DuodaaMaster 发布的文章

我的朋友——几何学家陈省身①

 

作者 安德烈·韦依著

译者 杨振宁

 

这是一篇极难得的文章,文章写的近代的微分几何大家陈省身。作者是可与陈省身比肩而立的数学大师 Weil,而译者是陈省身教过的最得意的一名学生,首位诺贝尔奖华人得主杨振宁!

 

本文由哆嗒数学网转发,原文地址

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

原文见《自然杂志》第2卷(1979年)第8期,479-480页。这是一篇极难得的文章,文章写的近代的微分几何大家陈省身,作者是可与陈省身比肩而立的数学大师 Weil,而译者是陈省身教过的最得意的一名学生,中国首位诺贝尔奖得主杨振宁!杨振宁在最近还写过一篇追忆陈省身的文章菩萨、量子数与陈氏级,其中提到了Weil。 杨先生这里给出的是节译,全译本在此可以找见,也收入到《陈省身文选》(科学出版社,2011年)。

 

 

为了庆祝陈省身的成就,他的朋友和同事们计划出版这本选集。他们要我写一篇文章。这是我不肯随便推却的荣誉。我其实不能对他的工作给以恰当的评价,虽然我相信未来的微分几何史一定会认为他是E.嘉当[3]的继承人。我所能做的是写一点我们长期交往的回忆——同他的交往,不管学术或私人方面, 都是我一生中最可宝贵的经历之一。

 

 

我必须承认,当1942年《数学评论》杂志要我评论他的一篇关于积分几何的文章时, 他的名字对我是陌生的。其实在1936 ~ 1937年间我曾在巴黎见过他,那时他在E. 嘉当那里做研究作。不过当时我们没有什么往还,所以后来我不记得他了。我对他的那篇积分几何的文章印象很好。虽然我也指出文章中有一二弱点,总的来讲它把布拉施克④学派的积分几何工作推进到了更高的阶段。我尤其对文章中的深刻见解有很好的印象。我把这些印象写在评论里面,而且和H.韦尔[5]讨论过。恰好那时维布伦⑥ 已经知道陈在射影微分几何方面的工作, 他和韦尔正在考虑请陈到普林斯顿高等研究院来。这在战时情形下不是一件简单的事情。当时我自己只是一个在美国的难民, 不能对实际请陈的事有多大贡献,只向韦尔竭诚赞助这计划。我对1943年把陈请到普林斯顿这件事作了这一点推动工作,这是一直使我很高兴的。

 

 

他1943年到普林斯顿以后, 离我的工作地点不远, 所以他常常来访问我。我们很快发现我们有很多共同的兴趣。我们都对E.嘉当的工作和卡勒书中对嘉当工作的介绍有极深的印象。我们都曾在德国认识卡勒。我们都对高斯一邦尼特定理感兴趣。我们都开始认识纤维丛⑦概念在很多几何问题中的重要性,虽然这些重要性当时还不很明显。更重要的是我们似乎对这些问题,和对整个数学,有许多共同的观点。我们都企图能不管别人的看法而直接向每一个问题从根上下功夫。

 

 

陈和我都对当时数学界关于示性类的概念很有兴趣,虽然当时对于示性类的知识还是很少的。在他第一次访问我时我们就谈到了这些问题,以后又一再谈到这些问题。大家都知道,不久后示性类的概念被陈的工作整个地改观了,先由于他对高斯一邦尼特定理的证明,然后通过他对复结构和准复结构的基本发现。这些都是历史了,我不想多谈,只想指出陈对高斯一邦尼特定理的证明第一次用了内在的丛,也就是切丛,因而把整个问题大大地明朗化了。

 

 

1944年底我去巴西,他于1946年回到中国去和他的家庭团聚。我们在分开的几年内没有通过多少消息。我自己对纤维丛在代数几何中的应用通过他在复流形上的工作而逐渐成熟起来。

 

 

1949年夏他全家来到芝加哥,我们成了邻居,住在芝加哥大学教员公寓。以后十多年的时间是他和我的工作都颇有成果的一段时间。纤维丛、复流形、齐性空间都是我们当时研究的对象。记得我们在埃克哈特大楼我们的办公室中讨论,在我们家中讨论,在附近公园中一面散步一面讨论,在一切时候讨论。我们与同事、与研究生的关系都很好。美国和其他国家的数学工作者经常来芝加哥大学,作短期或长期的访问。爱德· 斯帕尼尔当了芝加哥大学教授以后, 我们又有了一位拓扑学同事。陈和我在那十几年内的工作都充分表现出当时芝加哥大学数学系活跃的科学研究空气对我们的影响。

 

 

后来他和我都由于各种原因,包括气候和居住环境方面的考虑,离开了芝加哥。象我们曾戏言的一样,他迁往伯克莱离中国近了些,我迁往普林斯顿离法国近了些。我们的友谊并没有因此而受到影响,但是我们彼此间工作的接触自然地减少了,虽然我们仍设法不时见面。他与他的中国同事们保持了联系, 通过他的关系,我在1976年秋被邀请访问了中国——一次给我极深印象的访问。我不想对这些私人往还的事再多叙说,也不想对陈在近十五年间的工作加以评述(它们的价值是众所周知的,我不是最有资格讨论的人) , 只想对几何在数学中的地位——对今天的数学和未来的数学——讲一些意见。

 

 

显然,微分几何中的一切都可以翻译成分析的语官,就象代数几何中的一切都可以翻译成代数的语言一样。有时候数学工作者,因为他们的自然喜爱,或者错误地为了“ 严谨” ,太注意翻译后的语言而忘记掉了原文。虽然这种办法也曾偶而引导出重要的结果,但是如果没有真正几何学家出来挽救的话,几何题材的形式化处理一定会把这门学科扼杀掉。历史上的蒙日对于解析几何, 近代的列维一齐维他、和更重要地E.嘉当对于张最分析的工作,都是真正几何学家的贡献的例子。真正的几何直观恐怕是心理学所永远不能了解的。

 

 

过去几何直观主要与三维空间中的构想有关。现在既然我们经常讨论更高维度空间的概念, 构想最多只能是部分的或象征的。触觉的想象⑧ 也多少有一些作用。不管怎样,假如没有E.嘉当、海因茨·霍普夫⑨、陈省身和另外几个人的几何构想,本世纪的数学是不可能有它的惊人进展的。我相信未来的数学进展还要靠他们这样的数学工作者。

 

 

译者注:

 

 

①. 这是最近出版的《陈省身论文选集》(Sprniger Verlag 出版社,1978年)中的第一篇介绍性的文章.陈省身教授是当代大数学家. 1911年10月26日出生于浙江省嘉兴县.1930年毕业于天津南开大学.1934年毕业于清华大学研究院.曾任教于清华大学、西南联大和美国芝加哥大学。现任美国加州大学伯克莱分校教授。最近受聘为北京大学名誉教授。

 

 

② André Weil(1906——1998)是当代法国大数学家,在数论、代数几何和微分几何方面都有巨大贡献。

 

 

[3] Élie Cartan(1869-1951)是法国大数学家。Gauss(1777-1855)、Riemann(1826-1866) 和 Cartan 被公认为历史上最伟大的微分几何学家.

 

 

④ Wilhelm Blaschke(1885-1962) 是德国数学家.陈省身的博士论文(1936年) 是在他的研究室中作的。

 

 

[5]Hermann Weyl (1885-1955) 是德国大数学家。1933年起任美国普林斯顿高等研究院教授。

 

 

⑥ O. Veblen (1880-1960) 是美国数学家. 先后任美国普林斯顿大学和普林斯顿高等研究院教授。

 

 

⑦纤维丛是重要的几何概念。近年来在基本粒子物理学中有重要的应用。各种相互作用(即基本粒子间的力量)都与纤维丛的概念有密切关系。

 

 

⑧ 原文是 tactile imagination。作者似乎认为几何的构想与触觉有关。这是很重要的问题。 据译者所知,研究这问题的工作还很少见。

 

 

⑨ Heinz Hopf (1895-1971) 是瑞士大数学家。

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

赶超中国?美国为超级计算机砸25亿!

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

据路透社报道,美国联邦政府能源部表示将斥资4.25亿美元(约合25亿人民币)研发超大规模计算并建造两台世界上最快的超级计算机。这两台计算机分别定名为“顶峰”(Submmit)和“塞拉”(Sierra),建造完成后两台超级计算机的计算速度将分别达到15亿亿次每秒及10亿亿次每秒。而在这之前,世界上最快的超级计算机为中国人民解放军国防科技大学研制的“天河二号”,计算速度为5.5亿亿次。由此,美国将重夺超级计算机计算速度的头把交椅。IBM、Nvidia、Mellanox三个人们熟知的IT巨头也是建造计划的参与者。

超级计算机常用于需要大量运算的工作,譬如天气预测、气候研究、运算化学、分子模型、天体物理模拟、汽车设计模拟、密码分析等。另外在数学研究中,计算机或者超级计算机也越来越多的发挥着作用,而计算机科学本身的发展也离不开包括数学在内基础学科的发展。比如美国这回建造的“顶峰”和“塞拉”除了用于核武器的开发,另一方面就是用于基础科学的研究。而中国的“天河一号”、“天河二号”从搭建完成之初就担负着很多重要的数学任务。另外数学上的一些重要结果也不断应用于计算机科学,国际数学家大会甚至还专门设立奖项——奈万林纳奖——表彰在这些方面做出贡献的学者。2014奈万林纳奖得主科特如是说:“我认为计算机科学就是一种数学,像代数、几何一样,是数学的分支”。数学与计算机科学的关系正如彭翕成在他的博文《计算机正在改变数学》中提到的那样:“计算机科学就好比是数学科学的孩子.虽然这个孩子长大了,搬出去住了,但身上始终流着母亲的血液,仍然从母亲这里吸取着养料.数学也并没有白养这个孩子.在计算机产生和发展的过程中,数学也同时得到发展.”

最后,再顺便提提前些日子炒得比较热的量子计算机。诚然,即便是最快的超级计算机在量子计算机面前都只能算做手动算盘,但现在量子计算机研究还处于实验室阶段。因为,最好的量子计算机的工作时间也无法超过40分钟,而且需要在零下200摄氏度以下的环境中工作。所以,现阶段超大计算领域的突破,还是主要依赖于超级计算机。

哆嗒数学网在文章结尾抛出一个小调查,下面那件事你希望超级计算机来做。请大家回复参与吧!

