本文转自马里兰大学计算机、数学及自然科学学院。

翻译，凝聚态小土豆，哆嗒数学网翻译组成员。

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工程师们可不可以直接用数学方程设计出更好的喷气式飞机，从而大大减少对实验测试的需求量?天气预测模型可不可以精确预测海洋热量转化为飓风的细节过程？从目前来看这些构想暂时难以实现，但随着我们对湍流机理的越来越完备的数学解释，这些构想将在未来成为可能。

马里兰大学的数学家Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith以及Alex Blumenthal首次提出了严格的数学证明来解释湍流的基本定律——Batchelor定律。该定律的数学证明过程将于2019年12月12日在英国工业与应用数学学会(Society for Industrial and Applied Mathematics)的一次会议上公布。

虽然所有的物理定律都可以用数学方程来描述，但许多定律并没有详细的数学证明来解释定律背后的基础原理。而湍流无疑是非常难以得到严格数学解释的物理领域。从海浪、翻滚的云层和高速行驶的车辆后面的尾流可以看出，湍流是流体(包括空气和水)的无序运动，包括压力与速度的看似随机的变动。

湍流是描述流体流动的N-S方程如此难以求解的原因，曾经有人悬赏百万美元奖励能用数学方法充分解释湍流的人。要理解流体流动，科学家必须首先理解湍流。

UMD的数学教授、该证明的合著者之一Jacob Bedrossian说:“如果一个给定的物理定律是正确的，那么观测对应的物理系统并从数学上理解它应该是可能的。”“我们相信，我们的证据为理解为什么Batchelor定律，也就是关于湍流的一个关键定律，在某种程度上是正确的提供了基础，而迄今为止的理论物理工作还没有做到这一点。”这项工作可以帮助解释在湍流实验中观测到的一些变化，并预测可以适用和不适用Batchelor定律的情况。

自1959年引入Batchelor定律以来，物理学家们一直在争论这条定律的有效性和适用范围。Batchelor定律有助于解释化学浓度和温度变化如何在流体中分布。例如，把奶油搅拌到咖啡中会产生一个大漩涡，上面会有小漩涡分支，甚至更小的漩涡也会分支。随着奶油与咖啡的逐渐混合，漩涡越来越小，每一层的细节也在变化。Batchelor定律预测了不同尺度下漩涡的动力学细节。

该定律在以下几个方面得到验证:化学物质在溶液中的混合过程，流入海洋的河水与盐水的混合过程，流入北方的湾流温水与较冷的水的混合过程。学者们围绕这一重要定律的解释，已经发表了多篇重要工作，包括著名的大学教授Thomas Antonsen与Edward Ott在UMD的工作。然而，对于Batchelor定律的完整数学证明仍然是难以摸透的。

未涉入这项研究的明尼苏达大学数学教授Vladimir Sverak说，在Bedrossian教授和他的合著者的研究之前，Batchelor定律只是一个猜想。相关实验数据的支持，可以帮助人们推测定律的成立条件。而该定律的数学证明可以看作是在理想条件下的一致性检验，并且可以让我们更好地了解流体中到底发生了什么，从而启发未来研究的发展方向。

“我们不确定这是否可行，”Bedrossian说，他同时还在UMD的科学计算和数学建模中心工作。“普适的湍流定律被认为过于复杂，无法用数学方法来解释。但是我们能够通过结合多个领域的专业知识来解决这个问题。”

作为偏微分方程方面的专家，Bedrossian聘请了两名UMD的博士后研究员来帮助他解决这个问题。Samuel Punshon-Smith (17岁，博士，主攻方向为应用数学统计与科学计算)，现在是布朗大学的Prager助理教授，是概率统计方面的专家。Alex Blumenthal是动力学系统和遍历理论（数学的一个分支，包括众所周知的混沌理论）的专家。研究者专长的四个不同的数学领域在其他方面很少相互影响到这个程度，但在这个问题上是必需的。

Sverak说：“解决这一问题的方法确实富有创造性和创新性，有些时候证明的方法甚至可能比证明本身更重要。Bedrossian教授和他的合著者的论文中的观点很可能在未来的研究起到很大的作用。”

