本文源自马里兰大学计算机数学与自然科学学院。

翻译作者，凝聚态小土豆，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：Math001

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马里兰大学的数学家们为先前不确定的物理定律提供了数学解释，并揭示了定律的适用范围

工程师们可不可以直接用数学方程设计出更好的喷气式飞机，从而大大减少对实验测试的需求量?天气预测模型可不可以精确预测海洋热量转化为飓风的细节过程？从目前来看这些构想暂时难以实现，但随着我们对湍流机理的越来越完备的数学解释，这些构想将在未来成为可能。

马里兰大学的数学家Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith以及Alex Blumenthal首次提出了严格的数学证明来解释湍流的基本定律——Batchelor定律。该定律的数学证明过程将于2019年12月12日在英国工业与应用数学学会(Society for Industrial and Applied Mathematics)的一次会议上公布。

虽然所有的物理定律都可以用数学方程来描述，但许多定律并没有详细的数学证明来解释定律背后的基础原理。而湍流无疑是非常难以得到严格数学解释的物理领域。从海浪、翻滚的云层和高速行驶的车辆后面的尾流可以看出，湍流是流体(包括空气和水)的无序运动，包括压力与速度的看似随机的变动。

湍流是描述流体流动的N-S方程如此难以求解的原因，曾经有人悬赏百万美元奖励能用数学方法充分解释湍流的人。要理解流体流动，科学家必须首先理解湍流。

UMD的数学教授、该证明的合著者之一Jacob Bedrossian说:“如果一个给定的物理定律是正确的，那么观测对应的物理系统并从数学上理解它应该是可能的。”“我们相信，我们的证据为理解为什么Batchelor定律，也就是关于湍流的一个关键定律，在某种程度上是正确的提供了基础，而迄今为止的理论物理工作还没有做到这一点。”这项工作可以帮助解释在湍流实验中观测到的一些变化，并预测可以适用和不适用Batchelor定律的情况。

自1959年引入Batchelor定律以来，物理学家们一直在争论这条定律的有效性和适用范围。Batchelor定律有助于解释化学浓度和温度变化如何在流体中分布。例如，把奶油搅拌到咖啡中会产生一个大漩涡，上面会有小漩涡分支，甚至更小的漩涡也会分支。随着奶油与咖啡的逐渐混合，漩涡越来越小，每一层的细节也在变化。Batchelor定律预测了不同尺度下漩涡的动力学细节。

该定律在以下几个方面得到验证:化学物质在溶液中的混合过程，流入海洋的河水与盐水的混合过程，流入北方的湾流温水与较冷的水的混合过程。学者们围绕这一重要定律的解释，已经发表了多篇重要工作，包括著名的大学教授Thomas Antonsen与Edward Ott在UMD的工作。然而，对于Batchelor定律的完整数学证明仍然是难以摸透的。

未涉入这项研究的明尼苏达大学数学教授Vladimir Sverak说，在Bedrossian教授和他的合著者的研究之前，Batchelor定律只是一个猜想。相关实验数据的支持，可以帮助人们推测定律的成立条件。而该定律的数学证明可以看作是在理想条件下的一致性检验，并且可以让我们更好地了解流体中到底发生了什么，从而启发未来研究的发展方向。

“我们不确定这是否可行，”Bedrossian说，他同时还在UMD的科学计算和数学建模中心工作。“普适的湍流定律被认为过于复杂，无法用数学方法来解释。但是我们能够通过结合多个领域的专业知识来解决这个问题。”

作为偏微分方程方面的专家，Bedrossian聘请了两名UMD的博士后研究员来帮助他解决这个问题。Samuel Punshon-Smith (17岁，博士，主攻方向为应用数学统计与科学计算)，现在是布朗大学的Prager助理教授，是概率统计方面的专家。Alex Blumenthal是动力学系统和遍历理论（数学的一个分支，包括众所周知的混沌理论）的专家。研究者专长的四个不同的数学领域在其他方面很少相互影响到这个程度，但在这个问题上是必需的。

Sverak说：“解决这一问题的方法确实富有创造性和创新性，甚至可能比证明本身更重要。Bedrossian教授和他的合著者的论文中的观点很可能在未来的研究起到很大的作用。”

该团队在这个问题上的研究达到了新的水平，为提出数学证明来解释其他未经证实的湍流定律奠定了重要基础。

Bedrossian:“如果这个证明就是我们能达到的全部成就，也可以确定我们实现了一部分研究目标。”但我希望这仅仅是一个开端，从此以后我们可以明确地宣称‘是，我们可以证明湍流的普遍性定律，并且它们并不超出数学的范畴’。现在我们对如何用数学来研究这些问题有了更清晰的理解，我们正在努力构建研究这些定律所需的数学工具。