1、 计算七阶幻方的个数

把1至9这九个数字填入一个3×3九宫格内,保证九宫格内每条横线、竖线、对角线的数字相加正好相等。满足条件的填数方法有8种。如果把1到49这些数字填去7×7的方阵格子内,也要满足每条横线、竖线、对角线的数字相加正好相等,有多少种填法呢。有一本数学书上给出这样的填法有363916800种,但没给任何说明,不知道是不是真的。

2、 计算R(5,5)、R(6,6)是多少

如果两个人之间,可以通过一串QQ好友关系联系起来,我们就说这个两个人有“好友联系”。比如如果小明是小红是QQ好友,小红和小刚是QQ好友,那么无论小明和小刚是不是QQ好友,我们都说他们有“好友联系”。在6个人中,我们能找到3个人他们相互有好友联系,或者能找3个人,他们之间完全没有好友联系,而5个人是不一定行的。于是R(3,3)=6。如果我要问,最少有多少人就能保证他们之间要么有5个人有好友联系,要么有5个人之间毫无好友联系?把“5”改成“6”呢?有数学家曾说,计算R(6,6)的难度不亚于消灭入侵地球的外星人。

3、 提供一个世界冠军级别的围棋电脑选手

无论是国际象棋还是中国象棋,人脑已经不是计算机的对手了。而在围棋上,计算机一直处于低水平。前段时间,中国的百度公司曾经宣布他们研发了一个能达到低段位水平的围棋选手,如果借助超级计算机,这个程序可以和世界冠军叫板,真的吗?

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

光棍节细数十大数学光棍大咖

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

 


第十名 切比雪夫


 

俄罗斯数学家。我们在概率书上经常见他的名字。比如切比雪夫不等式,切比雪夫大数定律等等。其实这位大神在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面都有贡献。切比雪夫终身未婚,一直和自己的表姐关系很好。在孩提时代,当其他孩子们在庄园里玩耍时,表姐就陪着教他唱歌、读法文和做算术。所以一直到临终,切比雪夫都把这位表姐的像片珍藏在身边。

 

第九名 帕斯卡


法国数学家。同时,他还是物理学家、哲学家、文学家。虽然数学很厉害,但他最热衷还是神学,可以说他爱上帝胜过爱数学。最著名的叫做“帕斯卡的赌注”,用这个来说明理性的人应该相信上帝的存在。帕斯卡没有结过婚,甚至都没有恋爱经历。原因除了他对上帝的笃信外,也许和他短命有关系,这位天才39岁就挂了。

 

第八名 索菲·热尔曼(女)


法国女数学家,很受拉格朗日看好。他在数学交流中,不想暴露自己的妹子身份,所以常用假名与包括高斯在内的其它数学家通信交流,于是有了“数学花木兰”的称号。没有嫁过人,在娘家终老。

 

第七名 莱布尼兹


德国数学家。微积分的独立发明人之一。同时莱布尼兹还是哲学家,研究领域也很广泛,被誉为“十七世纪的亚里士多德”。终生未娶,但在他宫廷当差期间,和女生发生过些暧昧的故事。

 

第六名 埃尔德什

匈牙利数学家,共发表1475篇论文,超越欧拉成为历史上发表论文最多的数学家。因为战争以及政治等各方面的原因,在世界上四处漂泊,也因此有了更多和各地不同学者合作的机会。虽然埃尔德什一辈子都没有结婚,但他却成就过别人的姻缘。他和另外两位一男一女数学家研究“幸福结局问题”时,让他们幸福的走到一起,成为一段佳话。

 

第五名 艾米·诺特()


德国女数学家。终生未婚,把全部精力献给了她所热爱的数学事业,被爱因斯坦称为“最伟大女数学家”。当时,由于艾米·诺特的行事方式很“中性”,于是德国数学家兰道曾这样说:“我可以作证她是一个伟大的数学家,但是对她是一个女人这点,我不能发誓。”也许,男人婆的形象和他的爱情空白也有一定关系吧。

 

第四名 笛卡尔


法国数学家,哲学家。他有一名言:“我思故我在”。在数学方面,创立了解析几何。笛卡尔终身未婚,没有享受到家庭生活所带来的快乐。据说他有一私生女,但不幸夭折。

 

第三名 哈代


英国数学家。在纯数学领域做出过非凡成就,但非常不喜欢应用数学。哈代其实是长得很帅的那种,但据说为人极度自恋,从不照镜子,也极少照像。终生没有结婚,和自己妹妹一直在一起。他妹妹也终生不结婚,一直照顾哈代到他离开人世。

 

第二名 希帕蒂亚(女)

古希腊女数学家、哲学家、天文学家,也是世界第一位女数学家。希帕蒂亚在20岁左右时,已经是远近闻名的大美女,求婚者络绎不绝。但这位才貌双全的美女想干一番大事业,不想被婚姻影响。她说:“我只嫁给一个人,他的名字叫真理”。这位有远大抱负的美女学者却死得很悲惨,肢体被一群暴徒卸成几大块,分块焚烧掉。

 

第一名 牛顿

英国数学家、物理学家,万有引力发现者,微积分创始人之一。他的举不胜举的伟大成就这里不再多说。牛顿其实有两段恋爱经历,都被传成过佳话,但这两段故事都不是幸福的结尾。前一段是因为自己太闷骚没及时把爱意传达到对方而错过,后一段则是因为谈情说爱时,思维突然跳跃到二项式定理而误把旁边美人的手指当成烟草往烟斗里硬塞,让女孩不敢再与“疯牛”交往。总之,牛顿就是一辈子光棍。
 

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

日本综艺节目: 做一个数学题给你1亿


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


这是某岛国的综艺节目,节目是让一位老师做一个数学题目,如果能做出来就当场给这位老师1亿日元的奖励(约合100万美元)。

是不是发财的机会?这是个什么题目呢?哆嗒数学网的小编来告诉你这个题目。

证明对任意的紧致简单规范群,在四维欧几里得空间上都存在一个非平凡的杨-米尔斯理论,以及有一个质量缺口Δ > 0

看不懂?不明觉厉是吧?这不重点!重点是这个题目克雷研究所提出的七个千禧年问题之一,叫做杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口问题。这七个问题目前只有一个是被完全解决了,这个被解决的叫做庞加莱猜想。看不懂这个问题内容,现在至少知道问题的难度了吧?这明显在坑那位老先生嘛!

注意视频的几个亮点:

1、  老先生拿到题目就认真的写起来,写的东西也是一串数学公式,吊炸天!

2、  当老先生在做题遇到困难的过程中,掏出了量角器。恩,你没看错,是量角器!

3、  当老先生正想放弃这个题目时,工作人员在旁边放了1亿日元,于是斗志重燃。

4、  主持人还是很认真的介绍了题目背景和发表的注意事项,没有误导观众。





关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

USNEWS全球最佳大学数学学科排名

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

 


美国有多个机构对大学进行排名,其中最有影响力的就是由《美国新闻和世界报导》在每年下半年公布美国大学排名,也就是常说的每年的USNEWS排名。日前,2015年USNEWS全球最佳大学排名已经公布。哈佛大学、麻省理工学院、加州大学伯克利分校三所美国大学分列前三,而榜单的前500名高校中,美国学校占了134所、德国42所、英国38所。中国取得了不俗的表现(makes a strong showing),有27所入围500强。


该榜单同样公布了学科排名。数学学科的前三名同样被美国大学包揽。第一名是加州大学伯克利分校,而斯坦福大学、普林斯顿大学分列二、三名。前十名中,出现了两所亚洲大学,分别是第七名沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学及第九名香港大学,这两所大学的排名甚至超过了第十名大名鼎鼎的剑桥大学。第四到六名分别是:加州大学洛杉矶分校、牛津大学、哈佛大学,而巴黎第六大学排在第八位。



哆嗒数学网还为您整理了中国方面的排名。在该榜单的数学排名中除了香港大学的第七名外,北京大学与香港中文大学以17名与19名分列中国地区的第二、三位。如果只看中国内地高校的排名,那么排在第二、三位的是25名的复旦大学与37名的浙江大学。






关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa




再给你一个喜欢“七”的理由

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

 

有一个调查是说“七”是世界上最受欢迎的数字。不管你信不信,反正这项调查的发起者亚历克斯·贝洛斯信了。但喜欢它的理由不尽相同,有的是因为它是一个素数,有的因为自己的生日日期里有很多“七”。但是,菲尔兹奖得主巴尔戈瓦给又给了我们一个爱上这个数字的理由:指数丢番图方程。

你不是不是和哆嗒数学网的小编一样,觉得这个方程的名字很高端?其实丢番图是古希腊亚历山大的数学家。丢番图方程以这位数学家的名字来命名。这些方程的未知数都在整数范围内取值。这里的指数丢番图方程是指至少有一个未知数在指数位置上。

1913年,印度数学家拉马努金猜想关于未知数n,x指数丢番图方程$2^n-7=x^2$只有在$n=3,4,5,7$及$15$的时候,有整数解。1948年,挪威数学家纳格尔证明了这个猜想,但他的这个证明是对他同胞永格伦的回应,而不是拉马努金。(1943年永格伦在独立情况下,也提出过这个猜想)

$2^n-7=x^2$这个方程不是一个普通的方程,其实他是有特别之处的。对于这样形式的方程$2^n-D=x^2$,当$D$非零且不等于$7$的时候,方程最多只有两个整数解。它有两个让人不解的地方。第一,为什么$7$如此特别?第二,拉马努金本人是否知道$7$是特别的一个?如果答案是否定的,为什么他在无限多个方程中把这个拿出来说?我无法找到答案。

除了这个梗,巴尔戈瓦还讲了很多数论中的梗,但我喜欢这个梗。如果在数学中,有一个数字能让情况变得特殊,这个数通常是$0$或者$1$,偶而会是$2$。 但$7$是真的是非常非常少见的。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

如果想当富豪,就来学理工科吧!

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


 

近日美国杜克大学天才甄别计划项目成员,心理学家Jonathan WaiQuartz(美国著名全球新经济数字媒体)发表文章说,选择STEM专业会非常有“钱途”。

 STEM代表的是科学、技术、工程以及数学。在中国,理工科代表的各个学科能大致涵盖上述四个领域。下面请大家来看看,这位心理学说了些什么。文章由哆嗒数学网的小编翻译,因水平有限,有的意思不尽准确,敬请各位看官指正。

 在通常的叙述中,STEM之所以重要,是因为我们需要更多的数据科学家、工程师以及其他STEM的专业人才。但是推广STEM教育还有一个重要原因,它在传授人们创造性解决问题的方式,而后者,在当今社会的用处更为广泛,也更被需要。STEM教育和很多成功案例关联,这些案例不仅仅在STEM领域,在其他学科,甚至很多顶级富豪的成功,也和STEM教育有关。

 数学的核心是模式识别以及和摆弄数字的游戏乐趣。心理学上叫做流体推理或者精神力量。当你遇到困难不知道怎么办的时候,它就会派上用场。它包括模式识别、抽象推理和问题解决方法,被认为是计算能力动力引擎。正如埃里克•布林约尔松和安德鲁•麦卡菲在《第二次机器时代》中指出的那样,它是非常之多的人类进步和技术进步的源动力。这时,数学教育做的事就是训练人们在一个逻辑范围内进行创造性思考和解决问题。

 然而,就算是学数学专业的人,他们大多数也没有成为数学家。但是,他们在各自从事的行业中,把这种创造模式及问题识别技能转化成了一种对兴趣的追求,比如商业、新闻、政治、法律或学术。一项对有数学天赋学生的跟踪研究表明,个人爱好可以把数学专业的学生引向其他创造性职业并有益于社会。 MATHCOUNTS基金会(美国为中学生数学兴趣培养组织——哆嗒数学网注)执行总监卢•迪焦亚曾对我说他见过很多人,都把他们的成功的关键归功于他们学到的创造性解决问题的技能。 

