和菲尔兹奖得主一起在微博上讨论数学作业是怎样的画风?

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我们知道,中国人喜欢用的微博,在国外很少有人用的。他们喜欢用一个叫作推特的东西,使用方式和国内的微博差不多。

 

和国内的微博一样,大家在推特上发表的话题大部分是娱乐倾向的话题。一本正经的聊大学数学作业的就更少了 。这几天,就发生了这样有趣的一幕。

Barbara Fantechi 是意大利国际高等研究院的数学教授,其领域是代数几何。如果你百度她的名字,能搜索到她的一部著作——对格罗滕迪克名著FGA的解读。

她在推特上贴出了一个“作业题”:

假设A是一个非空集合,+是A上满足结合律和交换律的一个运算。对任意A中的元素a,A到A的映射x→x+a是双射。求证:(A,+)是一个交换群。

 

既然是大教授出的题目,看到的人即便要回复,也会给点面子吧。回答之前,都会对问题本身来个“高度评价”。 一位韩国的老师进行了回复。她首先说,这个问题对自己来说并不trivial,然后继续写出解答:

 

 

首先,我要找出单位元0。对每个a,由于双射的性质,我们能找到x(a)满足x(a)+a = a。 我想让x(a)的值和a的选取无关。用a+b诱导一个式子x(a+b)+a+b=a+b=x(a)+a+b,于是由双射的性质,则必有x(a)=x(a+b)。这样,就得到了单位元。于是,我们把-a选成由双射诱导的,与a运算后得到单位元的那个元素。最后,他还问:我想知道,我是不是用到了选择公理?能不能不用。

 

很多人回复:其实没用选择公理。

 

很多人参与的解答,方法都大同小异。连菲尔兹奖得主高尔斯也来凑热闹,在回答前,他首先说了一个“免责声明”,说自己的解答没有仔细验证过,不排除犯低级错误的可能。

高尔斯的回答是,对任意x和a,因为加法x+a是双射,所以存在b满足 x+a+b = x。于是得到,对任意y,有 y+x+a+b =y+x。再因为双射的性质说明a+b是单位元。不排除有更高端的证明方法,我来看看别人的回复吧。——PS,这个问题非常简单,但不显然。当我明白它不平凡之后。

 

有人也玩起了花样,用上了范畴论,他这样回答的:

1、 映射x→x+a是集合A自身的同构

2、 因此以这些映射作为态射,构成一个单对象范畴。

3、 每个态射都是同构的单对象范畴构成一个群。

4、 根据假设,得到运算交换性。

 

回复中,有人对这个办法提出异议。说:

对于第1条,需要证明逆映射也有x+a形式。

对于第2条,需要证明恒等映射也有x+a形式。

 

还有人开始讨论,题设是否能精简。比如双射的条件能不能改成满射,而无需单射的条件。有人回复说,只是满射的话,逆的唯一性满足不了。

有人认为交换性的条件可以不需要。马上有人就回复了反例:如果加法定义成 x+a = x(原推应该有笔误),映射满足除了交换性的所有条件,但这个运算都不能做成一个群。

当然,还有人吐槽:你的推文让我头疼……,Fantechi教授只好回复说:Sorry。

 

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