了解更多湍流定律背后的物理原理，最终可能有助于工程师和物理学家设计更好的交通工具、风力涡轮机和类似的技术，或做出更好的天气和气候预测。

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本文源自ScienceAlert网站。

翻译作者，radium，哆嗒数学网翻译组成员。

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对于混沌，我们依然混沌。

在一项新的研究中，科学家们发现，由于一种“无法控制的”缺陷，无法真实还原混沌动力系统的数学复杂性。

“我们的工作表明，混沌动力系统的行为比任何数字计算机所能计算到的东西更为丰富，”来自英国伦敦大学学院的计算科学家彼得·考文尼说。

“混沌无处不在，远远超过人们所认识的。甚至对于非常简单的混沌系统，计算机使用的数字也可能导致不明显但影响巨大的错误。”

几个世纪以来，理论家们一直在思考，非常小的影响如何会像滚雪球一样，在下游形成非常大的影响。

在混沌理论中，这一著名的现象被称为“蝴蝶效应”:打个比方，一只蝴蝶在一个地方的轻微地扇动一下翅膀，会导致在另一个地方产生龙卷风。

这是一个充满诗意的描述，尽管它看起来异想天开，但数学模型表明，这个概念是可精确严谨表达的。

蝴蝶效应主要归功于美国数学家和气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨(Edward Norton Lorenz)。在20世纪60年代，洛伦茨在反复进行天气模拟时，做了一次创造历史的简化运算:他在第二个实验中使用了略微简化后的数字(例如输入的是0.506，而不是0.506127)。

洛伦茨后来回忆说:“我去大厅喝了杯咖啡，大约一小时后回来。在这段时间里，电脑模拟了大约两个月的天气。”

“计算出来的数字和以前的完全不一样。”

洛伦兹戏剧性的四舍五入的结果表明，初始条件的微小变化如何在复杂、混沌的系统中随着时间的推移产生巨大的变化，在这种系统中，许多变量相互影响。

天气预报就是一个例子，但从相位轨迹建模到湍流和分子动力学，滚雪球误差这样的现象已经在各个领域得到了证明。

问题是，尽管蝴蝶效应已经为人所知几十年了，它仍然是计算机计算方式中不可忽略的因素。

考文尼和他的团队在他们的新论文中解释道:“对初始条件极度敏感是混沌动力系统的一个典型特征。”

“自从第一次将数字计算用于计算科学以来，我们已经知道，由于实数的离散近似而导致的精度损失会在短时间内极大地改变混沌系统的动力学。”

这种精度上的损失在简单的计算中并不重要。你的智能手机上的计算器应用程序可能完全足以满足你在日常生活中所需要的一切。

但是在有多种变量和初始条件的大型计算中，一开始的微小四舍五入误差可能会导致在给定模拟的最后出现巨大的计算错误。

研究人员说，问题的核心是所谓的浮点算术:计算机使用的二进制代码处理实数的标准化方法是通过使用近似转换来表示数字的。

在大型而复杂的系统中，这些近似可能会引入严重的错误，浮点数在实数之间分布的方式加剧了这个问题，即使是在最新的、更复杂的64位格式(称为双精度浮点)中也是如此。

塔夫茨大学的数学家Bruce Boghosian说:“长期以来，人们一直认为四舍五入是没有问题的，特别是使用64位而不是32位的二进制数所表示的双精度浮点数。”

“但是在我们的研究中，我们已经证明了一个问题，这个问题是由浮点数所代表的分数，不均匀分布造成的，而且仅仅通过增加比特的数量是不可能消除这个问题的。”

在这项研究中，研究小组将最平常的简单混沌系统伯努利映射(Bernoulli Map)与同一系统的数字计算进行了比较，发现了混沌动力系统模拟中他们所说的“系统误差”或者“新发现的无法控制的缺陷”。

的确，当洛伦兹发现他的蝴蝶效应时，使用的运算方式本身并不涉及近似，而研究人员使用“似乎”等效的方法，是让计算机进行数学计算。

“对洛伦茨来说，舍掉最后几位数字是一个非常小的变化。但用它来启动的一个模拟，导致了截然不同的结果，”考文尼在科学博物馆博客中写道。

“他和其他人都没有意识到，而且我们的新研究也强调了这一点，即任何这种有限的(有理数)初始条件都描述了一种行为，这种行为可能在统计学意义上极不具有代表性。”

虽然研究人员承认，伯努利映射是一个简单的混沌系统，不一定代表更复杂的动力学模型，但他们也说到，计算机使用的“浮点蝴蝶”其本质意味着任何科学家都不应该忘记在这种因素。

作者写道:“我们认为，即使相关工作者的模型比这个更复杂，这种疑虑也完全无法消除。”

“我们认为，如果一个如此简单的系统都会出现如此惊人的无法控制的缺陷，那么一个更复杂的系统可能会表现出更加无法控制的缺陷。”

并不是每时每刻你都会发现计算机建模可能存在根本的缺陷。研究小组表示，在我们找到解决这个问题的方法之前，世界各地的研究人员都需要密切关注他们的电脑吐出的数字。

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本文原文源自EurekAlert网站

翻译作者，阿枪，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：Math001

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以色列理工学院的蒋子麟和莫斯科物理技术学院的Alexandr Polyanskii证实了匈牙利数学家LászlóFejes Tóth球带猜想(zone conjecture)。该猜想是在1973年提出的，它描述了：如果一个单位球面被几个长条完全覆盖，则它们的宽度总和至少是π。其证明发表在《Geometric and Functional Analysis》杂志上，该证明对离散几何以及其新问题得以形成非常重要。

（姜子麟，2007年进入北京大学数学科学学院学习，2011年获理学学士。毕业后赴卡内基梅隆大学攻读博士学位。现为色列理工学院数博士后）

（Tarski证明了半径为1的圆不能完全被宽度小于2（圆的直径）的长条所覆盖。图像中的每一长条都有自己的长度和颜色。）

离散几何研究点、线、圆、多边形和其他几何体的组合性质。例如，它处理的问题有：在一个球的周围最多能放多少个体积相同的球？或者，如何以最密集的方式放置最多的圆在某一平面，或相同大小的球在某一空间？

这些问题的解决方案有着实际的应用。因此，最密堆积问题有助于优化编码和修正数据传输中的错误。另一个例子是四色定理，它的内容是：四种颜色足以绘制任何一个球面地图，使得没有任何两个相邻的区域具有相同的颜色。它促使数学家引入众多对于化学、生物学、计算机科学以及物流系统的最新发展至关重要的图论概念。

László Fejes Tóth球带猜想与离散几何学中的许多其他问题密切相关，这些问题涉及用长条覆盖表面，在20世纪得到解决。第一个就是所谓的“木板问题”，涉及到用平行线组成的长条来覆盖圆盘。Tarski和Moese提供了一个简单而优雅的证明，用来覆盖圆面的长条（或木板）的宽度和不超过圆盘的直径。这就是说，没有比用宽度与该圆盘直径相等的木板来覆盖它更好的方法了。Thøger Bang随后解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说，他证明了覆盖单个凸体的长条的宽度之和，即能覆盖凸体的单个长条的最小宽度，至
少是物体本身的宽度。

(球体上的宽度为ω的部分用黄色区域表示)

作者所处理的问题是不同的，因为它涉及到用特殊构造的区域覆盖一个单位球面。具体来说，每个区域都是球体与某个三维平面的交，其中平面是包含在两个平行平面之间的空间区域，这两个平行平面相对于球心是中心对称的。或者，可以在测地线的度量空间中定义区域，而不必求助于木板：单位球面上的宽度ω区域是距离大圆或赤道不超过ω/2的一组点，各点之间的距离被测量为连接它们的最短弧。数学家们必须找到覆盖单位球面的这些长条的最小宽度和。因此，这个问题不同于以前解决的测量宽度的方法：它被定义为弧的长度，而不是平行线或平面之间的欧几里德距离。

姜子麟和Polyanskii提出的证明是由Bang启发而来的，他通过在物体内构造一个特殊的有限点集来解决用长条覆盖物体的问题，其中应当有一个点不被任何一个长条所覆盖。在某种程度上，Bang和作者都提出了矛盾的证明。在球带的猜想中，数学家们假设，完全覆盖单位球面的长条的宽度和小于π，并试图找到一个矛盾--即找到一个位于球体上的点，但不在任何一个长条里。

作者们证明了，在三维空间中，可以找到这样一个点集，其至少有一个点不被覆盖球体的长条所覆盖，从而也不会被该区域覆盖。如果该点集全位于球体内，那么就很容易在球面上绘制另一个也不被长条所覆盖的点。如果集合中的任何一点恰好位于球体之外，那么就有可能用一个与所有较小长条宽度和等宽的较大长条代替这几个较小的长条。因此，可以在不影响其宽度和的情况下减少初始问题中的长条数。最终，球体上的一个点被确定为不被长条覆盖的点。这与长条的宽度和小于π的假设背道而驰，也就证明了球带的猜想。 

（完全覆盖球体的长条。这五个区域，每一个都有自己的宽度和颜色。）

这个问题在n维空间中得到了解决，作者说，这与三维空间中的情形没有什么不同。

“Fejes Tóth问题已经吸引了离散几何学领域的数学家们在40多年的注意力。”莫斯科物理技术学院离散数学系的作者Alexandr Polyanskii说到，“我们很幸运的找到了这个问题的一种简洁的解，Fejes Tóth问题促使我们去考虑另一个更为基本的猜想：球体被定义在球体与三维平面的交集上的移动长条所覆盖，该长条不一定中心对称。”

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