事实上,很多富豪把成功的关键归咎于模式识别。在克里斯蒂娅•弗里兰的《富豪》一书,就讨论了这种数据极客不断增加的趋势。卡洛斯•斯利姆(前福布斯世界首富——哆嗒数学网注)是学工程的,他认为对数字的灵感帮他得到了财富。史蒂夫•施瓦茨曼(黑石集团创始人——哆嗒数学网注)认为,他的成功是因为他具有在一大堆数据中“看到别人看不到的模式的能力”。我的一些研究能为这些故事提供一些数据支持,在商界,有 29.9% 的亿万富豪和23.8%的达沃斯出席人是学STEM专业的。所以,如果你想成为大富豪,也许学STEM的专业是个不错的选择。

 研究还表明,在有数学天赋的学生和优秀的STEM毕业生中选取独立的样本,这些最后都获得了STEM博士、出版了作品,获得了专利,取得大学的终身职位,或即将就任此类职位的人,都很有可能在大学之前就有过STEM的受教育经历。所以,在早期就增加学生此类受教育经验的强度和广度,有可能会增加STEM创新力,甚或提高在STEM领域之外的创新力,如商业。 

埃利奥特•施拉格是前谷歌全球通联总监,当他被问到什么领域应当鼓励我们的孩子们去学习时,他回答:“统计学,因为理解数据的能力将会成为二十一世纪最强大的技能。”所以,本质上说,从数据和我们世界中发现数学规律或者其它模式规律是通往未来的关键。而这种思考方式通常能在统计学,数学和其它STEM学科教育中找到。在这些学科中,当学生们会学到创造性解决数学和科学问题。

 伊丽莎白•格林在她的《成为更优秀的教师》中提出教学是一种手艺,第一次发现美国人要治愈他们的“数学盲”用传统的教学方法是不行的。保罗•洛克哈特在《一位数学家的挽歌》中提出,“你没法教他们怎么教别人”。我们要他们待在教室里,而这些人正是对数学创造和探索有兴趣的人,他们也想教别人,而不是别的什么。他深刻地指出:

 “通过不断做相关的事来学习某个东西,然后记住这个东西和你本身有什么关系。我们很多大人都能背得烂熟的口诀:‘2a分之负b加减根号下b平方减4ac’,但完全不知道背了些啥东西。原因就是他们从没有机会为他们自己去发现或者发明这样的东西。”

 保罗•洛克哈特说得对,我们应当传授数学中探索的乐趣,因为这个教授的核心在于激发对模式识别与创造性解决问题的喜爱。“数学不应该是跟从式学习,而应当是探索式学习。”伊丽莎白•格林也说得对教师们有能力且应当提升他们的教学手艺。为了解决这世界上的一些大问题,比尔•盖茨曾建议:“把世界上最聪明的人更多得吸引到技术领域来。”我补充一点,我们这样做不仅是因为我们的世界需要更多数学家,科学家或者工程师,还因为在这些领域之外,数学和科学的思考方式是解决这世界上如此之多问题的核心。






关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

2014年世界大学数学学科学术排名

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa




根据上海交大最近公布的2014年世界大学学术排名,哈佛大学、斯坦福大学、加州大学伯克利分校三所美国大学分列前三,彰显了美国在当今世界学术中心的地位。 

数学学科排名方面,前三名同样被美国院校占据第一名是普林斯顿大学,而哈佛大学、加州大学伯克利分校分列二、三名。值得一提的是,一改前几年美英法三国囊括前十的状况,这次榜单的前十中出现了亚洲学样的身影,沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学。这也是亚洲国家学校的最高排名。第四到九名分别是:巴黎第六大学、斯坦福大学、剑桥大学、巴黎第十一大学、牛津大学、加州大学洛杉矶分校。


 在中国的高校中,排名第一的是香港城市大学28名。这个排名甚至超过了在数学上大名鼎鼎的法国巴黎高等师范学校的第30名。北京大学,香港中文大学分别以第37名和43名分列第二、三名。中国共有36所高校进入榜单。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

 



关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

这些日子,数学很火!

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa



一位叫Basulto的未来学家在美国《华盛顿邮报》发表文章,说数学在这些日子在美国很火。文章主要列举了四大愿因。

文章开篇说,数学,Math,是STEM(STEM表示科学,Science,技术,Technology,工程,Engineering,数学,Mathematics)四个字母中M代表的学科,但可能是STEM中最不吸引人的领域。有趣的作者还要求读者列举当今的数学名人,但不能举罗素·克劳演的《美丽心灵》中的约翰·纳什。

文章以“事物总会变的”一句转折,展开了全文的讨论。现在就由哆嗒数学网的小编和大家一起,看看这位未来学家说了些什么。

文章列出第一大原因是2014年菲尔兹奖的颁发。这个奖一直被视为数学界的诺贝尔奖的数学项,在它近80年的历史却从未有女性数学家得到。美国斯坦福大学教授米尔扎哈尼,这位37岁的伊朗人却在2014年做到了。其意义可媲美宇航员萨莉·赖德在美国历史上首位进入太空。她们都为小姑娘们提供了成长的偶像。文章援引米尔扎哈尼的话说:“这是个莫大的荣誉。……我确信,未来几年里,会有更多的女性在获得类似的奖项的。”

文章说那很重要。毕竟,在很多时候,STEM领域的女性们缺少榜样和精神导师。米尔扎哈尼的获奖能让其它顶级数学家更受关注,同时也能吸引一大批孩子对数学感兴趣。

文章给出的第二大原因,来自于就业形势的变化。数学看上去比以往火的原因和数学毕业生薪资增长和就业前景有关。在CareerCast(美国著名求职招聘网站)最近出炉的调查显示,数学家(或者说做数学的人)是“世界上最让人满意的工作”。理由很简单,在技术产业的所有热门领域里,从做大数据到做计算机搜索算法,这些工作都和数学强烈相关。CareerCast调查认为,数学家现在的平均年薪能超过10万美元,且到2022年,还能有23%的增长。

而最近的用人趋势也似乎能印证这一点。文章引述《华尔街日报》的了文章,说一些高端人才都是在内的各个领域的研究人员,他们之中有数学家。他们在硅谷很吃香,因为他在一个新兴领域驾轻就熟——大数据领域。这些人才现在在硅谷利用他建立的复杂数学模型来预测用户行为。但是,他有可能被华尔街的经纪人挖走,用来搞复杂的对冲投资组合的技术。

文章列举的第三大原因是数学和其它学科的融合加深。他再次回过来提到米尔扎哈尼。虽然她所研究的课题还是很深奥的,——“黎曼曲面及其模空间的动力系统与几何”。但在外行人看来这些数学理论成果能应用到了密码学、工程学什么的。而本次菲尔兹的另外一个获奖者马丁·海尔所做的成果,据说能为大气科学建立新的研究模型。数学不再孤单。也不再只是充满诸如费马大定理或者庞加莱猜想这种让人受尽折磨问题的学科。现在,数学已经成了一些学科不可分割的一部分,比如说生物、化学和计算机科学。

文章说的第最后一个原因是文化的变化。作者说,突然间,就像达伦·阿罗诺夫斯盖1998年的电影《生死密码》里的数学狂一样,我们在不断感受周围不断增加的数学符号。孩子们在网上看数学视频。圆周率日,这个本来像是一群数学呆子恶搞的日子,也有了自己的谷歌徽标。孩子们报名数学夏令营,并真切地享受其中。在TED(美国著名创意分享平台)上,一个关于“分数”的数学讨论也能有100万的浏览量。

文章对这种文化的变化持肯定态度,说数学越多地成为流行文化的一部分,越是一件好事情。在我们的数字文化下,人们对数学如何成为对未来发展的背后的驱动力会越来越感兴趣。这种兴趣可以小到手机如何运转,大到人工智能研究的最新进展,而之前我们认为那些是相当然的事。文化的变化会让下一代们真正的喜欢上数学,并亲眼看到数学在日常生活中的直接应用。



关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa





被人忽略的“穷”猜想(五):关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想(完结)

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


数学问题玩悬赏是从什么时候开始的大概很难考证出一个准确结果了。不过,近现代以来为数学问题悬赏征答的风气据说是埃尔德什带起来的。这位以高质量论文巨量产出闻名数学界的数学家,总是喜欢把自己提出数学猜想添上几十、几百或者几千美元的彩头。一方面,吸引其他人来关注,另一方面,用一种奇特的方式,展示每个问题在他心目中的地位。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第五篇,完结篇:关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。

在他的诸多问题中,最贵的被悬赏3000美元。叫做关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。这个问题的彩儿后来被提高5000美元。不过,还是和100万没法比。


还是从简单情况说起。我们都知道,1+1/2+1/3+…把所有正整数倒数加起来是发散的。但如果我们不把所有整数取完,而只取其中的一个子集,在把子集的中的每个数做倒数求和,那么有可能收敛。比如,我们取所有2的正整数次幂的集合,得到1/2+1/4+1/8+…,这个能算出来是收敛于1的。


我们只来关注让那些倒数和发散的子集,并且认为这些子集都是从小到大排序的。那么,这个子集里是不是一定能包含任意长度的等差数列。打个比方,我叫出一个数100,你就能在其中找到a, a+d, a+2d, ..., a+99d这样形式的100个数,而叫出1000,你也能找到p, p+q, p+2q, ..., p+999q这样的。无论叫多少,都能从中找出对应个数的数,他们正好是等差数列?这就是关于倒数和的埃尔德什-图兰猜想。


问题有多难呢?这里举一个例子,比如利用数论知识我们可以知道,如果上面的子集取所有质数,那么所有质数的倒数和是发散的。那么质数中存在任意长度的等差数列?答案是肯定的,这是由陶哲轩和格林合作完成证明。这个证明可以说是陶神在数论方向的顶级神作之一,他能获得菲尔兹奖和这个作品有很大关系。也就是说,在这个问题里,找一个极特殊的情况,也有可能是菲尔兹级别的问题。


不过,陶哲轩和格林的方法太过于特殊,很难推广到一般情况。要完全证明,估计还很久远。

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


有趣的数学之歌(The Math Song)

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa



今天介绍一个在国外某著名视频网站上有60万点击的音乐视频。视频展现了一位亚裔女孩在数学考试前的精神状态。歌曲的原曲调来自“火星哥”布鲁诺·马尔斯的《懒汉之歌》(THE LAZY SONG),歌词也模仿了不少,很有意思。


Girl:come in
进吧!
Mom:  Kim,it's time to go to bed.what have you been studying for?
Kim,该睡了,你还在学习什么?
Girl: Maths, I don't know what I'm gonna do. I'm not going to get it.
数学,我不知道做什么,我得不到答案。
Mom:  Don't worry,honey, it'll come to you.
别担心,宝贝,答案会有的。
Girl: I am so worried about my test.
我好担心我的考试。
Mom:  Don't worry honey, just sleep on it
别担心,宝贝,明天再说吧。
Girl: Ok, good night.
好吧,晚安。




歌词

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Try to figure out how to represent relation
试着弄清关系的表达
Ordered pairs and table are the destination
做出有序对和表格是我们的目标
Learn about this function notation
了解这个函数符号
I’ll be graphing linier functions
我来画线性函数图象
And interpreting relations
和表示函数关系
Did you know that y=mx+b?
y=mx+b你懂了吗?
So in my math class, I’ll get good grades
所以我的数学课,我能得到好成绩

Oh yes, I know, I know
噢,是的,我懂了,我懂了
I said it cause I know
我那样说,因为我懂了
Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Gonna ace my test and stop all that slacking
绝不懈怠,通关考试。
And I’m gonna scream out “I did great!”
然后尖叫着说:“我做得很好!”
I’m gonna walk around
我还四处奔走
And show all my friends
向我所有的朋友秀成绩
I bet my old man will be so proud of me
我打赌我的老爸会以我为荣
Don’t worry pops , I’ll keep doing great
不过,老爹您别担心,我会继续保持的。
Oh yes I aced it, I aced it
噢,是的。我通过了,我通过了!

