两位概率论顶级专家获得2020阿贝尔奖

本文主要内容转自阿贝尔奖官方网站。

 

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根据阿贝尔奖官方网站公布消息,2020年度阿贝尔奖颁给以色列希伯来大学的希勒尔·弗斯滕伯格(Hillel Furstenberg)和美国耶鲁大学的格雷戈里·马古利斯(Gregory Margulis),以表彰他们在群论、数论和组合数学中开创性地使用概率与动力学方法。

 

 

弗斯滕伯格介绍

 

当希勒尔·弗斯滕伯格(Hillel Furstenberg) 发表其早期的一篇论文时,有传言说他并非一个人,而是一群数学家的化名。该论文涵盖的思想覆盖诸多领域,真的不可能是一个人的成果吗?

虽然这件事可能是杜撰的,但它说明了在弗斯滕伯格整个学术生涯中存在的一个事实:弗斯滕伯格拥有不同领域深厚的技术知识,并且在这些知识之间建立了深刻而令人惊讶的联系。尤其是,他在遍历理论领域做出了重要贡献,该理论在数论、几何学、组合论、群论和概率论中都有非常广泛的应用。

弗斯滕伯格1935 年出生于柏林。他来自一个犹太家庭。二战爆发的前几个月,他们设法离开德国,逃往美国。弗斯滕伯格的父亲死于途中,他则由母亲和姐姐抚养长大,后来他们生活在纽约的一个东正教社区。当 弗斯滕伯格看到老师在解释著名理论时陷入困境时,他开始对数学产生了浓厚的兴趣.这位学生喜欢自己寻找证据。“有时候坏老师会教出好学生!”他说。他高中和大学就读于叶史瓦大学,并于 1955 年获得学士学位和理科硕士学位。大学期间他就已经发表论文。《关于一种不定式的说明》(Note on one type of indeterminate form )(1953) 和《关于素数的无穷性》(On the infinitude of primes)(1955) 均发表于《美国数学月刊》上,后者为欧几里德的著名定理提供了拓扑证明,即有无限多个素数。

后来弗斯滕伯格前往普林斯顿大学攻读博士学位,他的导师是博赫纳( Salomon Bochner)。他于 1958 年获得博士学位,其论文为《预报理论》(Prediction Theory)。当这篇论文于 1960 年发表时,一位评论家曾说:“这是一篇一流的、高度原创的论文,论述了一个非常难的主题。”

分别在普林斯顿大学和麻省理工学院担任了一年讲师后,他于 1961 年在明尼苏达大学获得第一份助理教授的工作。在 1963 年开始发表的一系列文章中,他凭借《半单李群的泊松公式》(A Poisson Formula for SemiSimple Lie Groups) 继续确立了作为独创性思考者的地位。他的研究表明,随机游走在一个群上的行为与该群的结构有着复杂的关系(现称弗斯滕伯格边界(Furstenberg Boundary)的来源),这对格及李群的研究产生了巨大影响。他被提升为明尼苏达大学的正教授,但在 1965 年,他离开美国前往耶路撒冷的希伯莱大学,一直待在那里直到 2003 年退休。在其 1967 年的论文《遍历理论中的不交性、极小集以及丢番图近似中的一个问题》(Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation) 中,弗斯滕伯格介绍了“不交性”的概念,这是遍历性系统中的一个概念,类似于整数的共素性。事实证明,该概念已应用于数论、分形学、信号处理和电气工程等领域。在其 1977 年的论文《对角线测量的遍历行为和关于算术级数的塞迈雷迪定理》(Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions) 中,弗斯滕伯格使用遍历理论中的方法证明了安德烈·塞迈雷迪(Andre Szemerédi, 2012 年阿贝尔奖获得者)的著名结论,该结论指出,具有正上密度的整数的任何子集均包含任意大的算术级数。弗斯滕伯格的证明比塞迈雷迪更具概念性,并完全改变了这一领域。它的见解也变得富有成效,成为很多重要研究成果的依据,例如格林(Ben Green)和陶哲轩证明了素数的序列包括
任意大的算术级数。

