关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

如果有小朋友在阅读这篇文章，那么一定要记得一件重要的事情：在大人的世界里，哪怕一点点微小的计算错误，都将可能导致严重的后果，甚至会闹出人命！

如果你不相信，那么下面我们会分享几个真实案例给你。在这些案例里，无一不是如此。

 

 

案例6: 方形窗引发航班坠毁

在20世纪50年代，很多公司首次进军喷气式客机，领先的是德哈维兰公司。该公司制造的“彗星”号喷气式客机运用了很多先进技术，从而使飞机拥有很多前所未有的特性，比如增压舱的加入可以促使飞机比别的非得更高更远等等。

或许是因为“彗星”实在不是个好名字吧，在1954年，两架“彗星”飞机在空中莫名解体。这场事故共夺去了56人的性命。

 

事后查明，事故原因令人惊讶的简单：飞机采用了方形窗设计！

在众多明显而又容易被忽略的因素中，方形窗的设计就是其中之一。当时的飞机设计师就是忽略了这一点。观察下面的奇巧巧克力的条图片，你看出了什么？是不是觉得稍微用点力这些巧克力就会从中破开？

飞机残骸上那些方形窗锋利的斷口清楚的表明了事故原因：这些巧克力式的方形窗带来的结构缺陷没能及时被发现。

如果要在墙体上安装方形窗，需要造出四个90°的角，这会导致四个弱支撑点的出现。如果你的房子由砖块或者灰泥来建造，无需任何复杂计算，只需走到房子外面看看就会发现，沿着每个90°角的顶部会出现清晰的裂缝。

在工程学中，类似奇巧巧克力条间的沟槽会用一个专业术语——“应力集中”来描述，意思是，在压力下更可能断裂的地方。

如果你是飞机制造商，怎么解决这个问题呢？

 

在你乘机出行的过程中，你是否注意过飞机上的窗口其实都是圆角的？这些弧形曲线几乎是能够防止飞机发生空中解体最完美的形式了，就像搏击台上的圆形绳索护栏一样，它将应力分布到沿圆形曲线的所有各个点，而不是在一个尖锐的拐角上，这样就可以有效防止其随着时间的推移而分裂并形成裂缝。

相信我，这其实并不是一个容易说清楚的问题，专家们也是在对机舱结构重复进行了很多次压力测试后才得出这个结论的。试验结果证明，如果采用方形窗的机舱，裂缝就会从窗户的拐角处产生并逐渐扩大，最终会导致窗户像冒牌避孕套一样爆裂。

波音公司和道格拉斯公司的代表们都表示，他们的工程师们也未预料到该类事件的发生。如果不是彗星飞机第一个发生坠毁，那么他们的公司或许就会成为因采用方形窗设计而发生该类事故第一家。从那时候起，飞机的窗户都被设计为圆角。

 

 

 

案例5: 跑道角度引发的战斗机坠毁事故

由于航空母舰（以下简称航母）船体随着海浪上下摆动，航母上众多飞机又拥挤在一起，给在航母上能够降落的飞机留出的空间异常狭小。所以即便不是飞行员，你也能够想象到在航空母舰上降落实在是一件非常困难的事情。但请放心，航母上拥有众多辅助设备、计算机和各类指示信号来引导飞机降落。然而，早期的飞机可没有这样的待遇，它们遇到的是另外的问题。

可笑的小瑕疵：这里有张图会告诉你早期的航母是什么样子的。你是不是觉得简单的不像话？它上面只有一条直直的跑道。设计这条跑道的人不知道怎么想的？

这种设计简直无异于让飞行员去自杀。如图所见，起飞的飞机正好占用了准备要降落的跑道一端的位置！如果不及时刹车停止，双方的飞机只能变成一团火球。然而及时让降落的飞机停下来可不是小事一桩，光是勾住拦阻索（一种能够使飞机快速停下的装置）就是很高难度了。经过了血与火的教训后，航母设计最终采用了当时看来似乎有些不合常规的方案，并加装防护网，确保飞机即便没能抓住所有拦阻索，也能及时减速停止。对于飞机来说，类似装置只是确保飞机能够利用障碍物及时停止的众多非凡措施之一。