I aced it cause I can
我通过了,因为我能!

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Oh,I know all the definitions
噢,我知道了所有的定义
And I know what a function is
还知道函数是什么
One element of the domain
定义域中的一个元素
Goes with the range
映射到值域
There are different types of variables
有不同类型的变量
The dependent and independent
相关和不相关的
The relationship between
有关系存在于
Two sets of things
两个集合之间

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧



关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

被人们忽略“穷”猜想(四):沙努尔猜想

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第四篇:沙努尔猜想。


沙努尔猜想(Schanuel’s Conjecture)其实是超越数论中最基本最前沿的问题之一。这个猜想其实并没有被“忽略”过。在2009年5月由科学出版社出版的《10000个科学难题•数学卷》中也有专门的介绍。这里把他写出来还是因为他“穷”。沙努尔其实提出了两个猜想,一个是猜想本身,一个是沙努尔猜想的逆猜想,各自悬赏1000美元,共2000美元。


本文只介绍猜想本身,它已经足够难了。


我们先来回忆两个高等代数中的内容。对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在不全为零的有理数$q_1,q_2,…,q_n$,使得$q_1\cdot z_1 + q_2\cdot z_2 + … + q_n\cdot z_n = 0$,我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上线性独立。比如,我们可以证明$1$和$1/2$不是线性独立的,只需要取$q_1=1,q_2=-2$就行。而$1$和$π$是线性独立的,因为π是无理数。另外一个概念,对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在一个有理系数的$n$元非零多项式$P$,使得$P(z_1,z_2,…,z_n)=0$,我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上代数独立。比如$1$和$π$不是代数独立的,我们可令$P(x,y)=1-x$,于是$P(1,π)=0$。而只有一个$π$它本身是代数独立的,因为$π$是超越数。


沙努尔猜想说:对于$n$个在有理数域上线性独立复数$z_1,z_2,…,z_n$,,它们和$e^{z_1},e^{z_2},…,e^{z_n}$组成的$2n$个复数中,最少有$n$个是在有理数域上代数独立的。


关于这个猜想的一个有趣的特例。当$n=2$时,令$z_1=1,z_2=πi$,由欧拉公式$e^{πi} + 1 = 0$,沙努尔猜想能推出$e$和$π$是代数独立的。就是这样一个特殊情况,人们也还没有证明。实际上,现在我们对这两个最常使用的无理数四则运算后的结果知道的并不多,连$e+π$和$e/π$是有理数还是无理数都还不知道。



关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


张益唐:我还年轻!

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


去年,随着其成果的公布,张益唐登上了数学的主舞台。他发现的定理被誉为“素数分布研究领域里程碑式的定理”。这位华裔学者所做的工作,使得孪生素数猜想这一最古老数论问题的研究有了重大进展。他的一如既往与坚持让他战胜了在该领域其他专家没有的困难。他已经58岁,但在他成果公之于众之前却默默无闻。北大研究生毕业,并在1991年在美国普渡大学完成博士学业。在新罕布什尔大学找到了一份讲师的工作之前,有很长一段时间没有一份稳定的学术工作。现在,张益唐已经是学院的教授了。

 

2014年韩国首尔国际数学家大会期间,张益唐在接受了一次采访时说,他乐观的天性和对数学热爱帮助他度过了艰难的岁月。采访是在星期二韩国首尔COEX中心,由牛津大学的数学教授Minhyong Kim 主持进行的。(注本文由哆嗒数学网翻译自2014国际数学家大会《Math & Presso》,因水平有限,有不足之足,望得指正)

 

问:跟我们谈谈,在你的发现之后,孪生素数猜想的进展吧。

张益唐:2013年五月,我收到来自一家普林斯顿杂志的一封邮件,问我是否能宣传我的事。然后,数学界的所有人都知道那些事了。那时,我说素数间隔小于7000万,到了现在,我所知道的,经过一年多一点时间,素数间隔已经缩小到了252。(随后,他又更正为246)。

 

问:在你的启发下,很多数学家一起加入Polymath项目来缩小素数间隔,并取得重大进展。对此,有何看法?

张益唐:要证明孪生素数猜想,最终的目标是要把素数间隔缩小到2。我去年刚得到这个结果的时候,我就意识到它非常有可能缩小到小于7000万。但那个时候,我没有计算机程序,不能做大量计算。我发表了我的论文,我认为他已经足够好了。我没有预料到素数间隔会以这种方式被缩小,但我明白它在将来一起会被缩小的。报道我工作的记者们说,证明这样一个常数的存在性已经是了不起的成就了。如果我能给出这样一个数,而我的确给出了这样一个数,我想已经足够了。

 

问:你是如何启动对孪生素数猜想的研究的?

张益唐:我喜欢关注数学里的主要进展。2005年,三位数学家(GoldstonPintzYildirim)进行了一次学术演讲,展示他们对证明孪生素数猜想所取得的重大进展。虽然,他们没有得到一个有限的素数间隔,但他们的结果离得到一个有限值已经很接近了。200511月,在加州理工学院举行了一个专题讨论会,想要得到这个有限素数间隔。几年之后,他们发现了一个无法逾越的关系性困难。我进入这个问题要晚一些,大约是在2007年或者2008年。我读一篇文章,文章里有提到这个问题的的进展,其它人做了什么以及有哪些主要问题需要我们解决。于是,我开始了对这个问题的研究,并用各种办法对它进行思考。你可能都听说过这个事了,20127月,我正在科罗拉多的朋友家休假的时候,我找到了这个问题的解决办法。我只是利用我这些年积累的知识,尽我所能,做到了我能做的事。你也许会说,那只是你一时的灵感,但我知道我能做到。

 

问:你很多年不在主流的数学圈子了。你是如何完成这个一个壮举的?

张益唐:对我来讲,我认为那并不难。就算在我去新罕布什尔大学之前,我也一直操持着对数学问题的思考。有些时候,我也会一所大学里,到它们的图书馆里去查阅一些论文。就算在那些时候,我也总是在做一些数学相关的事。所以,当我来到新罕布什尔大学的时候,我已经能很快发表一篇论文了。我没有完全离开过数学。我真的是热爱数学。这是最重要的。我知道如何坚持。这是我的基本品格。

 

问:你是否认为在做日常的数学和做难度更大的长周期项目之间找到一个平衡点是件重要的事。你是如考虑协调它们的办法的。

张益唐:如果要我给其它搞数学的人,尤其是年轻人建议的话,那我的建议是:“我不是学习的榜样。”我的情况非常特殊,我酷爱挑战各种问题。而且不喜欢做小问题。但是,如果我需要给其它人建议的话,我会说你同样需要做一些短周期的小问题。你得发表论文,否则你可能找不到工作,可能没有邀请,以及其它别的什么事。但有一件事,我得说明,平时做短周期的小问题,但要保持对长周期大问题的关注。这很重要,至少要关注,而且要关心那些有重大意义的问题。

 

问:有一种观念是说数学是年青人的游戏,而你是一个很好的反面例子。你有试图刻意的去反驳这种观念吗?

张益唐:因为年轻人脑子好身体棒,所以数学应该年轻人来做。虽然我身体是老了,但我感到自己还年轻。现在的生活条件比以前好多了。中国有句古诗说,人活七十古来稀。但现在并非如此。我对自己说,我真的依然保持着青春。如果你能在心理上保持年轻,你就能像年轻人一样思考。拥有梦想不是年轻人的专利。今年春天,我见到了高等研究院的著名数学家Bombieri,他已经70多岁了,好像是74岁(Bombieri实际上73岁)。他每天都去办公室,一直在研究黎曼假设。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


张益唐又斩获一大奖——“天才”奖!

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa




张益唐——美国新罕布什尔大学华裔数学家——又获奖了!这回是麦克阿瑟奖!



麦克阿瑟奖,很多媒体称它为“天才”奖,创设于1981年,旨在表彰社会上在各自领域彰显出非凡创造力和奉献精神的“天才”(talented individual)。每年选出20到40人的获奖者。获奖者可以得到62.5万美元奖金。和一些别的奖要求奖金用于科研用途不同的是,这个奖金完全归个人支配,没有任何使用限制的。


张益唐,这回是因为他对素数间隔的研究而获奖的。他第一次给出了这个间隔一个有限的上界,是一个古老数论猜想“孪生素数”猜想的重大进展。


张益唐的科研经历也堪称传奇。他分别于1982年和1984年在中国的北京大学获得学士和硕士学,然后在1991年获得美国普渡大学博士。他干了很多工作,比如会计员、快递员。就算1999年到了新罕布什尔大学工作,也是长期当讲师。成为教授也只是最近事,这时,已经58岁了。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


被人们忽略“穷”猜想(三):箱式乘积问题

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第三篇:箱式乘积问题。


学过拓扑的同学都知道,对于实数集的可数无穷笛尔卡乘积$R^ω$的拓扑有两种生成方式。第一种,也是最常用的,叫做吉洪诺夫(Tychonov)乘积,就是取所有形如有限个开区间与剩下无限个R做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这样,好处是可以保持很多有限乘积拓扑的性质。另外一种做法,虽然不常用,但想法却很自然,就是用所有开区间做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这个叫做箱式乘积(Box Product),生成的拓扑叫做箱式拓扑(Box Topology)。箱式拓扑,一般大家不太喜欢因为很多性质不太好。比如说紧空间的乘积可能不紧,$R^ω$甚至都不可能成为度量空间。


虽然不太喜欢,但我们可以提问。箱式乘积问题(The Box Product Problem)是问:实数集的可数无穷箱式乘积是否是正规空间。即对其中任意两个不相交的闭集,是否存在分离它们的开集。


如果把可数的条件换成不可数在1994年被证明不是正规空间。而可数无穷的情况,在那之前的20多年前的1972年,在承认连续统假设的情况下,证明了猜想是成立的。但这不是大家想要的结果,但最少说明猜想本身一定不是假命题。现在只剩两种可能,要么猜想真成立,要么猜想是不可判定的命题。如果是后者,从以往的情况来看,问题将会变成非常麻烦。


纽约州立大学水牛城分校的教授Scott W. Williams给这个问题的悬赏是42美元。问题提出已经过了三、四十年了,上网查了查,没有查到这个奖金是否一直没变过……


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa







被人们忽略“穷”猜想(二):柯拉柯斯基序列问题

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想


这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第二篇:柯拉柯斯基序列问题。


我们来看下面这个只由“1”和“2”组成的字符串:
 
“122112122122112112212112122112112122122112122121121122122112”


我们把上面那个字符串中,连续出现最长的相同数字的那部分,叫做这个字符串的一节,那以这个字符串就由很多节组成。从左往右数,第一节是“1”,由1个“1”组成,第二节是”22”,由2个“2”组成,第三节是“11”,由2个“1”组成,第四节是“1”,由1个“1”组成,等等。我们再做一件事,从左往右开始,把每一节里组成数字的个数写出来,拼成一个新的字符串,你会得到:第一个数字是1,第二数字是2,第三个数字是2,第四个数字是1,第五数字是1,第六个数字是2……。拼在一起,”12211212212211211…”。太坑了!居然和原来的那个的前面的部分一模一样!


