终极公理的追求——寻找遗失的真理

 

原文作者:Marianne Freiberger,+Plus网站编辑。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米

 

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之所以有那么多人喜欢数学是因为数学给出的答案是确定的。要么真,要么假,真相就像是从基础本源的地方推理出来的。
 
 
 
但事实却是这样的:一直以来,数学其实在一个本不牢固的哲学基础上发展。上世纪30年代,以库尔德·哥德尔为首的一批逻辑学家向大家清楚地展示了数学判定真理的能力是有局限的。他们工作显示,人们完全可以建立很多不同的数学体系。对于一个确定的语句,它们在这些体系里可能是真,可能是假。这取决于对体系的前提预设的偏好。这让数学更像一个游戏,出于我们的需要,我们可以自行选择规则。——再见吧!完美的柏拉图真理观:数学真理是永恒的、独立的。
 
 
但是,也许还有挽救柏拉图主义的余地。在2010年国际数学家大会期间,我们(Plus)采访了数学家武丁(Hugh Woodin)——尽管可能存在大量不同的“数学宇宙”,但这位数学家依然相信人们能选出大家都认为的“最对的那个”。
 
 
数——空集开始
 
武丁是做集合论的,这是数学中非常基础的领域。数学中,集合指一堆事物聚合——至于是些什么事物并不重要。他们可以是一堆数、符号、三角形,抑或我们还可以把这些数、符号、三角形混合起来组成新的集合。我们经常用花括号来表示集合,比如,如果一个集合包含1、2、3三个数,我们就用{1, 2, 3}表示。集合中的对象叫做元素。有一点很重要,一个集合可以是另外一个集合的元素。举个例子,如果你把你购物车购买所有商品的类别看成一个集合,那么你买的一袋橘子就是其中一个元素,而一袋橘子是一堆东西,故本身也是一个集合。
 
 
集合就是一堆事物的聚合。你也许会意外,这个完全无害的集合概念是数学中最本源的基础概念,但结果显示似乎所有的数学对象都能用集合语言描述出来。
 
 
比如自然是0, 1, 2, ... .如果你遇到一个外星人只知道集合,却没有数的概念。你可以一步一步的按如下步骤定义自然数。
 
 
 
0 就是空集。一个没有任何元素的集合。
 
 
 
1就是{0}, 一个只有元素0的集合。(0我们在上一步已经定义好了)
 
 
2 定义成{0, 1}, 一个集合,它的元素是之前定义好的两个对象。
 
 
3 定义成{0, 1, 2}
 
 
以此类推。
 
 
一般的,自然是n定义成集合{0, 1, 2, ..., n-1},一个包含之前所有定义对象的新集合。
 
 
这种分层式的定义可以很容易地给这些自然数排序,就是说,一个数字我们往后加个一的结果:就是简单地进入下一层级定义的数。自然数和“加一”两个概念就能给出所有算术的定义——因为加法和乘法可以通过不断重复的加一来实现,而减法和除法分别是加法和乘法的逆运算。因此,我们可以只用集合的概念,从空集开始一步一步的建立出自然数的算术体系。而这样的操作表明,所有其他的数学对象,似乎同样都可以从集合构造出来。
 
 
通往无穷之路
 
 
 
也许,集合给予人们最重要的东西就是关于无穷的性质。19世纪末,数学家乔治·康托注意到不需要数数就有办法判断两个集合的元素个数是否相等。你所需要做的事情就是把X中每一个元素和都找一个Y中的元素做匹配,并保证X中没有元素匹配相同Y中的元素。如何你能做到X和Y中都没有剩下没匹配的元素,我们就说两个集合数量一致。或者按数学家的说法:两个集合有相同基数。
 
 
现在,我们取两个无穷集合作例子。N为所有自然数组成的集合,E是所有偶数组成的集合。我们可以做如下匹配(译者注:为了消除误解,添了一个0):
 
 
 
N 0 1 2 3 n
E 0 2 4 6 2n
 
 
 
所以,尽管两个集合都有无穷多元素,其中一个还包含另外一个,我们依然能说这两个集合有相同基数。
 
 
但是,康托同样证明了在自然数和实数之间找不到这样的匹配。实数比自然数“多”,因为无论你怎么找实数与自然数匹配,总有实数会剩下。
 
 
 
这说明存在两种不同的无穷,其中一个无穷大于另外一个无穷。前者,自然数的无穷叫做可数无穷。后者,实数无穷叫做连续统。有个问题是是否有一种无穷“夹在”这个两个无穷之间——这是一个相当复杂的问题,待会儿回来再说。
 