 

那么，问题来了，为了确保飞机在航母上安全降落的最棒的革新是什么？答案是：把跑道旋转了9°重新设计。如下图：

好笑吗？其实一点也不，这可是花了很多年时间在研究出来的。在历史的长河中，很多伟大的技术进步，包括像航天器和原子结构等研究，都是在二战中诞生的。直到1952年，人们才想到要更改飞行甲板的角度。在此之前，任何一次降落，简直就是飞行员末日折磨。

调整飞行跑道的角度可以让飞机的降落和检修工作得以同步进行。然而在二战中，如果一架飞机正在降落，那么另一架飞机就不得不推迟起飞，反之亦然。如果10年甚至更早以前有人能想到这个解决方案，不知道会拯救多少人的生命啊！

 

案例4: 意外改动引起的走廊坍塌事故

凯悦酒店集团在对建在堪萨斯城的最新酒店设计单位提出要求，希望将所有的警铃及口哨包含在内。负责进行设计的建筑公司给出了一系列的空中走廊方案。这些走廊悬挂在顶部，以便于为客人提供最佳的观赏角度。总之，这个设计为酒店带来异常吸引人的特色，直到它有一天发生了突然坍塌，使100多人当场送命。

事故原因异常的简单：一条长承重梁被两条短的代替了。

 

在日常活动中，人们总是倾向于选择阻力最少的那条路。（换言之，如果能够从杂乱无序的工作中摆脱出来，人们一般就会选择这样做）。在最初的设计图中，两条空中走廊一条在另一条的上面，两条空中走廊都被一条长长的承重梁支撑着，这个承重梁用螺钉紧紧固定在顶部。就像下图（a）所示：

看起来相当简单明了，对吧？走廊悬挂在长长的承重梁上，这既能使它更坚固，也能使它受力较为均匀，承重梁穿过两条走廊后，一直延伸到顶部的天花板。

 

一般来说，大部件使用起来要费事一些。这很容易理解，如果要搬一把椅子到房间里，整体搬总要比搬一箱配件更费事些。这些长长的承重梁需要穿过很长的空间才能到达顶部固定它们的平台。

 

这样的承重梁制造起来可是比较困难，那就选更容易的方式，对不？所以，负责生产这些承重梁的钢铁公司作出了一个小小的改变，用两条短承重梁替代一条长承重梁，如下图中（b）所示。

这样便于加工，便于安装，看起来是一样牢靠，对吧？但这个小小的改变产生的待见是牺牲了114人的性命，216人受伤，外带高达1亿4千万美金的诉讼索赔。

 

一条承重梁，两只螺钉。每个螺钉只需要承载自身所在平台的重量。这是个好方法，因为每个螺钉（以及与螺钉连接的焊接梁）只需要承载一个平台的重量。现在再来上图中（b）。怎么样？看到这样脑残设计，你想不想爆粗口?

 

现在可以清晰的看到，每个螺钉都必须承受两个平台的重量，并且是在那些劫数难逃的参观者们站在上面的情况下！看起来是不是非常明显？祝贺你们看出了这点，可当时任何一家公司里都没有一个专业人士意识到这一点。

 

接下来的某晚，在一场舞蹈比赛活动中，承受不住压力的螺钉从焊接梁上彻底断裂，空中走廊发生了坍塌。如下图：

然而在接踵而来的诉讼过程中，人们发现，无论是钢铁制造公司还是负责结构设计的工程公司都没有做哪怕一丁点粗略的计算，而这些计算会清楚的显示出这个显而易见的缺陷。

 

 

 

 

 

 

案例3: 向内开门方式引发的夜总会惨案

如果你曾置身在上世纪三四十年代的波士顿，并且你不是个古板无趣的家伙的话，那你一定去过“椰林夜总会”。它可是那个年代最炙手可热的城市夜总会，任何一个去过的人无不这样认为。OK，所以嘛，有时候那儿就会显得狭窄些，会有尽可能多的客人涌入，如果碰上节假日，人数甚至会是正常情况下460人容量的两倍还不止。热闹之后，客人玩够了就会独自离开回家去了，那时波士顿所有地方都没有任何像警示牌一类的安全措施。