实际上,我们可以做出一个无限长的“字符串”。这个“字符串”只由“1”和“2”组成,并且按上面的办法,把每一节的个数写出来拼成一个新的无限长的“字符串”,两个字符串是一模一样的!如果,这时我们还规定“字符串”的第一个字符是是“1”的话,这个字符串还是唯一确定的。这个唯一确定的“字符串”就叫做柯拉柯斯基序列(Kolakoski sequence)。


一位名叫Chris Kimberling数学教授围绕这个数列提出了5个问题,并为每个问题悬赏200美元。这五个问题是:


1、 这个数列是否有显式表达的公式?
2、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次,那么它是不是一定会再出现一次?比如“2122122”。
3、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次,那么把这串数字倒着写的一串新数字是不是也一定会出现一次?比如“122122”,“221221”。
4、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列出现过一次,那么把1换成2,2换成1得到新的一串数字是不是也一定会出现一次?比如“122122”,”211211”。
5、 数字“1”在这个字符串里的出现频率是否是存在,如果存在是否等于0.5。


Chris Kimberling说,虽然是五个问题但你解决其中任意一个,就有可能顺便解决其它的问题,尤其是后面4个问题。


对于第5个问题,维基百科上给出目前最好的结果是,如果这个频率存在,那么这个频的值不会超过0.50084。不过,在维基百科上看,这只是一个声明结果,没有公开发表。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


被人们忽略“穷”猜想(一):回文数猜想

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。

然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。


哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第一篇:回文数猜想。

在说这个数学问题之前,我们现来说一个历史故事。

清朝乾隆年间,乾隆爷到一家名叫“天然居”的酒楼吃饭。然后机灵一想,想出一个句子:客上天然居,居然天上客。这个句子很有意境,而且这个句字正读倒读都一样,我们把这样的句子叫做“回文”。回文其实是语句中文字上的对称。

英语中,也有类似的回文。据说亚当遇见夏娃的第一句话是:“MADAM, I’M ADAM!”这句话的字母从正着看或者倒着看都是一样的。

自然数中,也有和上面提到的文字一样,数字无论从左往右,还是从右往左都是相同字符顺序的数,我们叫它们“回文数”。比如323、3334333、345676543都是回文数,而35456、45等,都不是回文数。

对于一个自然数,如果他不是回文数,我们把他的数字顺序倒过来,再和原有数相加得到一个新的自然数。如果新的自然数还不是回文数,就再倒过来,再相加,一直做下去。比如自然数38,倒过来就是83,然后38+83=121得到了一个回文数。再比如176,按前面的办法反复做:176+671=847,867+748=1595,1595+5951=7546,7546+6457=14003,14003+30041=44044,还是得到一个回文数,虽然过程的步骤更多。那么是不是所有的自然数按上面的办法反复操作,都能在某一步得到一个回文数呢?如果和哆嗒数学网的小编们一样猜“是”,就是回文数猜想。

也有很多人猜不是。那么如果一个自然数无法通过上面的步聚得到回文数,我们把他叫做利克瑞尔数(Lychrel Number)。回文数猜想也可以是这样表述:不存在利克瑞尔数。

最小的疑似利克瑞尔数是196。但也有人想通过计算机,以196起始,按上面过程,希望在某一步得到一个回文数。可是,人们对196已经做了很多步骤了,仍然没有得到回文数。

1987年一个叫John Walker的人,用当年电脑程序算了近3年,算了2415836步,得到了一个包含100万位的自然数,但没有得到回文数。

1995年 Tim Irvin用超级计算机,得到了一个200万位的自然数,这回只用了三个月,但没有得到回文数。

2000年Jason Doucette得到了1千多万位的自然数,但没有得到回文数。

2006年VanLandingham得到了3亿位的自然数,但没有得到回文数。

2011年 Romain Dolbeau用分布式处理,进行了10亿步,得到一个4亿多位的自然数。但没有得到回文数。

2012年同样是Romain Dolbeau,同样用分布式处理,得到一个6亿位的自然数。但没有得到回文数。

至今196是不是利克瑞尔数还是不被人知晓。



关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


被100万美元“缉拿”的比尔猜想

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


2013年6月,美国数学会在其网站发布,将比尔猜想(The Beal Conjecture)的悬赏额度提升到100万美元(当然钱由赞助者提供啦)。于是,这个猜想继哥德巴赫猜想、千禧年七问题之后,又一个有“百万身价”的数学猜想。俗话说,重赏之下必有勇夫,在100万的高额刺激下,一定会有更多的数学家关注这个问题的。

比尔猜想是这样一个命题:设$A,B,C,x,y,z$都是正整数,且$x,y,z>2$。若$A^x+B^y=C^z$,那么$A,B,C$必有大于$1$的公因数,这里$A^x$表示$A$的$x$次方。

然而,当哆嗒数学网的小编百度这个“比尔猜想”的时候,在搜索结果首页却是大量“吐槽”这个猜想的条目。甚至,有人还说,这个猜想值100万“简直一个笑话”。

首先,如果这个命题对的。那么是这个问题的难度证将会相当相当的逆天。因为这时,只需要令$x=y=z$,这时方程变成了$A^x+B^x=C^x$。于是两边约去最大公因数,就能得到没有公因数的解。这样就得到了矛盾。于是这里方程只能无解。哇呜,我们做了什么?对!我们证明了著名的费马大定理!就是说,如果这个命题如果能得到证明,我们用这个能一句话证明费马大定理。而费马大定理的难度,我这里就不再多说了。

有人试图找过一些满足方程的例子。比如$2^x+2^x=2^{x+1}$,这里有公因数2。$7^3+7^4=14^3$这里有公因数$7$。但去找一个反例,似乎也不太容易。前些时候,日本数学家望月新一声明证明了ABC猜想,而ABC猜想能推出满足比尔猜想的反例最多有限多个。我相信有不少数学家或者程序员把这个方程验证到了很大的数,而没找到反例。如果,ABC猜想也被证实。那么反例可能非常非常的大,如果数学理论不能给一个比较好的寻找方向,那么对于无穷多的自然数来讲,找这样的反例,无异于大海捞针。

这里再多说几句。有的所谓的“反例”是不合法的。比如$1^x+2^3=3^2$,因为我们要求所有指数位置的数都得大于$2$。而所有底数,也只能在正整数范围内。这里有一个好玩的事:有人找到了底数在高斯整数内取值的“反例”$(-2+i)^3+(-2-i)^3=(1+i)^4$,于是得到了象征性的50美元的奖金。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


十大坑爹高数题

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


开学啦!进了大学,数学上,第一个要学习的就是高等数学或者数学分析了。这是让有的人感到头痛,有的人带到新奇的学科。利用高中集合和函数做衔接,我们进入了一个新的数学世界。见到之前没见过的函数,之前没见过方法。也颠覆了之前对数学的一些理解。

学习数学,“刷题”是必然不能少。我们不断的做练习,遇到了各种奇怪的题,然后被我们逐个解决。然而,有一些“长”得很像高等数学题目的问题,其实在高数或者数学分析框架下很难解决,而用更高级的办法几乎是秒杀。高数高手们遇到了这些问题,就算是掉坑里了。

这里,哆嗒数学网小编为你列举十个“坑”。问题方式为了方便大家参与讨论,都以“是否”形式提问。以下提到的函数,如无特殊说明,都为$R→R$的实函数。




No.10
函数的单调性高中就学啦,一个单调函数可以是$y=x$这样的连续函数,还可以是$y=x·sgn(x)$这样有间断点的函数。你还能写出很多单调函数,有无穷多个间断点。不过你画图象时,这些函数的间断点大概都是一个一个离散开的。那么间断点可能稠密吗?
问题: 是否存在一个在无理数点连续,有理数点不连续的严格单调函数。
高级秒杀:有理数是可数的。利用级数构造一个特别的函数。见http://duodaa.com/?qa=906,第二题。


No.9 
有的人也许学了黎曼函数$R(x)$,他是一个有所有无理点处连续,所有有理点处不连续的函数。那么可以反过来吗?
问题:是否存在一个在有理数点连续,在无理数点不连续的函数。
高级秒杀:先要知道$G_δ$集,$F_σ$集的概念,连续点集只能是$G_δ$。而有理数集不是$G_δ$集。


No.8 
好了,我们学了导数了,虽然高中也学过,没有像高数那样,平凡的对一个函数某点是否可导进行讨论。“可导必然连续,连续不必可导”,这一句顺口溜一直记于脑海。老师还说,存在处处连续,但处处不可导的函数呢。那么,对于严格单调函数,会怎么样呢。
问题:是否存在一个严格单调,但处处不可导的函数。
高级秒杀:有个定理是说:单调函数是几乎处处可导的。


No.7
一个可导函数$f(x)$求导数后变成了$f'(x)$,$f'(x)$还是一个关于$x$的函数呢。$f'(x)$可能不再连续呢!那么$f'(x)$可能处处不连续吗?
问题:是否存在一个可导函数,它地导函数处处不连续。
高级秒杀:连续函数列只能收敛到一个间断点集为第一纲集的函数。而实数集是第二纲集。


No.6
函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,高中就见过啦。高中还让你证明他是奇函数,在多给一些已知条件的情况下,求$f(1)$、$f(8)$什么的。到了大学,在给定$f(x)$连续情况下,我们能证明$f(x)$的图象一定是过原点的直线,那么如果f(x)不连续呢。
问题:如果函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,$f(x)$是否有不连续的例子。
高级秒杀:实数看成有理数域上的线性空间是无限维的,还要用到线性代数中基的概念。当然,我们承认选择公理。见http://www.duodaa.com/?qa=704


No.5
高中里的集合交并运算,都是有限个里在做,多没意思。大学里可以对无限个集合求交并啦。比如R可以写成形如$[n,n+1)$的并集,其中n跑遍整数集合。注意到,对于不同的整数,他们还两两不交呢。那么把半开半闭区间改成闭区间呢?
问题:实数集是否能写成一列不相交闭区间的并。
高级秒杀需要知道:基数、完备集的概念,完备集的基数是不可数的。而如果可以写成,那些区间的端点可以构成完备集。