 
康托没止步于这两种无穷,实际上他对所有的无穷都分了层级( hierarchy),一层一层地,高层的无穷大于低层的无穷。他把这种分出大小的无穷叫做基数,甚至他还设计了基数间做算术的办法。每个基数能衡量有确定性质的无穷集合的元素的多少。
 
从康托的工作开始,数学家开始扩充“无穷陈列馆”中的展品——加入大基数这样怪物。关于无穷的结构呈现出的美妙让数学家们无法抗拒。“有一点最吸引人:我们有不同的办法来描述大基数的层级,”武丁说道,“但是,无论用什么办法,这些大基数都止步于相同的层级。”有更深入的定理表明,一种办法给出的关于无穷的概念的确能被其他的办法描述。这某种程度上说明,关于无穷的层级的相关问题的确是集合论的核心基础内容。
 
 
形式化数学
 
 
从某种程度来说,由于领略到集合的抽象的能力,20世纪初的数学家们都认为他们十分接近一个古老的梦想:把所有数学都建立在一个无懈可击的逻辑基础之上,而且这个基础能被证明没有内在矛盾。这看上去似乎有点奇怪,因为数学本身就是一套最严谨的规则。但是,事实上数学里充满大量的隐藏假设和大量的信仰。就拿我们刚刚的自然数的定义来说,我们就非常隐蔽地假设了,空集是存在的。
 
 
康托意识到实数比自然数多。这只是对无穷层级研究的开始。
 
 
为了精确研究数学中类似的灰色地带,就需要把数学建成为一个形式系统。我们需要事先承认一系列清晰明确且无需证明的命题——我们把这样的命题叫做公理。你还需要明确哪些是合法的推理规则,诸如“如果x=y且y=z,那么x=z”这样。于是,如果一个命题从公理开始可以用合法的推理规则推导出来,那么你就只能认为这个命题是真命题。
 
 
 
集合论看上去就能给这样的形式系统提供完美的工具。貌似所有的数学对象都能被集合语言定义出来,而且集合的概念也足以从相对简单精确的集合公理派生出来。有数学家就适时地做了这样的工作。策梅洛和弗兰克尔把数学建立在八条公理之上,就是数学界熟知的ZF公理。这些公理包含“空集存在”,以及一些看上去非常直观的命题,比如“两个集合相等,当且仅当,两个集合有相同的元素”。现在,最常用的公理除了ZF公理之外,还要加一条更为神秘的公理——选择公理。它们一起组成了ZFC公理。
 
 
 
不完备的数学
 
 
公理化的梦想在上世纪三十年代被无情的击碎了,而完成这一击的就是数学界哥德尔证明的两个数学结果。这就是著名的哥德尔不完备定理:任何一个有能力表述自然数算术的形式系统中,总存在命题在该体系下既不能被证明的为真命题,也不能被证明为假命题。哥德尔再给策梅洛的信中写道:“每个形式系统中,都存在一个在这个系统中可以表述,但从这个系统中的公理出发无法判定真假的命题。”
 
 
于是,ZFC中无法判定真假的命题是什么样的?刚刚我们就遇见一个了。因为康托的提点,我们知道连续统基数比自然数大。那么,命题“两者之间没有别的基数”就成为一个著名猜想,叫做“连续统假设”。现在我们知道,在ZFC公理下,连续统假设是不可证的。它既不真也不假,ZFC无法对这个命题的真假做出判定。
 
 
这太让人意外了,我们曾天真的认为连续统假设应该有个确定的答案。或者说ZFC还不足够强大,需要在ZFC里加入更多的公理?我们甚至可以把连续统假设本身就看成公理——换句话说是不加证明地就把它看成一个真命题。
 
 
但这样做也有问题。首先,哥德尔的结果表明,无论新的系统你加什么样的公理,依旧有无法判定真假的问题。再者,ZFC无法判定的命题还有很多很多,把这些公理都加进去不仅会在系统里产生矛盾,还是一种自欺欺人的表现。
 
 
好了,那么这对数学真理的探索到底意味着什么?“有人提出这样的观点——其实有人已经持有这样观点了——集合论中无处不在的不可判定问题说明,集合论的结论已经超越人类的所有感知,于是这些结果没有任何意义。 那仅仅是受限于人类生理结构产生的结论,”武丁说到,“我觉得那不对,但也很难说。除非我们发现了新的外星文明,看到了他们的数学和我们的数学是否一致。”
 
