莫比乌斯带:在拓扑中有着最丰富的故事

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,金星光,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,mathyrl。

 

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遇见莫比乌斯带——拓扑世界中最具有“讲故事”潜力的拓扑结构。

 

 

如果你和数学家戴在一起或者去参加数学拓展项目,你很有可能会遇到莫比乌斯带。它在数学世界中是一个很特别的存在,原因在于它很容易被制作,娱乐性很强并且隐藏着一些令人吃惊的数学秘密。

 

你可以在自己舒适的家里,仅仅用一条纸带或者意大利面团就可以做一个莫比乌斯带。将纸带(或面团拉成条状后)一端固定,另一端旋转半周后,将两端粘到一起就可以得到一个莫比乌斯带。它看起来很像一个圆柱体,但还是有些不一样的。如果碰巧你是一个编织手的话,或许能够制作一个可以穿戴的莫比乌斯带。

 

 

我们通常使用莫比乌斯带来说明拓扑学中的可定向性。可定向性是你所熟知的但却很难被定义概念之一。我不记得有多少次我盯着我的教科书里对于“定向”的定义:“一个对于局部定向的连续选择。”我觉得这个解释毫无用处。为什么这个词的定义中还会包含这个词。

 

还有一个更直观的方式去理解可定向性,至少对于一个在三维空间中的二维的物体来说,空间是可定向的。如果你可以选择“向里”和“向外”或者“向上”和“向下”,来定义二维空间表面每一点的方向,并且这个方向具有一致性。你该不会用“从上到下”来定义一个相同点的方向吧?

 

或许弄清楚莫比乌斯带最直观的方式是将一个球体、一个圆柱体和一个莫比乌斯带一起把玩。如果你拿着一个球体,在北极点处你可以宣称此点方向“向外”,指向为竖直向上。当你在球面上移动该点时,“向外”的方向仍然指向球体外部。相比之下,试着在莫比乌斯带上任意选择具有“向上”或者“向下”的点。当你沿着莫比乌斯带滑动时,最终回到最开始所选择的点,方向已经由“向上”变成“向下”了。尽管你用一张具有正反面的普通纸制作成莫比乌斯带,但此时已经失去了正反面。你可以通过直线移动,从纸的正面到背面,而不是把纸翻转过来。

 

在莫比乌斯带中蕴含着很多数学中的奇妙现象。一个经典的做法是将莫比乌斯带沿中间剪断,看看你能得到些什么。如果将莫比乌斯带沿三等分线剪开呢?如果你将莫比乌斯带再多旋转几个半周、结果又会怎么样呢?比起在博客上阅读,不如自己在家里验证会更有意思。

 

我最近才了解到到的有关莫比乌斯带的特性是六色定理。你可能听说过四色定理:任何一张地图都可以用四种不同的颜色将其涂满,并且相邻的国家颜色不同。这个定理并没有它所陈述的那样正确。我们需要指定这张地图是在球面或平面上。准确来讲,不同的表面上有不同的地图颜色定理,而对于莫比乌斯带,它是六色地图定理。

 

要使这个定理得到验证,首先要记住莫比乌斯带是像任何好的数学对象一样,是一个理想化的存在,它并不存在于我们混乱的现实世界中。它是二维的,不是像真实的纸张那样是三维的,因为不存在任何的厚度将它前后面分开。为了将这一观点形象化,你可以用一张透明的纸制作一个莫比乌斯带。这样,当你绘制你的地图时,你就不能在任何一点上把纸的两侧染成不同的颜色(莫比乌斯带是二维的)。如果你在一张纸上绘制地图,然后再把它折成一个莫比乌斯带,那么平面上的四色定理将会起作用。

 

 

在这里我有一张需要用六种颜色涂满的莫比乌斯带的图片。在你的电脑屏幕上可能很难看出来,最好的方式是自己在家里制作一个吧,而不是听我在这里讲!

 

莫比乌斯带也同样吸引着艺术家。你可以制作或者购买印有莫比乌斯带图案的围巾、吊坠和戒指,你甚至可以演奏有关莫比乌斯带的音乐。它讲故事的潜力也是很强大的:你沿着某个东西转了一圈,回到起始的地方但迷失了方向。向上变成向下,向里变成向外。或许以莫比乌斯带作为故事的创作背景,最赞的就是Vi Hart创作的感人故事啦, Wind 和 Mr. Ug,两个“似乎”永远不可能相见的朋友。

 

(https://www.wimp.com/mobius-story-wind-and-mr-ug/ 这是这个故事的链接视频,没有字幕但很容易听懂。整个创作是在一个莫比乌斯带上完成的,先是讲了 Wind and Mr. Ug的故事,后来是Wind 与她的a little pet dog的故事,但后来发生了地震,至于这个故事的结局还需要大家自己去制作一个莫比乌斯带去探寻哈~)

 

 

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