No.4
泰勒展开真神奇,能把一些函数写成一个幂级数的形式。但我们一定也知道了,就算是一个无穷次可导的函数,他本身也不一定等于它的泰勒级数。那么展开式是多项式的情况呢?
问题:一个无穷次可导函数在任意一点的泰勒展开式都是多项式,这个函数是否是多项式。
高级秒杀:利用贝尔纲定理,精巧的构造一些东西,大概不能算秒杀。见http://www.duodaa.com/?qa=920


No.3
对于形如两个数列取幂$f(n)^{g(n)}$这样的,计算极限,我们有了很多办法。比如凑重要极限形式计算,取对数计算等等。但有一些形式非常简单的极限,解决却不容易。
问题:$n→∞$时,数列$|sin(n)|^{1/n}$的极限是否等于$1$。
高级秒杀:刘维尔数的概念,以及π不是刘维尔数。后者是Mahler在1953年的论文上写的,不过,如果不是专门这个方向的一般看不懂,哆嗒数学网小编的也看不懂。见http://www.duodaa.com/?qa=2476/


No.2
高中就知道了自然对数底$e$,老师还说他是无理数,但没告诉我为什么是无理数。上了大学,我们终学会了如何证明$e$是无理数。于是,跃跃欲试,要证明其他数是否是无理数了。
问题:$\sqrt{2}^\sqrt{2}$是否是有理数。
高级秒杀:格尔丰德-施奈德定理可以推出他是超越数,当然就是无理数啦。


No.1 
接上个问题。同样,我们还学会了证明圆周率$π$是无理数。两个无理数相加可不一定是无理数呢。
问题:$e+π$是否是有理数。
高级秒杀:些问题人类还没有解决。你能秒杀我叫你大神!。



关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


菲尔兹奖得主马丁·海尔:钱不是最重要的

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

 

 

 

海尔,2014年菲尔兹奖得主之一。这位英国华威大学教授在颁奖前,并非最热门的人选。然而,他当选了,给他的评语是“对随机微分方程的有凸出贡献,尤其是为一类方程创立的理论。”。这对海尔教授来讲是一个惊喜吧。



当大会记者要求海尔向普通大众简单介绍一下他的成果时,奥地利人哈哈大笑,他说这永远是一个很难的问题。 不过,海尔还是在努力的描述:随机偏微分方程(简称SPDE)是用来描述,在含有随机因素的情况下,一个系统在一定时间和空间内的演化 。有一些很搞笑的情况,有些方程可以用古典规则写下来,但由于一些项我们不知道如何在方程中表示,所以在数学上看是没有意义的。于是,我建立了一个一般性的理论,这个理论描述了为这些项赋予意义的方法。这是一个为SPDE提供严谨数学意义的系统方法,解决一些方程看上去很自然很有用但又没意义的问题。

海尔继续举例子,比如一块在有温度房间的磁铁,看看会发生什么。在通常温度下,这个磁铁会产生一个磁场。如果这是升高温度,到某个点时,磁场就会消失。 这个点就是磁铁变为中性点临界温度。这个时候磁铁不再像磁铁,而是跟一块普通的铁块差不多。如果关心接近临界温度时,磁铁内部的变化情况,磁场这时是有很大的随机波动,而不是之前很好的向一个方向变化。

菲尔兹对任何数学家来讲都是一个莫大荣誉。海尔因为创立了一套理论而获奖。但海尔说这套理论现在还很年轻,理论的主要文章也没出版。在未来几年,海尔想把这个方向做得更深。这里还有几个问题没解决,当然时不时换换方向也是不错的。海尔没有说更远的将来的要做的事,他认为,那和周围人想法有关。

经费、老师和想法哪个对做数学是最重要的。海尔认为是好的想法。他说,对大多数做研究的人来讲,拥有一定数量的经费很重要。但对于很多基础数学家,只要足够能宽裕的邀请同行,维持合作以及参加会议,哪怕经费比其他人少一些,就会非常开心的。海尔还认为,现在颁奖有一个不好的倾向,就是只给获奖人一堆钱,而其他人什么都没有。奖励并没表彰到为这些成果做出贡献的整个圈子。哆嗒数学网的小编觉得,海尔教授对他的学术同行真是太好了。

 

海尔曾在他的论文中写到:“这是第一次,允许我们,给在物理中关心的一些SPDE赋予了严格的数学意义。”这看起来对数学家是一个很重要很让人兴奋的成果,但一些物理学家对这种严格不感兴趣。海尔解释说,基础数学家的工作一般是解决基础问题。通常,数学家完成了一个证明,而在物理学家看起来,是某所程度的理所当然,因为从直观上就应该是那样。有点像修房子,都知道要有坚固的地基,浇灌足量的混凝土,分散好房子的承重。数学家们就是在做这样的底层工作,有很多情况下不会有什么问题,但有时候会有问题。比如说纳维-斯托克斯方程问题,这是克雷研究所悬赏100万美元的千禧年问题。这个问题完完全全是一个数学陈述,但很多物理学家会说:“谁在意呢?”。答案似乎很简单,跟本不需要方程呀!只需要对流体进行观察实验发现他们不会突变或者发生别的什么事就行了。但是,实验的结果并不能让人知道,你所找到的解是否唯一。陶哲轩教授好像是这样认为的,在有些特别的初值条件下,解可能不唯一。如果,真不唯一,那说明在有些时候纳维-斯托克斯方程并不能合理地描述流体。如果我们不能证明那方程不会有这样奇怪的表现,那么意味着这些人一开始就错了

 

 

 

 

 

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

科特:搞数学是份好工作

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


除了菲尔兹奖,四年一度的国际数学家大会还颁发其它的重要奖项。其中一项奖项就是内万林纳奖,这是一个为表彰在计算机科学和信息科学做出贡献的学者而设立的奖项。和菲尔兹奖一样,它的获奖年龄条件也设定在40岁以下。2014年的奈万林纳奖的得主是印度理论计算机科学家科特(Khot)。

哆嗒数学网的小编通过查找相关资料了解到,科特在中学时期,就获得1994年及1995年两届国际数学奥林匹克(IMO)的两枚银牌。但他后来并没有从事数学的研究工作。科特说这和印度,这个他从小长大的地方有关系。也许,现在的情况有所变化,但在科特小时候,数学学科的关注度是严重不足的。每个人都很尊重数学,但由于各种原因,没人把它当作一个可终身从事的职业来教导。从某种意义来讲,由于关注度不够,没人知道如果选择了数学做职业,未来会有哪些发展。



即便现在,很少有人以数学家称呼科特。但科特认为,从某些层面上讲,计算机科学与数学的差别是很虚的。他甚至认为,理论计算机科学就是纯正的数学。如果你有一个计算机科学方面的问题,你们去思考解决这个问题你需要多长时间,或者说多少步骤。这种效率和时间代价的问题是计算机科学的特殊性。当然,有很多计算机方面的问题,科特认为,回答这些问题的方式就是一种数学,就像数学中的几何或者其他分支一样。过去的10年间,计算机科学与数学之间的联系越来越紧密,越来越多的人也逐渐接受了科特的这种观点。其实,已经有很多例子表明,一些数学家们关心的问题计算机科学家有能力解决。事实上,计算机科学家能为数学家们解决这些问题,这事本身就很重要。

科特也为这次数学家大会为提升数学欠发达地区的数学发展所做的努力发表了看法。他认为,关键还是要提升关注度,让人们知道做数学是一个有前途的工作。科特生长的地方对数学毫不关心。要不是后来遇上了一个数学研究员,知道了其他地方的人和事,那么科特极有可能和他父母一样,去做医药方面工作。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


菲尔兹奖得主巴尔戈瓦成果的通俗讲解

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

 

 

巴尔戈瓦(Bhagarva)2014年度菲尔兹奖的四位获奖者之一。他在接受数学家大会记者采访,简单的介绍了自己所做工作。他的介绍非常浅显,和大家一起分享一下。

 20005月,克雷数学研究所提出了七个数学和物理方面的难题,并为每个难题悬赏100万美元,就是说,如果谁能解决这七个问题中的任意一个,就能得到100万美元奖励。七个问题中,有一个问题叫做贝赫和斯维讷通-戴尔猜想,是关于预测某些方程是有整数解或者有理数解的一个数学猜想。Bhagarva研究的问题就和贝赫和斯维讷通-戴尔猜想有关系。

 有一类曲线方程方程被叫做椭圆曲线方程,它们中间有的就长得像这样的形式$y^2=x^3+ax+b$。这里,$a$和$b$是给定的整数,$x$和$y$是变量。这个形式,已经最简单的一种情况的椭圆曲线方程。但是,就算如些简单的形式,我们并不知道判定方程是否有整数解或者有理数解的一般方法。为叙述方便,下文中提到的解,都是指这样的解。

     你也许和哆嗒数学网的小编一样,觉得问题看上去并不难,但在现有已知算法中,没有一个算法能判定这样的方程是否解。不过,有一个大家都很推崇的算法,很遗憾,也没有人知道这个算法是可行的,还是不可行的。但这个被推崇的算法允许方程有有限多个解还是无限多个解。所以,如果那个算法可行,那就太让人兴奋了,因为那算法能的告诉我们三次方程怎么解,进一步四次方程的情况也有办法。这个就太经典了,它能把数学代入一个全新的世界。

    巴尔戈瓦并没有证明这个算法在任何时候都可行的,而是证明的是它在大多数时候是可行的。就是说,如果你随机的抽取一个椭圆曲线,这个算法是可行的可能性超过66%。在这之前,人们甚至不是知道这个可能性是不是大于零。所以,能知道这样的一个结果是一个有重大意义的突破。当然,这个猜想的本身并没有被证明。

 

 

 

 

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

超神数学家的超神人生

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

     2014年数的国际数学家大会期间,一位70多岁的老人以《我的数学人生》为题,向大家进行了一场公开演讲,这是本届大会第一场公开演讲。

     这位老者是谁,为何如此之“屌”?

     他,与数学大师陈省身亦师亦友,一起创立过微分几何的重要理论,并在38岁拿到几何领域最高奖之一的Veblen奖。

     他,40多岁时放弃大学教授的工作,去华尔街创立文艺复兴公司,这是一个对冲基金公司。他的基金公司即便在次贷危机的2007年也能赚钱,并为他带来近29亿美元的薪水。

     他,两次向美国纽约州某大学捐款,一次2500万美元,另一次6000万美元,而后者创造该州公立大学单笔受赠金额记录。

     他是数学家,是对冲基金经理人,是慈善家。他叫詹姆斯·西蒙斯。对他的经历,我们只能用本次大会每日新闻里的一个词来描述:超神!Legendary

     现在,哆嗒数学网的小篇和你一起,在他与本次大会记者简短的几个问答中,领略他数学人生的一斑。

 

     从哈佛教授到华尔街

     问:当你非常年轻,还是23岁的时候就成了哈佛的数学教授,但仅仅四年后就离职去了美国国家安全局(National Security Agency,简称NSA)工作。是什么让你做出如此大胆的决定?

