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巴尔戈瓦(Bhagarva)是2014年度菲尔兹奖的四位获奖者之一。他在接受数学家大会记者采访，简单的介绍了自己所做工作。他的介绍非常浅显，和大家一起分享一下。

 2000年5月，克雷数学研究所提出了七个数学和物理方面的难题，并为每个难题悬赏100万美元，就是说，如果谁能解决这七个问题中的任意一个，就能得到100万美元奖励。七个问题中，有一个问题叫做贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，是关于预测某些方程是有整数解或者有理数解的一个数学猜想。Bhagarva研究的问题就和贝赫和斯维讷通-戴尔猜想有关系。

 有一类曲线方程方程被叫做椭圆曲线方程，它们中间有的就长得像这样的形式$y^2=x^3+ax+b$。这里，$a$和$b$是给定的整数，$x$和$y$是变量。这个形式，已经最简单的一种情况的椭圆曲线方程。但是，就算如些简单的形式，我们并不知道判定方程是否有整数解或者有理数解的一般方法。为叙述方便，下文中提到的解，都是指这样的解。

     你也许和哆嗒数学网的小编一样，觉得问题看上去并不难，但在现有已知算法中，没有一个算法能判定这样的方程是否解。不过，有一个大家都很推崇的算法，很遗憾，也没有人知道这个算法是可行的，还是不可行的。但这个被推崇的算法允许方程有有限多个解还是无限多个解。所以，如果那个算法可行，那就太让人兴奋了，因为那算法能的告诉我们三次方程怎么解，进一步四次方程的情况也有办法。这个就太经典了，它能把数学代入一个全新的世界。

    巴尔戈瓦并没有证明这个算法在任何时候都可行的，而是证明的是它在大多数时候是可行的。就是说，如果你随机的抽取一个椭圆曲线，这个算法是可行的可能性超过66%。在这之前，人们甚至不是知道这个可能性是不是大于零。所以，能知道这样的一个结果是一个有重大意义的突破。当然，这个猜想的本身并没有被证明。

 

 

 

 

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     2014年数的国际数学家大会期间，一位70多岁的老人以《我的数学人生》为题，向大家进行了一场公开演讲，这是本届大会第一场公开演讲。

     这位老者是谁，为何如此之“屌”？

     他，与数学大师陈省身亦师亦友，一起创立过微分几何的重要理论，并在38岁拿到几何领域最高奖之一的Veblen奖。

     他，40多岁时放弃大学教授的工作，去华尔街创立文艺复兴公司，这是一个对冲基金公司。他的基金公司即便在次贷危机的2007年也能赚钱，并为他带来近29亿美元的薪水。

     他，两次向美国纽约州某大学捐款，一次2500万美元，另一次6000万美元，而后者创造该州公立大学单笔受赠金额记录。

     他是数学家，是对冲基金经理人，是慈善家。他叫詹姆斯·西蒙斯。对他的经历，我们只能用本次大会每日新闻里的一个词来描述：超神！Legendary！

     现在，哆嗒数学网的小篇和你一起，在他与本次大会记者简短的几个问答中，领略他数学人生的一斑。

 

     从哈佛教授到华尔街

     问：当你非常年轻，还是23岁的时候就成了哈佛的数学教授，但仅仅四年后就离职去了美国国家安全局（National Security Agency，简称NSA）工作。是什么让你做出如此大胆的决定？

    詹姆斯·西蒙斯： 也没什么特别的原因啦。我只是想尝试和挑战一些新鲜事物。在NSA，我用一半的工作时间来解密码，另一半时间用来研究数学。我对一些特殊的密码有自己的破译想法，我把这些想法提供给程序员，他们来把这些想法实现成破译程序。用计算机来验证我的想法是否正确是一个非常有趣的事。所有的这些在NSA的经历，在后来被证明是非常用的。在金融领域建立数学模型的时候，都极大得派上了用场。

  

   问：我了解到，在你职业生涯的黄金时期，你被NSA解雇了。

  詹姆斯·西蒙斯：那个时候，正是越南战争打得最激烈的时候。我说发动越南战争太莽撞的文章被纽约时报引用。一位记者以那文章为由，采访了我，还问我在工作时间经常做什么。我回答说：“研究数学。”。这个不太清楚的言论可以被解释成不工作，只做私活。这样麻烦就来了。还好，出那事没多久，纽约州立大学石溪分校正好有一个教授职位。当然，那不应该成为一种好习惯。我常对自己的学生说，被解雇是人生中一个不错的经历，你可以从这些事情中学到很多很多。

 

   问：但你再次离职了，不做教授而转行做了金融。

 詹姆斯·西蒙斯：我前面说过一些，我非常喜欢尝试一些事情。但我的父亲非常反对我又不干教授了。他说我疯了。现在想想，如果我的儿子做相同的举动，我也会一样地反对的。

 

    成功要诀：合作与分享

  问：擅长数学可不能保证富有。你的秘诀是什么？

  詹姆斯·西蒙斯：我认为我的秘诀是：团队合作、协作、分享。我的员工是一些物理学家、天文学家、计算机科学家及统计学家，他们是科学家或者工程师。我每周会把他们聚在一起，向其它人分享每个人正在做的事（实际上，华尔街的人都知道，文艺复兴公司不喜欢金融、经济及工商管理方面的专家）。当一个团队研发一个模型，它会马上应用于交易系统中，所以每个人和其它人一起，都能发挥优势。

计算机也是不能忽视的。决策永远都是依据严格的数理数据分析，因为个人意见常常不被接受。

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在国际数学联盟(International Mathematical Union，简称IMU)刚刚公布2014菲尔兹数学奖，四位顶级数学家分获这项具有“数学界诺贝尔奖”之称的奖项。值得注意的是，本届颁奖产生了历史上首位女性菲尔兹奖得主。

 四位菲尔兹奖得主及其颁奖词(注颁奖词因哆嗒数学网水平不足，未做翻译，请网友们提供吧)：

Artur Avila

国籍：法国、巴西 单位：法国国家科学研究院, 巴西国家理论数学与应用数学研究所  备注：第一位来自拉美世界的得主、1995年国际数学奥林匹克(IMO)金牌得主。 for his profound contributions to dynamical systems theory have changed the face of the field, using the powerful idea of renormalization as a unifying principle.

Manjul Bhargava

国籍：加拿大、美国 单位：美国普林斯顿大学 备注： 14岁修完所有高中的数学和计算机课程，其博士生导师为证明费马大定理的安德鲁·怀尔斯。 for developing powerful new methods in the geometry of numbers and applied them to count rings of small rank and to bound the average rank of elliptic curves.

Martin Hairer

国籍：奥地利 单位：英国华威大学 备注：妻子是中国人，也是数学家。 for his outstanding contributions to the theory of stochastic partial differential equations, and in particular created a theory of regularity structures for such equations.

Maryam Mirzakhani 国籍：伊朗 单位：美国斯坦福大学 备注：第一位女性得主、第一位伊朗人得主、1994及1995年国际数学奥林匹克(IMO)金牌得主。 for her outstanding contributions to the dynamics and geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces. 关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文 新浪微博： http://weibo.com/duodaa

作者：XX 

欢迎各位读者投稿，投稿邮箱: 1178853280@qq.com。

如果数学公式较多，投搞最好为Tex文件。

定理一：（哆嗒数学网小编之马费大定理，见这里）对于 $n\in\mathbb{N}^*,n\ge3$，不存在正整数$x,y,z$ 满足$n^x+n^y=n^z$ 。
证：不妨设$x\le y$ ，两边同时除以$n^x$ 得$1+n^{y-x}=n^{z-x}$ ，显然$n$ 能整除右边但不能整除左边。  证毕。
                                                                          
注：这个定理用模$n-1$ 来做也十分简便。但选择上述做法是因为它能顺带得到$n=2$ 的情形，并且具有一般性，可用于下述推广：

定理二：对于$n\in\mathbb{N}^*,n\ge2$ ，不存在正整数$x_1<x_2<\cdots<x_p ; y_1<y_2<\cdots<y_q,x_1<y_1$ ，自然数 $0\le a_1,a_2,\cdots,a_p,b_1,b_2,\cdots,b_q\le n-1$ ，满足$a_1n^{x_1}+a_2n^{x_2}+\cdots+a_pn^{x_p} = b_1n^{y_1}+b_2n^{y_2}+\cdots+b_qn^{y_q} $
 。
证： 两边同时除以$n^{x_1}$ 得

$a_1+a_2n^{x_2-x_1}+\cdots+a_pn^{x_p-x_1} $

$= b_1n^{y_1-x_1}+b_2n^{y_2-x_1}+\cdots+b_qn^{y_q-x_1} $，
 显然$n$ 能整除右边不能整除左边。证毕。

实际上，我们有下面定理：

定理三:任一大于一的自然数$n$，对任意正整数N都能唯一表示为$a_0+a_1n+a_2n^2+\cdots+a_pn^p$ ，其中$a_i\le n-1,i=1,2,\cdots,p$ 。
注：此命题是一个经典的数论定理，它是进制理论的基础。

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我们知道整$N$大于$2$时，关于$X,Y,Z$的不定方程$X^N+Y^N=Z^N$没有正整数的解，这就是著名的费马大定理。从他的提出到最后被证明出来，历经三百多年，而且，它的证明相当复杂。

现在，哆嗒数学网的小编告诉你，当整数$N>2$ 同样有关于$X,Y,Z$的方程$N^X+N^Y=N^Z$没有正整数解。我们不知道这个结果有没有命名，他看起来像把费马大定理倒过来，那么我们就叫他马费大定理吧。

 

与费马大定理不同的是，马费大定理的证明非常非常的容易：

假设存在正整数的解，那么把方程两边的整数都看成$N$进制整数。于是，如果$X$和$Y$相等，则左边出现的字符是一个$2$和一堆$0$的组合，若不等则为两个$1$和一堆$0$的组合。而右边只能是一个$1$和一堆$0$的组合。于是两边不可能相等。

 

啊哈，我们用不到五句话证明了马费大定理，是不是很厉害？

 

好吧，我承认有的人被骗了，但骗他们的不是我，不是我，哎呀，不是我！

 

小小玩笑，博君一个哈哈，一个快乐。

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为什么所有汽车和自行车的轮子是圆的，现在我可以告诉你一个原因了，因为路是平的。   如果道路都按我方式来修建，那么轮子就必须得设计成方的，对，你没有听错轮子是方的，而且还是正方形的。

这当然是一个恶搞的玩笑，路当然应该是平的。不过美国马卡莱斯特学院一位名叫Wagon的数学教授就做了这样一辆正方形轮子自形车，并且还制作一个配合他行驶的一段道路。在这样的道路上自形车能稳定的行驶。

道路看上去一组波浪，乍看之下，每一小块波浪像一段抛物线。实际上，Wagon教授介绍，“小波浪”的曲线其实并不是抛物线，而是倒过来的双曲余弦函数cosh(x)的一部分。“这车子我骑得非常非常得平稳。”教授一边骑在车上展示，一边说道。

实际上，我们还能为更多的正多边形轮子设计类似的道路。比如，正五边形，正六边形等等。那么对应道路的“小波浪”会变得更平更窄。当正多边形边数越来越多，到达无穷条边时，也就成了圆，这时道路就会成为水平的直线，也就是平路了。

不过，Wagon教授说，正三角形是没有这样的道路的，无论怎么做，正三角形的轮子总会被卡在某个地方。

面对这样的设计，哆嗒数学网的小编在感叹数学的神奇的同时，还想说：“Wagon老师，你转弯怎么办？”

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2014韩国数学家大会出一版数学日历，里面的日期数字用到了很多数学事实。

比如微积分，数字2表示成了sinx在0到π的定积分。

比如数论，提到27!+1是一个素数，1999999999是最小的含有9个9的素数。

比如几何，一个正方形中面积最大的正三角形和一个15度的角有关系。

还有近似计算，11e≈30 , 29≈5e(π-1)。

哆嗒数学网的小编还发现，日历的设计者也不忘“恶搞”一些数学事实，比如16/64分子分母同时消去数字6后，得到1/4，这居然是一个正确结果。还有更搞笑的：8的得到过程是先计算1/|x-8|在x趋于8的极限，得到∞的结果后，再把“∞” 竖起来。

我亲们，你们能看懂日历上所有的梗吗？

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七夕节前后，大街小巷的情侣们都在秀恩爱，作为爱数学的你，应该如何表达你的爱呢？