 

1942年，一场突发的大火夺去了492人的生命。事后调查发现很多人并不是死于大火，他们的死因竟然是因为门是向内开的！这样的解释简直简单到难以置信。

事情起因是一个勤杂工在黑暗中摸索着寻找电源插线板，他想看看他摸到了什么东西，于是他划燃了一枚火柴，这根火柴意外引燃了华丽的热带风格装饰品，而这些装饰品又非常易燃，结果很快俱乐部内到处都是浓雾和火苗。这场大火燃烧的非常迅猛，以致于事后发现一些人来不及放下手中的酒瓶就被火焰瞬间吞没了。

关于夜总会的安全隐患，你能想到严重超员和易燃物装饰，你或许没有想到过的另外一个可能都存在的严重缺陷：就是，逃生门是向内旋转开启方式。

主出入口因为安装的是旋转门，结果很快被想要出逃的人群给堵的结结实实。于是人群蜂拥至另一个出入口，结果前面的人被后面的人推搡着狠狠压在门上，导致门无法打开。据事后估算，如果在这场大火中的出入口的门是在外向锁闭的，那么至少会有300人能够逃出生天。

不幸的是，这不是第一次（也不是最后一次）因为向内开启的门引起的恶性事件。易洛魁剧院大火、湖景文法学校火灾、纽约三角内衣工厂火灾、贝弗利山庄大火和杜邦广场酒店纵火案等等因为火灾导致人员重大伤亡事故中，无一例外的发现出口的门都是向内开启方式。如果你认为看了则事故后，你会近乎于偏执的检查最近的逃生门的开启方式，那么别担心，我跟你也一样。

 

 

 

 

案例2: 密不透风的塔科马海峡大桥崩塌事件

塔科马海峡大桥曾被誉为工程学一个靓丽的范本，直到它崩塌落入塔科马海峡，并夺走了一条狗的性命。这条狗是因为感受到主人的恐慌情绪而离开轿车的，但它的主人明显并不是很慌张，他还有时间拿出相机记录下了这一不幸事件。

在工程人员和物理专业学生眼里，塔科马海峡大桥毫无疑问是一个教会他们做什么和如何做的教科书般的例子。如果你想把一件足够大事物固定好，那么没有人会忘记这个事件的教训。说了这么多后，你可能在想这座大桥究竟什么地方出了错？

原因依然很简单：桥上没有孔洞。

 

薄薄的大桥看起来会是怎样的？下面，通过这个事件你会清清楚楚的看到。

 

你或许想说桥的倒塌是因为廉价和少用了钢材，但事实上的原因很清楚：不透风！

 

无论建筑如何坚固，它依然会随风轻轻摆动。著名的迪拜哈利法塔（就是汤姆·克鲁斯在电影谍中谍里曾经摇晃着走过的建筑）在大风天里摆动幅度会达到6英尺。你可以自己算算。

 

塔科马海峡大桥压根就没有孔洞使风能够通过，那么为此它吃尽苦头注定无法避免。

其实在事件最初，人们就知道会有什么事情要发生。只要有风，风就会紧紧压迫桥面，像摇油漆罐似得摇晃它。桥面上下摆动的幅度达到好几英尺，就像随时要掉入河床似得。桥面随风扭动的非常厉害，以至于当地人戏称它为“飞驰盖地”。

更糟糕的是，风导致的摇摆频率接近桥本身的固有频率，这可是异常危险的状况。意识到情况的严重性后，州政府聘请工程专家想要修正这个错误。专家给出的方案包括在“桥面上钻多个孔洞用来通风，从而防止桥体的扭曲。非常简单的修复方式，我敢打赌他们一定为自己没能早些想到这些而憎恨自己的愚蠢。然而，在还没来得及付诸实施任何修复措施之前，桥塌了。

他们不得不在十年后重建了这座桥。下面看看，你是否能够找到设计中这些简单的不同点。

案例1: 泰坦尼克号的沉没

 