    詹姆斯·西蒙斯: 也没什么特别的原因啦。我只是想尝试和挑战一些新鲜事物。在NSA,我用一半的工作时间来解密码,另一半时间用来研究数学。我对一些特殊的密码有自己的破译想法,我把这些想法提供给程序员,他们来把这些想法实现成破译程序。用计算机来验证我的想法是否正确是一个非常有趣的事。所有的这些在NSA的经历,在后来被证明是非常用的。在金融领域建立数学模型的时候,都极大得派上了用场。

  

   问:我了解到,在你职业生涯的黄金时期,你被NSA解雇了。

  詹姆斯·西蒙斯:那个时候,正是越南战争打得最激烈的时候。我说发动越南战争太莽撞的文章被纽约时报引用。一位记者以那文章为由,采访了我,还问我在工作时间经常做什么。我回答说:研究数学。。这个不太清楚的言论可以被解释成不工作,只做私活。这样麻烦就来了。还好,出那事没多久,纽约州立大学石溪分校正好有一个教授职位。当然,那不应该成为一种好习惯。我常对自己的学生说,被解雇是人生中一个不错的经历,你可以从这些事情中学到很多很多。

 

   问:但你再次离职了,不做教授而转行做了金融。

 詹姆斯·西蒙斯:我前面说过一些,我非常喜欢尝试一些事情。但我的父亲非常反对我又不干教授了。他说我疯了。现在想想,如果我的儿子做相同的举动,我也会一样地反对的。

 

    成功要诀:合作与分享

  问:擅长数学可不能保证富有。你的秘诀是什么?

  詹姆斯·西蒙斯:我认为我的秘诀是:团队合作、协作、分享。我的员工是一些物理学家、天文学家、计算机科学家及统计学家,他们是科学家或者工程师。我每周会把他们聚在一起,向其它人分享每个人正在做的事(实际上,华尔街的人都知道,文艺复兴公司不喜欢金融、经济及工商管理方面的专家)。当一个团队研发一个模型,它会马上应用于交易系统中,所以每个人和其它人一起,都能发挥优势。

计算机也是不能忽视的。决策永远都是依据严格的数理数据分析,因为个人意见常常不被接受。




关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


2014菲尔兹奖公布,首位女性得主产生

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


在国际数学联盟(International Mathematical Union,简称IMU)刚刚公布2014菲尔兹数学奖,四位顶级数学家分获这项具有“数学界诺贝尔奖”之称的奖项。值得注意的是,本届颁奖产生了历史上首位女性菲尔兹奖得主。

 四位菲尔兹奖得主及其颁奖词(注颁奖词因哆嗒数学网水平不足,未做翻译,请网友们提供吧)


Artur Avila


国籍:法国、巴西

单位:法国国家科学研究院, 巴西国家理论数学与应用数学研究所 

备注:第一位来自拉美世界的得主、1995年国际数学奥林匹克(IMO)金牌得主。
for his profound contributions to dynamical systems theory have changed the face of the field, using the powerful idea of renormalization as a unifying principle.


Manjul Bhargava


国籍:加拿大、美国

单位:美国普林斯顿大学

备注: 14岁修完所有高中的数学和计算机课程,其博士生导师为证明费马大定理的安德鲁·怀尔斯。

for developing powerful new methods in the geometry of numbers and applied them to count rings of small rank and to bound the average rank of elliptic curves.


Martin Hairer


国籍:奥地利

单位:英国华威大学

备注:妻子是中国人,也是数学家。

for his outstanding contributions to the theory of stochastic partial differential equations, and in particular created a theory of regularity structures for such equations.


Maryam Mirzakhani


国籍:伊朗

单位:美国斯坦福大学

备注:第一位女性得主、第一位伊朗人得主、1994及1995年国际数学奥林匹克(IMO)金牌得主。

for her outstanding contributions to the dynamics and geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces.


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


坑爹的马费大定理及其推广

作者:XX 

欢迎各位读者投稿,投稿邮箱: 1178853280@qq.com。

如果数学公式较多,投搞最好为Tex文件。


定理一:(哆嗒数学网小编之马费大定理,见这里)对于 $n\in\mathbb{N}^*,n\ge3$,不存在正整数$x,y,z$ 满足$n^x+n^y=n^z$ 。
证:不妨设$x\le y$ ,两边同时除以$n^x$ 得$1+n^{y-x}=n^{z-x}$ ,显然$n$ 能整除右边但不能整除左边。  证毕。
                                                                          
注:这个定理用模$n-1$ 来做也十分简便。但选择上述做法是因为它能顺带得到$n=2$ 的情形,并且具有一般性,可用于下述推广:

定理二:对于$n\in\mathbb{N}^*,n\ge2$ ,不存在正整数$x_1<x_2<\cdots<x_p ; y_1<y_2<\cdots<y_q,x_1<y_1$ ,自然数 $0\le a_1,a_2,\cdots,a_p,b_1,b_2,\cdots,b_q\le n-1$ ,满足$a_1n^{x_1}+a_2n^{x_2}+\cdots+a_pn^{x_p} = b_1n^{y_1}+b_2n^{y_2}+\cdots+b_qn^{y_q} $
 。
证: 两边同时除以$n^{x_1}$ 得

$a_1+a_2n^{x_2-x_1}+\cdots+a_pn^{x_p-x_1} $

$= b_1n^{y_1-x_1}+b_2n^{y_2-x_1}+\cdots+b_qn^{y_q-x_1} $,
 显然$n$ 能整除右边不能整除左边。证毕。


实际上,我们有下面定理:

定理三:任一大于一的自然数$n$,对任意正整数N都能唯一表示为$a_0+a_1n+a_2n^2+\cdots+a_pn^p$ ,其中$a_i\le n-1,i=1,2,\cdots,p$ 。
注:此命题是一个经典的数论定理,它是进制理论的基础。

五句话证明马费大定理

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


我们知道整$N$大于$2$时,关于$X,Y,Z$的不定方程$X^N+Y^N=Z^N$没有正整数的解,这就是著名的费马大定理。从他的提出到最后被证明出来,历经三百多年,而且,它的证明相当复杂。




现在,哆嗒数学网的小编告诉你,当整数$N>2$ 同样有关于$X,Y,Z$的方程$N^X+N^Y=N^Z$没有正整数解。我们不知道这个结果有没有命名,他看起来像把费马大定理倒过来,那么我们就叫他马费大定理吧。

 

与费马大定理不同的是,马费大定理的证明非常非常的容易:

假设存在正整数的解,那么把方程两边的整数都看成$N$进制整数。于是,如果$X$和$Y$相等,则左边出现的字符是一个$2$和一堆$0$的组合,若不等则为两个$1$和一堆$0$的组合。而右边只能是一个$1$和一堆$0$的组合。于是两边不可能相等。

 

啊哈,我们用不到五句话证明了马费大定理,是不是很厉害?

 

好吧,我承认有的人被骗了,但骗他们的不是我,不是我,哎呀,不是我!

 

小小玩笑,博君一个哈哈,一个快乐。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文
新浪微博:
 http://weibo.com/duodaa


方轮子的自行车

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


为什么所有汽车和自行车的轮子是圆的,现在我可以告诉你一个原因了,因为路是平的。   如果道路都按我方式来修建,那么轮子就必须得设计成方的,对,你没有听错轮子是方的,而且还是正方形的。

这当然是一个恶搞的玩笑,路当然应该是平的。不过美国马卡莱斯特学院一位名叫Wagon的数学教授就做了这样一辆正方形轮子自形车,并且还制作一个配合他行驶的一段道路。在这样的道路上自形车能稳定的行驶。

道路看上去一组波浪,乍看之下,每一小块波浪像一段抛物线。实际上,Wagon教授介绍,“小波浪”的曲线其实并不是抛物线,而是倒过来的双曲余弦函数cosh(x)的一部分。“这车子我骑得非常非常得平稳。”教授一边骑在车上展示,一边说道。


实际上,我们还能为更多的正多边形轮子设计类似的道路。比如,正五边形,正六边形等等。那么对应道路的“小波浪”会变得更平更窄。当正多边形边数越来越多,到达无穷条边时,也就成了圆,这时道路就会成为水平的直线,也就是平路了。


不过,Wagon教授说,正三角形是没有这样的道路的,无论怎么做,正三角形的轮子总会被卡在某个地方。

面对这样的设计,哆嗒数学网的小编在感叹数学的神奇的同时,还想说:“Wagon老师,你转弯怎么办?”


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文
新浪微博:
 http://weibo.com/duodaa



数学日历,你真的懂吗

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


2014韩国数学家大会出一版数学日历,里面的日期数字用到了很多数学事实。

比如微积分,数字2表示成了sinx在0到π的定积分。

比如数论,提到27!+1是一个素数,1999999999是最小的含有9个9的素数。

比如几何,一个正方形中面积最大的正三角形和一个15度的角有关系。

还有近似计算,11e≈30 , 29≈5e(π-1)。

哆嗒数学网的小编还发现,日历的设计者也不忘“恶搞”一些数学事实,比如16/64分子分母同时消去数字6后,得到1/4,这居然是一个正确结果。还有更搞笑的:8的得到过程是先计算1/|x-8|在x趋于8的极限,得到∞的结果后,再把“∞” 竖起来。

我亲们,你们能看懂日历上所有的梗吗?




关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文
新浪微博:
 http://weibo.com/duodaa


我爱数学,七夕节秀出你的爱


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文
新浪微博:
http://weibo.com/duodaa


七夕节前后,大街小巷的情侣们都在秀恩爱,作为爱数学的你,应该如何表达你的爱呢?

哆嗒数学网的小编建议,用穿衣来秀出你的爱!没错,就是穿衣服,刚刚结束世界杯上,球迷们穿上了球衣来表达对球队热爱,热爱数学你也可以!

我们可以直接的表达成这样:

 

但作为一个热爱数学的人,会有自己的表达。i的平方等于-1有木有?希腊字母也统统出来吧!

 

我们还可以表达一些肢体语言,下面那位想干啥,你懂的!

 

你爱数学的哪一点呢,能不能具体一些?恩?“我爱分数!”、“我爱代数!”、“我爱派!”当然,“我还爱苹果派!”。

 

有关于数学老师的什么事吗?


不过,不管你有多爱数学,大家还是现实生活的人。如果你喜欢的人中,也有痴迷数学的话,可以试试穿上下面的衣服,向你的“数呆子”表白吧!在这爱情的节日里,数学地浪漫起来!