该团队在这个问题上的研究达到了新的水平，为提出数学证明来解释其他未经证实的湍流定律奠定了重要基础。

Bedrossian:“如果这个证明让我们止步于此，也是一个比较出色的成果。”但我希望这仅仅是一个开端，能让我们在未来某时某刻可以明确地宣称‘是，我们可以证明湍流的普遍性定律，并且它们并不超出数学的范畴’。现在我们对如何用数学来研究这些问题有了更清晰的理解，我们正在努力构建研究这些定律所需的数学工具。

了解更多湍流定律背后的物理原理，最终可能有助于工程师和物理学家设计更好的交通工具、风力涡轮机和类似的技术，或做出更好的天气和气候预测。

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我们知道，中国人喜欢用的微博，在国外很少有人用的。他们喜欢用一个叫作推特的东西，使用方式和国内的微博差不多。

和国内的微博一样，大家在推特上发表的话题大部分是娱乐倾向的话题。一本正经的聊大学数学作业的就更少了 。这几天，就发生了这样有趣的一幕。

Barbara Fantechi 是意大利国际高等研究院的数学教授，其领域是代数几何。如果你百度她的名字，能搜索到她的一部著作——对格罗滕迪克名著FGA的解读。

她在推特上贴出了一个“作业题”：

假设A是一个非空集合，+是A上满足结合律和交换律的一个运算。对任意A中的元素a，A到A的映射x→x+a是双射。求证：(A,+)是一个交换群。

既然是大教授出的题目，看到的人即便要回复，也会给点面子吧。回答之前，都会对问题本身来个“高度评价”。 一位韩国的老师进行了回复。她首先说，这个问题对自己来说并不trivial，然后继续写出解答：

首先，我要找出单位元0。对每个a，由于双射的性质，我们能找到x(a)满足x(a)+a = a。 我想让x(a)的值和a的选取无关。用a+b诱导一个式子x(a+b)+a+b=a+b=x(a)+a+b，于是由双射的性质，则必有x(a)=x(a+b)。这样，就得到了单位元。于是，我们把-a选成由双射诱导的，与a运算后得到单位元的那个元素。最后，他还问：我想知道，我是不是用到了选择公理？能不能不用。

很多人回复：其实没用选择公理。

很多人参与的解答，方法都大同小异。连菲尔兹奖得主高尔斯也来凑热闹，在回答前，他首先说了一个“免责声明”，说自己的解答没有仔细验证过，不排除犯低级错误的可能。

高尔斯的回答是，对任意x和a，因为加法x+a是双射，所以存在b满足 x+a+b = x。于是得到，对任意y，有 y+x+a+b =y+x。再因为双射的性质说明a+b是单位元。不排除有更高端的证明方法，我来看看别人的回复吧。——PS，这个问题非常简单，但不显然。当我明白它不平凡之后。

有人也玩起了花样，用上了范畴论，他这样回答的：

1、 映射x→x+a是集合A自身的同构

2、 因此以这些映射作为态射，构成一个单对象范畴。

3、 每个态射都是同构的单对象范畴构成一个群。

4、 根据假设，得到运算交换性。

回复中，有人对这个办法提出异议。说：

对于第1条，需要证明逆映射也有x+a形式。

对于第2条，需要证明恒等映射也有x+a形式。

还有人开始讨论，题设是否能精简。比如双射的条件能不能改成满射，而无需单射的条件。有人回复说，只是满射的话，逆的唯一性满足不了。

有人认为交换性的条件可以不需要。马上有人就回复了反例：如果加法定义成 x+a = x（原推应该有笔误），映射满足除了交换性的所有条件，但这个运算都不能做成一个群。

当然，还有人吐槽：你的推文让我头疼……，Fantechi教授只好回复说：Sorry。

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作者：Dennis Overbye纽约时报科技记者。

翻译，大纱帽儿，哆嗒数学网翻译组成员。

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这是思考的样子。

思想，思想，还是思想。关于抽象概念之间的关系的假设和猜想 —— 图形，数字，几何，空间 —— 在迷雾般的粉笔尘中浮现，更多的是羽衣牌粉笔中浮现，这是一种最初生产在日本，现产自韩国的粉笔。

在这些图表里，谜题诞生又被破解。

在去年，一位摄影师兼纽约时装学院的教授Jessica Wynne，拍摄了数学家的黑板，寻找那些结伴纷飞、热情描绘想象、论据与猜想的符号。《不要擦掉》这部黑板相册集将于2020年秋季由普林斯顿大学出版社出版。

