一道美国大联盟杯决赛试题赏析
作者： 熊π，就读于北师大附属实验中学高二。
投稿可发至邮箱1178853280@qq.com，详情参见征稿说明（截止日期延期至4月28日）。
微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文
SPCS全称为Stanford Pre-Collegiate Studies，又名“斯坦福大学天才少年培养计划”。美国“数学大联盟杯赛” 与SPCS通力合作，专门针对具有杰出才华的中学生，精心设计适合他们成长的课程和题目，在中学阶段就积极介入对他们的培养，旨在为他们今后的成长打下坚实的基础。
2016年8月，一年一度的美国数学大联盟杯决赛（9-12年级）在斯坦福大学如期举行。从去年11月开始，经过初赛、复赛层层选拔，来自八个国家98名翩翩少年成为了幸运的参赛者。作为中国赛区的幸运儿之一，笔者在决赛中基本发挥水平，以第17名的成绩斩获一枚优秀奖（Certificate of Merit）。
决赛共10道题，本人做出了其中6道。有一道三角函数题最为可惜，有思路有方法应该会做可是临场没做出来，从考场一出来就做出来了。
超出了高一学生知识结构的有两道一元四次方程，笔者回国后查阅高等代数资料得到解决。最有意思的是一道涉及“二项展开式”的填空题，题目短小易懂，系数锋芒毕露。笔者临场简直像小狗啃榴莲——无从下口。
【题目】如果 
，那么 
的值是多少？
【疑问一】等式右边会出现一次项二次项吗？
因为 
，所以常数项容易求，在等式两边令x=0，则有a_0 = 2^2016。但是右边会出现一次项二次项吗？笔者感觉x的最小指数应该是2015，貌似a_1, a_2, ……, a_2014应该为0。
岂止笔者有这样粗浅的认识！因为组委会始终没有提供参考答案，回国后笔者曾就此题向今年刚刚升入北大元培学院的高三学长请教，他参加过中国数学联赛，他的第一感觉跟笔者的竟然完全相同！
【疑问二】利用二项式定理能解决问题吗？
这三种情况下对应的系数之和即为 
，所以
对于电脑来说，写几行程序这点运算不算什么。但是考场上连普通计算器也不准携带，笔者水平有限，至此陷入了僵局……
【疑问三】怎么会出现-1/2，这么奇怪的系数？
，三个一组三个一组，每组中连续出现两个-1/2 ，太奇怪了。由【疑问一】、【疑问二】可知，用常规的实数0,1赋值不可能有这种效果出现。想想我们所见过的成千上万不计其数的数，实数也好虚数也罢，哪一个数的整数次幂会以3为周期，并且同时含有系数 ？
虚数单位i的整数次幂周期为4，显然不满足。
等等……别着急！试试1的三次虚根如何？对对对，肯定是它， ω！
笔者感觉肯定是它，久违啦，ω！
【解】
设
这正是：初看小狗啃榴莲，系数锋芒毕露；再看二项展开式，运算言不堪苦。
众里寻他千百度，暮然回首虚数；九九归一成正果，醍醐灌顶开悟！
微信、手机QQ搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文
评论已关闭