地说：集合论意义下的并集）将是一个不可数的严格递增的有理数序列，这与有理数构成可数集合的事实矛盾。

你可以通过对树的层来递归构造这样的树。 T_0由空节点构成。构造完T_k后， 你可以通过给T_k中的每个序列s加上任意一个可能的递增值来得到具有（k+1）的项严格递增的有理数序列，从而得到T_(k+1) 。也就是对于每一个T_k中的s和任一大于或等于s的上确界的有理数q附加到s，并将结果放入T_(k+1)。T_(k+1)就是可数个可数集合的并集，因此它自己也可数。

当范围仅限于自然数时，这样的常规递归就满足定义了，但当递归覆盖到可数序数时， 你需要处理极限序数，即那些不是任何更小序数的后继序数的序数。

为了实现这棵树关于极限层的定义，你需要构造一棵符合以下被称为Aronszajn性质的树：对每一对层T_k和T_m，其中k<m， 对T_k中的每个序列s及大于s的上确界的有理数q，存在T_m中的序列t，序列t扩展了s且序列t的上确界比q小。

由于我们把T_k中的每一个序列都扩展到所有可能扩展到的序列，所以刚才给出的从T_k出发得到T_(k+1)的定义满足上述特性。

现在假设m是一个极限序数，且我们已经对每一个k<m定义了T_k。对于满足k<m的T_k中的每个任意给定的元素s及每个大于s上确界的有理数q，根据整数的递归来定义一条通过树已构造部分的路(s_i : i为自然数)，且使它的极限（作为有理数序列）的上确界为q。

首先，你要选择严格递增的有理数序列(q_i : i为自然数)，且使q_0超过s的上确界，且极限为q。

你还要选择严格递增的比m小的序数序列(m_i : i为自然数)，且极限为m， 且使s在树中位于m_0层的下面。

现在你可以用Aronszajn性质来构造序列(s_i : i为自然数)使s_i位于m_i层，且s_i的上确界比q_i小。

为每一组s和q 构造这样的一条路(s_i : i为自然数)， 并令T_m（编者注：原文写的是T_k，应该是作者笔误）包含所有如此构造出来的有理数序列的极限。值得注意的是这样定义的T_m是可数的。

显然这样定义的构造满足Aronszajn性质，因此可以继续这样构造下去。

于是，我们完成了我们想要的构造。

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兔子：如果比赛可以再来，我能在你的龟壳上打瞌睡吗？
乌龟：如果可以的话，我能定义起点就是终点吗？

这是一个古老而又经典的故事，我们知道，兔子在速度上有绝对的优势，因为大意轻敌，才输掉了这场赛跑。换句话说，如果兔子认真与乌龟比赛，乌龟必输无疑，可伶的乌龟难道就只能把胜利的希望寄托于兔子的粗心大意上吗？在既定的赛道下，兔子凭借速度上的优势，率先跑完整个赛道，根据比赛规则，谁先跑完这段赛道所对应的有限路程谁就取胜，结合现实中的田径比赛，这一点很容易理解。可要是我们把比赛环境从有终点扩展到没有终点，那还会是兔子赢吗？换句话说，我们可以定义这样一种形式的龟兔赛跑：兔子和乌龟同在一个没有终点的无限空间里面比赛跑步。

要分出胜负的前提是要制定一个比赛规则，在有限空间里面，谁先到达给定终点谁就是胜利者，兔子比乌龟先到终点等价于在既定的路程下（直线赛跑），当兔子到达终点的时候，乌龟总在兔子已跑完的路程中，所对应的一段路程里，全程来看，乌龟经过的路程包含于兔子经过的路程（如下图所示）。

