看看这位大神在三百多年前如何宅在家里学习微积分的

本文作者,Viktor Blasjo,乌德勒支大学数学教授。

翻译作者,misakaNet,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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克里斯蒂安·惠更斯是牛顿和莱布尼茨之前那一代最伟大的数学家。他曾作为科学院的重要成员待在在巴黎,并在那里度过了他一生中的最重要的时光,陪他在这的朋友们。那时莱布尼茨最想做的事无外乎加入这些令人尊敬的绅士们。莱布尼茨仰慕伟大的惠更斯以至于模仿他的一切,模仿他身为数学家的样貌甚至是他的假发。


由于当时时局动荡,加之法国政治环境恶化,外国人都被驱逐出境。莱布尼茨被迫回国,惠更斯也回到了他在荷兰的家族豪宅。而学院的人也都被诋毁为反动的平庸之辈。

但惠更斯并没有去过退休生活。尽管惠更斯年老体衰, 可他并没有放弃在数学学习研究领域与时俱进。而这意味着他要学习他以前的学生莱布尼茨所研究出的微积分新理论。人们常说“青出于蓝而胜于蓝”,说的是学生有可能成为老师,这里更有趣的是,老师有一天也会变成学生。

 

 

这件事的起因是。通过观察那些年来惠更斯和莱布尼茨的通信记录,我们可以看出,惠更斯学习的实践。我们也可以看到微积分的发明者莱布尼茨是怎样教授微积分的,以及在数学领域获得最高成就的人如何学习它。我们还可以看到科学院的前科学研究主任想在在微积分的前沿领域占有一席之地,也得脚踏实地地拿起纸笔。这份通讯记录是历史上独一无二的微积分起源的概览。


惠更斯的表现并不是一个循规蹈矩的学生。他是并不是只会抄公式、问作业。数学证明的细节并不是最大吸引他的地方。他最想知道这些新知识有什么用。他希望新的数学成果有更大的用武之地,不是为了单单的从逻辑上看起来正确,而是在更广泛的范围内成就有对人类有价值的事业。

因此,在掌握了求导之后,他怀疑二阶求导是否只是流于形式,还是真的对某些东西有用。他写信给莱布尼茨:

“我仍然对ddx(二阶求导)一无所知,我想知道你有没有遇到哪些必须要用到它的问题,这些才能给我学习它的动力。”

惠更斯的想要莱布尼兹告诉他:我为什么要学习二阶导数。引入它不是为了机械化的套公式,也不是为了证明而证明,抑或为了人为生造一些题目。不,绝不是那样。随便哪个数学家都可以编造出数不清的这种数学题目。一个新的数学理论一定不是靠解决它自己本身的问题来体现他的价值,而是靠着解决其他实实在在的问题来体现自己的价值。

莱布尼茨看懂了惠更斯的问题后,回复道:

“至于ddx(二阶求导),我经常要用到它。ddx之于dx,就好像外力之于物体,离心趋势之于转动速度。伯努利将其用于计算风帆形状的曲线,而我把它们用于计算行星运动。”

我们关心二阶导数不是因为其让我们再做一次求导运算的符号意义,我们关心二阶导数是因为它是数学上解决大量重要问题的好方法。你想要理解风把帆吹弯的机制吗?你想要描述行星怎么绕着太阳转吗?如果你想,那你也会想要理解二阶导数。

 

 

这并非在说惠更斯对纯数学和应用数学的偏好。举例来说,惠更斯在撰写关于研究钟摆问题的著作时,从具体情况中获得灵感,从而建立了一个彻底的数学模型来抽象且详尽地描述渐屈线和渐开线。他给出了一份一般证明,例如,任何代数曲线的渐屈线都是代数的。这些理论值得最顽固的纯粹主义数学家为之骄傲。

 

对于学习数学来说,最重要的不是应用而是动机。我们不会因为拒绝承认抽象数学的价值而放弃研究自然科学。我们研究自然科学因为她一再证明她自己有着出色的数学品味。而这是那些不能解决任何有价值问题,只能纠结技术上细枝末节的伪问题的平庸的数学家所远远不及的。惠更斯说道:

 

“我常常会认为,这些大自然展示给我们的曲线,以及大自然她自己描绘的曲线,可以说都具有十分显著的特性。就比如我们平时随处可见的圆。抛物线可以用来描述水的流动。椭圆和双曲线,恰好就是日晷的指针投射下来的影子扫过的轨迹,这也是我们在生活中随处可见的。轮子滚动一周轮子上固定的钉子可以描绘出摆线的轨迹。最后是悬链线,它在几个世纪前就走进了人们的视野却从未有人注意到它。在我看来,这几种曲线的价值,人们在自然世界中发现并主动研究出来的,而不是人们为了应用微积分而单独发明出来的。”

 

莱布尼茨肯定道:“你说的对,先生,不能纯粹为了消遣而研究曲线。”

 

如果现代的微积分书仅仅依靠同样的规则。翻阅任何一本标准的微积分课本章节最后的习题部分,你会发现大量的题目都“只是为了把微积分用在它们身上”而存在。——实际上这正是惠更斯所想要谴责的。当微积分的发明者和最优秀的学生都一致认同我们编写课本的方式过于愚蠢的时候,或许我们应该停下来反思一下。

 

当看到惠更斯对指数表达式表明了相似的观点时,现在的学生可能会对他更加同情:

 

“我必须承认,我无法理解把诸如未知数放在指数位置这种操作和自然之间的对应,除非你能指出它们有什么值得一提的用处,否则我是不会考虑把它们引入几何学的。”


莱布尼茨向他展示了那些表达式怎么解决具体的问题的,但惠更斯仍不以为然:“我看不出这些表达式对于那有什么帮助,因为我已经知道这个曲线很久了。”再说一次,先告诉我你的技术手段可以做什么,否则我就没有理由去研究它。如果我可以用其他方法做到同样的事情那你依然不能说服我。

 

我希望我们能有更多的小惠更斯在我们今日的的微积分课堂上。并且我深感忧虑是我们的填鸭式教育让不少学生原理微积分学习,其中不乏可能成为像惠更斯这样的大师的人。而后者甚至认为学习这样的数学实在是在浪费时间。

 

 

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