哆嗒数学网的小编建议，用穿衣来秀出你的爱！没错，就是穿衣服，刚刚结束世界杯上，球迷们穿上了球衣来表达对球队热爱，热爱数学你也可以！

我们可以直接的表达成这样：

 

但作为一个热爱数学的人，会有自己的表达。i的平方等于-1有木有？希腊字母也统统出来吧！

 

我们还可以表达一些肢体语言，下面那位想干啥，你懂的！

 

你爱数学的哪一点呢，能不能具体一些？恩？“我爱分数！”、“我爱代数！”、“我爱派！”当然，“我还爱苹果派！”。

 

有关于数学老师的什么事吗？

不过，不管你有多爱数学，大家还是现实生活的人。如果你喜欢的人中，也有痴迷数学的话，可以试试穿上下面的衣服，向你的“数呆子”表白吧！在这爱情的节日里，数学地浪漫起来！

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2014年7月15日，韩国邮政发行2014国际数学家大会邮票一套3枚，面值分别为300、300、540韩元。整版包含5套邮票及3枚附票。邮票编号2988、2989、2990。由Shin和Jae-yong设计。三枚邮票的图案为数学界三个著名数学家，以及关于他们的数学成果。

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出现在面值300韩元，编号为2988的邮票上的人物是，毕达哥拉斯，对应的成果当然是他的关于直角三角形的“毕达哥拉斯定理”。

而另外一个300韩元面值，编号为2989的邮票上的人物是大名鼎鼎的欧拉，设计师在欧拉的众多成果中，选择了“哥尼斯堡七桥问题”展现于邮票之上。

本次发行的邮票最大面值为540韩元，这枚邮票纪念的是帕斯卡以及他发现的“帕斯卡三角形”。

 

 

哆嗒数学网的小编发现一个值得一提的地方，是关于毕达哥拉斯和帕斯卡的两枚邮票的。这两位的数学家的数学成果都有中国名字。“毕达哥拉斯定理”在中国的教材上，一般叫做“勾股定理”；而“帕斯卡三角形”在中国一般叫做“杨辉三角形”或“贾宪三角形”。

 国际数际数学家大会（International Congress of Mathematicians，简称ICM）每四年召开一届，有着“数学界的奥运会”之称。2014国际数学家大会将于2014年8月13日至21日在韩国首尔举行。2014年的大会将有来自全球100个国家和地区的约5000名数学家参加，将是历史上规模最大的一次大会。

 本次大会将安排各种演讲和交流活动，以及数学电影节、数学体验等配套活动。最引人关注的演讲包括阿贝尔奖得主的演讲和世界上最赚钱的数学家——文艺复兴科技公司主席詹姆斯·西蒙(JamesSimons)的公开演讲。

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陶哲轩的确是一位大师，连写一本别人已经写了很多的实分析教材，也要写出自己思想，而拒绝抄写别人的东西。由于一切都需要自己动手，书中难免出现一些笔误，于是陶教授在他的博客上专门开辟了一个页面，来修订他的错误。

 这回哆嗒数学网的小编也找到了陶哲轩一个疏漏。这个疏漏出现在第231页，习题8.4.3，中文版的是在166页，同样也是习题8.4.3。问题是这样的：“设A和B是集合，并且存在一个满射g：B→A，用选择公理证明，存在一个单射f：A→B。…..反过来，证明如果上述命题对任意集合A，B以及满射g：B→A都成立，那么选择公理成立”。疏漏就出现在那个“反过来”后面后的一系列文字。

 对于这样一个命题“对任意(非空)集合A，B，如果存在A到B的满射，则存在B到A的单射”，这个命题是有一个名字的，叫做分类原理，英文叫做The Partition Principle，简称PP。显然，有一定数学基础的人都能看出，在选择公理成立的前提下，很容易证明分类原理是一个真命题，但反过来分类原理是否能推导出选择公理成立，这到目前还是一个公开问题，就是说这是数学界还没有解决的问题。而陶神在他写的教材的习题，恰恰是这个公开问题。

 当哆嗒数学网的小编把这个疏漏提到陶神的博客上的时候，陶神回复先是惊呼一个“Ooops”，然后说：“我忘了加其它条件了！”。能看出陶神的回复还是萌萌哒。不过陶教授的认真也能看出一斑，他立刻在他的修订页里添加了这个疏漏，说会在这个书的第三版中改掉。下面截图为证。

 在数学发展的历史里，的确有很多把一个没解决的问题，在不知情的情况下，当成练习题而解决的情况。这个问题会不因此成为又一个呢？

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2014年第55届国际数学奥林匹克（IMO）中，中国队再次获得团体总分第一。来自上海中学的高一学生高继扬在此次IMO中发挥出色，成绩为满分，荣获金牌。而取得这样优异成绩的他，可是上海历史上第一位入选奥数国家集训队的初中生喔！

国际奥林匹克数学竞赛是世界上最高级别的数学竞赛，主要面向高中学生。要代表中国参加国际奥林匹克数学竞赛，必须先入选国家集训队，全国能入选的高中学生已是凤毛麟角，而当时还在还在华育中学初三（8）班读初中的高继扬却在2013年做到了。另外，哆嗒数学网的小编获知，高继扬因为在IMO的优异表现，已经保送北京大学。

优异的数学成绩

“我也没有想到自己会取得这样的成绩，可能很大程度上是靠运气。”高继扬自己这么说。可是一路过关斩将的背后，高继扬的成绩都好得惊人。他先是在2012年的高中数学联赛中，取得上海赛区一等奖，并入选参加中国高中数学冬令营的上海市代表队。随后在2013年1月的冬令营比赛中，即 2013年中国数学奥林匹克（CMO）比赛中，以102分的优异成绩获得金牌，从而入选国家集训队。“今年全国一共有61名学生入选，全是高二、高三的学生，我是唯一一名初中生。”同年3月份，他启程赴江阴开始国家集训队的集训。

超越老师的解题学霸

“小时候，我的数学成绩并不是特别好。其实我们班上，数学比我好的人多的是。”高继扬说，自己并非最优秀的学生，能够脱颖而出靠的是学校老师给的机会。高继扬口中的机会指的是，华育中学每届初三学生中，有一、两个学生可以去上海中学跟着高中生一起学习数学，每周2次。

在班主任季燕丽老师的眼中，高继扬好学，大部分的时间都在做题目。有一件小事让季老师印象深刻，“之前学校有一个孩子曾经入选过冬令营，当时学校为他办了个展览，高继扬每天都去看展出的那些奥数题目。”季燕丽说，高继扬的数学在学生中间算顶尖，“现在学校老师做数学题也做不过他。”

 

成功的秘诀：“天赋”+自觉+好心态

就是这样一位奥数“天才”，奥数上取得如此佳绩，高继扬的母亲王女士却告诉记者，孩子从来没有在外面参加过任何奥数辅导班。王女士说，在孩子学习问题上，自己管得很少，基本靠自觉。“高继扬喜欢自学，有什么问题都会自己去琢磨”。

不过，王女士坦言，自己的孩子在数学方面还是有些天赋，“他从小就对数学有感觉，4、5岁时数学就比较突出，去超市买东西，很快能算出价钱。”王女士说，那些与计算相关的益智类游戏，比如打牌、下棋，动手搭积木，一直是高继扬童年的最爱。

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作者：秦春化

原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_539c5bd20102uwxb.html

本文删节版发表于《光明日报》2014年7月1日第13版，题目为《何谓好大学》。

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世界上有许多大学，但真正能够称得上是好大学的并不多。在美国，对一所大学的最高评价，是说它是一所好大学。好在哪里呢？首先，学生愿意去。一所学校申请的学生越多，说明它在家长和学生心目中的地位越高。因此，许多大学把录取率——被录取学生占申请学生的比例——视为学校声誉的重要标准；其次，教授喜欢去。世界上的顶尖高手就那么多人，他（她）们到了哪所大学，就说明哪所大学的水平高。因此，每一所大学都使出浑身解数，千方百计吸引最优秀的教授加盟，同时，还要千方百计使自己的好教授不要被别人挖走。前一个还相对容易些，要做到后一点真的很难。不需要任何机构的评估和排名，这两条标准都在人们的心里。人们“用脚投票”，选择他（她）们喜欢的好大学。

在芝加哥大学的时候，我见到了一位去年刚刚入学的小朋友迈克。我问他为什么要选择芝加哥大学，因为他也同时拿到了哈佛等其他顶尖大学的入学通知书。他看了我一眼，似乎觉得我这个问题提得很奇怪。想了想之后说，因为芝大是好学校啊！这个答案显然不能令我满意——好学校多了去了，哈佛、斯坦福不也都是好学校吗？于是我接着追问：你说芝大好在哪里？迈克说，这里的人都很有趣。不像有些学校的学生，看上去就像家具——表面上挺好看，但都是一个模子里刻出来的。他有一位去了斯坦福大学的同学，就是这样很无趣的“家具”。我又问他，你也拿到了哈佛大学的入学通知书，为什么最后没有选择哈佛？迈克说，哈佛课程的难度和挑战性没有芝大的强。

这是一个典型的美国学生的选择。和中国学生不同，他没有根据名气去选择大学——在许多大学排行榜中，哈佛大学和斯坦福大学的排名都要比芝加哥大学高。他也没有根据城市去进行选择——波士顿和旧金山位于东西海岸，地理位置要比中部的芝加哥好得多。他甚至没有根据专业排名去选择。实际上，中国学生选择大学时主要考虑的就是学校的名气、所在的城市和专业，目的是为了将来的就业。但迈克选择学校的原因是有趣。这的确是芝大的特点。这所大学的有趣甚至达到了古怪的程度：它的入学申请要求就是无数怪诞不经的作文。从这个意义上说，迈克和芝大都选对了对方。

迈克的答案出乎我的意料。在我和大多数中国人的心目中，哈佛就是一所圣殿，只有它拒绝别人的份儿，怎么会有学生“傻”到不选择它？但在美国，学生并没有非哈佛不上的情结——许多人甚至不喜欢哈佛——这样的“傻”学生还真不少。一位住在波士顿的朋友的孩子，今年获得了耶鲁大学的优先录取通知书，最后很不情愿地在妈妈的逼迫下在报名截止的那一天申请了哈佛并被录取。他妈妈这样做的原因也不是因为和耶鲁相比哈佛更好或更有名气，只不过是因为哈佛离家近而已。

斯坦福大学同样是很多中国学生的梦想。2013年，申请斯坦福大学的学生人数达到了创纪录的38828人，其中华裔学生的申请数量增长很快。在很多美国教授看来，这样一所位于加州的大学，气候条件这样舒适，办学经费如此雄厚，理应成为最顶尖的大学才是。但在他（她）们的心目中，斯坦福大学似乎还没有达到这一目标。原因在于，他（她）们认为，斯坦福的工科色彩过于浓厚，与工商业和大公司的距离太近，虽然培养出了数量众多的亿万富翁，但却因为急功近利而变成了一所“失去灵魂的大学”。在美国高等教育界，人们往往把MIT比作猫，而把斯坦福比作老虎——猫曾经是老虎的师傅，斯坦福本身就是按照MIT模式创办的。今天，MIT的教师数量大约只有斯坦福的一半，办学基金只有斯坦福的三分之一，而且两校的专业高度重合，波士顿的夏天很热，冬天还有暴风雪，按理说，MIT的顶尖教授们还不都被斯坦福用重金和加州的阳光吸引过去？但事实上并没有，个中原因令人玩味。

在美国，芝加哥大学是一所很特别的大学。它所在的城市芝加哥，治安状况是出了名的差。在一些街区，人们大白天出门时身上至少也要带上20美元，用来应付抢劫，而且还不能只放在一个兜里——20美元是购买毒品的最低金额，多放几个兜是为了防止二次被抢——当然，由于学校投入了巨大力量加强安保，芝大校园内还是很安全的。近年来，美国资源大量地集中在东西两个海岸，再加上传统制造业的衰落，地处美国中部的芝加哥在经济上的活力和竞争力日渐消退，也由此产生了大量的社会问题。但即便如此，芝加哥大学仍然被认为是美国最好的大学之一。2013年，申请它的学生数量是30369人，录取率为8.81%。