“数学家就像画家或者诗人，是模式的创造者。”英国数学家哈代在1940年写道。在一个夏季，Wynne女士通过她的三位在芝加哥大学任教的邻居Cape Cod, Amie Wilkinson和Benson Farb与数学结缘。她开始为他们的黑板摄像，感受其中亲切的艺术美。

“我被那不受时间影响的数学家的黑板之美与形给迷住了，他们对发现真理和解决问题的更高渴求使我着迷，”Wynne女士在电子邮件里说，“他们的想象引领他们先看到图像，而不是文字；看到图片优先于内涵。”

她还说：“我也沉迷于在黑板上创作的过程。”虽然科技进步，电脑诞生，这些却是大师自己选择的研究。

在对黑板与粉笔的热爱中，数学家们是（羽衣牌粉笔的）坚实支持者。在许多的科学研究领域，黑板被替换成了白板或者幻灯片演示；但数学家们说，粉笔既便宜又可生物降解，还比白板笔更好闻，而且方便清除，书写起来更加有趣。

Wynne女士的书名《不要擦掉》来自于黑板传达的信息：清洁人员几小时后就进来擦掉黑板上天才留下的艺术作品。

这样的事情确实发生过。近期，在杂志《鹦鹉螺》的一篇文章里，作者与MIT的物理学家Alan Lightman回忆一件发生在1970年代早期加州理工大学的偶然事件：理查德·费曼在Lightman的黑板上解开一个描述黑洞放热和辐射的方程，这类研究与当时的物理主流大相径庭。

Lightman博士第二天回来准备抄下那些方程，却发现黑板已经被擦的一干二净。一年后，史蒂芬·霍金做出了类似的演算，从而使他一举成名。

Wynne女士的照片说明关于黑板的想法不止一种方式。有些数学家用方程式将黑板填满，而哥伦比亚大学的博士生Alex Zhongyi Zhang在他几何的灵感迸发时，把值得著一篇论文的跳跃与变换通过一幅图展现在黑板上。
有些数学家的黑板整洁，比如Wynne女士在巴黎边上法国高等科学研究院的树林间上拍摄的这块黑板。

一位斯坦福大学的教授时枝正开玩笑地说，根据“黑”和“白”在黑板上的严格想象，数学家总是喜欢用白粉笔画的实心点表示“黑点”，用空心点表示“白点”。数学家能get到这个梗的，Wynne女士说。

然而其他黑板是无法解读的：一团团几乎被擦干净的困惑和挫折，对知识的探寻不总是拥有一个快乐的结局。

如果问数学家们，有的会说他们的工作是去获取与我们独立的柏拉图式理想世界。有些认为数学是人类头脑创造的结果，科学家用他们的大脑为真实世界中显而易见的规则建模。
为什么数学这么有用是一个谜。1960年，在一篇名为《数学在自然科学中的不合理有效性》的文章中，物理学家尤金·维格纳写道，“数学语言对描述物理定律公式的合适性是一个奇迹，这个奇迹是一个我们即不能理解也不应得的美好礼物。” 


数学家反复的工作。在爱因斯坦将地心引力描述成广义相对论里“空间扭曲”的半个世纪前，关于空间扭曲的方程早就出现在像德国哥廷根大学的波恩哈德·黎曼这样的数学家的黑板上了。

如果你想知道对于50或100年前那些具有分辨力的思考者而言宇宙是什么样的，就去看看这些空间吧。

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作者：Dr. Dilts 俄勒冈大学数学博士，其埃尔得什数等于3。

翻译，MathIsAll，哆嗒数学网翻译组成员。

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大多数人的数学观念是在小学时被灌输的。

根据我的经历，小学数学是这样的：老师说我们需要计算一个东西。然后他展示了如何计算这个东西，计算有七个差别不大的变形。你的家庭作业是计算其中的六种变形。考试就考七个中的其中五个变形。

十年后，大多数人认为数学就是计算。由于采用死记硬背的方法，很多人都觉得数学就是一些一成不变的计算技巧。如果你执行一套晦涩的、难以理解的步骤，你将得到一个虚幻的“正确答案”。你必须按照特定的步骤算答案，如果你忘了这些解题步骤，就只能依靠老天爷帮忙了。于是，你只能陷入无限的绝望之中。