关于如何防止泰坦尼克号的沉没事件，有很多种说法。其中有人认为应该让船体直接撞向冰山上而不是试图绕过它，还有人认为原因在于首航前没有认真向上帝祷告，说什么的都有。人们对该事件的指责大多落在了缺乏足够的安全措施这一点上，这是非常错误的，真正的原因时是存在一个被刻意设计出来的潜在缺陷。

 

这个缺陷就是：中央推进器无法反转。

 

泰坦尼克号拥有三个蒸汽推进器，外侧两个以活塞引擎驱动，中央一个以蒸汽涡轮驱动。蒸汽涡轮相较于活塞结构具有体积小和更高效率的优势，但它的缺点是单向工作，也就是说，蒸汽涡轮只能向前转动，带动的传动杆也只能向一个方向运动。

所以，当危险来临是，当默克多大副想要操作船体全力后退以避免撞向冰山的时候，外侧的活塞引擎开始反向转动，而中央推进器却停止工作了（就像电影里的情节一样）。从常识上来说，如果你需要船体后退，你肯定不希望船体任何一个引擎把船体往前推。

 

不妙的是，中央推进器正好位于船舵的正前方，它的关停会使船舵少量进水，导致对任何操作的响应被拖慢。

 

如果当初能够对中央推进器进行更合理的设计，就完全可以避免它反转时会停止的情况，那么泰坦尼克号就有可能逃过冰山的撞击，从而挽救1514人和8条狗的生命。

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

这两天，一本书上对于一个定理的表述火了。这个定理便是著名的勾股定理。书中提到爱因斯坦用相对论证明勾股定理，还震惊了数学界。

尤其那个震惊世界的描述，有着浓浓的“民科”味道。我们哆嗒数学网的小编一开始并不在意，毕竟在当下的环境，一本杂牌书发表任何惊世骇俗的声明都不会是新鲜事情。

 

但定睛一看，不对！这个不是杂牌书，而是人民教育出版社出版的数学自读课本。这……

 

 

我们的朋友圈这件事也传开了。有人找到了这个说法的疑似英文出处。在这份英文材料里，描述了这个勾股定理，爱因斯坦以及他的相对论。但材料里明确说到，这里出现的E=mc²和爱因斯坦著名的质能方程虽然样子很像，但这完全是巧合(of coure entirely fortuilous)。

应该说，如果没有表述中没有相对论的乱入。这个证明还是挺巧妙的。思路大致如下：设直角三角形的斜边长度是c，两条直角边是a和b。用斜边上的高把直角三角形分成两个小直角三角形。这样两个小直角三角形和大直角三角形相似，斜边分别为c，a，b。于是，三个三角形的面积与c²，a²，b²成正比(这里你还可以进一步认为，都正比于某个单位面积)。设这个比例为m，就有面积带来的等式：

mc² = ma² + mb²

消去m，得到 c² = a² + b²

数学上，完全没有问题，但这和相对论没有半毛钱关系。

如果真是这个出处，不知道这起事件的原因是人教社的专家看不懂英文，还是小编读不懂数学。

人教社出版的课本，里面的内容被很多中小学生和老师奉为圭臬。如果出现这种让人啼笑皆非的错误，实在危害巨大。记得有一位物理学家对错误分了几个等级，小错误、严重错误、连错误都不如(not even wrong)，这里的乌龙，我们认为就属于后者。

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

原文作者，Kevin Hartnett，《量子》杂志高级编辑。

翻译作者，独行者，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：Math001

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

罗伯特·齐默(Robert Zimme)先生被人另眼相看了。自2006年担任芝加哥大学校长开始，他因为获得九位数字的捐款以及发表很多关于保护校园言论自由的文章而登上各大报纸的头条。但在担任芝加哥大学校长之前，齐默先生是一位数学家。在他将学术研究放到一边很久以后，齐默先生曾经推动的研究终于产出了成果。

 

 

2017年，一个三位数学家组成的团队解决了名为齐默猜想的问题，这个问题主要是研究在某些情形下几何空间会显示出某种特定的对称性。他们的证明是近几年来最大的数学成就之一。这个问题是齐默在20世纪70年代后期到20世纪80年代前期学术活跃期间提出的，现如今这个问题得到了解决。