在有限的空间里面比赛，既定的赛道下，兔子和乌龟都会产生一个有限长度的路程集合 S，根据兔子和乌龟所产生路程集合之间的包含关系，来定输赢。同样，依据路程集合之间的包含关系，我们可以把比赛的胜负判定从有限空间推广到在无限空间，假设兔子的速度大于乌龟且都保持匀速，比赛一开始，兔子就会和乌龟拉开差距，可是在这个没有尽头的比赛里面，兔子漫无目标地奔跑着，全然不顾乌龟的情况，对于乌龟来说，也很迷惘，于是它顺着兔子的脚印走，兔子跑过的路程，他也走过，兔子走出个 A 形，乌龟也会走出个 A 形，兔子走出个 B 形，乌龟也会走出个 B 形。我们每隔相同的一段时间 t 记录一次乌龟的轨迹 s，那么比赛一开始，经过时间 t 后我们记录为 s1 ，那么在下一段时间中所产 生的路程我们记录为 s2 ，这样我们会得到序列： s1 , s2 , s3 ,... ，对于超于乌龟的兔 子来说，兔子也具有这样一段序列，时间的无限性决定了存在无限个 t 时间段，也就会产生无数个si ，这样下来，我们得出一个结果：在无限空间里面，如果兔 子漫无目的的跑，乌龟紧跟其后，这样一来，乌龟就会根据兔子所留下的脚印建立与兔子路程元素一一对应的映射关系，兔子和乌龟就会产生同一个由无数个路程元素所构成的无穷路程集合 S，从这个角度来说，乌龟和兔子打平了（如下图所示）。

第一回合下来，得知与乌龟平起平坐的兔子心中很不服气，他发誓要在下一回合中以更快的速度来超越乌龟，不明真相的兔子依然漫无目的、四处寻找胜利的目标，聪明的乌龟，终于想出了战胜兔子的方法。比赛一开始，乌龟并没有紧跟兔子其后，而是另辟蹊径的乱走一通，经过 t 时间段后再重新回到了兔子的轨迹上来，沿着兔子的轨迹行走下去，这样一来，乌龟除了产生与兔子一样的路程集合 S，还多出了他自己走出的路程，而就因为这段路程，不管兔子再怎么使蛮劲也无法弥补，从这个角度来讲，乌龟取得了第二回合的胜利（如下图所示）。

兔子思来想去之后，终于知道了自己失败的原因，归根结底，智慧才是决定成败的关键，和前两个回合一样，兔子一马当先，乌龟心中暗自高兴，依然沿袭第二回合的战术，可没过多久乌龟就发现兔子正在一棵树下睡大觉，乌龟以为兔子又开始犯同样的错误了，索性撇下兔子不管，自己再次另辟蹊径，当乌龟从兔子留下的最后一个脚印出发，以一条直线往点 A 走去时，兔子突然从侧面杀过来，在 A 点兔子和乌龟相遇，乌龟懵了，他往兔子来的方向一看，再看了看自己走过的路径，和兔子所构成的路径正好围成一个三角形，由于两边之和大于第三边，这样看来，从兔子脚印消失的那段算起，兔子经过了比乌龟多的路程，况且还比最开始自己另辟蹊径所产生的路程加起来还多，这就意味着：从比赛开始到 A点龟兔相遇，兔子走过了比乌龟多的路程。这时乌龟才意识到自己上了兔子的当，那乌龟还能反败为胜吗？是依旧自己走还是回到兔子的轨迹上，此时的乌龟必须为自己做出个选择，如果都不选，那么乌龟就只能和兔子在 A 点处站着直到天长地久，这样下去，兔子赢，可是不管乌龟怎么选择，其结果都一样，只要乌龟稍作移动，哪怕是很小的一段（不妨将一小段近似的看作为一条直线），那么兔子凭借速度上的优势，始终能走出与乌龟围成三角形的途径，这样一来我们把每一次的相遇做一次记录，就构成了两个不同的无限路程集合，兔子所产生的无限路径集合中的每一个路程元素都大于乌龟所产生的。从这个角度上来讲，兔子取得了胜利（如下图所示）。

