物理学家试图用物理挑战黎曼猜想

原文作者,Natalie Wolchover,量子杂志资深作者

翻译作者,柳北丁,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

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物理学家们正试图将素数的分布映射到某个特定量子系统的能级上。
 
 
以实数(水平轴)和虚数(垂直轴)作为参数的黎曼zeta函数的值。黑色区域是zeta函数返回零的地方——函数的“零点”。所谓的非平凡的零点落在沿着实数部分等于1/2的垂直线上。
 
素数是算术中不可再分解的基本单位,似乎在数轴上随意散布,从2,3,5,7,11,13,17开始,并且没有模式地无限延伸下去。但是在1859年,伟大的德国数学家波恩哈德·黎曼猜测素数的间隔能从其他数字推理出来,这些数字现在称为黎曼zeta函数的“非平凡零点”。
 
 
黎曼ζ函数的输入可以是复数——意思是这样的数“实”和“虚”两种分量——并产生其他数作为输出。对于某些特定复数值输入,该函数返回零作为输出;这些输入是ζ函数的“非平凡零点”。黎曼发现了一个公式,通过对这些零点序列进行求和来计算达到任何给定截断点的素数。该公式还给出了一种方法来测量素数在其典型间距附近的波动——与预期的素数相比,给定素数的大小有多大或多小。
 
 
然而,黎曼知道,只有当ζ函数的零点满足某个特性时,他的公式才是有效的:他们的实部都必须等于1/2。否则,公式没有意义。黎曼计算了ζ函数的前几个非平凡零点,并确认它们的实部等于1/2。该计算支持了他的猜想,即所有非平凡零点都具有此性质,并且因此所有素数的间隔都能从他的函数得到。但他指出,“毫无疑问,如果这个命题有一个严格证明是一件让人满足的事情。”
 
 
一个半世纪之后,证明黎曼假设仍然是纯数学中几乎最重要的未解决的问题,而对这个问题的解答将从克雷数学研究所获得一百万美元的千禧奖。相反,正如理论家恩里科·博比耶里在他对这个问题的描述中所写的那样,“黎曼假设如果是错的会对素数分布的认知造成巨大颠覆”。
 
 
在数学家们从各个角度试图解决黎曼假设的同时,这个问题也转移到了物理学。自20世纪40年代以来,ζ函数的零点与量子力学之间的联系开始变得有迹可循。例如,研究人员发现零点的间距与原子能级的光谱具有相同的统计模式。1999年,在大卫·希尔伯特和乔治·波利亚的早期猜想基础上,两位数学物理学家迈克尔·贝里和乔纳森·基廷推测存在一个量子系统(即一个位置和动量遵从海森堡不确定性原理的系统)的能级完全对应于黎曼ζ函数的非平凡零点。这些能级中的每一个En对应于Zn=1/2+iEn的零点,就是说其实部等于1/2,虚部由En乘以虚数i得到。
 
 
如果存在这样的量子系统,黎曼假设就成为一个直接的推论。原因是量子系统的能级总是实数(与虚数相反),因为能量是一种物理上可测量的量。而且由于这些En是实数,当它们在相应的Zn的公式中乘以i时,它们变成虚数。永远不会有En的虚部与i相乘,从而抵消它的虚数性质使它变成实的的情况,这样它分配到Zn的实部会将偏离1/2。由于能级始终是实的,ζ函数零点的实部总是1/2,黎曼假设也因而是正确的。
 
 
自1999年以来,物理学家一直在寻找这样一种量子系统,其能级对应于ζ函数的零点。在一篇3月30日发表于《物理评论快报》的论文中,圣路易斯华盛顿大学的卡尔·本德、伦敦布鲁内尔大学的多吉·布罗迪和西安大略大学的马库斯·穆勒提出了这样一个候选系统。但它非常得怪异,有外部专家说,现在还不知道是否会引导出一个对黎曼假设的证明。
 
 
通常,物理学家使用高度对称的数学矩阵来描述量子系统,其解或“特征值”对应于系统的能级。这些矩阵的对称性通常保证了虚数部分相抵消,而特征值是实的,这样的话这些矩阵对物理系统的描述才是有意义的。但是20年来,本德和布罗迪研究了量子系统的矩阵描述,这些描述放宽了通常的对称性要求,满足一个叫做宇称时间(parity-time,PT)对称性的弱条件。在2015年与穆勒进行交流之后,他们发现他们可以写出一个PT对称的矩阵,其特征值对应于黎曼ζ函数的非平凡零点。“这结果真是让我们大吃一惊,”布罗迪说。然而,因为矩阵只是PT对称的,而不是遵循通常更严格的对称性,所以不能保证特征值是实的——这个性质确保相应的零点具有等于1/2的实部。
 
 
他们讲清楚了为什么其矩阵的特征值可能是实的,以及为什么在这种情况下,黎曼假设很可能是正确的,但他们没能证明它。“遗漏的证明步骤是困难还是容易,目前我们无法推测,”布罗迪说,“需要进一步的工作来更好地判断这个证明的难度。”
 
专家们表示,这个新的想法很有趣,但关于作者们能否对其不寻常的量子系统的给出严格论证,还很难讲。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)表示:“我需要更多时间对他们的研究成果对证明黎曼假设的意义给出相关意见。”他还说,他希望更详细地探讨比较他们提出的量子系统与贝瑞(Berry )和基廷(Keating )以前提出的还没能引导出对黎曼假设证明的量子系统。
 
根据布尔加德的观点,如果物理学家真的有一天弄清楚了zeta函数零点的量子解释,那么这甚至可以比黎曼公式更精确地处理素数,因为矩阵特征值遵循非常好理解的统计分布。它还会有其他作用,贝瑞希望,能给出素数分布的量子系统可以作为一个简单的混沌模型,从而演示出与素数相关的混沌行为是如何从一个非混沌的量子系统中产生的。但我们还远没有到那一步。鉴于这么久以来都没有一个对黎曼假设的明确的证明,贝瑞敦促大家保持谨慎的态度,不要过度解读片面的进展。“这对黎曼假设的最新贡献完美体现了皮亚特·海恩(Piet Hein)的格言,”贝瑞说,“值得挑战的难题,必给你带来打击。”
 
 

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