 

齐默说，“我想说的是，在这五年期间，我对这个问题日思夜想，它每一天都在困扰着我。所以，这个问题让我辗转反侧。现如今，我很高兴地看到这个问题得到解决。”

 

一般而言，我们通常认为几何空间的维度越多，对称性特征也就越多。比如，你可以去比较二维平面上的圆和三维空间中的球：旋转球的方法就比旋转圆的方法要多得多。这就是因为球的额外维度使得球有了更多的对称性。

 

齐默猜想关注点主要是在某种特定类型的对称性，这通常被称之为高阶格(higher-rank lattice)。这个猜想关注了以下问题：一个几何空间的维度是否会限制对这些类型对称性产生。芝加哥大学的阿伦·布朗教授(Aaron Brown)和赛巴斯提安·乌尔塔多·萨拉查教授(Sebastian Hurtado-Salazar)和印第安纳大学的大卫·费希尔教授(David Fisher)的最新研究表明，只要低于某一维度，某些特殊的对称性就不可能存在。这也就证明了齐默猜想是正确的。

 

 

他们的研究解决了一个长期以来困扰数学界的问题，同时也开辟了新的研究方向。它揭示了几何空间中的内在特性。对称性是了解这些空间最基本的特征之一。这项新研究可以用比较准确的话来讲：这些对称特征能存在某一种空间中，但对于其它空间是不存在的。齐默猜想长达数十年间都没有取得突破，现在解决以后，数学家们便有了新的发现和成就。

 

在今年年初组织的一场关于新证明的会议上，芝加哥大学数学教授艾米·威尔金森(mie Wilkinson)表示：“这个猜想还能够让数学界研究和分析上很长一段时间。他们就这个问题提出了一个较为简单的方法。”

 

对称性的满足

 

对称性是人们从孩提时期的数学中便接触到的几何学概念。通过动手分析，孩子们便知道由于对称性，图形可以旋转、翻转和平移，最后得到的图形和最开始是一致的。图形的这种在变化中保持不变的特性满足了某种内在特点——它揭示了宇宙法则中的某种深刻涵义。

 

在数学中，数学家们用自己特定的规范性语言来研究对称性。这种语言为他们提供了非常准确的方法来描述在给定的几何空间中所有不同的对称性。

 

比如说，正方形有八个对称变换——也就是说有八种方法可以将正方形翻转、旋转成原来的图形。而对于圆来说，圆按任意角度旋转之后仍然是圆；它有无数个对称变换。数学家把特定几何对象或空间所具有的对称性全部归类在一起，称之为“群”。

 

群原本就是非常有价值的研究对象。群通常会出现在特定几何空间的研究中，但是他们也会出现在非几何领域中。比如，数的集合也可以组成群。（比如说：考虑如下的对称性,例如给一个数+5或-5。）

齐默说：“理论上，各类事物的对称性都可以用群来表达。”

现在我们讨论的对称性和我们在小学时所学到的相差甚远。比如，参考格的对称性。最简单的格就是一个二维网格。在平面上，你可以将这块网格往上、下、左、右的方向平移任意方块的距离， 然后得到一个它完全一样大小的网格。你还可以对网格内任何单独的正方形进行对称变换。这种有类似格的空间，一般而言会有无穷个多种多样的对称变换。

 

这种可以存在任何维度的空间里。在三维空间里，格就是一个个正方体，而不是正方形。在四维或更高维度的空间里，我们就无法画出这种格了，但是性质是一样的。数学家可以用自己的语言进行准确描述。齐默猜想的关注对象主要就是这些特定维度的。“如果你可以看到这些网格，这些奇怪的格会特别美丽。尽管我看不到。”乌尔塔多-萨拉查教授说，“我猜想如果它们能展现在我们眼前，他们的形状一定特别好看。”

 

早在二十世纪，数学家们便在许多的领域中发现对称性质，不仅在几何学，还有数论领域，逻辑学和计算机科学。当新的一个新群被发现以后，我们就自然而然地会问到——一个怎样的空间会对应这个群描述的对称？