 
遗失的公理
 
 
不过还有一条不用去寻找外星人的折中道路。现在被接受的集合论公理本身就是人类发明的东西。人们之所以选择这些作为公理,是因为我们“觉得”它们是自然的,它们反映出关于集合以及无穷的概念和我们的直觉一致。也许,存在这个一个公理(或者一系列公理),能用更直观的方式将这样的直觉补充的更加完备。尽管我们加入了这些公理后,仍然有不可判定问题的存在,但是,也许之前那些在集合论中大量的不可判定问题就可以迎刃而解。“有人可能会说,这就是在玩游戏。你只是为了解决你的问题而去选择把公理加进去。”武丁说,“但也不尽然。最本源的直觉会限制集合论公理的选择。如果你发现一个问题的答案是那些公理的推论的时候,那么这件事情就不仅仅是游戏了。就是说,ZFC公理系统没有能完全反映我们的直觉。”
 
 
回到20世纪30年代,哥德尔本人就加入过这样额外的公理,叫做构造性公理。加入构造性公理的ZFC公理系统能解决包括连续统假设问题在内的一系列不可判定问题。准确地说,哥德尔设计了一种集合类,它满足ZFC体系以及一条额外的性质,后者能把这些不可判定问题变得可判定的。构造性公理保证了哥德尔构造性宇宙中的集合就是世界上所有的集合:带来麻烦的集合是不存在的。
 
 
遗失的公理是什么?
 
 
可惜,哥德尔宇宙种不包含康托设计的大部分关于无穷集合的层级。和连续统假设一样,在原始的ZFC集合论中,大基数的存在性是不可判定的。但是,一但你在ZFC中加入了构造性公理,那么这些不可判定性就消失了:你能证明,这些大基数中的大部分都不存在。很多集合论学家不能接受这个结论:一个公理使得大量的基础基数分层都消失似乎把限制得过头了。林林总总的各种理由下,哥德尔宇宙以及构造性公理的方案被否决。
 
 
但是事情并没有结束。不知从何时开始,武丁和他的同事们开始了对哥德尔宇宙的系统化修正,让修正后的哥德尔宇宙能容纳越来越大的无穷集合。这些工作引领着武丁去构建一个哥德尔集合宇宙的终极形态的概念。这个终极形态能容纳下所有已知的大基数——也许这就是人们遗失的终极公理。武丁心仪的公理能推导出一种非常大基数的存在性,这个基数叫做武丁基数。
 
 
 
 
武丁之所以乐观地认为他走在正确道路上,缘于他们之前的工作的成功。曾几何时,困扰数学家的一些特定领域的核心问题,其实在ZFC下是不可判定的。现在知道,如果所有的集合都满足“射影决定性”的性质,那么这些问题就能解决,但是先验地没人知道为什么所有集合会满足这个性质。表面上看,射影决定性和无穷层级没有什么关系,但是武丁以及他的同事们的工作表明了两者之间的联系。如果你准备接受一条能容纳下武丁基数的公理,那么射影决定性就会顺理成章的成为一条定理。他们同样能证明,如果服从一些通常的结构性的限制,他们给出的公理是能给出射影决定性的唯一公理。
 
 
 
这种看似没有关联的概念之间的却又有深刻的联系,这让用武丁的方法寻找遗失的终极公理增加了更多的可信度。“如果所有这些只是一个人为的制造物,那么我们没有任何理由去期盼这种形式的成果。我们在以我们的基本直觉为基础来寻找公理,目前也没有任何证据让人能相信这个找寻的工作一定能成功。有点像找寻独角兽。我们自认为我们知道独角兽长什么样,但并不意味者我们就能找到独角兽。”如果你的确找到了独角兽,那么你一定正在做一些正确的事情。
 
 
但是,这个工作并不能保证一定能成功。武丁的终极公理能否走通还依赖于一些没有解决问题,这些问题依旧需要有人来给出答案。“现在非常不确定。”武丁承认。“但现在有一系列的猜想在最近两年提出来,如何这些猜想是对的,那么会让集合宇宙的概念趋向统一。如果达成,将解决连续统假设[视其为真]以及其他不可解问题。我认为,现在整个学科处于一个关键的十字路口。”
 
 
 
 
在2010年世界数学家大会上,武丁作出了一个大胆而又富有争议的预言:他寻找的公理将是“一个公认的经得起考验的描述无穷的原理”。但是,他也表示,如果有新的证据诞生,他也并不排除改变自己的想法。就在几年前,他还斩钉截铁的说,根据他当时的工作结果,他笃信连续统假设应该视为假命题。现在,他改变了看法。
 
 
但是武丁能知道到底何时他的公理能正式生效吗?“这不可能说清。有可能就明年,有可能在100年后。我个人只能说,虽然一些猜想看似非常难,但在未来一两年内我们能在上面取得大量进展。现实如此:没人知道一个数学猜想是在明天解决,还是在一千年后解决。”
 
 

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