一所好的大学，一定是一所有灵魂的大学。有时候，卓越和有灵魂不一定是一回事。一所卓越的大学并不一定意味着它就是有灵魂的大学——在市场经济的驱动下，结论很可能恰好相反。曾在哈佛大学任教长达30多年的哈佛学院院长哈瑞·刘易斯写过一本发人深省的著作——《失去灵魂的卓越》，深刻分析了哈佛大学是如何在从一个教育机构蜕变成一个商业机构的过程中逐渐忘记了自己的教育宗旨的。在我看来，刘易斯所谈的“灵魂”，其实指的就是大学引领社会的思想。今天，当中国的大学越来越醉心于发表了多少多少篇SCI论文，获得了多少多少个奖项，引进了多少多少各种各样的计划中的人才时，却常常忘记了，当取得这些成就的同时，大学为人类社会，特别是为这个国家和民族贡献了多少有价值的思想？大学是否通过教师的教学活动改善和提高了学生的思想境界和价值观，并进而通过教师和学生的活动和言论引导和影响了社会的价值观？大学是否依然履行了作为大学之所以存在的教育责任？大学之所以为大学而非技能培训班，最根本的区别在于大学生产思想和有思想的人，这意味着大学必须要和社会保持一定的警惕性距离，必须要引领社会而不是被社会牵着鼻子走，更不应当盲目地迎合当下社会某些明显不理性的需求。当社会热的时候，大学反而应该冷一冷，甚至故意去浇两瓢凉水，哪怕会因为暂时的冷而丧失了某些所谓的“时机”。对于以百年计龄的大学来说，时机永远都是存在的，区别只在于当它来临的时候，大学是否已经做好了充足的准备。事实上，除了大学之外，没有任何机构能够承担起这样“冷眼旁观”的任务。因此，如果大学或主动或被动地放弃了自己的这一责任，社会就会因为失去思想上的源泉和动力而可能陷入停滞。

反之，一所有灵魂的大学一定是一所卓越的大学。芝加哥大学之所以被认为是好大学是因为它生产思想，也生产有思想的人，是美国最重要的思想家的汇集地，拥有80多位诺贝尔奖得主，在它最辉煌的时代，堪称群星璀璨，形成了在各个学科中著名的“芝加哥学派”。近年来，由于年事已高，众多大师一个个离世——去年是罗纳德·科斯，今年是加里·贝克尔——这是芝加哥大学最惨痛的损失。但这些大师们毕其一生所营建出来的精神传统，却像芝大图书馆门前的雕塑一般历久而弥新。

这是一所自由宽松的大学。在芝大，没有人要求教授一定要做出什么科研成果，但一定要上课。因此，系里某个教授半年见不着一面，没有人觉得奇怪。有的教授五六年不发表一篇文章，也很正常，没有人会去督促检查。每个人都很从容，很有耐心，彼此之间充满信心和信任。尤其是人文社会科学的教授，主要精力都用在了教书和写“传世之作”上，很少去花时间写一般意义上的学术论文，学校对此也无要求。科斯从1964年起任芝加哥大学教授，直至逝世。在他漫长的一生中，只写了为数不多的几篇文章，而且有些几乎不能被称作严格意义上的学术论文——至少形式上不“规范”——充其量只能算是学术随笔。然而，就凭这一两篇文章，科斯就建立了一个学科，开创了一个学派，并获得了诺贝尔经济学奖。今天，全世界的经济学家都在研究、讨论、引用他的“交易费用”概念，虽然绝大多数人都不明白这个概念到底指的是什么。奥巴马在芝大法学院任教的12年里，也没有发表任何学术成果。然而，正是在这样一所对教授几乎没有要求的大学，却产生了费米、萨缪尔森、弗里德曼、哈耶克、杜威、亨廷顿、波斯纳，以及周培源、吴阶平、叶企孙，等等，数也数不清的思想家和人类文明史上的大师。据说，在芝大经济系流传着一个笑话：如果允许芝加哥大学独立建国的话，那么该国将成为仅次于美国的诺贝尔经济学奖得主第二大国。

这是一所民主平等的大学，实现了真正的“教授治校”。在芝大，一个教授的影响力有时候要比校长大得多。校长决心要干的事情，如果教授们坚决反对的话，一定做不成；反过来，教授们支持的事情，校长即使持反对意见，多数情况下却能做得成。我曾问过芝大的一位教授，为什么他喜欢这里而不去别的大学，即使别的大学所提供的条件要优厚得多。他告诉我，在芝大，是多数人统治少数人，但在很多大学——包括那些被认为是最顶尖的大学——里，则是少数人统治多数人。这是芝大有别于其他大学的最关键的地方，也是它无可替代的魅力所在。也许从芝加哥大学的办学风格中，我们可以窥见到好大学的一丝真谛。做到了这些也就成为了真正意义上的好大学。这也许正是中国大学应当为之努力的方向。

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几千年以来，人类在研究数学的过程中，提出并解决了很多难题。有些数学难题不仅玩坏了很多研究者，其解决的过程或结果也让人觉得十分坑爹。哆嗒数学网小编就在这里列举Top5给大家看看。

 

第五名  古西腊三大几何难题

 这是三个尺规作图题，即只使用圆规和没有刻度的直尺作出下面的东西：

1、  立方倍积：求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍

2、  化圆为方：作一正方形，使其与一给定的圆面积相等

3、  三等分角：分一个给定的任意角为三个相等的部分

 

解决：

问题提出大约在公元前400年，直到1830年开始，这三个问题才陆续解决，历经两千多年。化圆为方问题在林德曼证明π是超越数后解决。后两个则是要利用伽罗华的抽象代数理论，而这个理论在刚出炉时，柏松大牛的评语是：“完全不能理解”。而最后的结论，则是“没有结果的结果”——没有任何作图办法完成上面三个中的任何一个，它们都是作图不能问题。

 

第四名  五次方程求根公式

 我们从初中开始就开始学习二次方程ax²+bx+c=0的求根公式。先求判别式Δ，然后对Δ进行讨论，得到方程的根，于是二次方式的求根公式就得到了。其实数学也经过了长期的研究，得到了三次及四次方程的求根公式。而对于五次方程ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，却一直没找到求根公式。

 解决：

一个叫阿贝尔的数学家在他21岁那年发现，五次方程求根公式是不存在的（又是坑爹的不存在）。他把他的结果印成了小册子进行了分发。据说高斯和柯西两位大数学家都得到了过这个小册子，高斯没认真看，因他觉得阿贝尔不可能解决作为“数学王子”的他都没办法解决的问题，而柯西连看都没看就把小册子当废纸扔了。后来，因为一直没得到认可，贫病交加的阿贝尔27岁时在绝望中死去。这位有如此重大发现的数学家，生前最大的理想是成为一所大学的讲师，而这个愿望到死也没能实现。

 

第三名 四色定理

 四色定理的通俗版本是：“任意一个无飞地的地图都可以用四种颜色染色，使得没有两个相邻国家染的颜色相同。”这最初是由法兰西斯·古德里在1852年提出的猜想。当然，作为一个数学定理，四色定理有着更为严谨的数学叙述，是关于拓扑或者图论，这里就不细述了。

 解决：

四色猜想刚提出时，并不被数学家们重视，比如哈密顿就说“不会尝试解决这个四色问题”。后来在德·摩根的不断推动下，才开始进入数学家们的视野。历史上，曾有一个叫肯普的伦敦律师声名证明了这个猜想，他的证明几乎已经得到了学界的承认，甚至已经得到《自然》杂志的确认。对于一个非专业人士解决的问题，人们开始认为他不难。那个时候，有一所大学给学生留下的习题是“证明四色猜想，且不得超过一页纸的文字，30行算式以及一页纸的图”。而剧情的反转在证明公开的11年后，有人发现了肯普证明无法修补的错误，而使四色猜想重新成为公开问题。1975年，经过IBM360电脑夜以继日近两个月，1200小时的验证，四色猜想被证明，成为四色定理。回想一下那个30行的要求，哆嗒数学网的小编只想说，写作业的学生们，你们还好吗？

 

第二名 连续统假设

 康托尔创立集合论的同时，也发明了一种比较无穷集合元素个数多少的方法。他把无穷集合中的元素个数叫做基数。他研究了很多无穷集合的基数，发现自然数、整数、有理数、整系数方程等等，它们的基数都是一样多的，而实数、无理数、复数、三维空间中的点，它们也是一样多的，而且比自然数要多。他所发现的所有集合，它们的个数都不会在自然数的基数和实数基数之间。于是他猜想：没有一个集合，它的基数在自然数基数和实数基数之间，这就是连续统假设。

 解决：

康托尔为这个猜想几乎耗费了一生，他几次声称证明了连续统假设，但都发现自己的错误又将其声明收回。康托尔后来产生精神问题不知道和这个猜想的证明的有没有关系。问题在1963年终于有了个结论：连续统假设在数学家公认的ZFC公理系统下，即不能证明是真命题，也不能证明是假命题。而在康托尔那个年代，还没有公理化集论的概念，也就是说他的年代是无论如何也解决不了的。

 

第一名  费马大定理

 Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ这个方程，在n大于2的时候没有正整数解！这就是费马大定理。

 解决：

费马是在1637年阅读一本书时，在书中写注解时留下这个猜想的，同时，他还写道：“对此定理，我有一个美妙的证明，但因书中空白太小写不下。”这让痴迷数学的研究者们，对于这个空白充满了好奇和不甘。问题终于在300多年后的1995年被英国数学家怀尔斯证明。证明过程用到模型式等，在费马年代根本没有方法。怀尔斯证明的第一稿用了300多页，在修改精简后，缩至100多页，发表于数学最顶级的杂志《数学年刊》。有人感慨，那个空白的事，简直就是费马挖下的大坑啊。

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经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿被公认为微积分的奠基者之一。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。

 

同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。大部问题都指向微积分的基础--极限。其实就是对无穷小量的质疑。

 

据说牛顿在计算自由落体瞬时速度的时候是这样做的。在t时刻和t+Δ t的物体的位移就分别是gt²/2和g(t+Δ t)²/2，于是这段时间内的变化就是两个相减，得到这断时间内的位移变化就是gtΔ t+Δ t²/2，除以时间变化Δ t就是平均速度gt +Δ t/2。最后牛顿说，因为是时间是瞬间的，所以Δ t可以认为是零，于是瞬时速度就是gt。

 

一个叫贝克莱(Berkeley)的主教发现上面的推理有严重的问题。由历史原因，我们也许对反对科学家的宗教人士天生不怀好感，但这里要说的是，这个贝克莱主教其实并分等闲之辈。贝克莱是十八世纪最著名的哲学家之一,英国近代经验主义的三大代表人物中的一个。美国加州的伯克利市也是用他的名字命名的(加州大学伯克利分校的数学也是相当牛的)。他问：“这个Δ t到底是什么，是不是零？”，他继续说到：“如果Δ t是零，那么在求平均速度的时候就不能当被除数; 如果他不是零，最后不能随便消掉。无论怎么样，都是说不通的！”，最后贝克莱还补充：“难道这个Δ t是一个鬼魂？”。

 

 

哆嗒数学网的小编认为：无论贝克莱出于什么目的来攻击牛顿的微积分，但不得不承认的贝克莱的攻击是切中要害的。以当时的数学发展水平，也是说不清那个Δ t的。贝克莱的上述表述被冠以“贝克莱悖论”的名称，而这个“悖论”导致了一次关于数学基础可靠性的危机，史称“第二次数学危机”。

 

150年后，波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄利克雷等人的开始工作，中间经历了50多年，直到魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的工作结束，才基本上解决了“贝尔莱悖论”，为微积分奠定了严格的基础。解决的终极方案就是我们高等数学书上常见的ε-δ语言，对初学者来讲，它晦涩难懂，但的确是数学家近200年的结晶。我们感谢这些为数学基础做出贡献的人！当然，也要感谢贝克莱，哪怕他的贡献是那么的间接。

 

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2014第55届国际数学奥林匹克成绩(IMO)在久前揭晓，中国队再次获得团体总分第一，成绩是201分，也是唯一一支总分超过200分的队伍。美国、中国台湾、俄罗斯分获总分第二、三、四名，成绩分别为193分、192分、191分。值得注意的是，中国台湾的第三名是该地区参加IMO以来的最好成绩。

从奖牌成绩来看：中国与美国获得5金1银、俄罗斯获得4金两银，而中国台湾获得4金两铜。
中国还有两个地区派队参赛。中国香港以4银两铜143分成绩列18位。澳门获得2铜74分，名列62位。

2014第55届国际数学奥林匹克在南非开普敦举行，共有101个国家的560名选手参赛(其中女选手56名)。选手在参赛期间将做6道数学题，每题7分，满分42分。其中获得29分及以上的参赛者将获金牌，22分及以上获银牌，16分及以上获铜牌。本届比赛，分别有49名、113名、133名选手获得金、银、铜牌。

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第一天

$\textbf{第1题}$

设$a_0<a_1<a_2<\cdots$是一个无穷正整数列,

证明:存在唯一的整数$n\ge1$使得:$a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}$

$\textbf{第2题}$

设$n\ge2$是一个整数.考虑由$n^2$个单位正方形组成的$n\times n$棋盘.一种放置$n$个棋子“车”的方案被称为是和平的.如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”.求最大的正整数$k$,使得对任何一种和平放置$n$个“车”的方案,都存在一个$k\times k$的正方形,它的$k^2$个单位正方形里都没有“车”.

