环面:我们和数学家都喜欢的甜甜圈

 

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,Jessie仪,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

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数学总是将可定向亏格比作一种甜点,即拓扑例子里最美味的那种。


 
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啊,这个简单的环面是拓扑学家们最初的朋友,它也展示了理论与实践的差距。环面有很多特性而且在数学的各个领域都会出现。第一,他有一种拓扑的特性。拓扑学并不关心你看它的具体形状像什么,它只关心大体上的特征。具体来讲,它关心物体在没被撕裂或粘合的情况下,那不论是被拉伸还是被压缩都不改变的方面。在拓扑世界中,环面是一种带着一个洞的二维空间,或者说是一个曲面。(更高大上说来,它是一个亏格为一的可定向曲面。)急于将他们自己与更吸引人的烘焙学科联系在一起的拓扑学家们将环面描述为甜甜圈,虽然在某种无聊的精确角度来看,它其实仅仅是甜甜圈表层的糖浆涂层。(甜甜圈的面包胚是一种叫做实心环面的三维空间。)
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我们经常以一个被完美充起的甜甜圈来代表环面,但是拓扑学家们偏向于以一种更抽象的方式来描绘它。在下面这张图片中,我们将它画成带着几个标记的长方形,这些标记叫做特征点。

 


  
图中上面带“A”的箭头所对应的边和下面带“A”的箭头所对应的边将会被粘合在一起,左面带“B”的箭头所对应的边和右面带“B”的箭头所对应的边将会被粘合在一起。

正如在经典游戏小行星(Asteroids)中,当你从长方形上方的边走出长方形时,你会在下方的边上再次出现;当你穿过长方形的右边时,你会在左边重新现身。这幅图尽管不如甜甜圈那么令人垂涎,但仍然向我们展示了环面所有的重要拓扑性质。


这幅平面的长方形图片也良好承担了通向另一个环面生命的责任:作为几何物体的生命。不同于拓扑学,几何学确实关注实际的形状与距离。一个“环肥”的环面和一个“燕瘦”的环面尽管在拓扑概念上相同,但就几何概念而言,是不一样的。

几何学家们之所以关注这张环面的长方形表示,是因为本质上这是一个平坦的有限平面,就像一个无限平面。如果你曾不愉快地意识到格陵兰岛其实只有非洲大陆面积的7%,而不是和非洲面积一样大,你潜意识里就已经明白了一个事实:球面不可能被保持距离的展到平面上。这是因为球面曲率为正的,而平面是平的(注:曲率为0)。同样存在一种负曲率的曲面,他们也不可能被毫不扭曲地扯平。这个长方形图片展示了“环面是平的”这个事实。那么,这可就太好了,因为这样的话,它就能成为一个三维空间中实实在在存在平坦曲面,从而我们能直接观察到它;而不只是把它画在纸上然后还需要运用我们的想象力去想象。我们可以试着通过操作那些长方形上的被标记的那些边来这么做。我们从一个长方形开始。

 


 
第一次粘合把一张平坦的白纸变成了一个圆柱体。

 

 

第二次粘合将圆柱两端连在了一起。
 

 

实际上操作起来还是有些困难的。得到这个环面并不像计划那么顺利。这是一个理论与现实的不和谐碰撞。

 


 

当它们进入现实世界,当一个数学对象进入现实世界后,一般来讲,它很难再保持完美。我们没法画出一个严格意义圆,而且那个我们用来画图的曲面,也并非一个严格意义下的二维对象。但专心致志与优质圆规可以让我们画出与我们目标足够接近的圆。然而,环面,那可就是个噩梦了。

 

所以,我们到底能不能把环面放进三维空间中而不改变任何距离?
  

我们当然能!但是这没有你所希望的那么容易。

一个选项是,我们放弃那个完美平滑的曲面。在平面上,那个长方形没有任何折痕,但如果我们搞出一些来,我们就有处下手了。这么干的方法有很多。几年前我就做了一个。
 

数学3D打印的大魔法师Henry Segerman有一个脊被接合在一起的优秀例子。

 

 

要是我还不满足呢?要是我想把这些不和谐不雅观的折痕除掉呢?嗯,我们也能这么干!不过这就有点复杂了。在2012年,Vincent Borelli, Saïd Jabrane, Francis Lazarus, Boris Thibert, 以及Damien Rohmer发表了第一批没有任何尖角的三维空间平坦环面的图片。他们写道:“这些图片展露了一个令人意想不到的对象,处于分形和普通曲面的中间:一个平滑的分形。”换句话说,他们将分形的无限特质与一个平滑过程结合到了一起,从而避免了尖角的出现。
 


最后,这个“平坦的”环面看起来一点也不平坦,但它成功体现了它的字面意思。所有的距离都与他们还在那个平面上的长方形时完全一样。(若想进一步了解这种平滑分形的环面,请参见https://www.youtube.com/watch?v=5qu3WETuf6c)

环面还有很多其他变体:在拓扑学中,它是乘积空间中的最初例子之一,也是在运用 Seifert-van Kampen定理的第一次有用尝试。在动力学中,它是学生们最初碰到并能在其上“打台球”的平移曲面之一。在我所研究的领域,Teichmüller 理论,这是少有的几个简单到你真正可以理解并进行计算其Teichmuller空间的空间之一。一般来说,环面看上去就是那种每当遇到了新观点时,值得用千百种定理来描述的例子。带着感恩节季的精神,就让我们花点时间来感谢环面,因为它是让我们无论在二维几何还是拓扑学中都可以染指的好例子。(毕竟,数学总是比一个可定向亏格为一的甜点要好。)

 

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