我们就是要纠结1+1=2的问题!

 

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作者,南梦玲,哆嗒数学网原创组成员,北京绳索技术协会常任理事​

 

“你数学那么好,那你能证明1+1为什么等于2吗?这可是连陈景润都证明不了的!”相信各位身边有数学学霸的小伙伴们或多或少都问过其相关问题,然后就是一通争论,吵得面红耳赤最后绝招:我要和你绝交!

 

其实真的不需要为了这个问题就影响了好朋友的关系。好吧,我们哆嗒数学网的小编为了挽回各位小伙伴们纯洁的友谊,仔细认真的向大家介绍下1+1的故事。

 

     

 

陈景润老师不能证明1+1的问题,这真不是他老人家的错,这里我们不做过多介绍,只是向大家强调,我们所讨论的1加1绝不是哥德巴赫猜想,而就是讨论1+1=2的问题。

 

本文将从两部分介绍相关问题。

 

第一部分

 

       “上帝创造了自然数,其余的是人的工作。”——克罗内克(1823-1981)

 

 

早在远古时代,人类采集果实和打猎中产生了对计数的需求,于是使用手指、树枝、刻痕、石子等实物来进行计数。例如五个石子代表五个果实,七条划痕代表七个猎物等。这样经过较长时间,随着生产和交换的不断增多以及语言的发展,渐渐地把数从具体事物中抽象出来形成了数字,(比如古印度数字、古中亚楔形数字、古埃及数字、古玛雅数字以及现在世界通用的阿拉伯数字。(阿拉伯人是上帝?)先有数字1,以后逐次累计得到2,3,4......这样逐渐产生和形成了自然数。因此自然数也就是用来表示事物个数的存在。

 

而0的诞生,则代表空无一物,最初的时候,0是否为自然数颇具争议,后来国际标准ISO/IEC 80000-2规定,0属于自然数。在此我们不做讨论。

 

那么,很自然的,地上有1个苹果,再放上1个,就是2个苹果。这也是最早的加法的使用,纯粹的实物累计作用。这也就是为什么我们说1+1=2的最根本所在。

第一部分结束。

 

N年以后……

 

第二部分

 

随着时代的变迁,数学的发展,人类终于进入了新的时代不用再光着身子到处跑。我们不仅仅解决了穿衣服的问题,而且也对数的研究也有了惊人的发展,基底有了统一的规范,生活常用以十为基底的十进制计数法并且扩充数的范围到了有理数。某人被投河杀的事件也标志着无理数的诞生。公元前300年欧几里得大作《几何原本》的诞生宣告了公理化体系走进了数学领域。

 

 

什么是公理和定理呢?用通俗的语言说,就是人们找出一些基本的大家都认同的概念,当做不需要证明的本身就是正确的公理,(即人为规定它就是真,不服你咬我呀。有关黎曼咬欧几里得的故事请参看长篇小说《黎曼几何》)而从这一系列公理的集合,推理出的其他一些为真的命题,就是定理。

 

       而我们的自然数的,自然也必须将被公理化。

 

       1889年皮亚诺的名著《算数原理新方法》(Arithmetices principia,nova methodo exposita)出版,书中他给出了举世闻名的自然数公理。这里,我们将再次回归1+1的问题。

 

皮亚诺公理

 

         0是自然数;

         每一个确定的自然数n都有一个确定的后继,记作n'。n'也是自然数;

         如果m、n都是自然数,并且m' = n',那么m = n;

         0不是任何自然数的后继;

         如果一些自然数的集合S具有性质:0在S中,且有,若n在S中,则n'也在S中,那么S = N。

 

这里我们把0当做自然数的第一个数字。(这可能和皮亚诺最开始的表述不一样。为了方便我们不去考虑0的问题)

 

在这里我们能看到,0是一切的开端,它不是任何自然数的后继数。那么0的后继是什么呢?总要有个符号来表示吧,那就是1;而1的后继,就是2。以此类推,我们将得到全部的自然数,用N来表示。

 

在这里我们再定义一下加法,也就是符号"+"的含义:

  • 对于任意的自然数m有, 0+m=m  
  • 对于任意的自然数m和n n'+m=(n+m)'

 

我们有了皮亚诺公理和+的定义,接下来就可以来证明1+1等于2了。

 

1+1=0'+1        (因为1是0的后续,所以第一个1用0的后续来代替)

=(0+1)'          (根据加法定义II)

=1'             (根据加法定义I)

=2              (1的后续用符号表示就是2)

 

到此我们便在皮亚诺公理体系之上,证明了1+1=2这个定理。

 

到此告一段落。不知小伙伴们纯洁的友谊是否得到了弥补?在此笔者祝愿大家永远不要忘记,争论这些本源问题时,我们所抱有的求知欲望。

 

其实关于自然数的皮亚诺公理还有很多故事可讲,比如Hatcher从一些基础系统,包括ZFC和范畴论推导出了皮亚诺公理。他也从弗雷格的Grundgesetze系统出发,使用现代符号和自然演绎谨慎的推导出这些公理,虽然罗素悖论曾经让其很悲剧,但George Boolos和Anderson与Zalta等人对它进行了修补,这就又是另外的传奇故事了。

 

 

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