当然，作为来自远古智慧，他们相信所有的数学都来自高不可攀的地方。它冷峻，深隧，完美无瑕。

——但正真的数学不是那样。

那么，到底什么是数学？

计算是一个有用的工具，但绝对不是数学的全部。

数学是对理解的追求。 就像任何好的史诗幻想系列一样，它似乎永远不会完成。

我们数学家所寻求的理解是一种非同寻常的理解。 如果说科学的目标是描述和理解周围的宇宙“是什么”的话。那么，数学家试图去理解为什么“必须是”。

毕竟，一个数学家所问的问题通常是可能根本不存在的事物。你见过一条完全笔直的无限长的细线吗？或者大小恰好是90度的角？但是，如果我有一个完美平面直角三角形，我知道边长有一定的关系a²+b²=c²。

当然，我们可以数数，数出37头奶牛，但是奶牛是否关心这个37是个质数？ 但是37的确是质数，因此如果有多个人要分享这37头奶牛，那么不可能做到平均分配。

作为一个数学家，我时常这样表述的我的工作——试图去发现连上帝都做不到的事情。即使是全能的上帝也无法创造出一个其边长不服从勾股定理的平面直角三角形。上帝也不能把37头奶牛平分给多个人。

决定“必须是”的基础是数学的定义和公理。

定义和公理是不同的，但又非常密切相关。

定义描述了我们谈论的事情。例如，欧几里得几何中，直线（相对于曲线）可以被定义为“各点看齐的线”(lies evenly with the points on itself——几何原本)。

公理描述了我们可以用定义 “做什么”。这些往往是非常基本的，“显然”的事情。例如，对称公理说：“如果A=B，那么B=A。”在这个例子中，你可以把这公理看作是你可以做的事情（这里你可以做的事情是交换等式两边），或者你可以把这条公理看作是在对两个东西相等在做定义。

在这个基础之上，数学是建立在逻辑上的。给定定义和公理，某些结论是必然的结果。这些结论我们称之为定理、引理或命题。

因为数学是以这种权威的方式教授的，所以数学的定义和公理似乎在某种程度上是“牢不可破”，它们不是人类的造物。 你会认为公理和定义是数学家正在寻找的“必须是”的一部分。

在某种程度上, 这可能是对的, 但我认为也不全是这样, 数学肯定不是这样做的。

当你读一本教科书时, 上面会出现被认为重要的定义和公理的最新思考。但这在一定程度上掩盖了一个事实, 即需要几百年甚至几千年的时间来决定“这些公理”应该成为构成数学的基础。

数学会演进，数学会变化。 今天使用的定义和公理与牛顿使用的定义和公理不尽相同。

这里关于牛顿的故事，实际上给出了数学是在变化的一个好例子。

牛顿以及莱布尼兹在1670年左右发明了微积分。在解决物理和数学中的许多重要问题时，微积分当即证明了它是非常有用的。

但是牛顿的微积分并不是建立在我们今天认为的严格的基础之上的。

为了解释他们的想法，牛顿和莱布尼兹都使用了一些“无穷小”的概念，说它们是“无穷小的数”。

无穷小在对微积分的直观解释中非常有用（当我自己教微积分时，我经常非正式地使用它们）。因此尽管人们接受了牛顿和莱布尼兹一些结论的证明，但仍然有些人对“无穷小的数”的观点感到不安。

但随着数学家深入研究微积分的思想，很明显无穷小量的论证并不完善。有一些重要的定理无法被精确证明，因为微积分的基础没有得到足够严谨的证明。

因此，19世纪的一个主要的数学课题是证明微积分的“合理性”，并确保微积分的基础是正确的。

这涉及发明新的定义。例如，微积分的一个关键思想就是“极限”。不太严谨的说，极限就是要回答“当输入接近某个数时，输出的数接近哪个数？”

对极限的直觉并不困难;你输入的数越来越接近你想要的数时，看看输出是否接近另外某个数。但是，我们今天使用的极限ε-δ定义，直到1820年才由柯西引入。

数学不是静态的，我们使用的公理和定义不一定是自然的待在某处，我们拿来就用。当我们寻求更深入的理解时，我们常常会发现我们早先的理解是不完善的，甚至是不正确的，我们于是开始寻求修复基础的办法。这种情况一次又一次地发生，以达到我们“牢不可破”现代数学思想。

总而言之，数学是寻求理解“必须是”的问题。但我们试图理解的概念并非一成不变。数学的对象是由人定义的，当我们更好地理解它们时，我们的定义和公理就就在变化中建立了起来。

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