在这个三局两胜制的比赛中，照目前形势来看，第三局的比赛显得尤为重要，经过前两局比赛的洗礼，兔子和乌龟心中都以明了，乌龟：我不能打第一枪，如果我一跑，那么兔子必然会凭借速度优势把我各个击破。兔子：我不能松懈，我要时刻盯着这个老奸巨猾的乌龟，一有机会我就要超越他。乌龟和兔子：我不能一直和他僵持下去，要赢得比赛我一定要放手一搏！比赛开始后，兔子还是采取对乌龟各个击破的战术，乌龟无可奈何，不这道该怎么办才好。乌龟再次陷入迷惘之中，可是希望往往出现在绝望的时候，乌龟发现前方出现了一个很窄的通道，在这个通道里面行走，兔子只能勉强的挤进去，然而乌龟却能行走自如，兔子在整段狭窄的路径里，并没有超越乌龟，只是和乌龟走了一模一样的路程，这让乌龟心中重新燃起了希望，聪明的乌龟终于又一次找到了战胜兔子的方法：如果我总能在这个无限空间里面找到一段路径：只能容我这个狭小的身躯进去，兔子挤不进去。那么我一旦进去，兔子就不能对我实现超越了，当然兔子不会坐以待毙，因为我会一直在这个通道里面不停地走动产生路程，当我在狭窄的通道里够弥补之前兔子超越我的那段路程的同时，沉不住气的兔子必定也会不停的跑动，在地上产生脚印，有了他的脚印，出来后，我就一定能产生和他一样多的路程，然而兔子也会争分队秒的对乌龟实施超越。（如下图所示）

变是永恒的，不变是暂时的，在这个无限的空间里比赛，不存在绝对的胜利者，有的只是自身优劣的转换。

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作者： 悠然，香港折友会成员。

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看过《最强大脑》吗？有一期节目中鲍霣代表中国队与国际战队的PK项目就是折纸。说到折纸，您一定不陌生，小时候都玩过，小纸船、小青蛙、小衣服……可是，但可是，现在的折纸真的不一样了！一纸成型的各种高难作品呈出不穷，在日本、俄罗斯等国家都有大型比赛、专业杂志、年会等，折纸已经进入如麻省等高级学府作为一门学科进行教学，还被广泛应用到如纺织、建筑、医疗、航空、警务防弹等方方面面。

本人是在一个偶然的机会接触到现代纸艺，被老外的作品震惊到，原来纸还可以折得这么美，而且还是一张纸，大大超出我的想象！因为得不到资料，又很想拥有那样的作品，于是便利用自己已有的一些数学知识进行破解，终于自己折成了，非常有成就感！

 
发现自己也能玩现代折纸后，首先就是折些自己喜欢的东东，如魔方、数独、九宫图、俄罗斯方块、国际象棋、迷宫等。
 
 

折纸过程中，想到了能不能把数学中用到的一些递归、衍生、自相似的规律应用到折纸中呢？于是，就有了下面的这些作品：

 
数学解题讲究“举一反三”，不仅为了加深理解、扩展思路，也为了寻求最优算法。折纸也可以作到“举一反三”，你信吗？举几个例子：杨辉三角、谢尔宾斯三角形、二叉树。
 
 

 
圆、弧、曲线、点、直线等都是数学研究的对象。那么，基于此观点，有两个符号便忍不住要用折纸折出来，一个是“一生二、二生三、三生万物”的太极符号，一个是左旋和右旋有不同意义的“卍”。
 

数学上，立体几何是三维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。它是平面几何的补充。但当实际需要三维图形时，我们常常是用二维图形来表现的。折纸也能作到！
 

 
数学博大精深、学无止境，本人只涉猎了一小部分，将一些数学概念用折纸作品表现出来，以普及和扩展数学的相关知识：下面的作品有勾股定理、莫比乌斯带、不可能三角形、二次曲面、斐波那契曲线及矩形、彭罗斯楼梯及“π”符号。

 
最后，给大家奉献两个有意思的视觉作品。
 

The world is magic, if you don't think so, then find it or make it so. So does math and origami. Bless you, my friends!

【注：文中所用插图皆为作者本人亲手折制拍摄，部分为原创作品。】
                                            

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原文作者：Anna Haensch，任教于杜肯大学数学与计算机科学系。

翻译作者：飞狂腾达，哆嗒数学网翻译组成员，就读于华东师范大学。

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上周，数学史学家Michael J. Barany 在《科学美国人》网站上发表博客题为“数学家在过渡吹捧‘数学是无处不在的’”（哆嗒数学网的翻译版见这里）。一上来我们可以讨论这篇文章的主要观点是否有价值，但首先我们可以忽略这一观点就像看待一个笔误一样。看上去Barany打算论证数学并不是无处不在，即使所有的媒体都怀着极大的热情在宣称和试图让你相信：“看看你的周围，数学隐藏在我们生活的方方面面”。

但这并不完全是Barany的主要观点，事实上它提到了超出标题的内容，并且步步递进才提到了Jordan Ellenberg，与此相反，似乎Barany正在努力塑造的是数学家并不是到处都有这一观点。他说在制定有关高等数学公众支持的政策决策时，应该考虑这一点。

Barany讨论了从巴比伦时代一直到二战后社会文化中数学的作用。他说，古人把数学当作“做生意的诀窍，而不是一个公众的课程”，并补充说：“几千年来，先进的数学仍然是优越阶层所关注的，无论是一个哲学的消遣还是用来维护特权的手段。” Barany解释说，从历史上看，数学是精英的领域，这是一个力量的源泉，是只适用于最高的阶层的。数学家们栖息于上层领域，他们作为国家元首的顾问，营造出一种神秘感和不可触及的高度。

Barany认为，这种“他者性”和精英地位意味着数学不是提供给所有人，今天的数学仍旧如此。笔者我相当同意。这是一件有意思的事情——即便我还找不到准确的人口统计调查来支持这一点——先进的数学主要被有经济优势的人占据。但是，这里Barany的论证就失去了力量：这不是对任何课程的高级研究都是同样情形吗？能从继续读研究生已经是一件非常奢侈的事情，无论是研究数学，科学，语言，艺术，想无所事事地花4-6年领着微薄的薪水来思考这些东西，那是怎么样的“厚脸皮”才能做到。

一些历史学家，尤其是博主Thony Christie，对Barany构建的数学和社会的关系图提出质疑。Christie认为Barany夸大精英主义和数学家的“他者性”，指出数学在十七世纪科学革命发挥了巨大作用。这证实了笔者的猜想，那就是在过去的几个世纪里，数学与其他科学的成长和发展并没有什么不同。

在推特上的对话，Barany捍卫了自己的观点来应对数学传奇学者Steven Strogatz 给人们提的两个核心问题，（1）为什么公众支持先进的数学，和（2）为什么公众学习基本层面的数学？人们试图用“数学无处不在”来回答，Barney认为，“数学无处不在”并不是一个合适的答案。但笔者我反对Barney。

我认为数学无处不在，正是对回答陈词滥调的问题“我什么时候会用到这个？”的一剂良药。数学无处不在，正如任何事物无处不在。科学无处不在，艺术无处不在，语言无处不在，在某些情况下，无处不在就使足以让人们相信他们会用到这些学科。它无处不在，因此知道它将帮助你理解一切。所以我认为“数学无处不在”是激发公众学习基础层面数学的好方法。我想我们都能认同，学习基础层面的数学是一件很好很重要的事情。

因为帮助孩子养成良好习惯的最好方法就是树立一个积极的榜样，我认为政策制定者应该选择支持高等数学，就像他们支持任何先进的科学研究一样。因为尽管它有时候看起来似乎没什么用，但伟大的发现都是从基础研究中迸发出来的。

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原文作者：Michael J. Barany，数学史学家，先后工作于普林斯顿大学、达特茅斯学院。此文原载于《科学美国人》博客。

翻译作者：飞狂腾达，哆嗒数学网翻译组成员，就读于华东师范大学。

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数学对于社会来说是至关重要的，也是少数人的职责——并且无论在什么历史时期，都一直是这样。

有人表示反对本文观点，敬请关注下一篇驳斥这篇文章观点的博文《别想多了，数学就是无处不在的》。

大多数人永远不会成为数学家，但是每一个人都和数学有着瓜葛。几乎从人类文明的开端，社会就赋予了数学家们既定的特殊权利。大众如何支持精英数学和为什么要支持精英数学的问题一直然存在，在过去的五个世纪（尤其是最近的两个世纪），什么样的数学应该让普通大众去了解是一个讨论较多的相关问题。

为什么数学对社会很重要？听数学家，政策制定者和教育家，答案似乎一致：因为数学无处不在，所以每个人都应该关注它。各种书籍和文章有很多的数学的例子，作者们列举数学的各种例子，声称数学隐藏在日常生活的方方面面，它解锁强大的真理和技术，也强烈联关联着个人和国家的前途命运。数学教授Jordan Ellenberg，畅销书《数学教你不犯错》的作者，他说：“放眼望去，数学就在你的身边，无处不在。”

的确，数字和测算在大部分人的日常生活中出现的最多，但这也极容易让我们产生误解，把数字和测算估计混为一谈，从而影响你生活的方式。当我们谈论公共政策的数学，尤其是公众对数学培训和研究进行投资时，我们不是在谈论简单的加减乘除和测量。在数学的历史长河中，利用它为社会作出巨大贡献已经成为少部分人的责任。社会重视和培养数学不是因为它无处不在，而是因为对于每个人来说数学都很难。我们要认识到数学在历史价值中的重要性，而不是煞有介事认为它隐藏在我们周围。这提供了一个让我们对数学如何融入社会的真实情况的了解，并且可以满足公众一个更负责、更包容的学科的需求。

在前农耕时代，数学是传达神谕的工具。祭司们用天文的计算来记录季节和解释神明意志，他们对数学的特殊需求给了他们在社会中的权力和地位。早期的经济体变得越来越大，越来越复杂，商人和工匠把越来越多的把基础数学融入到他们的工作中，但对他们来说，数学是做生意的诀窍，而不是一个公众的课程。几千年来，先进的数学仍然是优越阶层所关注的，无论是一个哲学的消遣还是用来维护特权的手段。

第一个比较普遍的想法是，任何超越简单实用数学的东西都应该有一个更广泛的历史，历史学家称之为早期现代时期，大约在五世纪以前，那时我们许多现代社会结构和制度开始形成。正如马丁•路德和其他早期的新教徒开始坚持圣经应该用他们自己的语言提供给大众，像威尔士的博学家罗伯特•雷科德一样的科学作家用印刷机这样相对较新的技术来为人类促进数学。雷科德在1543年的英语算术教科书一上来就有这样的一段言论：“没有人能独自做任何事，更不要说与另一个人讨论或者交易，但他仍然要和数字打交道”，当一些东西“数不清”的情况下我们会用数字（笑）。

这个时期更具影响力和代表性的却是与雷科德同时代的约翰•迪伊，他利用自己在数学界的声誉获得了一个权力很大的位置，他还建议伊丽莎白一世女王紧紧的把数学上的想法作为秘密，并且对于一部分数学知识进行保密。这使得他的反对者控告他有研究巫术和其他的一些秘密实验的行为。在第十七世纪的科学革命中，实验科学（至少在原则上）对任何观察者开放，一些新发起人怀疑数学参数是无法接近的，倾向于用错误的确定感来消灭不同的观点。相比之下，在十八世纪的启蒙运动中，法国科学院的学者，这些以往的特权人士，将他们掌握的难学的数学融入了公共生活中，并权衡了哲学辩论和公民事务，同时照顾了女性，少数民族和下层社会阶层。

全世界的社会模式都在十九世纪被政治和经济革命的浪潮所改变，但是法国的特权数学模式却在为国家服务这一宗旨上没有变化，不同之处在于谁成为数学精英的一部分。出生在上层家庭的孩子仍然得到政府的帮助，但在法国大革命后历届政府也采取了更多的措施来注重中小学教育，而考试的优异表现可以帮助一些学生提升社会地位，即使他们出身低微。政治和军事领导人在一些著名的学院接受统一的高等数学教育，准备应对现代国家的专门问题，并且融合法国的模式，包括大众化教育与特殊的数学训练结合的方法被欧洲，甚至大西洋彼岸的人效仿。尽管基础数学通过大众教育使越来越多的人了解，但数学仍然是一些特殊的东西，使精英能够被区分出来。尽管更多的人可能成为精英，但数学绝对不是每个人的。

进入二十世纪，通过精英训练来引导学生的系统在西方世界中越来越受到重视，但数学本身却不再是训练的中心了。这在一定程度上反映了政府考虑事项的优先级的变化，但部分原因是高等数学的麻烦给政府留下的问题。一旦启蒙数学家从哲学的角度讨论计算实用技术问题，后现代数学家便有借口开始转向研究可怕的抽象理论而不用它们直接解决世俗事务。

下一个转折点，它在今天许多方面继续定义数学和社会之间的关系，是第二次世界大战。在这种规模的战争中，主要的参战国遇到了在后勤，武器设计和使用，以及其他领域的新问题，而数学家被证明是有能力解决这些问题。这并不是说最先进的数学突然变得更实用，而是说各国政府发现这些高等数学培训会有新用途， 数学家们也找到新的理由说服国家政府重新支持他们。战后，数学家们得到了美国政府为首的大量政府的大力支持，前提是无论他们平时的研究是否有用，他们现在都证明了在下一场战争中需要受过高度训练的数学家。

一些战时的活动仍然占据着数学工作者的时间，无论是国内还是国外的，从安全科学家，到代码断路器的技术公司和美国国家安全局的运筹学研究人员都在寻找最优化的生产方法和供应链来影响全球经济。战后的电子计算为数学家们提供了另一个必要的领域。在所有这些领域中，精英们的显著数学进步促使数学家们继续接受今天的公共投资。如果每个人都对数字有信心，可以编写计算机程序，并评估统计证据，这是非常好的，并且这些都是中小学教育的重要目标。但我们不应成为混淆这些主要目标和公共支持数学理论的理由，数学一直都是在顶尖人才掌握的学科而不是每一个人的。

想象数学无处不在，这使得它太容易忽略了真正的政治，谁成为数学精英的一部分，谁就可以真正指望拥有先进的技术，过硬的安全和良好的经济，以及打赢最近的战争和下一场战争。相反，如果我们看到这种数学在历史上是由少数人建立的，我们被要求去问谁能成为少数人的一部分，他们用生俱来的专长来守护什么样的责任？我们必须认识到，今天的精英数学虽然比过去的一个、五个或是五十个世纪以前更为包容，但仍然是一个在那些具有性别、种族和阶级的人身上享有特殊权力的学科。如果数学真的无处不在，那么它就已经属于每个人了。但说到学习和支持数学，还有很多工作要做。数学并非是无处不在的。

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在我读高中的第一年时，教我几何的老师有一天走进教室向我们发出挑战：用直尺和圆规把一个角三等分。谁成功了谁就可以在这门课上得A。我们将不需要做任何的家庭作业，或者参加任何的测试。什么都不用做了。当然，似乎想解决这个问题的想法太美好以至于不可能是真的。但当时在读9年级的我并不知道这是一个不可能解决的问题。于是我开始着手解决这个看起来简单的问题。

我想到了大约十几个错误的证明，这些证明中包括像这样的推理：好了，当你适当移动圆规一点点你就可以画这条线，于是就解决了！当然，这个推理是错误的，这是一种没有经过证明的方法。这是一个刚了解什么的证明的新手最容易犯的错误。

但是我的老师没有只告诉我我错了，或是坚定地认为我是注定要失败的；相反，他让我分享了每一个失败的证明背后的想法，让我发现了在我论据中的不严谨之处。他坐在我旁边时，我们广泛地谈论了什么能构成一个证明以及什么不能。他知道我会犯错。他知道这是一个不可能的任务。但是他依然认真地听我讲述。

我的老师在倾听我的想法时的开放态度，鼓舞着我继续努力，并不断尝试新的方法。随着我学的数学知识越来越多，我重新回到了这个问题上面。我尝试过三角学，尝试过微积分，尝试过作一条我称作“1”的单位长度的距离。看完电影《心灵捕手》后，我认为如果我做出所有图解的镜像，可能会对解决问题有帮助。我的每一种想法都是错的。但是沿着这条路，我学会了逻辑量词，我学会了证明，我学会了鉴别我证明中的错误。最后，当我在研究生代数课上看见这个证明是不可能被实现时，泪水缓缓流过的脸盘，却浇灌出了我心中快乐之花。

这个故事可以引发很多不同的讨论。Ben Braun为这篇博客写了一篇很漂亮的文章 （http://blogs.ams.org/matheducation/2015/05/01/famous-unsolved-math-problems-as-homework/）， 讨论了关于学生致力于困难且不可能解决的问题的价值所在。我很看好这篇文章。我想去探究非正式数学讨论的价值，特别是当这些数学思想是不成熟甚至可能是错误的时候；这些价值在于激励我们的学生和别人分享他们的思想；这些价值在于参与到和我们学生的讨论当中。

我们为什么需要花时间讨论数学?

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正因为认识到对学生讲授数学并不是最有效的教育方式， 主动学习、探究学习、项目为导向的小组学习以及其他学习方法变得流行起来。在学习数学中鼓励交流是所有这些方法中产生的额外结果；而首先我想说，我十分赞成谈论数学，因为这样做对鼓励课堂内和课堂外开放的数学交流有着额外的教育上和文化上的益处。

1， 通过在一起讨论数学，我们的学生提升了他们的表达能力以及对数学思想的直觉。在一次授课中，我绕着教室走了一圈，倾听学生们的想法，我有时会听到学生们的对话可以最好的描述为“电话”游戏（传话游戏）的对立面。一个学生试着对我描述一个问题，尽管语无伦次，但他的队友们了解到他的想法，有时会插嘴，给出一个条理较清楚的表达。由于其他的人给出的更清晰的表达，最后他们给出了一个相当不错的问题陈述。在这个陈述基础上，我们可以引入更多正式的数学语言和定义。如果在第一次语无伦次的表述后，我直接把标准的枯燥冗长的陈述告诉他们了，我可能就剥夺了学生学习发展他们自己的思想的机会。同样，如果我假装我在自己做研究时，或与合作者会面时没有遵循类似的“逆向电话游戏”现象, 那一定是欺骗我自己。

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2， 数学交流可以激发出多元的想法，多元的视角以及多元的解答。恰当地来讲，大多数的我们，或者教育者们，都希望我们的学生能欣赏用不同解法解同一问题的过程。传统的教育可能让我们仅仅能展示一种解法，没法让学生尝试用不同的方式去思考，更糟糕的是，即使他们的解法是正确的他们也可能会认为他们不同的解法是错误的。通过给我们学生一些时间让他们团队学习，团队交流，我们也就给了他们时间让他们从队友之间的交流中学习解决同一问题的不同途径。相比于在全班同学面前，学生也许更愿意在小组讨论或私人聊天中问这样的问题“我们解决这个问题用了这样或那样的方法，这些方法都是正确的吗？”

