不用加减乘除如何描述实数?

 

本文编译自 @downwardsLST 的推特账号

编译作者,Math001

 

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有很多定义实数的办法,他们之中很多都是等价的。但是,如果我想放弃所有的代数结构,只是使用序结构来定义,会怎么样呢?(就是说只考虑大小关系,不考虑加减乘除之类的运算)。首先,我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大小。

 

 

自然数就是那样的集合,而且每个自然数都有一个后继。但是,我们想让自然没有端点,于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了,这样整数就诞生了。但是,这样的集合有太多的缝隙,每两个连续的整数间都有缝隙。

 

 

我们需要填补这些缝隙,于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是,我们这样要求,要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素:这个性质叫做(序)稠密性。

 

 

看吧:有理数就是稠密的。但是,有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要求“完备性”:每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质,填补那些洞的数叫做无理数。

 

 

但是,我们还要现在我们得到的实数不能“太散了”,所以还需要加入条件:如果有一串开区间两两不交,那么这一串开区间至多可数。所以有个问题是这样的:以上的这些性质是不是就能刻画实数?

 

 

这就是“苏斯林假设”( Suslin Hypothesis, 简称SH)。舒斯林假设说:如果一个有序集合满足之前说的所有条件,那么他是否和实数(通常意义的实数)是同构的(这里指序同构)。

你也许已经猜到了:苏斯林假设在ZFC公理体系下不可判定。

 

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