无穷“极简”说

 

原文作者,Adhemar Bultheel

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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牛津大学“极简入门”系列读物涉及了从会计学到“犹太复国主义”等等广泛大量的话题。这本《无穷》是其中最小的小册子之一(真正的袖珍书:174×111 mm).无穷这个概念,主要是在数学中具有重要性与实用性,不过它也拥有哲学的甚至宗教的一面。在这个“极简入门”所允许的情况下,斯图尔特(Stewart,本书作者)尽力做到内容广泛,在讨论中加入了大量的历史知识。对于仅有143页的小书来书,谈论的东西实在是太多了。虽然有大量的重叠之处,与马库斯·杜· 索托伊(Marcus Du Sautoy)的《如何对无穷进行计数》和尤金妮娅· 陈(Eugenia Chen)的《超越无穷》相比,斯图尔特的处理更加广泛。后二者更着重在数学专业性。

 

 

无穷即无穷大,曾经长久地作为一个模糊的东西,在哲学基础上进行讨论。古希腊人就实无穷与潜无穷的分别进行了争论。这个潜无穷即某个超越了所有的自然数的东西,通过“枚举”,它是永远不能被达到的。就“可公度性”(那时主要作为达到数学的几何途径)这个概念来说,它们与无穷小是不同的。无穷小超越了有限长度的任何可能小的分割。它们基本的公共的度量是有限的,这导致之诺提出了“之诺悖论”。十八世纪,牛顿与莱布尼兹引入了“无穷小量”克服了无穷小的这个难处。无穷小量表示了某种接近0但又不是0的东西。因为无穷小量不是0,在计算中,其它量可以除以无穷小量。不过,适宜得到结果的时候,无穷小量又被假定为0.那不是很严格的数学。直到十九世纪末,康托尔就无穷大的本质,给予了更深刻的洞见。通过这些历史,斯图尔特解释了无穷这个概念在多个领域怎样发挥了作用。这些领域对于我们今天如何理解无穷这个概念,都有巨大的贡献。

 

 

 

在第一章,斯图尔特提出了一些涉及到无穷的谜题或者悖论。这样,他阐释了仅仅说“无穷是什么超越所有数的东西”是不够的。无穷大需要更加严格的定义,无穷小也是如此。这些背后隐藏了无理数的过程就是例子:当台阶越来越细的时候,楼梯就越来越趋近正方形的对角线(译者注:这里的意思是用类似于楼梯的折线来近似正方形的对角线);当边数越来越多的时候,正多边形就趋近于圆。这些以一个合适的方式展示了那个0×∞ 型求值的问题。希尔伯特旅馆,阐释了无穷大需要一个更加严格的定义。斯图尔特也给了其它的一些例子。为引起读者的思考,最先提出了这些谜题与悖论。就所有这些让人迷惑的叙述,斯图尔特的解释后面都会给出。

 

第二章解释了:在更高等的数学中,无穷并没有被隐藏起来,而是被嵌入到了基础微积分中。x>1的曲线1/x绕x轴旋转就得到了加百列号角这个图形。它有一个让人吃惊的特性:虽然表面积是无限的,不过其体积却是有限的。当然,无穷也隐藏在“0.9999...等于1”这里,这个事实让很多本科生感到震惊。就像在其它的很多章节一样,斯图尔特很注重历史:戴德金定义实数所用的分割本质上是无穷的对象;朗伯(Lambert)证明了π的无理性;在公元前600年的耆那教中,人们把很大的数语无穷区分开,等等。

 

第三章更加深入得探究无穷的历史。传统上,空间与时间是被假定为无穷的。不过,当考察无穷小的时候,情况就不一样了。人们在处理无穷小事物的时候拥有巨大的困难。之诺悖论这个例子解释了:无穷多个非0的数的和,可以是有限的。从古希腊开始,实无穷与潜无穷就被区分开了,这个讨论在哲学家之间延续了几百年。一些神学家甚至声称:上帝是“无穷”仅存的拟人化存在。

 

 

下一个章节讨论了无穷小,以及它如何触发了微积分的发展。无穷小量这个原初的历史概念,现在被极限这个概念代替了。1960年代当亚伯拉罕· 罗宾逊提出了非标准分析的时候,无穷小量这个概念又复活了。

 

 

在几何学中,无穷就是视野所在。它引导了文艺复兴中透视的发展。这在第六章有详细的讨论,解释了为什么一艘船接近地平线的时候越来越小,以及这如何导致了无穷远处的点与线的概念。欧式平面可以建模为“边界表示为无穷远”这样的圆盘。更具体地,无穷远的线让制作使用透视的绘画变得容易。最终这个讨论以这些想法而结束:射影几何,通过使用立体投影获得的平面与球面的双向映射,无穷远处的点在球面上与北极相对应。

 

 

无穷在数学中是一个有用的概念,不过,它如何出现在物理世界中呢?那是下一章所涉及的。在物理学中,无穷经常导致很糟糕的奇点。斯图尔特讨论了三个例子。彩虹现象的分析是一个光学例子。根据射线光学,如果光从某个特殊的角入射的话,彩虹的强度将会是无穷大。这个奇点使得光必须重新考虑为一种波。在牛顿的引力理论中,当两个质点间的距离变为0,它们的势为无穷大,这就出现了奇点。1988年,夏志宏通过解一个五体问题,引人注目的获得了含有奇点的非物理的解。黑洞是广义相对论中的奇点,在宇宙论中,大爆炸显然是一个奇点。斯图尔特在这里也解释了,当宇宙论学家以曲率为一个参数来确定我们的宇宙是否有限的时候,为什么他们是错误的。

 

最后一章讨论了这些问题:康托尔是如何得到“实数是不可数的”的证明的,这如何导致了集合论与超穷数,以及这如何引起了数学基础的的修正。数学家或者任何对这类数学背景文献有一点了解的人,都对这个故事很清楚了。不过,在这里,斯图尔特,再次追随了“谁做了什么,以及为什么导致最终的结果”这个历史演化过程。这里有大量的信息,由于展示得很紧凑,对于一般的读者来说,阅读过程并不总是轻松的。每一章都有一些参考文献,这对那些想要考查更多细节的读者也许是有益的。有一些精心阐述的方面,是远远超过解释无穷的(比如,彩虹的角度的计算,透视的几何学),不过这些话题,它们自己本身也是有趣的,并且它们在其它的处理无穷的地方是不会发现的。如果你仅感兴趣于无穷的严格的数学概念,上面提到的杜· 索托伊或者陈的处理也许是更纯粹的替代品。不过,在这个小册子中,即使是有经验的读者也有更多的场合学到一些新东西。虽然不重要,不过“那是我不知道的有趣的东西”这种一闪而过的体验,也将使得这本书值得阅读。

 

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