关于湍流的一个结论的数学证明

本文转自马里兰大学计算机、数学及自然科学学院。

翻译,凝聚态小土豆,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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工程师们可不可以直接用数学方程设计出更好的喷气式飞机,从而大大减少对实验测试的需求量?天气预测模型可不可以精确预测海洋热量转化为飓风的细节过程?从目前来看这些构想暂时难以实现,但随着我们对湍流机理的越来越完备的数学解释,这些构想将在未来成为可能。


马里兰大学的数学家Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith以及Alex Blumenthal首次提出了严格的数学证明来解释湍流的基本定律——Batchelor定律。该定律的数学证明过程将于2019年12月12日在英国工业与应用数学学会(Society for Industrial and Applied Mathematics)的一次会议上公布。


虽然所有的物理定律都可以用数学方程来描述,但许多定律并没有详细的数学证明来解释定律背后的基础原理。而湍流无疑是非常难以得到严格数学解释的物理领域。从海浪、翻滚的云层和高速行驶的车辆后面的尾流可以看出,湍流是流体(包括空气和水)的无序运动,包括压力与速度的看似随机的变动。


湍流是描述流体流动的N-S方程如此难以求解的原因,曾经有人悬赏百万美元奖励能用数学方法充分解释湍流的人。要理解流体流动,科学家必须首先理解湍流。

UMD的数学教授、该证明的合著者之一Jacob Bedrossian说:“如果一个给定的物理定律是正确的,那么观测对应的物理系统并从数学上理解它应该是可能的。”“我们相信,我们的证据为理解为什么Batchelor定律,也就是关于湍流的一个关键定律,在某种程度上是正确的提供了基础,而迄今为止的理论物理工作还没有做到这一点。”这项工作可以帮助解释在湍流实验中观测到的一些变化,并预测可以适用和不适用Batchelor定律的情况。

自1959年引入Batchelor定律以来,物理学家们一直在争论这条定律的有效性和适用范围。Batchelor定律有助于解释化学浓度和温度变化如何在流体中分布。例如,把奶油搅拌到咖啡中会产生一个大漩涡,上面会有小漩涡分支,甚至更小的漩涡也会分支。随着奶油与咖啡的逐渐混合,漩涡越来越小,每一层的细节也在变化。Batchelor定律预测了不同尺度下漩涡的动力学细节。


该定律在以下几个方面得到验证:化学物质在溶液中的混合过程,流入海洋的河水与盐水的混合过程,流入北方的湾流温水与较冷的水的混合过程。学者们围绕这一重要定律的解释,已经发表了多篇重要工作,包括著名的大学教授Thomas Antonsen与Edward Ott在UMD的工作。然而,对于Batchelor定律的完整数学证明仍然是难以摸透的。


未涉入这项研究的明尼苏达大学数学教授Vladimir Sverak说,在Bedrossian教授和他的合著者的研究之前,Batchelor定律只是一个猜想。相关实验数据的支持,可以帮助人们推测定律的成立条件。而该定律的数学证明可以看作是在理想条件下的一致性检验,并且可以让我们更好地了解流体中到底发生了什么,从而启发未来研究的发展方向。


“我们不确定这是否可行,”Bedrossian说,他同时还在UMD的科学计算和数学建模中心工作。“普适的湍流定律被认为过于复杂,无法用数学方法来解释。但是我们能够通过结合多个领域的专业知识来解决这个问题。”


作为偏微分方程方面的专家,Bedrossian聘请了两名UMD的博士后研究员来帮助他解决这个问题。Samuel Punshon-Smith (17岁,博士,主攻方向为应用数学统计与科学计算),现在是布朗大学的Prager助理教授,是概率统计方面的专家。Alex Blumenthal是动力学系统和遍历理论(数学的一个分支,包括众所周知的混沌理论)的专家。研究者专长的四个不同的数学领域在其他方面很少相互影响到这个程度,但在这个问题上是必需的。


Sverak说:“解决这一问题的方法确实富有创造性和创新性,有些时候证明的方法甚至可能比证明本身更重要。Bedrossian教授和他的合著者的论文中的观点很可能在未来的研究起到很大的作用。”

该团队在这个问题上的研究达到了新的水平,为提出数学证明来解释其他未经证实的湍流定律奠定了重要基础。


Bedrossian:“如果这个证明让我们止步于此,也是一个比较出色的成果。”但我希望这仅仅是一个开端,能让我们在未来某时某刻可以明确地宣称‘是,我们可以证明湍流的普遍性定律,并且它们并不超出数学的范畴’。现在我们对如何用数学来研究这些问题有了更清晰的理解,我们正在努力构建研究这些定律所需的数学工具。


了解更多湍流定律背后的物理原理,最终可能有助于工程师和物理学家设计更好的交通工具、风力涡轮机和类似的技术,或做出更好的天气和气候预测。

 

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