有时候是非常明显的，一些群不能应用到特定的空间中去。比如，我们就很快知道圆的对称群不能应用到正方形中。就比如说，如果将正方形旋转10°，你就不能得到原来的那个正方形了。但是如果在一个有无数个对称轴的群中和一个有多重维度的空间里进行研究，我们很难确定哪些群的元素对应着空间的变换，而哪一些则不是。

齐默说：“由于在高维度的情况下，你由此得到的群会愈发复杂，问题的解决也就变得更加困难。”

松散的联系

当我们分析对称性的时候，我们所想象到的是，整个图形正在进行旋转，就像一个正方形按顺时针方向转90°。在一个比较微观的层级中去观察，对称性与点的运动有密切的联系。按对称性将空间进行变换意味着将空间上的每一个点移动到空间的另外一处。在这种视角下，将正方形顺时针旋转90°的真正意义是：考虑正方形上的每一个点，然后将它顺时针旋转90°，这样每个点就移动到了新的边上，这些点最终出现在与初始位置不同的边上。

或多或少的，我们都是用刚性的方式来进行移动。最熟悉的一些对称操作——通过对角线进行镜面变换，或者旋转90°——都非常刚性的。他们之所以刚性的是因为他们并没有对点进行扭曲。镜面变换前在顶角上的点在变换以后还是顶角上的点（只不过是不同的顶角），镜面变换前在边上的点在变换以后还是边上的点（只不过是不同的边上）。

 

但是，在实际上，还有很多更为灵活的对称变换类型，这也是齐默猜想所感兴趣的地方。在这些变换中，点会被最大限度的重组；他们在变换的过程当中不会完全遵循他们在变换前的位置关系。例如你可以将正方形的每一个点都围绕着移动三个单位——这还是满足了一个对称变换的基本要求，它将空间上的每一个点都移动到了新的位置。新证明的合作者艾伦·布朗借助球的模型来解释这种不受约束的变换方式。

 

布朗称：“你可以试着将球的南北两极向相反方向拉扯，球上的距离和点之间的距离会加大。”

 

当你在讨论一个网格时，除了平移平面中的网格，你还可以对网格进行扭曲，或者在某些地方进行扭曲，而在其他地方进行拉伸，这就使得转换后的网格不再与原来的网格完全重合。这些变换就没有那么刚性了，他们被称之为微分同胚。

 

在他的猜想当中，齐默有非常好的理由认为这种更为柔性的变换是有意义的。在20世纪60年代，格里戈里·马尔古利斯(Grigory Margulis)对在齐默的猜想当中涉及的这种高维格进行了研究。马尔古利斯也因为这项工作由此获得了菲尔兹奖。当要求只进行刚性的变换时，哪些空间可以由这些高维格转换而来，马尔古利斯给出了这种空间所有满足的条件。

因此，齐默猜想是对马尔古利斯研究的自然延伸。他便是开始于高维格架构变换得以实现的空间——马尔古利斯所找到的空间——并持续深入探讨如果允许不那么刚性的变换，也就是在放宽变换的条件之后，这个集合是否会进一步扩张。

在他们新的研究当中，三位数学家们证明了当高维格的放宽对对称性的定义以后，广义的对称性特征并没有本质变化。即使格进行不规则的空间变换时——比如剪切、弯曲、拉伸——高维格仍然被限制在它们所在的空间中。

 

费希尔说：“由于在这个问题上加了那么多的灵活性之后，你就有了一种直观的感受，这些高维格群能作用于任何空间上。所以，我们很惊讶的发现，答案是不对的。在某种情况下，他们不能作用于任何空间上。”

这几位数学家们在空间的维度和能作用在其上的高维格维度（或秩）之间建立了联系。他们证明了在通常情况下格的维度越高，空间的维度也应该越高，这样才能对格的对称性产生作用。在高维空间里，即使有非常好的空间变换灵活性，高维格的变换依旧受到高维空间的限制。

威尔金森说：“这就告诉了我们，空间将物体组合在一起会有一些非常基础的特性，这种特性使得他们能够产生这些变换。”

 

