一道美国大联盟杯决赛试题赏析

 

作者: 熊π,就读于北师大附属实验中学高二

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com,详情参见征稿说明(截止日期延期至4月28日)。

 

 

微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

 

SPCS全称为Stanford Pre-Collegiate Studies,又名“斯坦福大学天才少年培养计划”。美国“数学大联盟杯赛” 与SPCS通力合作,专门针对具有杰出才华的中学生,精心设计适合他们成长的课程和题目,在中学阶段就积极介入对他们的培养,旨在为他们今后的成长打下坚实的基础。

2016年8月,一年一度的美国数学大联盟杯决赛(9-12年级)在斯坦福大学如期举行。从去年11月开始,经过初赛、复赛层层选拔,来自八个国家98名翩翩少年成为了幸运的参赛者。作为中国赛区的幸运儿之一,笔者在决赛中基本发挥水平,以第17名的成绩斩获一枚优秀奖(Certificate of Merit)。

决赛共10道题,本人做出了其中6道。有一道三角函数题最为可惜,有思路有方法应该会做可是临场没做出来,从考场一出来就做出来了。
超出了高一学生知识结构的有两道一元四次方程,笔者回国后查阅高等代数资料得到解决。最有意思的是一道涉及“二项展开式”的填空题,题目短小易懂,系数锋芒毕露。笔者临场简直像小狗啃榴莲——无从下口。

【题目】如果 ,那么 的值是多少?


【疑问一】等式右边会出现一次项二次项吗?


因为 ,所以常数项容易求,在等式两边令x=0,则有a_0 = 2^2016。但是右边会出现一次项二次项吗?笔者感觉x的最小指数应该是2015,貌似a_1, a_2, ……, a_2014应该为0。

岂止笔者有这样粗浅的认识!因为组委会始终没有提供参考答案,回国后笔者曾就此题向今年刚刚升入北大元培学院的高三学长请教,他参加过中国数学联赛,他的第一感觉跟笔者的竟然完全相同!

 


【疑问二】利用二项式定理能解决问题吗? 
  


  
这三种情况下对应的系数之和即为 ,所以

 

 


    对于电脑来说,写几行程序这点运算不算什么。但是考场上连普通计算器也不准携带,笔者水平有限,至此陷入了僵局……


【疑问三】怎么会出现-1/2,这么奇怪的系数?


 ,三个一组三个一组,每组中连续出现两个-1/2 ,太奇怪了。由【疑问一】、【疑问二】可知,用常规的实数0,1赋值不可能有这种效果出现。想想我们所见过的成千上万不计其数的数,实数也好虚数也罢,哪一个数的整数次幂会以3为周期,并且同时含有系数 ?


虚数单位i的整数次幂周期为4,显然不满足。


等等……别着急!试试1的三次虚根如何?对对对,肯定是它, ω!


笔者感觉肯定是它,久违啦,ω!


【解】 


 


 
   
这正是:初看小狗啃榴莲,系数锋芒毕露;再看二项展开式,运算言不堪苦。
众里寻他千百度,暮然回首虚数;九九归一成正果,醍醐灌顶开悟!

 

微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

标签: none

评论已关闭