一个正切函数的疑似中学生习题,我猜你一定做不出来

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三角函数的相关知识们再中小学的时候就接触了。实际上,再高中我们对三角函数的初等性质研究得非常深入,有人也许会产生一种感觉,关于三角函数的一切问题都是中学习题级别的难度。

 

实际上,有很多看上去非常简单和初等的关于三角函数的问题会非常难,甚至至今还属于全人类都没解决那种问题。比如今天介绍的一个关于正切函数tan问题。

提问:是不是有无限多个自然数n满足不等式tan(n) > n

 

实际上,如果你经常做关于自然数和三角函数结合的问题,你会感觉到,很多时候不是再研究问题本身,而是在研究圆周率π的性质。这个问题也不会例外,对这个不等式的研究说不定能让我们对这个神奇的无理数有更深刻的理解呢?

 

如果我们编程算一下,发现满足tan(n) > n的自然数似乎非常非常的稀少。我们哆嗒数学网的小编用Python简单暴力循环计算了一下,在100亿以内满足这个不等式只有6个数,它们是:1 , 260515 , 37362253 , 122925461 , 534483448 , 3083975227 ,这些数看上去间隔越来越大。

 

 

import math

 

for n in range(1,10000000000):

if(math.tan(n)>n):

print(n,"   ",math.tan(n))

 

 

 

实际上,著名数列搜集网站OEIS上列出了满足这个不等式的16个数(数列编号A249836),它们是:

 

1

260515

37362253

122925461

534483448

3083975227

902209779836

74357078147863

214112296674652

642336890023956

18190586279576483

248319196091979065

1108341089274117551

118554299812338354516058

1428599129020608582548671

4285797387061825747646013

 

关于这个不等式的研究,我们能找到的最新的成果是2014年Bellamy,Lagarias,Lazebnik三人和写的4页纸的文章 ( 见http://www.math.udel.edu/~lazebnik/papers/tan_n.pdf)。在文章里,它们证明了满足不等式|tan(n)| > n 以及 tan(n) > n/4的自然数有无穷多个。这篇文章不难,用到的定理也不算太深,相当数量的大二以上的本科生应该能理解文章的方法。实际上这些人在1999年在《美国数学月刊》上也发表过关于这个问题的部分结果。这个杂志对发表内容的层次要求不高,是愿意发表一些相对简单的数学成果的。

 

现在的情况是,要解决这个问题,似乎要去找到一个n/π的小数部分和1/2的某种“性质良好”的逼近,比如60515/π = 82924.49999917..., 37362253/π= 11892774.4999999915 等等。另外,从大部分人对π的小数展开某种“随机性”直觉来猜想,不仅问题本身满足tan(n) > n 的自然数n应该有无穷多个,甚至对任意自然数k,满足足tan(n) > kn的自然数n也应该有无穷多个。

 

这样的问题不是太深刻,比较简单(至少目前涉及的深度来看),而且普通人只要学过高中都看的懂。真的非常适合普通的数学爱好者来做一做,如果有什么进展,那可是全人类第一次完成的“创举”(哈哈……哈),到时候可是你得瑟的机会。

 

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