齐默猜想只是解决一个大问题的第一步。通过解决这个猜想，这个问题的研究者们对这些高维格能做用的空间给出了一个粗略的限制条件。下一步是更加宏伟的计划，研究者将关注在这些空间中格是如何出现的，接着将这些格在空间中变换的方法进行分类。

 

齐默说：“这项计划最后是要分清楚所有这些方法。在你目前所看到的问题之外还有更有趣的，有一些空间中，格是不能保持对称性的。但有趣的问题则远远超出了这些内容。”

 

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

原文作者，Evelyn Lamb，大学数学教师

翻译作者，八，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：Math001

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

在科幻剧《星际迷航：下一代》第二季剧集《沉默时刻》的剧情中，星舰企业号飞入了一个空间。为了从这个空间中出去，船员们设置了一个固定的信号标记（不用考虑这个标记在太空中静止是什么意思，或者如何将其留在太空），以便衡量他们飞了多远。当他们朝着背离信标的方向飞行的过程中，信标先是离它们越来越远，而又开始靠近，最终他们又回到了最初的地方。

 

 

企业号并没有对这个空间做充分的探索，以至于我们无法得到确切的信息，但是他们很可能偶然间进入了三维环面（也许是纳吉卢姆那样的神族将他们了拖进去）。类似于二维环面——可以想象成一个正方形，将每一对相对的边粘合在一起——三维环面可以想象成一个立方体，将每一对相对的面粘合在一起形成的结构。想象你站在三维环面上，当你向前移动时，最终你会再次回到立方体的后方；当你向左侧移动时，最终你会再次回到立方体的右侧；当你向上移动时，最终你会再次回到立方体的底部。

 

我们有很多直观的结构来想象二维环面，但很难将三维环面可视化。对于二维环面的理解，或许正方形的描述方式会有所帮助，但甜甜圈的描述方式能够让我们更加真实的体会到居住在环面上的感受。对于三维环面，我们没有足够维度来像二维环面这样来将它整体的可视化，但是我们可以尝试一下将各个面粘在一起的方式。首先，将正方体顶面粘在底面上，形成一个具有正方形横截面的实心环（大概是一个正方形的甜甜圈）；然后，我们将左侧粘到右侧，最终看起来像一个空心的甜甜圈；下一步是将内部粘合到外部，但这在三维空间不足以展示其效果。

 

 

当询问拓扑或几何学家他们的研究有什么应用时，他们往往会笼统的说用于探求宇宙的形状，然后便开始试图用庞加莱圆盘的优美图片分散别人注意力。（或者仅仅是我？）但是三维环面或许确实与宇宙的形状有关。拓扑和几何为我们提供了对所有可能的三维形状（也称为三维流形）进行分类的方法，根据宇宙已确定具有的属性，我们可以缩小宇宙可能具有的形状的选择范围。

 

我不是天体物理学家，也不了解可以帮助我们确定空间的形状的最新的测量数据，因此我也不了解当前对宇宙形状的看法。但是如果宇宙是环面呢？另一种三维环面的可视化图形向我们展示了这将是多么的怪异。

 

 

 

这种无限的支架扭曲了三维环面的一个重要特征：三维环面是有限的，而这张照片看起来是无限的。然而，这更加说明了生活在环面中会多么令人困惑。

 

 

现在，让我们收起一个维度，并考虑一下相应的二维环面。那会是平面上的无限网格，而不是仅有一个正方形。我们要记住的是，在这个平面中，任意两个位于不同正方形中处于相同相对位置的点，实际上是同一个点。

 

 

 

 

 

如果居住在环面（二维或三维）中，那么从某个角度向外看，视线可能将会环绕环面数次。

 

如果从三维环面中的某个点向上看，你会看到自己的脚底。只要角度和视线足够好，理论上你的视线可以无数次环绕环面。如果环顾四周，你会看到无数个自己，这一定是自恋狂的梦想。

 

 

当然，如果我们真的生活在一个三维环面中，有可能是因为空间太大才让我们看不到自己的屁股，这让我些许放心。不过，我想知道的是，我们是否能够确切的认识到我们所居住的地方到底是个什么流形。

 

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

标签: