无穷“极简”说

 

原文作者，Adhemar Bultheel。

翻译作者，风无名，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：math001

 

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牛津大学“极简入门”系列读物涉及了从会计学到“犹太复国主义”等等广泛大量的话题。这本《无穷》是其中最小的小册子之一(真正的袖珍书：174×111 mm).无穷这个概念，主要是在数学中具有重要性与实用性，不过它也拥有哲学的甚至宗教的一面。在这个“极简入门”所允许的情况下，斯图尔特(Stewart,本书作者)尽力做到内容广泛，在讨论中加入了大量的历史知识。对于仅有143页的小书来书，谈论的东西实在是太多了。虽然有大量的重叠之处，与马库斯·杜· 索托伊（Marcus Du Sautoy）的《如何对无穷进行计数》和尤金妮娅· 陈（Eugenia Chen）的《超越无穷》相比，斯图尔特的处理更加广泛。后二者更着重在数学专业性。

 

 

无穷即无穷大，曾经长久地作为一个模糊的东西，在哲学基础上进行讨论。古希腊人就实无穷与潜无穷的分别进行了争论。这个潜无穷即某个超越了所有的自然数的东西，通过“枚举”，它是永远不能被达到的。就“可公度性”（那时主要作为达到数学的几何途径）这个概念来说，它们与无穷小是不同的。无穷小超越了有限长度的任何可能小的分割。它们基本的公共的度量是有限的，这导致之诺提出了“之诺悖论”。十八世纪，牛顿与莱布尼兹引入了“无穷小量”克服了无穷小的这个难处。无穷小量表示了某种接近0但又不是0的东西。因为无穷小量不是0，在计算中，其它量可以除以无穷小量。不过，适宜得到结果的时候，无穷小量又被假定为0.那不是很严格的数学。直到十九世纪末，康托尔就无穷大的本质，给予了更深刻的洞见。通过这些历史，斯图尔特解释了无穷这个概念在多个领域怎样发挥了作用。这些领域对于我们今天如何理解无穷这个概念，都有巨大的贡献。

 

 

 

在第一章，斯图尔特提出了一些涉及到无穷的谜题或者悖论。这样，他阐释了仅仅说“无穷是什么超越所有数的东西”是不够的。无穷大需要更加严格的定义，无穷小也是如此。这些背后隐藏了无理数的过程就是例子：当台阶越来越细的时候，楼梯就越来越趋近正方形的对角线（译者注：这里的意思是用类似于楼梯的折线来近似正方形的对角线）；当边数越来越多的时候，正多边形就趋近于圆。这些以一个合适的方式展示了那个0×∞ 型求值的问题。希尔伯特旅馆，阐释了无穷大需要一个更加严格的定义。斯图尔特也给了其它的一些例子。为引起读者的思考，最先提出了这些谜题与悖论。就所有这些让人迷惑的叙述，斯图尔特的解释后面都会给出。

 

第二章解释了：在更高等的数学中，无穷并没有被隐藏起来，而是被嵌入到了基础微积分中。x>1的曲线1/x绕x轴旋转就得到了加百列号角这个图形。它有一个让人吃惊的特性：虽然表面积是无限的，不过其体积却是有限的。当然，无穷也隐藏在“0.9999...等于1”这里，这个事实让很多本科生感到震惊。就像在其它的很多章节一样，斯图尔特很注重历史：戴德金定义实数所用的分割本质上是无穷的对象；朗伯（Lambert）证明了π的无理性；在公元前600年的耆那教中，人们把很大的数语无穷区分开，等等。

 

第三章更加深入得探究无穷的历史。传统上，空间与时间是被假定为无穷的。不过，当考察无穷小的时候，情况就不一样了。人们在处理无穷小事物的时候拥有巨大的困难。之诺悖论这个例子解释了：无穷多个非0的数的和，可以是有限的。从古希腊开始，实无穷与潜无穷就被区分开了，这个讨论在哲学家之间延续了几百年。一些神学家甚至声称：上帝是“无穷”仅存的拟人化存在。

 

 

下一个章节讨论了无穷小，以及它如何触发了微积分的发展。无穷小量这个原初的历史概念，现在被极限这个概念代替了。1960年代当亚伯拉罕· 罗宾逊提出了非标准分析的时候，无穷小量这个概念又复活了。

 

 

在几何学中，无穷就是视野所在。它引导了文艺复兴中透视的发展。这在第六章有详细的讨论，解释了为什么一艘船接近地平线的时候越来越小，以及这如何导致了无穷远处的点与线的概念。欧式平面可以建模为“边界表示为无穷远”这样的圆盘。更具体地，无穷远的线让制作使用透视的绘画变得容易。最终这个讨论以这些想法而结束：射影几何，通过使用立体投影获得的平面与球面的双向映射，无穷远处的点在球面上与北极相对应。

 

 

无穷在数学中是一个有用的概念，不过，它如何出现在物理世界中呢？那是下一章所涉及的。在物理学中，无穷经常导致很糟糕的奇点。斯图尔特讨论了三个例子。彩虹现象的分析是一个光学例子。根据射线光学，如果光从某个特殊的角入射的话，彩虹的强度将会是无穷大。这个奇点使得光必须重新考虑为一种波。在牛顿的引力理论中，当两个质点间的距离变为0，它们的势为无穷大，这就出现了奇点。1988年，夏志宏通过解一个五体问题，引人注目的获得了含有奇点的非物理的解。黑洞是广义相对论中的奇点，在宇宙论中，大爆炸显然是一个奇点。斯图尔特在这里也解释了，当宇宙论学家以曲率为一个参数来确定我们的宇宙是否有限的时候，为什么他们是错误的。

 

最后一章讨论了这些问题：康托尔是如何得到“实数是不可数的”的证明的，这如何导致了集合论与超穷数，以及这如何引起了数学基础的的修正。数学家或者任何对这类数学背景文献有一点了解的人，都对这个故事很清楚了。不过，在这里，斯图尔特，再次追随了“谁做了什么，以及为什么导致最终的结果”这个历史演化过程。这里有大量的信息，由于展示得很紧凑，对于一般的读者来说，阅读过程并不总是轻松的。每一章都有一些参考文献，这对那些想要考查更多细节的读者也许是有益的。有一些精心阐述的方面，是远远超过解释无穷的（比如，彩虹的角度的计算，透视的几何学），不过这些话题，它们自己本身也是有趣的，并且它们在其它的处理无穷的地方是不会发现的。如果你仅感兴趣于无穷的严格的数学概念，上面提到的杜· 索托伊或者陈的处理也许是更纯粹的替代品。不过，在这个小册子中，即使是有经验的读者也有更多的场合学到一些新东西。虽然不重要，不过“那是我不知道的有趣的东西”这种一闪而过的体验，也将使得这本书值得阅读。

 

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