脑洞:一种靠水的力量解方程的装置

 

原文作者:Mark Levi,宾夕法尼亚州立大学数学教授。

翻译作者,daydgi,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

 

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我想描绘一个流体静力学“计算器”,用它可以解出任意阶多项式方程的正实数根。来做一个思想实验,我们从一片不计重量的泡沫板上剪出如图1的形状。其中第n个图形代表着当它被浸入水中的深度为x时,体积为x的n次方,在这里假设所有的薄片厚度都是1。在图2中可以看到我们的“计算器”由一根上面标着“原点0”的轻质杆(重量不计)组成。代表每一个单项式的泡沫板可以被固定在杆的任意位置;不同的是,常数项x0=1用一个可以滑到任意位置的单位重量小滑块代替。


    举个例子,我们来解下面的方程(1):


ax³−bx²+cx−d=0,   


其中系数a,b,c,d皆大于0。这里的系数和它前面的符号共同决定了每个单项式泡沫板在杆上的位置,如图2。因为常数项小滑块不受浮力而受重力,所以它遵循相反的规则:d前面是负号,所以把它放在0的右边。

 

    准备好了“计算器”,我们水平地拿着杆子,慢慢浸入水中,直到用手保持杆的平衡所感受到的力矩变为0为止,也就是说,直到我们的“天平”可以自己平衡为止。这时的深度x就是方程(1)的一个根。


为了理解这个方法是怎么有效运作的,注意多项式ax³−bx²+cx−d=0,  就是所有作用在杆上的合力矩(如图3)。因此当一个特定的深度x使力矩为0时,也就意味着x是满足方程(1)的一个根。


当然,以上的方法适合任意阶的多项式,不足的是这个方法只能得到方程的正实数根。

 

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