$\textbf{第3题}$

在凸四边形$ABCD$中$\angle ABC=\angle CDA=90^{\circ}$.点$H$是$A$向$BD$引的垂线的垂足.点$S$和点$T$分别在边$AB$和边$AD$上,使得$H$在三角形$SCT$内部,且:$\angle CHS-\angle CSB=90^{\circ},\angle THC-\angle DTC=90^{\circ}$

证明:直线$BD$和三角形$TSH$的外接圆相切.

第二天

$\textbf{第4题}$
点$P$和$Q$在锐角三角形$ABC$的边$BC$上,满足$\angle PAB=\angle BCA$且$\angle CAQ=\angle ABC$.点$M$和$N$分别在直线$AP$和$AQ$上,使得$P$是$AM$的中点,$Q$是$CN$的中点.
证明:直线$BM$和$CN$的交点在三角形$ABC$的外接圆上.

$\textbf{第5题}$
对每一个正整数$n$,开普敦银行都发行面值为$\frac{1}{n}$的硬币.给定总额不超过$99+\frac{1}{2}$的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同),证明可以把他们分为至多100组,使得每一组中硬币面值之和最多是1.

$\textbf{第6题}$
平面上的一族直线被称为是处于一般位置的,如果其中没有两条直线平行,没有三条直线共点.一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域,我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域.

证明: 对于充分大的$n$和任意处于一般位置的$n$条直线,我们都可以把其中至少$\sqrt{n}$条直线染成蓝色,使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注:如果你的答卷上证明的是$c\sqrt{n}$(而不是$\sqrt{n}$),那么将会根据常数$c$的值给分.

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圆周率$\pi$是一个我们既熟悉又陌生的无理数。作为一个常见的数学常数，当它以小数形式展现的时候——3.14159265358979323846......，你又能记得它多少位数字？

它是无限不循环的无理数，当它们以小数形式展开的时候，你能告诉我它小数点后的前1万位，前10万位，或者第100万位数分别是多少吗？

不过，有了计算机，我们可以编写一个程序，在时间允许情况下，无论你想知道$\pi$小数点后多少位的数字，利用这个程序，我们都能把它们呈现在你眼前。

 

 

不仅是$\pi$，像$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，自然对数底$e$等等，这些熟知的无理数，我们都能编写一个程序，来呈现他们的小数的展开的数字。

那么，有一个问题，对任意的无理数，我们都能编写一个计算机程序，把这个无理数的小数位全部展开出来吗？

答案是：不能！

这要从可数，不可数来说起。且听哆嗒数学网的小编们慢慢道来。

一个集合可数的意思是说，他能被自然数“编号”写成：a1,a2,a3,...,an,....这样的形式。数学上已经证明，有理数是可数的，而无理数是不可数的。

我们怎么写一个计算机的程序呢？一般来讲，我们会用一个键盘敲打出来。键盘上只有有限多个键(一般的键盘只有100多个键吧)，这意味着每次敲击键盘，只有有限多个可能的符号被打出来，这些符号可能是英文字母，数字，括号，空格，换行符等等。而程序无论有多复杂，它总有写完的时候，于是哪怕是100亿行代码的程序，它也是由有限多个符号组成的。

因为上述原因，数学上也可证明，能写出的程序只有可数多个！

所有的计算机程序可数，而无理数不可数。于是一定有一个无理数，无法用计算机把它的小数位展开！

那么，能确切的告诉我，哪一个无理数的小数位不能用计算机程序展开吗？

还真有人找到了一个数，也和计算机的程序有关。1975年，一个叫蔡廷的计算机科学家研究了一个有意思的问题：在给定的编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行，并且在有限时间内运行完毕的概率是多少？当然，数学家描述这个问题会用更严格的语言。在严格的表述下，这样的概率是存在的且是确定的一个常数。这个常数叫做蔡廷常数。这个蔡廷常数是一个确定的数，但数学上已经证明，它无法用程序展开。

一个实数是确定的，但无法用某个程式展开。听起来，好像很逗比。但这就是数学神奇的地方！

 

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7月3日，第55届国际数学奥林匹克(IMO)在南非开普敦开幕。这次IMO将有100多个国家和地区派队参加，覆盖全球90%以上的人口。并且IMO受到了南非教育部和科技部的支持。

在国内媒体对奥数教育口诛笔伐的环境下，IMO却不断受到其它国家的重视。在韩国宣传国际数学家大会的视频上，韩国获得2012年IMO金牌也成了他们国家的数学成果，着重宣传。另外，还不断有数学界的大人物公开支持IMO，其中一人就是陶哲轩。

关注IMO官网的人或许和哆嗒数学网的小编一样，已经发现在该官网首页，已经在醒目位置“骄傲的宣布”：“陶哲轩成为IMO基金会赞助者”。陶哲轩其实和IMO颇有渊源，三次参赛，分别获得铜牌、银牌、金牌，至今保持着最年青获得IMO金牌的记录（那年陶12岁）。

 “我对参加国际数学奥林匹克竞赛有着非常美好的回忆。”，陶哲轩教授说，“和其它任何学校的运动会一样，在IMO有一群有着差不多能力与好爱的人在一起狂热的进行比拼。我强烈推荐这个赛事给每一位高中生，因为它也是一个全国性和国际性的旅行机会。参加IMO可能是一位有天赋青年数学家改变一生的事件。因此，我将全身心的支持国际数学奥林匹克基金会。”

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2014年6月23日，科学突破奖基金首次颁布了科学突破数学奖。包括在华人世界里人气极高的华裔数学家陶哲轩在内的五位数学家获此殊荣。

 

科学突破数学奖是一个刚刚创立的新奖项。但是这个新兴的奖却有一群“富豪爸爸”。

 

科学突破奖是由Facebook创立者扎克伯格夫妇、俄罗斯互联网巨头米尔纳夫妇、中国阿里巴巴集团创始人马云夫妇、谷歌创立者之一布林与23andMe公司创立者沃西基夫妇共同创立。有这么一群富翁坐阵，奖金额度便也扶摇而上，达到300万美元。

 

如果你觉得300万美元是不少，但作为一个世界性的奖励，似乎也没有什么大不了的话，那就随我们哆嗒数学网的小编们一起去看看其它数学奖项的奖金吧。

菲尔兹奖:被称为“数学界诺贝尔奖”的另一项奖项同时也被认为是年轻数学家的最高荣誉，奖金只有1.5万加拿大元，约合1.5万美元。但此奖几乎是数学界最高荣誉奖。 

阿贝尔奖: 同样被称为“数学界诺贝尔奖”，每年颁发一次。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近，600万瑞典克朗，约合100万美元。 

高斯奖：由国际数学家联合会和德国数学家联合会共同颁发，获奖者可获得一枚绘有高斯肖像的奖章和一笔奖金，1万欧，约合1.4万美元。 

奈望林纳奖：颁予在计算机科学的数学方面有主要贡献者。每四年在国际数学家大会颁发。得奖者必须在获奖那一年不大于40岁。奖项为一面金牌和现金奖，1万欧元，约合1.4万美元。

陈省身奖章：是国际数学界设立的首个以华人名字命名的数学大奖。奖金一共50万美元，其中一半（合25万美元）被要求得主投入其今后的数学研究或与数学相关的教育活动。奖金的剩余一半（25万美元）即奖予数学家个人。

还有两个跟华人有密切关系的奖：

晨兴数学奖：世界华人数学家大会最高奖，被誉为“华人菲尔兹奖”。 每位金奖得主可获赠2.5万美元。

邵逸夫数学奖：这是个国际性奖项，形式模仿诺贝尔奖。由邵逸夫奖基金会每年选出有成就的数学家，颁授100万美元奖金以作表扬。

需要注意的是，以上不少奖项，还是获奖人平分奖金的，所以如果某次获奖的人数比较多时，那么获奖人获得的奖金，就更少了。

这么一对比，作为每个获奖人都可获得300万美元的科学突破数学奖，是不是顿时就土豪无比了！五个人总奖金达到1500万美元！

米尔纳曾经指出，“突破奖”的目标是为科学和理性主义营造一个积极形象，对人类未来保持一个乐观的看法。他说，“知识界的光彩在我们的社会被掩盖了。58年前，世界上最著名的人不是演员、运动员或音乐家，而是科学家爱因斯坦。他的面孔出现在全世界的杂志封面和报纸头版以及电视上”，但今天的大部分科学家虽然取得了攸关人类未来的重大科学发现，例如治疗绝症和延长寿命的方法，公众对他们却一无所知。

在财富日益被人们关注的今天，300万美元的高额奖励确实形成了一定轰动效应，也将鼓励那些为数学及其它科学奋斗的人们更加投入到他们所执着的事业中。

今年揭晓的五位获奖者之一，普林斯顿高等研究院的英国数学家理查德•泰勒是数学理论的领军人物，说到：“得到这一奖项的承认我感到很意外，也很感动。”泰勒目前还没有决定该如何使用这笔奖金，但他说，“数学是一项团队工作，需要团队的努力与合作，因此我想要找到一种回报社会的方式”。

首届科学突破数学奖的另外三位获奖者是：英国帝国理工学院的西蒙•唐纳森以及法国高等科学研究所的马克西姆•孔采维奇、哈佛大学的雅各布•卢里。

 

 

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一个个小块能拼出美女，能拼出野兽，能拼出大千世界。这多么神奇！数学家们也有人希望用这样一小块一小块的东西，拼出整个数学世界。这人就是希尔伯特。

​

不过，我们还是从“说人话”开始谈吧。

当我们刚到一个新环境的时候，大概都会有类似这样一句开场白：“大家好，我是新来的。请多多关照！”。这当然是一句典型的人话。但如果仔细想想，这话无非是几个大家知道的符号(汉字和标点)，按照一定的合法规则(语法)拼接起来的而己。因为他符合这些，所有这个拼接有了意义。而下面这句是没有意义的，至少哆嗒数学网的小编认为，地球上没人了解这个意义。

“牜飛阿烙鯡衿！。六福揂機阿拉丁飛阿。。←”。

希尔伯特纲领(Hilbert's Programme)，其实就是按上面思路，试图把所有的数学证明，都能用一些符号按合法的规则拼接出来。比如数学中的两个命题P，Q，我们做这样的拼接“P→Q”，P是真命题，且这个拼接合法，那么Q也是真命题。

这里如果还有一合法过程能得到“Q→R”，我们还能说R也是真的。我们用一个符号"∧"来表示"且"。那么上述拼接的全过程可以写成"(P→Q∧Q→R)→(P→R)",这还是一个拼接。

如果一个命题能用合法规则拼接出来，它就是真命题。如果一个命题能拼接出反例那么他就是假命题。

要说希尔伯特在那些年留下的东西，除了23个经典问题，剩下的估计最就是那个希尔伯特纲领最让人兴奋了。如果它能实现，数学证明完全成了一个拼图游戏，这虽然会让数学变得很无趣，但的确会让数学变得简单。给你一个命题，你能不能证明，或者能不能否定它，完全取决于你能不能把想拼的东西拼出来。当然，数学上能证明，如果命题是真的或者假的，那么一定能拼出来的。所以，剩下的问题就是如果拼出来的算法问题了。计算机来做这事，太擅长了。

但问题在于，是不是一个命题它一定真的，或者是假的吗？一个叫哥德尔神人得到一个惊人结果，一个命题他可能即不是真的，也不是假的！这就是著名的“哥德尔不完备定理”。

哥德尔的这个结果，据说让希尔伯特非常生气，但希大神也只能无奈接受。希尔伯特纲领就此破灭！

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国际奥委会从1948年起将每年的6月23日定为国际奥林匹克日。每年这个时候世界各个国家都会举办一些体育运动来做为庆祝纪念。

但是，奥利匹克本身已不再是指一项简单的体育活动。各国奥委会围绕“提高”、“学习”和“发现”三大纲领，积极开展各类体育、文化和教育活动。

那么今天我们就来看看其中一个最近几年在我国教育界炒的很厉害的奥数——“奥林匹克数学竞赛”。

国际奥林匹克数学竞赛，即International Mathematics Olympiad，简称IMO，是国际中学生数学大赛，在世界上影响非常之大。

国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助，现已成为国际科学奥林匹克历史最长的赛事。
 
IMO是否真的为发掘、鼓励数学天才起到了作用呢？我们可以用数学的另一项奖项做一个侧面考察。

菲尔兹奖一直以来被视为“数学界的诺贝尔奖”。自1936年开始到2010年，获菲尔兹奖的已有53人。

这些堪称数学界明星、精英的大咖们，有不少跟数学奥林匹克奖（IMO）都有渊源呢！

哆嗒数学网为读者列举以下大咖为例：
1. 1959年IMO银牌得主，苏联数学家格·阿·玛古利斯获得1978菲尔兹奖
2. 1969年IMO金牌得主，乌克兰数学家德里费尔德获1990年菲尔兹奖
3. 1974年IMO金牌得主，法国数学家约克兹获1994年获菲尔兹奖
4. 1977年及1978年IMO金、银牌得主，英国数学家博切尔兹获1998年菲尔兹奖
5. 1981年IMO金牌得主，英国数学家高尔斯获1998年菲尔兹奖
6. 1982年IMO金牌得主，俄罗斯数学家佩雷尔曼获2006年菲尔兹奖(得IMO时，他的国籍还是苏联)
7. 1985年IMO银牌得主，法国数学家洛朗·拉佛阁获2002年菲尔兹奖
8. 澳大利亚华裔数学家陶哲轩在1986年、87年、88年，分别获得IMO铜牌、银牌、金牌，获2006年菲尔兹奖
9 具备越南和法国双重国籍的数学家吴宝珠在1988年、89年，连续两年获得IMO金牌，获2010年菲尔兹奖
10. 俄罗斯数学家斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫在1986年、87年，连续两年以满分成绩获得IMO金牌，获2010年菲尔兹奖
11. 以色列数学家埃隆•林登施特劳斯在1988年获得IMO铜牌，获2010年菲尔兹奖。
自1986年我国正式参加国际奥数竞赛以来，共有个一百多名选手获得金牌。从1997年开始连续17年，中国队获得了其中13枚团体金牌，3枚银牌(1998年因特殊原因中国队没有参加在中华台北举行的IMO)。
但令我们深感遗憾的是，迄今为止这些金牌选手当中，没有一个人获得过菲尔兹奖。

在我国小初高中招生所表现的“奥数热”并没有为中国选拔出真正的数学人才。其中的原因大概正如《国际先驱导报》采访丘成桐时，丘所说的：“……国外奥数考得好的学生，往往能够成才，而我们的学生不一定能成才，因为国内是机械性的学数学，不是出于兴趣。我自己教过几个得奥数金牌的中国留学生，但他们学问太狭窄，考试有能力，思考没能力，甚至毕不了业。”

2014年，IMO将在南非开普敦举行。届时将有100多个国家参加。参加国的人口覆盖了世界90%的人口。这是历史上规模最大的一届。届时，我们一起为中国队加油！

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作者：施瑜原文地址：外滩画报 http://www.bundpic.com/link.php?linkid=55240

原标题：揭秘 2014 年全美职业红黑榜：大数据时代数学家的逆袭？

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说到数学家，如果你的脑海里弹出的仍然是架着眼镜的学究或是哥德巴赫猜想，那你肯定需要更新一下“内存”了，因为数学家已经是美国“最霸气”的职业了。

美国职业咨询网站 CareerCast 最新评出的 2014 年全美 10 大最佳职业排行榜中，数学家凭借 101360 美元的年薪、23% 的就业增长空间 （至 2022 年）、高舒适度的工作性质摘取桂冠，紧随其后的有大学终身教授、统计师、精算师，听觉矫治专家、牙科保健员、软件工程师、计算机系统分析师、职业复健师、语言矫正师挤进前 10 位。

 

**数学家逆袭？**

单从排行榜的顺序来看，数学从业者可谓“独领风骚”，因为十大最佳职业榜，有半数职位和数学有关，数学家 （冠军）、统计员 （第三名）、精算师 （第四名）和计算机系统分析员 （第八名）。

那么，这是不是预示着数学家的“逆袭”？CareerCast 网站创始人托尼·李（Tony Lee）在接受《外滩画报》采访时表示，数学家登上最佳职业冠军榜并非 “意料之外”，而是“大势所趋”。“过去几年，我们的排行榜上最佳职业几乎都和数学、工程、技术有关，所以今年数学家上头条，我一点也不感到惊讶。”托尼·李说，“数学是个跨领域的学科，随着‘信息革命’的来到，它在职场的应用范围会越来越广。可以说，参与这场‘革命’的人都能分到一杯羹。

今天，数学系毕业生可以从事金融工作，可以去企业做研究员，可以供职国家公务部门，当然也可以选择留校任教。 这种趋势会继续维持下去，不是一年或者两年，而是 10 年甚至 20 年。”来自圣地亚哥的数学家索博朗斯基（Jessika Sobanski）对排行榜持赞同态度。她在接受 CareerCast 网站记者采访时表示，随着大数据时代的来临，数学家将会越来越受欢迎。“目前公司都在雇佣那些可以读得懂数据，并且能根据数据预测出趋势的数学家，发生在那些空间的数据量实在是太庞大了，无论是新产品促销、新建电视台，所有的东西都建立在数据之上。” 索博朗斯基解释道。索博朗斯基是数学教育网站的创始人，可以说是资深的数学从业者，她对数学前景坚信不疑的态度是情理之中。

那么，年轻的数学从业者对自己的职业展望又是如何？记者电话采访了两位数学系的毕业生。Ellie 本科就读于复旦大学数学系，后来在西雅图华盛顿大学取得概率学博士。Ellie 说，她的圈子里都在谈论这个排行榜，作为“准数学家”，她感到异常惊喜。她说自己并没有规划这样的生涯，成为“数学家”完全是歪打正着。临近毕业，华盛顿大学数学教授到复旦讲学，Ellie 顺利通过选拔并进入该校攻读博士。据她介绍，华盛顿大学数学系每年招 15 - 20 个博士，目前，一共有 100 多名在读博士。Ellie 表示，数学系毕业生想要留在高校走学术道路，要面临粥少僧多的竞争压力，而很多想任教的博士毕业生不得已选择“Teaching school”当助理教授。“Teaching school 就是那些不设研究生点的大学，在那里授课的教师不做学术研究，性质和高中一样。” Ellie 解释道。Ellie 博士尚未毕业时，就有伦敦的金融猎头公司找过她。如今，她如愿拿到伊利诺伊州芝加哥大学数学系博士后的职位，她的入职年薪是税前 6 万美元。

“其实，数学家是个越老越安逸的职业。在年轻的时候，你需要过居无定所的生活，从一个学校搬到另一个学校，另外，教学其实是非常有压力的活，因为美国大学的学生平均水平参差不齐，而且学校实行的是严格的打分制，因此教课的同时，你需要小心翼翼，不能得罪学生。但你一旦获得终身教职后，生活就很安逸，你就不用担心被开除，也不用搬家，还能有自己能支配的教育经费。”Ellie 说 。CareerCast 网站创始人托尼·李在接受《外滩画报》采访时表示，数学家登上最佳职业冠军榜并非 “意料之外”，而是“大势所趋”陆鑫和 Ellie 是同龄人，2008 年毕业于北大的数学系，后赴麻省理工学院攻读运筹学博士学位。2013 年博士毕业后，他进入亚马逊总部担任研究人员，他透露自己的薪水是六位数。陆鑫说最初学数学，是为了追求解题的快感，而后来学的运筹学是一门综合学科。他自嘲说，自己可以勉强“冒充”数学家，因为现在的工作基本偏离了数学家的原始轨道，但他始终对数学界的动态保持密切的关注。 “外围的人对数学家有误解，觉得数学家都是神算，但数学界一个笑话，就是真正的数学家不会算术，因为数学家研究的东西其实都是很抽象的，有时候好几年研究做一个猜想或者论证，最后都发现是徒劳无获。我受不了那种枯燥的、单调的生活，也没有华裔数学家张益堂的那种毅力，可以在 Subway 打工,一边搞学术研究，所以改行了。”陆鑫说。陆鑫现在每天的工作就是帮亚马逊计算省钱方案，最大限度地节省人力、物流以及库存成本。当被问起对大数据的看法时，他果断地回答：“我觉得大数据是个被炒出来的概念，因为面对大量的数据，很多数据员采取的处理方式是非常原始的手段，比如取中位数或取平均值，根本没有大众所想象的那么‘高大上’。”对于数学家上榜单冠军，陆鑫也表示质疑，“我不知道他们是怎么计算的，就我认识的数学系毕业生，面临很大的就业压力。再说，数学家收入高也是值得商讨的，我们学校运筹系的几个博士生进了工程学院当助理教授，他们的收入和待遇和商学院教师相差甚远。”托尼·李承认“学院派”数学家面临的就业竞争力，但他表示在美国从事教育工作的数学家，仅仅是一小部分，而超过 70% 的数学家都进企业和机构工作，后者收入相当可观；而那些在大学留任的数学家，也有机会在企业担任兼职。

 

**如何评出榜单？**

20 多年来，托尼·李和团队每年都会对全美常见的职业进行评估，他们对职业收入、发展空间、工作环境及压力、体力因素分类计算，公布 10 大最佳职业和 10 大最差职业的排行榜。托尼·李表示，网站收集的资料均来自美国劳工部、人口普查局、各个行业协会、调查公司公开过的权威数据。他们在制作榜单时，尽量将一些主观因素进行量化数据处理。他们首先列出人们择业时最重视的要素，即工作环境、薪资水平、职业展望和工作压力。他们将这些要素定义为评估职业优劣的基准，再按个细分处理。在工作环境中，情感因素和体力因素被列入考虑范围，其中，情感因素又被细分为竞争激烈系数、人身安全威胁系数、公众曝光度等；而物理因素则包括体力消耗、外在环境 （如噪音、污染等）等，这些因素是用数字来划分等级，数字越大，工作环境越恶劣。在薪资水平中，薪水数目和收入的增长幅度均被列入评估项目，其中薪资水平抽取的是行业收入的中位值。 第三项是职业展望前景，包括该岗位数量增长趋势和失业危险系数。第四项是工作压力，这一项中，工作量、截止期限、竞争激烈系数、体能要求均被考虑进去。同时，他们仍然采用数字描述压力程度，数字越大，压力越大。其实只要稍微留心，就会发现这个繁琐的方法论里面存在漏洞，因为不少基础因素是重复计算的，比如体能要求，而测评基准本身带着很强烈的主观性。从这点看，这个排行榜存在争议也是无可厚非的。那么 CareerCast 网站如何应付这些内在矛盾呢？其实，CareerCast 考虑到多数在职者最看中的是薪水和升职空间，采用了三分法，第一部分是收入；第二部分是职业展望；而第三部分则是优先因素 （preferential factors），又称为舒适度指标（comfort levels），优先因素由工作环境、体能要求、工作压力三项构成，计算的是前四项基础指标子因素的叠加值。最后，CareerCast 通过各项指标汇总的结果进行排序，收入越高、升职空间越大、舒适度越高的工作是最佳职业，反之，则为最差职业。过去几年，CareerCast 网站评选的排行榜中，最佳职业几乎都和数学、工程、技术等理工学科有关

 

**最差的职业也有人爱！**

今年，上黑榜的职业有伐木工人、报纸记者、现役军人、出租车司机、播音员、主厨、空乘、消防员、狱警、垃圾回收员。其中，伐木工人的年收入为 24340 美元，报纸记者年收入为 37090 美元。此外，两个职业正在受到残酷现实的威胁——据美国劳工统计局最新统计，到 2022 年，伐木工岗位缩减将达到 9%，而报纸记者则缩减达到 13%。“我们采访过一些终身从事伐木的工人，他们第一反应是，我们的工作很棒，在户外又享受充分的自由。如果和他们深入交谈，他们很快会告诉你，他摔伤过三次腿，掉了一根手指。伐木工人能忍受严寒酷暑的工作环境，但多数人受不了伐木机器的噪音。”托尼·李说。去年，纸媒记者被列为黑榜“状元”，今年，无冕之王的排名仅下滑一位， 仍然“遥遥领先”其他“恶劣”职业。托尼·李对此解释道，“普通人会认为记者是光鲜的职业，经常出差，采访名人和明星，享有的自由度很高。但是，他们不了解北美记者的薪酬水平这几年来没有显著增长，而且记者入行的竞争压力非常大。另外，记者实际的工作时间很长，他们受到‘发稿最后期限’的困扰，因此要承受的压力很大。这几年来，美国的纸媒公司一直有大刀阔斧的裁员政策。”托尼·李说做排行榜不是为了将某个行业作为靶心来攻击，而是提供给人们一个参考，黑榜“阻挡不了人们对最差职业的追求”。既然如此，那么排行榜的意义又何在？ 托尼·李表示，最初做排行榜只是想给求职者做参考标准，但随着榜单知名度的提高，它产生了较大的社会效应和预想不到的娱乐效果。同时，不少教师会把排行榜作为教案，给在校学生做志愿参考。

 

**2014 年全美十大最佳职业：**

Career Cast 网站的评估方式，主要根据来自美国劳工部、人口普查局、行业协会及其他来源的数据，采用薪酬、就业前景、工作环境、从业压力和体力要求 5 项标准来评估每种职业。

1. 数学家 （年薪 101360 美元）

2. 大学教授（终身） （年薪 68970 美元）

3. 统计员（年薪 75560 美元）

4. 精算师 （年薪 93680 美元）

5. 听力矫正师 （年薪 69720 美元）

6.牙科保健员 （年薪 70210 美元）

7. 软件工程师 （年薪 93350 美元）

8. 计算机系统分析员 (年薪 79680 美元)

9. 职业治疗师 (年薪 75400 美元)

10. 语言病理学师 (年薪 69870 美元)

 

**2014 全美十大最差职业：**

1.伐木工人 （年薪 24340 美元）

2.报纸记者 （年薪 37090 美元）

3. 现役军人 （年薪 28840 美元）

4. 出租车司机 （年薪 22840 美元）

5.播音员 （年薪 55380 美元）

6.主厨 （年薪 42480 美元）

7. 空乘 （年薪 37240 美元）

8.垃圾回收员 （年薪 22970 美元）

9.消防员 （年薪 45250 美元）

10. 狱警 （年薪 38970 美元）

 

其实，一般上红榜的从业者不会发出质疑声，但去年网站却意外遭到红榜冠军的质疑。2013 年，大学教授荣登最佳职业榜首，结果网站收到不少大学助理教授发来信函，抱怨榜单存在误差，称自己工作压力大，报酬低。面对质疑声，网站只好发声明解释，排行榜中出现的大学教授是“终身教职”，而非助理教授。托尼·李表示，今年的排行榜推出后，并没有收到数学家们的书信质疑。榜单公布后，电视台会把红榜和黑榜上的从业者请到脱口秀节目中，让“状元”们畅谈自己的职业生活，这些节目恰恰促进了不同从业者之间的交流，当然也会有“互掐”现象，于是，有趣的故事从节目中源源不断地流出来。“我们制作榜单是很严肃的过程，但它发布后，确实产生了一定的娱乐效应。”托尼·李说。

 

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在最新公布的中国校友会网2014中国大学数学专业排行榜中，北京大学的数学专业荣膺2014中国六星级学科专业，入选中国顶尖学科专业，位居全国高校第一。另外，五星级学科专业及四星级学科专业如下。五星级：复旦大学、中国科学技术大学、山东大学四星级：清华大学、上海交通大学、武汉大学、浙江大学、南京大学、吉林大学、中山大学、北京师范大学、四川大学、南开大学、西安交通大学、厦门大学、哈尔滨工业大学、华东师范大学、大连理工大学、华中师范大学、兰州大学、苏州大学、首都师范大学、湘潭大学值得注意的事，这个排名的并列情况之多，是之前的排名都很罕见的，就并列第5名就有20个之多。2014中国大学数学专业排行榜

名次	一级学科	学科专业星级	学科专业层次	学校名称	2014综合排名	办学类型	办学层次
1	数学	6星级	中国顶尖学科专业	北京大学	1	中国研究型	中国顶尖大学
2	数学	5星级	中国一流学科专业	复旦大学	4	中国研究型	中国一流大学
2	数学	5星级	中国一流学科专业	中国科学技术大学	14	中国研究型	中国一流大学
2	数学	5星级	中国一流学科专业	山东大学	16	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	清华大学	2	中国研究型	中国顶尖大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	上海交通大学	3	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	武汉大学	5	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	浙江大学	6	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	南京大学	8	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	吉林大学	9	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	中山大学	10	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	北京师范大学	11	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	四川大学	13	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	南开大学	15	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	西安交通大学	18	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	厦门大学	19	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	哈尔滨工业大学	20	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	华东师范大学	24	中国研究型	中国一流大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	大连理工大学	30	中国研究型	中国高水平大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	华中师范大学	36	行业特色研究型	中国高水平大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	兰州大学	38	中国研究型	中国高水平大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	苏州大学	52	区域研究型	中国知名大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	首都师范大学	86	区域特色研究型	中国知名大学
5	数学	4星级	中国高水平学科专业	湘潭大学	102	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	华中科技大学	12	中国研究型	中国一流大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	中南大学	17	中国研究型	中国一流大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	同济大学	22	中国研究型	中国一流大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	湖南大学	28	中国研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	西北工业大学	29	中国研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	重庆大学	33	中国研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	西北大学	37	区域研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	东北师范大学	40	行业特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	中国地质大学	44	行业特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	西南大学	50	区域研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	中国石油大学	54	行业特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	南京师范大学	54	区域特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	河海大学	58	行业特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	西南交通大学	61	行业特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	北京化工大学	63	行业特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	郑州大学	64	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	西安电子科技大学	65	行业特色研究型	中国高水平大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	华南师范大学	70	区域特色研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	上海大学	73	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	上海财经大学	74	行业特色研究型	中国一流大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	福州大学	77	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	江南大学	81	区域特色研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	太原理工大学	85	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	新疆大学	86	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	安徽大学	88	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	河南大学	89	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	华北电力大学	91	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	内蒙古大学	95	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	昆明理工大学	109	区域研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	扬州大学	111	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	江苏大学	117	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	上海理工大学	123	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	上海师范大学	127	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	西北师范大学	129	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	湖北大学	131	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	武汉科技大学	139	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	中北大学	146	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	河北师范大学	148	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	长沙理工大学	152	专业型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	青岛大学	153	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	西南石油大学	158	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	宁波大学	161	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	浙江理工大学	166	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	广西师范大学	168	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	云南师范大学	174	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	杭州师范大学	176	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	四川师范大学	178	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	内蒙古师范大学	183	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	哈尔滨师范大学	189	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	广州大学	191	专业型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	曲阜师范大学	206	应用型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	南京信息工程大学	211	应用型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	江苏师范大学	216	应用型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	杭州电子科技大学	226	应用型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	重庆师范大学	253	应用型
25	数学	3星级	中国知名学科专业	解放军理工大学		行业特色研究型	中国知名大学
25	数学	3星级	中国知名学科专业	国防科学技术大学		中国研究型	中国一流大学

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本文的部分节选将发表于7月的《新高考》的高一数学版上。

 

数学家都有一个爸爸，他们中有好爸爸，也有坏爸爸。还有的爸爸不知道去哪了。

 

阿基米德：我有一个好爸爸，好爸爸，好爸爸，好爸爸。。。

被西方称为最伟大的三位数学家之首的阿基米德出身于希腊贵族家庭，其父费狄亚就是是天文学家兼数学家。这位父亲不仅给儿子带来了贵族身份、良好的家教，更因为他与叙拉古的国王—海维隆二世国王的关系，为阿基米德的发展铺好了一条光明大道。

关于费狄亚与国王的关系，有两种说法，一种说他们是朋友，一种说他们是亲戚。不管真相如何，不可否认的是费狄亚跟国王相处密切，所以阿基米德学成回国后就有充分的机会出入宫廷，并常与国王、大臣们闲话家常或是畅谈国事。

在这样优裕的环境下，阿基米德作了好几十年的研究工作，并在数学、力学、机械方面取得了许多重要的发现与成就，成为上古时代欧洲最有创建的科学家。

 

 

 

   欧拉：我曾跟爹一起走近上帝

莱昂哈德·欧拉出生于瑞士的巴塞尔。他的父亲保罗·欧拉是基督教加尔文宗的牧师。受父亲的影响，欧拉13岁时就入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁顺利获得硕士学位。虽然对数学早有接触，但是欧拉此时的主修方向还是哲学和法律，并在之后遵从父亲的意愿进入了神学系，学习神学，希腊语和希伯来语。

不过虽然保罗·欧拉一心想让儿子也成为一名牧师，但是他也不是冥顽不化的固执老头。当约翰·伯努利来说服他允许欧拉学习数学时，他还是听取了意见，并开始相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家，从而使欧拉真正开始逐步走向数学家的道路。

 

 

 

   高斯：我不坑爹，爹坑我

近代数学奠基者之一高斯几乎可以用天才、早熟、高产、创造力不衰等人类智力领域所有褒奖之词来形容。但是他的父母却是很普通的一对夫妇。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，没有接受过教育，近似于文盲。在成为高斯父亲的第二个妻子之前，她仅仅从事着女佣工作。而高斯的父亲做过园丁，工头，商人的助手及一个小保险公司的评估师。

这位经历丰富的父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。高斯很小就对一切现象和事物十分好奇，并且常常坚持弄个水落石出。古板顽固的父亲经常因此而训斥他。

幸运的是，高斯拥有一位鼎力支持他的母亲和颇有眼光的舅舅。        

舅舅弗利德里希发现高斯的聪明伶俐后，花费了很大一部分精力投入到对高斯智力的启蒙和教育中，并经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。

而高斯的母亲罗捷雅也对儿子的才华十分珍视，在高斯的父亲面前坚决维护高斯的思考和行动，也为高斯的发展赢得了更为开阔的思维空间。

不过不可否认的是高斯虽然没有直接从自己的父亲那里获得更为良好的教育，但是他秉承了其父诚实、谨慎的性格，这也算是父亲身教的良好结果吧。

 

   拉格朗日：我本官二代，一朝变屌丝

在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性贡献的约瑟夫·路易斯·拉格朗日，生于意大利都灵。

他的父母共有11个子女，但大多数夭折；拉格朗日为长子，是幸运活到成年的两个之一。

从出身来看，拉格朗日的家境应该不错：曾祖父是法国骑兵上校，祖父任都灵的公共事务和防务局会计，父亲也在都灵政府任同一职位。可是这位父亲，弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚，并不满足这样职位和收入，参与了大笔金融上的的投机，最终失败将家产挥霍殆尽。

早期拉格朗日并没有展现出对数学特别大的兴趣。在都灵大学进修的时候，他最喜欢的学科是拉丁语，还认为希腊几何学很枯燥。但到青年时代，在数学家F．A．雷维里指导下学几何学后，激发了他的数学天才。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上并且转向主攻当时迅速发展的数学分析。

不过拉格朗日本人曾回忆说自己，如果家境富裕，可能就不会作数学研究了。大概中落的家道也让他放弃了对其它某种生活方式的追求，才能致力于数学研究吧。这算不算是他父亲歪打正着的为数学界做出的另类贡献呢？

 

   柯西：差点跟爹一起文艺

奥古斯丁·路易·柯西的父亲路易·佛朗索瓦·柯西是一位精通古典文学的律师，曾担任法国参议院秘书长。他将自己擅长的法语、拉丁语等语言研究早早教给柯西，使得柯西小时候在文艺的道路上遥遥领先。柯西很小就曾获得希腊文、拉丁文作文和拉丁文诗奖，在中学毕业时还赢得了全国大奖赛和一项古典文学特别奖。

可是柯西最终还是从一个文艺青年胚子转成了数学家。这也离不开他父亲的铺垫，因为他的父亲经常带着他一起出入法国参议院。在那里柯西得以和两个已经成名的数学家经常进行交流。这两位就是拉普拉斯和拉格朗日。两位数学家都对柯西表现出来的天赋非常的欣赏，拉格朗日更是在众人面前评价柯西，说这个孩子将来会超过我们所有人。但是，拉格朗日后面还加了一句，说柯西的身体太单薄，17岁以前最好不要碰数学，否则他会沉迷其中。简单地说，拉格朗日怕柯西累死。所以，柯西的父亲坚决贯彻了这个政策，把柯西的早期教育重点放到了文科上。但当柯西接触数学并且专攻数学后，这位父亲也没有要求儿子继续文学而进行干涉和指责。

 

   

笛卡尔：我是留守儿童，爸爸每个月寄钱给我。

勒奈·笛卡尔父亲Joachim是雷恩的布列塔尼议会的议员，同时也是地方法院的法官。笛卡儿1岁多时母亲患肺结核去世，而他也受到传染，造成体弱多病。母亲去世后，父亲移居他乡并再婚，而把笛卡尔留给了他的外祖母带大，自此父子很少见面，也因此养成终生沉思的习惯和孤僻的性格。父亲见他颇有哲学家的气质，亲昵地称他为“小哲学家”。可是他们父子俩相处得并不融洽，笛卡尔自己曾经说，他是父亲最不喜欢的孩子。他与兄弟之间的感情，似乎也不怎么深厚。可能是因为这个缘故，他经常离乡背井单独外出旅行，并且对待朋友特别情深。

迪卡尔的父亲虽然心理上跟笛卡尔有些疏远，却从没有真正放弃笛卡尔，他一直给予迪凯尔提供金钱方面的帮助，使他能够受到良好的教育，并且在死后也留给笛卡尔一大笔遗产，让笛卡尔可以追求自己的兴趣而不用担心经济来源问题。

 

 

希尔伯特：我没成为爸爸强扭的瓜

大卫·希尔伯特，二十世纪的一流数学家，被称为数学世界的亚历山大，是康德的同乡。

希尔伯特的父亲奥托·希尔伯特是法官。他有些狭隘，他对儿子喜欢搞数学总是持批评的态度。幸好母亲玛利亚·特丽萨却比较开明，她兴趣广泛，对天文学、哲学以及应用数学都抱有兴趣。这无疑对儿时的希尔伯特产生了影响。

而希尔伯特的数学天分，在中学就表现出来。据说在中学时，希尔伯特不能写出很好的德语作文，于是她母亲经常为其代笔，但是他的数学非常好，能够给老师们讲解数学问题。

这样的天分，做父亲的却不能接受，是不是有点失败呢。

 

 

康托：我的蛇精病和爸爸没任何关系

乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。父亲乔治·瓦尔德玛·康托是个富商。1856年康托全家迁居德国法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。

康托父亲的影响对于康托来说是一生的。这位在福音派新教影响成长起来的父亲，不仅在经济上给康托的发展提供了物质基础，他将宗教的使命感，及自信、自强和奋斗精神也带给了康托。父亲在给15岁的康托的一封信中写到：“你的父亲，或者说，你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你，希望你将来能成为科学地平线上升起的一颗明星”。这封信始终陪伴着康托，成为康托终生奋斗的一个动力，让他面临数十年的指责，也不放弃捍卫超穷集合论。

 

庞加莱：我爹基因好强大

亨利·庞加莱出身于法国的显赫世家。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，生有两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。莱昂·庞加莱是一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。

庞加莱从小就显出超常的智力，他很爱读书，而且阅读速度快得惊人，并对内容的记忆迅速、准确而持久。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。

看上去这位天赋异禀的数学天才，应该是遗传了家族的良好基因吧。不仅他的祖父、父亲颇有成就，他叔叔的两个儿子也成为法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长。 
 

   陶哲轩：爸爸为了学位到处奔走

陶哲轩的父亲比尔·陶是儿科医生，和母亲格雷丝相识在香港大学，后移民澳大利亚。

陶哲轩小时候惊人的智力发展让父母意识到，儿子是个神童。于是这对夫妻到处为陶哲轩买书、借书，鼓励他读书探索。但是不久他们就发现自己的教育很难跟上孩子的进步。围边绵耽误了儿子的发展，决定让他提前上学。然而，提前入学对这个智力提早发育的孩子似乎并不合适。智力上，陶哲轩比同班5岁的孩子们发育得都要成熟，但为人处事方面，他还不愿意长时间和比自己大两岁的孩子呆在一起。对此，私立学校的老师无能为力。几个星期后，父母和老师达成一致，让他退学。陶哲轩又被送进幼儿园，和与他同龄的孩子一起成长。幼儿园的18个月里，陶哲轩的数学能力显著提高。在妈妈格雷丝的帮助下，不到5岁，陶哲轩完成了小学的所有数学教程，这通常需要7年时间。格雷丝在香港大学念研究生时，曾经获得数学物理一等奖学金。然而，她发现，在数学上，陶哲轩不需要别人告诉他该怎么做，他主要通过大量阅读数学著作和教科书来完成学习。

在这个时候，陶哲轩也开始接受专门针对天才儿童的零星教育。这个项目由澳大利亚的教育机构发起，每个星期六对天才儿童进行特殊教育。也是从这个时候开始，陶哲轩的父母开始为儿子“量身定做”教育课程，在专门从事天才儿童教育的老师的帮助下，终于让这个神童的智力发育走上了“正轨”。

 

牛顿：爸爸去哪儿呐？

相比以上所有几位数学家，艾萨克·牛顿就可怜多了，出生前三个月，他同样名为艾萨克的父亲不幸离世了。之后牛顿的母亲在牛顿3岁时改嫁了。而她母亲并没有把牛顿带入巴纳巴斯·史密斯牧师家，而是把他托付给了他的外祖母玛杰里·艾斯库。这样的疏离导致年幼的牛顿不喜欢他的继父，并因母亲改嫁的事而对母亲持有一些敌意，牛顿写过他曾：“威胁我的继父与生母，要把他们连同房子一齐烧掉。”这位伟大数学家的人生中，父爱就是一片空白。

  父亲节来了，祝福天下所有的爸爸都有值得自己骄傲的子女！感恩父亲！

 

 

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高盛集团的近日在其网站上发表了一篇题为《2014世界杯统计模型》(A STATISTICAL MODEL OF THE 2014 WORLD CUP)的文章，文章中对2014的世界杯的比赛进行了预测。

高盛的研究员构造了一个统计模型用来模拟生成2014世界杯的所有比赛结果，而用于预测的方法，还是大家熟知的回归分析。文章对1960年以来所有(约14000场)“强制性”国际比赛结果作样本进行统计，然后得出结果。所谓“强制性”比赛，在文中的解释是非友谊赛的比赛。当然，文中还提到，他们假设，一场比赛中，某方的进球数量服从泊松分布。

即然预测方法是回归分析，当然会有解释变量了。高盛给出的解释变量是这些：
1、Elo排名的差距。依据历史上所有的比赛的战绩得到一个Elo排名。注意这个排名并非国际足联的世界。
2、最近10场“强制性”国际比赛的平均进球数。
3、最近5场“强制性”国际比赛的平均失球数。
4、特定国家队的虚拟变量。衡量一些国家在世界杯上的表现趋势。高盛只在有参加了足够多1960年之后世界杯比赛的国家队上使用这个变量（包括巴西,德国, 阿根廷, 西班牙, 荷兰,英格兰,意大利和法国）。
5、主场国家的虚拟变量。衡量球队是不是在他自己的国家比赛。
6、主场大陆的虚拟变量。衡量球队是不是在他自己的大陆比赛。

64场比赛的比赛情况的模拟，还是用暴力的蒙特卡罗方法。

高盛的模型中，没有把球员的个人能力作为参数，因为他们认这个因素应该在历史成绩中反映。就是说，像里贝里的伤退，在模型中不会对法国成绩的预测产生任何影响。

高盛的一些主要结果：
1、 揭幕战巴西将4比1战胜克罗地亚。而卫冕冠军西班牙首战将和荷兰1比1战平。
2、 亚洲球队第一个出战的日本，将和科特迪瓦1比1打平。
3、 16强中有5只南美球队、10只欧洲队、1只亚洲球队。这只亚洲队是伊朗。
4、 巴西、阿根廷、德国、西班牙进入四强。四强战，巴西3比1胜德国，而阿根廷于西班牙战成1比1后，点球淘汰西班牙。
5、 巴西在决赛中3比1击败阿根廷夺冠。

不过，高盛没有把所有的预测认为必然的，他同时给出了事件发生的概率。

比如，即便认为巴西会夺冠，但预测模型中，巴西夺冠的概率为48.5%,并没超过一半。而亚洲球队中，虽然伊朗出现在了16强对阵表中，但模型给出的伊朗进入16强的概率41.4%，低于韩国的49.1%。

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原文作者：Keith Devlin， 英国数学家和科普作家，斯坦福大学教授

翻译： 哆嗒数学网， www.duodaa.com

 

实数有多少个呢？一种回答是：“无穷多个”。由于康托证明了实直线--即连续统--不能和自然数有一一对应，于是能得到更好一些的回答是，“不可数多个”。但我们能更精确一些吗？康托引进了一种度量无穷集合个数的方法：使用阿列夫数。阿列夫是一个希伯来字母，康托用它来表示无限集合的个数(阿列夫“ℵ”这个号很多时候在网页上都打不出来)。他把所有的无限集合的个数都用这样的无限数量(基数)进行了分层，ℵ0(第一个无穷基数，自然数集的数量)，ℵ1(第一个不可数基数)，ℵ2，等等。

 

无穷基数和有限的自然数一样，可以做加法和乘法，只是比自然数的加法和乘法容易得多。两个无穷基数相乘或者相加，都等于这两个中最大的那个。

 

我们也能把任何一个有限或无限的基数来计算它的幂。这样问题瞬间变得不那么容易了。我们来看一个相对最简单的情况，如果κ(西腊字母,Kappa)是一个无穷基数，那么2^κ(2的κ次幂，即κ基数集合的幂集的基数)的值是多少？康托证明了这个幂一定比κ本身大，但这也就是他得到的最深的结果了。特别的，他无法表明2^ℵ0是否等于ℵ1。

 

这个问题有何意义呢？在数学其它地方，已经证明了2^ℵ0正好是连续统的个数，即实数的个数。由于康托能证明有理数的大小是ℵ0，那接下来一个自然的问题，实数到底有多少个？这样的问题不能回答是让人沮丧的。希尔伯特也在1900年，把它列入了他《数学问题》中的23个问题之一。

 

命题2^ℵ0=ℵ1的就是著名的连续统假设。它和选用的构造无限集合的公理体系密切相关。这个公理体系是由策梅罗和弗兰克尔在20世纪初建立的，叫做ZF公理体系，是被数学界普遍接受的。1936年，哥德尔用他的证明震惊了数学界。他证明了ZF公理体系是不能证明连续统假设是一个假命题的。

 

其实，部分逻辑学家、一些实分析学家，以及大部分数学家并不关心连续统假设是真是假。所以，让人震惊的并不是这个结果本身。让大家惊奇的是，哥德尔发现了一种证明手段，可以证明一些数学命题是不能被证明的。(注意，哥德尔证明的是连续统假设不可能在ZF公理体系下被证明是假的，但这并不意味着连续统假设可以在这个体系下被证明是真的。他没有一个证明它是真命题的逻辑推导。)于是，大家知道了连续统假设不可能被证明是假命题，研究转向去证明它是真命题。但这样的研究是徒劳的，1963年科恩的证明告诉了大家，为什么之前的研究是徒劳的。科恩用他发明的力迫法证明了连续统假设也不可能被证明是真命题(在ZF公理体系的框架下)。于是这个假设是不可判定的。因为这个发现，科恩还在1966年获得菲尔兹奖。

 

当然，一个很自然的想法。我们想在ZF公理体系下增加一些公理，让连续统假设变得可以判定是真是假。的确有很多数学家做了这样的工作，但都没有成功。问题在于，我们试图为所有的数学分支提供一个统一的集合论的基础框架(这个框架包含算术系统)，框架中的公理要被大家接受，还必须看上去是“显然的”。没人能找到这样的公理。有一种我个人觉得很吸引人的公理叫做构造性公理(我博士期间是研究集合论和无穷基数算术的，我研究生涯的前15年都在搞那个)。

 

这个公理是哥德尔发现的。哥德尔用它来证明了连续统假设在ZF公理体系下不是假命题。虽然哥德尔不建议让它成为一个集合论的公理，但我觉得它还是比较“自然”，能成为一条公理。不是因为我相信那个是“真”的。当我们在无限集合上讨论数学时，我认为不应该较真公理的对错。甚至，我觉得科恩的结果(以及很多之后的结果)向我们表明的原始信息应该是：我们在选择集合论的公理时，应该务实一点。由于集合论的终极目的是为数学提供一个普遍的根基，我可以提出（事实上在1977年我已经提出过）一个非常好的支持将构造公理纳入公理体系的论点。(我把这个观点写进了我的专著《The Axiom of Constructibity: A Guide for the Mathematician》，于1977年在Springer-Verlag出版。) 如果构造性公理被假定成立(作为一条新的公理，加到ZF公理体系里)，就可以证明连续统假设是真命题。由于各种原因，很多数学家不支持我以及其他支持构造公理体系的人的观点。但没有一个人提出一个我认为令人信服的反对理由。至少，在那个时候没有。

 

1986年，情况发生了改变。Freiling在《Journal of Symbolic Logic》上发表了一个有趣的文章，题目叫《公理的对称性：往实直线上投飞标》。在文章中，Freiling提出了下面这个假想实验。你我两人向一个飞标靶子投掷飞标。我们之间隔了一个屏风，所以我们之间互不影响。当我们收到一个来自第三方的信号的时候，我们一起向靶子投掷飞镖。我们投掷的结果完全是随机的。(形式上，由于靶子上的点可和实数产生一一对应，所以我们两个人可以简单的看成两个独立的随机数发生器。)那谁是赢家呢？恩，实验的组织者把所有实数排成一个良序(即把靶子上的点排成良序)，记为“<<”。我们的目标是在这个良序下，击中的目标比对手大。如果你击中的实数是Y，而我击中的M，若Y<<M，就我赢，否则，你赢。

 

好的，再多说几句。假如连续统假设成立。实验的组织者可以把这个良序排成这样：对任意实数x，集合{r|r<<x}是可数的。同意吗？好，由于我们是独立投掷的，我可以假设我第一个投，我击中了M。现你轮到你投了，由于{r|r<M}是可数的，所以如果你击中的是Y，那么Y<<M的概率是1，即你赢的概率是1。但，我们的条件是完全对称的，所以相似讨论，我赢的概率也应该是1.但这是不可能的。结论：我们不到找到这样的良序，所以连续统假设是假命题。

 

是吧?别急，别太武断。要让上面的推理成立，我们假设了良序“<<”是可测的。但没有任何理由支持这个假设。所以，我们并没有证明连续统假设是一个假命题。但我们(或者Freiling)也不是要证明他是假命题。相反，我们是在找一些似是而非的理由，来找一个公理集合论体系来解决连续统假设。如果，你们公理集合集结看成一个构造集合的框架，这个框架为数学其它所有分支都提供一个构造集合的保守方法，那么，你可以用构造性公理。这时，连续统假设成立。但是，如果你认为数学是现实经验的抽象，且你认为Freiling的投标假想实验是直观、自然且“应该是对的”，那么你能承认的集合论中的公理就得让连续统假设是一个假命题。(或者，退一万步来讲，你的公理体系不能让连续统假设是真命题。)那我现在是观点是什么呢？恩，我还是在考虑一个支持构造性公理的论点。但我也发现Freiling的假想实难是宁人信服的。

 

所以，我的观点是，从直观的层面上考虑，肯定要让连续统假设是一个假命题。当一个数学家发现他在支持两个互相矛盾的命题的时候，他显然是当系主任或者院长太长时间了。是时候放弃职位而继续前进了。你知道吗？我这样做了。请注意我的联系地址已经变了。

 

 

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    市里发生一起凶杀案，警方断定：

1. 凶手是男性
2. 受害者是女性
3. 凶手做案之前有大量饮酒
4. 凶手用双手掐死了受害者

    受害者的丈夫在案发现前和受害者有过激烈争吵，并且案发时就在案发现场附近。由于是健美教练，有足够的手力掐死一名成年女生。并且，有很多案件，在夫妻发生激烈冲突后发生的。于是被控方锁定为重大嫌疑人。

    受害者的丈夫的律师却说：另外一个城市，也是相同情况，但受害人是被一个流窜作案的流动人员杀害的，所以现有证据无法证明嫌疑人就是凶手。

    当然，目前为止，也无法证明嫌疑人是凶手。

    所以，控辩双方都要继续找证据，来证明他们相要的结果。

    其实，数学公理就是“证据”。这种“证据”是一个要求人们先接受，而无需证明的一些命题。至于，为什么要接受，或是因为生活经验，或是因为某些实验结果，再或没有任何理由，反正先接受。但接受的东西之间不能有矛盾的地方。比如，下面一串的东西，不能看成公理。

1. 世界中存在两个人类小明和小红
2. 小明是男人
3. 小红是女人
4. 小明与小红是相同性别的
5. 男女是两个不同性别

    我们再来说一个数学的例子，高等代数中学过数域的定义，我们把这些定义的条件看成公理吧。一个实数子集$F$，满足就是下面几条公理，就称为数域(简单起见，我们只在实数上讨论)。

1. $1\in F$
2. 如果$a,b\in F$，则$a+b\in F$
3. 如果$a,b\in F$，则$ab\in F$
4. 如果$a,b∈F$，则$a-b\in F$
5. 如果$a,b∈F$，$b≠0$，则$a/b\in F$

    那么，对于一个数域$F$，由这几条公理(加上默认的一些公理，比如实数完备性的公理)，是否能推导出$x^2=2$在$F$上有解？我们说，不能，因为如果我们让$F$为有理数集的时候，有理数集是一个数域，但$x^2=2$无解。那能否推出$x²=2$无解呢，我们说也不能，因为如果我们让$F=R$时，在这个域上是有解的。

    于是，得到结论“代数方程$x^2=2$有解”这个命题，在数域公理体系下，是无法证明，也无法证伪的。于是这个$x^2=2$是否有解，与数域公理独立。

    通过上面的讨论，我们知道，我们要一个命题的证明独立性，有一个办法是，找两个模型，两个模型都满足所有公理的条件，但这个命题在其中一个模型里是真命题，在另外一个是假命题（比如前文中的有理数集和$R$）。

    我们都熟知的连续统假设与ZFC公理系统独立就是用这样的办法证明的。

    第一个找到让连续统假设是真命题模型是哥德尔，他利用了构造性公理。由于ZF和构造性公理一起还能顺便推出选择公理，于是他证明了连续统假设和ZFC是不矛盾的。

    找到另一个让连续统假设是假命题模型，要难得多。不过还是由科恩(P.J Cohen)找到了，找的过程中，他用了他本人发明的数学工具力迫法(Forcing)。于是，连续统假设与ZFC公理体系就独立了。由此，科恩获得了1966年的菲尔兹奖，也是唯一一个在数理逻辑领域的菲尔兹奖的获得者。

    最后补充一点，我们说公理就是“证据”。现代的公理代数学到底是哪些“证据”呢。这些证据被称为ZF公理体系。我这里列举一下，不过我全部用口语不严谨的列举(严谨的要用形式语言)。

1. 公理1 外延公理
   两个集合有相同的元素则两集合相等

2. 公理2 正规公理
   每个非空集合$x$ 都包含一个元素$y\in x$ ，使得$x$和$y$不相交。

3. 公理3 分类公理
   $x$是一个集合，$p$是一个描述集合的性质，则$\{ y\in x:~ p(y) \}$是一个集合

4. 公理4 配对公理
   $x,y$都是集合，则$\{x,y\}$也是集合。

5. 公理5 并集公理
   一簇集合的并，还是集合。

6. 公理6 替代公理模式
   一个集合被映射后，得到到的像还是一个集合。这个公理之所以称为模式，无穷多的映射，对同一个集和都能产生像，这些像都是集合。所以这其实无穷多条公理。

7. 公理7 无穷公理
   存在一个无限个元素的集合(所有自然数在一起是集合)。

8. 公理8 幂集公理
   一个集合的子集做元素，能形成一个集合。

上面8条就构成ZF公理体系，再加上下面的选择公理，就是ZFC公理体系。

9. 公理9 选择公理
   对一簇集合，我们可以每一个集合里抓出一个来，形成一个新集合。

    很多人都玩过斗主，我也玩。当我在QQ游戏上玩得最HI的时候莫过于三个人都大叫一声“明牌！”，所有牌的游戏都能被互相看见。   

    这个时候，其实原本三个人的游戏变成了两个人在玩，地主与斗地主的一方。而且，打牌的双方都能知道对方有哪些招能用，哪些招用不了。
    这时，我们再大胆假设一下，我们认为双方都足够聪明，出牌都按最优的方式，即不失误。那么其实，这样的一局牌就变得很无趣了，因为当发完牌的同时，游戏的结果已经决定了。

    因为牌都亮着，必然有一方有一种打牌的策略，让他能在最后处于取胜状态。

    我们把这个游戏变得更为无趣。我们把先出牌的一方叫P1，后出牌的一方叫P2。在轮到某人出牌的时候，他只有有限多少出牌的选择。把可能出牌的办法都编号吧，比如当轮到打牌的时候，他就可以说，1号办法应对，2号办法应对,...，n号办法应对...

    于是，好好的斗地主就成了一个叫号的游戏，P1叫我用1号办法，P2叫8号办法,然后P1又叫19号办法，于是得到一串叫号的数列。因为游戏一定会在有限步内结束，于是我们能得到一个有限长数列，这个数列可能指向P1赢的状态，可能指向P2赢的状态。这两种状态，都能分别构成集合。

    如果，这时候我们要改变一下斗地主的规则(比如最后一手牌必须少于5张才算赢)，那么，我们本质上是改变上述所得到的赢的状态所对应的集合。

    上面说到的东西，在数学中有一个叫博弈论(Game Theory)的分支在做研究，其实就是研究游戏啦。注意到，上面提到的对局有两个特点，第一，第一轮对局者都只能在有限个对局策略里选择，第二，对局一定能在有限的轮次中结论。

    如果策略选择和轮次都是无限的会怎么样呢？现在P1，P2能叫的号是所有自然数，而且每个人都要玩无限轮次。这样，同样在事先规定，哪些数列算赢，哪些数列算输。会怎么样了呢？是不是无论我们怎么改变游戏规则(就是改变赢的状态集合)，这个游戏都在规则确定的同时，结果已经定了呢？

    如果，我们要继承斗地主时的感觉，当然我们要认为结果已经定了！于是，我们就这样认为他定了。这就是决定性公理(Axiom of Determinacy，简称AD)。他和熟知的选择公理(Axiom of Choice)矛盾的。那么和ZF是不是相容呢？可惜，决定性公理能推出ZF是自洽的，所以由哥德尔不完备性定理，ZF+AD是否自洽不能由ZF得到。   

    不过，这个公理很难让人认为是“真”的。它除了和选择公理矛盾，由这个决定性公理还能推出一系列太过于“卖萌”的数学“事实”。其中最有趣的是，由它可推出所有实数集合都是勒贝格可测的。这样一来，许多数学成为没意思的了。因此，数学家们还是不太想承认这个过于“萌”的公理。不过，它带来的一系列问题仍有在研究当中。

    一个度量空间$(X,d)$，如果对于度量$d$，每一个柯西列都收敛，我们就说$X$是完备度函空间。于是我们知道$\mathbb{R}$在通常度量$d(x,y)=|x-y|$下是完备度量空间。对一般的$\mathbb{R}^n$，在通常度量(欧基里德度量)下是完备度量空间。

 

    现在，我们来看看完备度量空间的子空间是不是完备度量空间。Wiki上说完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。这话的确没错，但我们这里换个思路来想这个完备性。当$(X,d)$是一个完备度量空间，取一个子集$A\subset X$，并继承$X$的度量$d$，得到一个度量空间$(A,d)$，这个时候通过$d$能一个拓扑空间。这个时候，我们只考虑拓扑结构，如果$A$不是闭子集，那么我们能不能换一个度量$\rho$，$(A,\rho)$与$(A,d)$是相同的拓扑结构，但$\rho$是一个完备度量。如果有，我们就说$A$能有相容的完备度量。

 

    先在$\mathbb{R}$来看一个简单情况,开区间$(0,1)$实数集的非闭子集，我们取$\rho(x,y)=|\cot(\pi x) - \cot(\pi y)|$，那么$\rho$就是完备度量，而且他诱导的是相同的拓扑，因为$y=-\cot(\pi x)$是$(0,1)$到$\mathbb{R}$的同胚。

 

这其实给了我们一个思路，就是找相容完备度量的时候，可以把它用同胚映射到一个熟知的完备度量空间上，从而得到相要的结果。于是，利用这个思路，我们很容易得到，$[0,1)$有相容完备度量，因为它同胚于实数上的闭子集$[0,+\infty)$；两个不交开区间的并(比如$(0,1)\cup(2,3)$)有 相容完备度量，因为它和$\mathbb{R}^2$的两条平行直线同胚。

 

现在来一个难一点的。无理数集和有理数集，他们分别有相容的完备度量吗？

 

    如果有人知道贝尔纲定理，很容易知道，有理数集是不可能的有相容完备度量的。贝尔纲定理说，完备度量空间是第二纲的，而有理数是第一纲的，所以他没有相容的完备度量。

 

无理数呢？其实，一般拓扑里有一个终极定理可以解决这个问题。回贴的人会有人贴出来吗。