甜腻腻的情人节的卡片:长数轴

 

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我必须坦诚交代我曾经对长数轴(long line)有着微微的敌意。但是当我看到Mike Lawler发的推文的时候,我觉得应该给再长数轴一个表达自己的机会。

 


Mike Lawler: 
我对你的爱就像长数轴 —— 真情如往,仅更久长

 

 

就是说,长数轴是拓扑空间中的一张甜腻腻的情人节卡片。是否能找到它背后所有的意义,就是让我在数学里找寻爱情的表达,最幸福的事情莫过于此。

 

就像它名字表达的那样,长数轴真的很长,某种意义上说它比通常的实数轴“长”。我们能把通常的实数轴看成一串单位长度的区间一个接着一个拼接而成的直线。或者说明确一点,区间的个数与整数一样多。长数轴基本也一样,只不过区间的个数与实数一样多而已。


无论如何,如果这样的长数轴能作出来,应该是很赞的事情。但是,真相有点诡异,它会让我们撞入集合论错综复杂的旅程之中。集合论中关于无穷的很多断言曾经让数学家康托疯掉。我这里有言在先!

 

为了定义长数轴,我们得先讨论一下不同数量的无穷。当数学家们讨论集合的数量,或者说集合的基数,他们用的思想是一一对应:如果两个集合中,从第一集合里取出的每一个元素,都能从第二个集合取出一个元素与之配对,一个不多也一个不少,我们就说这两个集合有相同数量。换种说法,如果我们不想数手指的话,我们把两个拇指对起来,再把食指对起来,一直下去,直到把两只手的所有手指都对应了起来,于是我们知道,两只手的手指数量是相同的。

 


当我们把此方法用于无限集合的时候,奇怪的事情就会发生。虽然偶数只是整数的一部分,但是整数和偶数是一样多的。我们可以把整数写在左边一列,偶数写在右边一列,左边写n的地方,对应的右边写上2n。于是,我们找到了一个一一对应,这两个集合元素的数量是一样多的。然而对于有限集,你是找不到这样的一个一一对应的。

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实数集合已经被证明是比整数多的,所以我们知道了至少有两种不同数量的无限集合。实际上,我们有从一个数量少一些元素的集合得到元素数量更多的集合的一般方法。所以,我们可以从整数的无穷开始不断生成无穷多个拥有元素数量越来越多的无穷集合。对于整数集合的无穷,我们把它叫做可数无穷。

这和我们要说的长数轴有什么关系?长数轴的确切定义其实不是用实数多个单位区间拼起来。而是把最小的不可数无穷(smallest uncountable infinite)多个区间拼在一起而组成的。


到了这里,我们将撞入连续统假设问题。连续统假设是说实数的无穷就等于最小的不可数的无穷。所以,如果实数的基数和最小的不可数的无穷相等,那么我先前长数轴的描述才是准确的。如果不是,实数无穷和整数无穷之间还有别的无穷的话,构造长数轴的区间数量应该用那个最小的不可数无穷替代。

那么,连续统假设是真的吗?好消息是,你认为它是真的是没问题的!1963年,Cohen证明了连续统假设和决定数学底层的策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾。连续统假设不成立,也和策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾(编者修正:这是一个误解,实际上连续统假设与策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾在20世纪30年代就由哥德尔证明了,Cohen证明的只是后者,即,即便连续统假设不成立,也和策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾)。就是说,连续统假设这个命题和数学的公理体系是独立的。你不可能用现有的数学公理证明或者否定连续统假设。一些人认为,这说明我们的数学底层还不完美,但我更倾向于支持另外一种说法——我们可以在一些没有矛盾公理体系之间自由切换。

我们是否决定接受连续统假设,取决于我们用长数轴能做多少事情。它有什么好处?和许多我喜爱的拓扑空间一样,长数轴可以用来打破你之前喜爱的数学用具——这是一个绝妙的反例。在这种情况下,长数轴告诉我们如果我们有太多好东西,也许并不一定是好事。最基本的,在长数轴上,我们不能建立微积分体系,因为它太长了。

至于原因,这牵涉到很艰深的技术手段,特别是你刚刚费尽脑汁思考完“最小的不可数无穷”的时候,我们来说说建立微积分体系要满足的三个条件也许更容易接受一些:第一,从局部看,它要和某个维数的欧氏空间相似;第二,它得是豪斯多夫的,就是说你可以让空间内的点分离开;第三,它还得是第二可数的,就是说它能从比较少(可数多)的集合中构建出来。长数轴不满足最后一条。虽然,你可能认为长数轴基本上和普通实数轴一样,但是它们其实有根本的不同,就是因为长数轴太长了。


“吾爱汝深深几许?今且听吾细数之…”(How do I love thee? Let me count the ways…),如果你心里总惦记长数轴的话,这勃朗宁夫人的诗句听起来也没那么动人了,“吾爱汝深深几许?勿可令吾细数之,犹如集构长数轴, 实为永世不可数!” 虽然诗意少了些,但貌似能更浪漫的表达你的感情!

 

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