希尔伯特几何公理介绍
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作者，大漠，哆嗒数学网群友，高中生。
符号及一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面
点用A,B,C,D……来表示；
直线用a,b,c,d……来表示；
平面用α,β,γ,δ……来表示。
点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系
点A在直线a上：A∈a
点A在平面α上：A∈α
直线a在平面α上：a⊂α（直线的每一点都在平面上）
点B在点A与点C之间：B∈AC（我自己规定的符号）
线段AB与CD相等：AB=CD（原书是用≡号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号）
∠AOB与∠COD相等：∠AOB=∠COD
等等……
（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是{(x,y)|Ax+By+C=0}，其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。
我这里的关系符号∈，⊂，=并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。
总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）
公理I关联公理
本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）
I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得A,B∈a（存在性）；
I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得A,B∈a（唯一性）；
（对于1,2，我们可以说两点确定一直线）
I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；
I4：对于不在同一直线的三点A,B和C，恒有一平面α，使得A,B,C∈α；（存在性）对于任一平面α，恒有一点A，使得A∈α；
I5：对于不在同一直线的三点A,B和C，至多有一平面α，使得A,B,C∈α；（唯一性）
（对于4,5，我们可以说三点确定一平面）
I6：若A,B∈a且A,B∈α，则a⊂α；
I7：若两平面α，β有一个公共点A，则他们至少还有一个公共点B；
I8：至少有四点不在同一个平面上。
以上。
其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。
公理II顺序公理
本组公理有四条，规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。
II1：对于点A,B,C，如果B∈AC，则点A,B,C是直线上不同的三点；这时，B∈CA也成立；（如图）
II2: 对于点A,B∈a，恒有一点C∈a，使得B∈AC；（如上图）
II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；
根据上面，我们就可以定义线段了：
对于直线a和直线上的两点A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。
II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a，若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段AC或CB的一点（如图）
以上。
接下来定义射线
先定义同侧：设A,A’,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A’之间，则A和A’称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。
那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）
公理III合同公理
本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。
III1：对于线段AB和一点A'，恒有一点B'，使得线段AB与线段A'B'相等，记为 AB=A'B'
因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：
AB=A'B'，AB=B'A'，BA=A'B'，BA=B'A'
III2：若AB=A'B'且AB=A"B"，则A'B'=A"B"；
（根据1,2，我们才能得到线段AB与自己相等，才能得到AB=A'B'与A^' B^'=AB等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）
III3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段A'B'，B'C'在同一直线a'上，且也无公共点。如果AB=A'B' 且BC=B'C',则AC=A'C'
这条公理还要求线段能够相加，可以定义AB+BC=AC（其中A,B,C共线）
相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。
我们先定义角的概念：
对于不同一直线的三点O,A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为∠AOB。O称为∠AOB的顶点，射线OA，和射线OB称为∠AOB的边。
同样与A,B的次序无关。
根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。
III4：对于∠AOB，和一条射线O'A'，在射线O'A'所在的一个平面内，有且只有一条射线O'B'，使得∠AOB与∠A'O'B'相等，记为∠AOB=∠A'O'B'。而且有∠AOB=∠BOA。
如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的
∠AOB=∠A'O'B'，∠AOB=∠B'O'A',∠BOA=∠A'O'B^',∠BOA=∠B'O'A'
然后先定义三角形：线段AB,BC,CA所构成的图形，记为△ABC。
III5：若△ABC与△A'B'C'，有下列等式
AB=A'B',AC=A'C',∠BAC=∠B'A'C'
则有∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B'.
这条公理可以理解为三角形全等（SAS），事实上SAS这个公理的直接推论。
公理IV平行公理
这条公理显得很苍白，但在历史上很重要……
先定义平行：
对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，则称a与b平行，记为a∥b.
IV（欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线b，使得A∈b且a∥b。
根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。
公理V连续公理
V1（阿基米德原理）：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n，使得沿着射线AB，自A作首尾相连的n个线段CD，必将越过B点。
在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个正数a,b，必存在正整数n，使na>b
V2（直线完备公理）：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于任意的A∈a，B∈b，则总存在一个点C，C∈AB。
也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理I~IV的
（书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）
要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！
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