40多年的一个离散几何问题的解决

 

本文原文源自EurekAlert网站

翻译作者，阿枪，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：Math001

 

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以色列理工学院的蒋子麟和莫斯科物理技术学院的Alexandr Polyanskii证实了匈牙利数学家LászlóFejes Tóth球带猜想(zone conjecture)。该猜想是在1973年提出的，它描述了：如果一个单位球面被几个长条完全覆盖，则它们的宽度总和至少是π。其证明发表在《Geometric and Functional Analysis》杂志上，该证明对离散几何以及其新问题得以形成非常重要。

 

（姜子麟，2007年进入北京大学数学科学学院学习，2011年获理学学士。毕业后赴卡内基梅隆大学攻读博士学位。现为色列理工学院数博士后）

 

 

（Tarski证明了半径为1的圆不能完全被宽度小于2（圆的直径）的长条所覆盖。图像中的每一长条都有自己的长度和颜色。）

 

离散几何研究点、线、圆、多边形和其他几何体的组合性质。例如，它处理的问题有：在一个球的周围最多能放多少个体积相同的球？或者，如何以最密集的方式放置最多的圆在某一平面，或相同大小的球在某一空间？

这些问题的解决方案有着实际的应用。因此，最密堆积问题有助于优化编码和修正数据传输中的错误。另一个例子是四色定理，它的内容是：四种颜色足以绘制任何一个球面地图，使得没有任何两个相邻的区域具有相同的颜色。它促使数学家引入众多对于化学、生物学、计算机科学以及物流系统的最新发展至关重要的图论概念。

László Fejes Tóth球带猜想与离散几何学中的许多其他问题密切相关，这些问题涉及用长条覆盖表面，在20世纪得到解决。第一个就是所谓的“木板问题”，涉及到用平行线组成的长条来覆盖圆盘。Tarski和Moese提供了一个简单而优雅的证明，用来覆盖圆面的长条（或木板）的宽度和不超过圆盘的直径。这就是说，没有比用宽度与该圆盘直径相等的木板来覆盖它更好的方法了。Thøger Bang随后解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说，他证明了覆盖单个凸体的长条的宽度之和，即能覆盖凸体的单个长条的最小宽度，至
少是物体本身的宽度。

 

 

(球体上的宽度为ω的部分用黄色区域表示)

 

作者所处理的问题是不同的，因为它涉及到用特殊构造的区域覆盖一个单位球面。具体来说，每个区域都是球体与某个三维平面的交，其中平面是包含在两个平行平面之间的空间区域，这两个平行平面相对于球心是中心对称的。或者，可以在测地线的度量空间中定义区域，而不必求助于木板：单位球面上的宽度ω区域是距离大圆或赤道不超过ω/2的一组点，各点之间的距离被测量为连接它们的最短弧。数学家们必须找到覆盖单位球面的这些长条的最小宽度和。因此，这个问题不同于以前解决的测量宽度的方法：它被定义为弧的长度，而不是平行线或平面之间的欧几里德距离。

 

姜子麟和Polyanskii提出的证明是由Bang启发而来的，他通过在物体内构造一个特殊的有限点集来解决用长条覆盖物体的问题，其中应当有一个点不被任何一个长条所覆盖。在某种程度上，Bang和作者都提出了矛盾的证明。在球带的猜想中，数学家们假设，完全覆盖单位球面的长条的宽度和小于π，并试图找到一个矛盾--即找到一个位于球体上的点，但不在任何一个长条里。

 

作者们证明了，在三维空间中，可以找到这样一个点集，其至少有一个点不被覆盖球体的长条所覆盖，从而也不会被该区域覆盖。如果该点集全位于球体内，那么就很容易在球面上绘制另一个也不被长条所覆盖的点。如果集合中的任何一点恰好位于球体之外，那么就有可能用一个与所有较小长条宽度和等宽的较大长条代替这几个较小的长条。因此，可以在不影响其宽度和的情况下减少初始问题中的长条数。最终，球体上的一个点被确定为不被长条覆盖的点。这与长条的宽度和小于π的假设背道而驰，也就证明了球带的猜想。 

 

（完全覆盖球体的长条。这五个区域，每一个都有自己的宽度和颜色。）

 

这个问题在n维空间中得到了解决，作者说，这与三维空间中的情形没有什么不同。

 

“Fejes Tóth问题已经吸引了离散几何学领域的数学家们在40多年的注意力。”莫斯科物理技术学院离散数学系的作者Alexandr Polyanskii说到，“我们很幸运的找到了这个问题的一种简洁的解，Fejes Tóth问题促使我们去考虑另一个更为基本的猜想：球体被定义在球体与三维平面的交集上的移动长条所覆盖，该长条不一定中心对称。”

 

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