弗斯滕伯格决定在以色列度过自己几乎所有的职业生涯,这使该国成为数学,尤其是遍历理论的世界中心。在 1975-1976 学年,他与本杰明·韦斯(Benjamin Weiss)一起在以色列高等研究院进行了为期一年的遍历理论研究,该研究被认为已改变了这一领域。在其众多荣誉之中,弗斯滕伯格还获得了以色列奖(被视为以色列最高荣誉)和沃尔夫数学奖。他还是以色列科学院和美国文理科学院的成员。

弗斯滕伯格于 1958 年与专攻艺术和文化的杂志作家罗谢尔(Rochelle)结婚。他们有五位子女,十六位孙辈,以及越来越多的曾孙辈。

 

 

马古利斯介绍

 


在辉煌的数学生涯中,格雷戈里·马古利斯(Gregory Margulis) 提出了很多颇具影响力的想法,解决了长期悬而未决的问题,并发现了不同数学领域之间的深层联系。他的标志性方法是以出奇和新颖的方式应用遍历理论,从而创造出一个全新的研究领域。

他 1946 年出生于莫斯科,16 岁时因赢得国际数学奥林匹克竞赛银牌而获得了国际认可。他就读于莫斯科国立大学,1970 年在雅科夫·西奈(Yakov Sinai 2014 年阿贝尔奖获得者)的指导下获得博士学位。他的论文提出了一个非常新颖的想法:他创立了一种测量方法(现称为鲍文-马古利斯测量法),使他能够发现双曲空间几何的新特性。他的方法后来启发了很多新的问题和热门研究领域。

年仅 32 岁的 马古利斯凭借其对李群格子的研究,尤其是算术和超刚性定理,赢得了 1978 年的菲尔兹奖。该算术定理指出,秩大于 2 的任一半单李群的不可约格均是算术的,而超刚性定理指出,该格子的表示可扩张成周围李群的表示。超刚性定理证明了遍历理论新的应用,建立了强有力的新方法,在很多领域都颇具影响力。

1978 年雅克·蒂茨(Jacques Tits, 2008 年阿贝尔奖获得者)谈及马古利斯时表示:“毫不夸张地说,他屡次解决了在当时看起来似乎完全无解的问题,让专家们为之一惊。”然而,由于苏联当局拒绝为他提供签证去参加在芬兰赫尔辛基举行的颁奖典礼,马古利斯因此未能拿到菲尔兹奖。1979 年,当苏联学者拥有更多的人身自由时,他才获准出国旅行。20 世纪 80 年代期间,他访问了瑞士、法国和美国的多个研究机构,并于 1991 年定居耶鲁大学,此后便一直待在那里。

在其职业生涯早期,马古利斯曾因犹太人出身遭到歧视。尽管他是该国最杰出的年轻数学家之一,却无法在莫斯科大学找到工作。相反,他在不太知名的信息传播问题研究所工作。然而,与该研究所同事们的接触让他有了一个举世瞩目的发现。他从同事那里了解到一种被称为“扩展图”的连通网络。马古利斯在数日之内便使用表示论(一个抽象的、看似无关的领域)中的概念创立了扩展图的第一个众所周知的例子。他的发现是史无前例的,而且广泛应用在计算机科学领域。

1978 年,当 马古利斯公开现在称之为正规子群定理(关于李群中的格子)时,他再次展现了自己以出人意料的方式证明定理的技巧。他的证据一方面是一种非常原始的顺从群理论的组合,另一方面是表示论中的卡什但性质 (T)。

1984 年,他采用遍历理论中的方法证明了奥本海姆猜想,这是一个于 1929 年首次提出的数论思想。比结果更重要的是以这种方式运用遍历理论的整个想法,而这创造了一个新的领域,现称同质动力学。最近三位菲尔兹奖获得者林登施特劳斯(Lindenstrauss)、米尔扎哈妮、 (Mirzakhani)以及文卡特什(Venkatesh)的研究成果均基于Margulis 的早期思想。

Margulis 的研究成果不仅丰富,而且涉及多个领域。2008 年,《纯数学与应用数学季刊》(Pure and Applied Mathematics Quarterly)刊登了一篇文章,列举了 马古利斯的主要成果,篇幅超过 50 页。

2001 年,马古利斯当选为美国国家科学院院士。他还是罗巴切夫斯基奖和沃尔夫奖获得者。

马古利斯与其夫人 赖莎(Raisa)育有一子,并有一个孙女。

 

 

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