3， 通过与学生讨论他们的想法，在他们的学习过程中，我们可以提供针对性的关注。当我们在与学生交流时，我们可以快速评估出不同学生之间的差异，比如有的学生除了最难的问题几乎可以完成所有的家庭作业，而有的学生依然在努力奋斗第一个问题，与前者谈论第一个问题以及和后者讨论最难的问题都属于浪费时间。因材施教，从学生们已经理解到了什么，我们可以决定他们最需要学什么。

最重要的是，我们帮助学生们学习知识的方式是赞赏他们当场提出来的问题和展现出的数学思想；而不是在讲解问题中穿插一些所谓的知识点，并希望学生们多多少少能从其中受益。

数学交流是数学课堂的延伸

William Thurston为美国数学会公告写了一篇名为《论数学中的证明和改进》的文章（Thurston 1994)，其中写道：

数学家们养成了一个无效的交流习惯......我们按照自已对学生“应当”知道什么的理解，用机械的语言讲述着数学；而学生却在挣扎着实现更简单的目标：理解我们的语言，揣测我们的思维模式。

在一个例子中他进一步解释了这个想法。如果Alice和Bob是给定领域的研究人员。Alice有可能可以用一杯咖啡的时间大致给Bob讲述一项最近研究发展中背后的思想。但是相比之下，Bob可能需要从一小时长的学术报告会中势力搜寻相似的见解，或者中花几个小时阅读Alice的论文。Thurston继续说道：

为什么非正式的交谈相比与听报告和读论文更加高效？在一对一的交谈中，在正式的数学语言之外有更多的交流途径。他们运用手势，画图表，通过语音语调或者肢体语言，让交流变得更像一个双向式的交流。这样人们才能重点关注他们最需要注意的地方。

对比起来，学术报告和写论文有赖于更深入的数学形式描述，它们阻止听众以主观和直觉和方式与其中的数学进行互动。

作为专业的数学家，我们都有这方面的经历。我们坐着听完整个学术报告，除了前五分钟外我们并没有听懂任何东西。我们已经读过论文中的一个句子20遍了，但仍不能理解其中的含义。但我们也在喝咖啡时中我们求教同事、合作者或朋友，并从他们的回答中找到灵感。所以，如果这就是当作为专家的我们试图学习新的东西时的情形，这和我们的学生试图学习数学有什么区别？

我们怎样才能促进数学上的交流

在理论上，这个讨论可能会引起很多人的共鸣，但是因为许多理由，贯彻这些思想或许比较困难。这儿有一些可以在任何地方落实的具体的建议:

 1, 让我们在每节课用5分钟让你的学生解决一道例题，这道例题可以简单到“(3x+1)²的导数是什么？”然后让学生与他们的同桌对比答案，如果正确，相互鼓励对方。如果你有更多的时间，用更多的时间给学生更多的问题。一个由学生完成的例子比一个写在黑板上的例子更有价值。

2,  鼓励学生参加你的答疑，你助教的答疑以及校园数学帮助中心。提醒他们每天利用好这些资源。做一个能接受新思想的可亲近的教授。你的学生也是人，他们大多数都对“耍酷”感兴趣。如果你从个人的角度去接近他们，他们更愿意问你数学问题。

3, 和你的学生分享你数学奋斗史。其中一个原因是我们大多数能当上数学家是因为我们乐意去解决那些一眼看上去不可能解决的问题。但是在我们学生的眼里，我们似乎是无所不知的解题指南，可以解决所有数学问题。我们需要努力消除这个界限。

4, 号召学生投入到你解决问题的过程中去。要求他们明确有力地表达，为什么他们要这么做，以及提升他们的灵活变通应对错误思想的能力。Rachel Levy关于此提出了一些有意义的建议（http://maateachingtidbits.blogspot.com/2016/09/5-ways-to-respond-when-students-offer.html）。

Pelzer老师，希望你能看到这篇文章，感谢你与我分享思想。我三等分角失败了，但这个过程却点亮了我生命中对数学的求知欲。

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