不用加减乘除如何描述实数？

 

本文编译自 @downwardsLST 的推特账号

编译作者，Math001

 

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有很多定义实数的办法，他们之中很多都是等价的。但是，如果我想放弃所有的代数结构，只是使用序结构来定义，会怎么样呢？(就是说只考虑大小关系，不考虑加减乘除之类的运算)。首先，我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大小。

 

 

自然数就是那样的集合，而且每个自然数都有一个后继。但是，我们想让自然没有端点，于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了，这样整数就诞生了。但是，这样的集合有太多的缝隙，每两个连续的整数间都有缝隙。

 

 

我们需要填补这些缝隙，于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是，我们这样要求，要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素：这个性质叫做(序)稠密性。

 

 

看吧：有理数就是稠密的。但是，有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要求“完备性”：每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质，填补那些洞的数叫做无理数。

 

 

但是，我们还要现在我们得到的实数不能“太散了”，所以还需要加入条件：如果有一串开区间两两不交，那么这一串开区间至多可数。所以有个问题是这样的：以上的这些性质是不是就能刻画实数？

 

 

这就是“苏斯林假设”( Suslin Hypothesis, 简称SH)。舒斯林假设说：如果一个有序集合满足之前说的所有条件，那么他是否和实数（通常意义的实数）是同构的（这里指序同构）。

你也许已经猜到了：苏斯林假设在ZFC公理体系下不可判定。

 

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