因为不理解混沌,计算机预测模型可能铸成大错

 

本文源自ScienceAlert网站

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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对于混沌,我们依然混沌。

 

在一项新的研究中,科学家们发现,由于一种“无法控制的”缺陷,无法真实还原混沌动力系统的数学复杂性。

 

“我们的工作表明,混沌动力系统的行为比任何数字计算机所能计算到的东西更为丰富,”来自英国伦敦大学学院的计算科学家彼得·考文尼说。

 

“混沌无处不在,远远超过人们所认识的。甚至对于非常简单的混沌系统,计算机使用的数字也可能导致不明显但影响巨大的错误。”

 

几个世纪以来,理论家们一直在思考,非常小的影响如何会像滚雪球一样,在下游形成非常大的影响。

 

在混沌理论中,这一著名的现象被称为“蝴蝶效应”:打个比方,一只蝴蝶在一个地方的轻微地扇动一下翅膀,会导致在另一个地方产生龙卷风。

 

 

这是一个充满诗意的描述,尽管它看起来异想天开,但数学模型表明,这个概念是可精确严谨表达的。

 

蝴蝶效应主要归功于美国数学家和气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨(Edward Norton Lorenz)。在20世纪60年代,洛伦茨在反复进行天气模拟时,做了一次创造历史的简化运算:他在第二个实验中使用了略微简化后的数字(例如输入的是0.506,而不是0.506127)。

 

洛伦茨后来回忆说:“我去大厅喝了杯咖啡,大约一小时后回来。在这段时间里,电脑模拟了大约两个月的天气。”


“计算出来的数字和以前的完全不一样。”

 

洛伦兹戏剧性的四舍五入的结果表明,初始条件的微小变化如何在复杂、混沌的系统中随着时间的推移产生巨大的变化,在这种系统中,许多变量相互影响。

 

天气预报就是一个例子,但从相位轨迹建模到湍流和分子动力学,滚雪球误差这样的现象已经在各个领域得到了证明。


问题是,尽管蝴蝶效应已经为人所知几十年了,它仍然是计算机计算方式中不可忽略的因素。

 

考文尼和他的团队在他们的新论文中解释道:“对初始条件极度敏感是混沌动力系统的一个典型特征。”

 

“自从第一次将数字计算用于计算科学以来,我们已经知道,由于实数的离散近似而导致的精度损失会在短时间内极大地改变混沌系统的动力学。”

 

这种精度上的损失在简单的计算中并不重要。你的智能手机上的计算器应用程序可能完全足以满足你在日常生活中所需要的一切。

 

但是在有多种变量和初始条件的大型计算中,一开始的微小四舍五入误差可能会导致在给定模拟的最后出现巨大的计算错误。

 

研究人员说,问题的核心是所谓的浮点算术:计算机使用的二进制代码处理实数的标准化方法是通过使用近似转换来表示数字的。

 

在大型而复杂的系统中,这些近似可能会引入严重的错误,浮点数在实数之间分布的方式加剧了这个问题,即使是在最新的、更复杂的64位格式(称为双精度浮点)中也是如此。

 

塔夫茨大学的数学家Bruce Boghosian说:“长期以来,人们一直认为四舍五入是没有问题的,特别是使用64位而不是32位的二进制数所表示的双精度浮点数。”

 

“但是在我们的研究中,我们已经证明了一个问题,这个问题是由浮点数所代表的分数,不均匀分布造成的,而且仅仅通过增加比特的数量是不可能消除这个问题的。”

 

在这项研究中,研究小组将最平常的简单混沌系统伯努利映射(Bernoulli Map)与同一系统的数字计算进行了比较,发现了混沌动力系统模拟中他们所说的“系统误差”或者“新发现的无法控制的缺陷”。

 

的确,当洛伦兹发现他的蝴蝶效应时,使用的运算方式本身并不涉及近似,而研究人员使用“似乎”等效的方法,是让计算机进行数学计算。

 

“对洛伦茨来说,舍掉最后几位数字是一个非常小的变化。但用它来启动的一个模拟,导致了截然不同的结果,”考文尼在科学博物馆博客中写道。

 

“他和其他人都没有意识到,而且我们的新研究也强调了这一点,即任何这种有限的(有理数)初始条件都描述了一种行为,这种行为可能在统计学意义上极不具有代表性。”

 

虽然研究人员承认,伯努利映射是一个简单的混沌系统,不一定代表更复杂的动力学模型,但他们也说到,计算机使用的“浮点蝴蝶”其本质意味着任何科学家都不应该忘记在这种因素。


作者写道:“我们认为,即使相关工作者的模型比这个更复杂,这种疑虑也完全无法消除。”


“我们认为,如果一个如此简单的系统都会出现如此惊人的无法控制的缺陷,那么一个更复杂的系统可能会表现出更加无法控制的缺陷。”

 

并不是每时每刻你都会发现计算机建模可能存在根本的缺陷。研究小组表示,在我们找到解决这个问题的方法之前,世界各地的研究人员都需要密切关注他们的电脑吐出的数字。

 

 

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