关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文
新浪微博: http://weibo.com/duodaa


韩国数学家大会纪念邮票

2014715日,韩国邮政发行2014国际数学家大会邮票一套3枚,面值分别为300300540韩元。整版包含5套邮票及3枚附票。邮票编号298829892990。由ShinJae-yong设计。三枚邮票的图案为数学界三个著名数学家,以及关于他们的数学成果。

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa



  

出现在面值300韩元,编号为2988的邮票上的人物是,毕达哥拉斯,对应的成果当然是他的关于直角三角形的“毕达哥拉斯定理”。


而另外一个300韩元面值,编号为2989的邮票上的人物是大名鼎鼎的欧拉,设计师在欧拉的众多成果中,选择了“哥尼斯堡七桥问题”展现于邮票之上。


本次发行的邮票最大面值为540韩元,这枚邮票纪念的是帕斯卡以及他发现的“帕斯卡三角形”。

 

 

哆嗒数学网的小编发现一个值得一提的地方,是关于毕达哥拉斯和帕斯卡的两枚邮票的。这两位的数学家的数学成果都有中国名字。“毕达哥拉斯定理”在中国的教材上,一般叫做“勾股定理”;而“帕斯卡三角形”在中国一般叫做“杨辉三角形”或“贾宪三角形”。

 国际数际数学家大会(International Congress of Mathematicians,简称ICM)每四年召开一届,有着“数学界的奥运会”之称。2014国际数学家大会将于2014813日至21日在韩国首尔举行。2014年的大会将有来自全球100个国家和地区的约5000名数学家参加,将是历史上规模最大的一次大会。

 本次大会将安排各种演讲和交流活动,以及数学电影节、数学体验等配套活动。最引人关注的演讲包括阿贝尔奖得主的演讲和世界上最赚钱的数学家——文艺复兴科技公司主席詹姆斯·西蒙(JamesSimons)的公开演讲。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa



陶哲轩实分析教材的一个乌龙

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


陶哲轩的确是一位大师,连写一本别人已经写了很多的实分析教材,也要写出自己思想,而拒绝抄写别人的东西。由于一切都需要自己动手,书中难免出现一些笔误,于是陶教授在他的博客上专门开辟了一个页面,来修订他的错误。

 这回哆嗒数学网的小编也找到了陶哲轩一个疏漏。这个疏漏出现在第231页,习题8.4.3,中文版的是在166页,同样也是习题8.4.3。问题是这样的:AB是集合,并且存在一个满射gB→A,用选择公理证明,存在一个单射fA→B…..反过来,证明如果上述命题对任意集合AB以及满射gB→A都成立,那么选择公理成立。疏漏就出现在那个反过来后面后的一系列文字。

 对于这样一个命题对任意(非空)集合AB,如果存在AB的满射,则存在BA的单射,这个命题是有一个名字的,叫做分类原理,英文叫做The Partition Principle,简称PP。显然,有一定数学基础的人都能看出,在选择公理成立的前提下,很容易证明分类原理是一个真命题,但反过来分类原理是否能推导出选择公理成立,这到目前还是一个公开问题,就是说这是数学界还没有解决的问题。而陶神在他写的教材的习题,恰恰是这个公开问题。

 当哆嗒数学网的小编把这个疏漏提到陶神的博客上的时候,陶神回复先是惊呼一个“Ooops”,然后说:我忘了加其它条件了!。能看出陶神的回复还是萌萌哒。不过陶教授的认真也能看出一斑,他立刻在他的修订页里添加了这个疏漏,说会在这个书的第三版中改掉。下面截图为证。



 在数学发展的历史里,的确有很多把一个没解决的问题,在不知情的情况下,当成练习题而解决的情况。这个问题会不因此成为又一个呢?


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


打小就会算账的奥数冠军

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


2014年第55届国际数学奥林匹克(IMO)中,中国队再次获得团体总分第一。来自上海中学的高一学生高继扬在此次IMO中发挥出色,成绩为满分,荣获金牌。而取得这样优异成绩的他,可是上海历史上第一位入选奥数国家集训队的初中生喔!

国际奥林匹克数学竞赛是世界上最高级别的数学竞赛,主要面向高中学生。要代表中国参加国际奥林匹克数学竞赛,必须先入选国家集训队,全国能入选的高中学生已是凤毛麟角,而当时还在还在华育中学初三(8)班读初中的高继扬却在2013年做到了。另外,哆嗒数学网的小编获知,高继扬因为在IMO的优异表现,已经保送北京大学。

优异的数学成绩

“我也没有想到自己会取得这样的成绩,可能很大程度上是靠运气。”高继扬自己这么说。可是一路过关斩将的背后,高继扬的成绩都好得惊人。他先是在2012年的高中数学联赛中,取得上海赛区一等奖,并入选参加中国高中数学冬令营的上海市代表队。随后在2013年1月的冬令营比赛中,即 2013年中国数学奥林匹克(CMO)比赛中,以102分的优异成绩获得金牌,从而入选国家集训队。“今年全国一共有61名学生入选,全是高二、高三的学生,我是唯一一名初中生。”同年3月份,他启程赴江阴开始国家集训队的集训。

超越老师的解题学霸

“小时候,我的数学成绩并不是特别好。其实我们班上,数学比我好的人多的是。”高继扬说,自己并非最优秀的学生,能够脱颖而出靠的是学校老师给的机会。高继扬口中的机会指的是,华育中学每届初三学生中,有一、两个学生可以去上海中学跟着高中生一起学习数学,每周2次。

在班主任季燕丽老师的眼中,高继扬好学,大部分的时间都在做题目。有一件小事让季老师印象深刻,“之前学校有一个孩子曾经入选过冬令营,当时学校为他办了个展览,高继扬每天都去看展出的那些奥数题目。”季燕丽说,高继扬的数学在学生中间算顶尖,“现在学校老师做数学题也做不过他。”

 

成功的秘诀:“天赋”+自觉+好心态

就是这样一位奥数“天才”,奥数上取得如此佳绩,高继扬的母亲王女士却告诉记者,孩子从来没有在外面参加过任何奥数辅导班。王女士说,在孩子学习问题上,自己管得很少,基本靠自觉。“高继扬喜欢自学,有什么问题都会自己去琢磨”。

不过,王女士坦言,自己的孩子在数学方面还是有些天赋,“他从小就对数学有感觉,4、5岁时数学就比较突出,去超市买东西,很快能算出价钱。”王女士说,那些与计算相关的益智类游戏,比如打牌、下棋,动手搭积木,一直是高继扬童年的最爱。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


美国学生拒上哈佛:因为课程太简单

作者:秦春化

原文地址:http://blog.sina.com.cn/s/blog_539c5bd20102uwxb.html

本文删节版发表于《光明日报》2014年7月1日第13版,题目为《何谓好大学》。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


世界上有许多大学,但真正能够称得上是好大学的并不多。在美国,对一所大学的最高评价,是说它是一所好大学。好在哪里呢?首先,学生愿意去。一所学校申请的学生越多,说明它在家长和学生心目中的地位越高。因此,许多大学把录取率——被录取学生占申请学生的比例——视为学校声誉的重要标准;其次,教授喜欢去。世界上的顶尖高手就那么多人,他(她)们到了哪所大学,就说明哪所大学的水平高。因此,每一所大学都使出浑身解数,千方百计吸引最优秀的教授加盟,同时,还要千方百计使自己的好教授不要被别人挖走。前一个还相对容易些,要做到后一点真的很难。不需要任何机构的评估和排名,这两条标准都在人们的心里。人们“用脚投票”,选择他(她)们喜欢的好大学。

在芝加哥大学的时候,我见到了一位去年刚刚入学的小朋友迈克。我问他为什么要选择芝加哥大学,因为他也同时拿到了哈佛等其他顶尖大学的入学通知书。他看了我一眼,似乎觉得我这个问题提得很奇怪。想了想之后说,因为芝大是好学校啊!这个答案显然不能令我满意——好学校多了去了,哈佛、斯坦福不也都是好学校吗?于是我接着追问:你说芝大好在哪里?迈克说,这里的人都很有趣。不像有些学校的学生,看上去就像家具——表面上挺好看,但都是一个模子里刻出来的。他有一位去了斯坦福大学的同学,就是这样很无趣的“家具”。我又问他,你也拿到了哈佛大学的入学通知书,为什么最后没有选择哈佛?迈克说,哈佛课程的难度和挑战性没有芝大的强。


这是一个典型的美国学生的选择。和中国学生不同,他没有根据名气去选择大学——在许多大学排行榜中,哈佛大学和斯坦福大学的排名都要比芝加哥大学高。他也没有根据城市去进行选择——波士顿和旧金山位于东西海岸,地理位置要比中部的芝加哥好得多。他甚至没有根据专业排名去选择。实际上,中国学生选择大学时主要考虑的就是学校的名气、所在的城市和专业,目的是为了将来的就业。但迈克选择学校的原因是有趣。这的确是芝大的特点。这所大学的有趣甚至达到了古怪的程度:它的入学申请要求就是无数怪诞不经的作文。从这个意义上说,迈克和芝大都选对了对方。


迈克的答案出乎我的意料。在我和大多数中国人的心目中,哈佛就是一所圣殿,只有它拒绝别人的份儿,怎么会有学生“傻”到不选择它?但在美国,学生并没有非哈佛不上的情结——许多人甚至不喜欢哈佛——这样的“傻”学生还真不少。一位住在波士顿的朋友的孩子,今年获得了耶鲁大学的优先录取通知书,最后很不情愿地在妈妈的逼迫下在报名截止的那一天申请了哈佛并被录取。他妈妈这样做的原因也不是因为和耶鲁相比哈佛更好或更有名气,只不过是因为哈佛离家近而已。


斯坦福大学同样是很多中国学生的梦想。2013年,申请斯坦福大学的学生人数达到了创纪录的38828人,其中华裔学生的申请数量增长很快。在很多美国教授看来,这样一所位于加州的大学,气候条件这样舒适,办学经费如此雄厚,理应成为最顶尖的大学才是。但在他(她)们的心目中,斯坦福大学似乎还没有达到这一目标。原因在于,他(她)们认为,斯坦福的工科色彩过于浓厚,与工商业和大公司的距离太近,虽然培养出了数量众多的亿万富翁,但却因为急功近利而变成了一所“失去灵魂的大学”。在美国高等教育界,人们往往把MIT比作猫,而把斯坦福比作老虎——猫曾经是老虎的师傅,斯坦福本身就是按照MIT模式创办的。今天,MIT的教师数量大约只有斯坦福的一半,办学基金只有斯坦福的三分之一,而且两校的专业高度重合,波士顿的夏天很热,冬天还有暴风雪,按理说,MIT的顶尖教授们还不都被斯坦福用重金和加州的阳光吸引过去?但事实上并没有,个中原因令人玩味。


在美国,芝加哥大学是一所很特别的大学。它所在的城市芝加哥,治安状况是出了名的差。在一些街区,人们大白天出门时身上至少也要带上20美元,用来应付抢劫,而且还不能只放在一个兜里——20美元是购买毒品的最低金额,多放几个兜是为了防止二次被抢——当然,由于学校投入了巨大力量加强安保,芝大校园内还是很安全的。近年来,美国资源大量地集中在东西两个海岸,再加上传统制造业的衰落,地处美国中部的芝加哥在经济上的活力和竞争力日渐消退,也由此产生了大量的社会问题。但即便如此,芝加哥大学仍然被认为是美国最好的大学之一。2013年,申请它的学生数量是30369人,录取率为8.81%


一所好的大学,一定是一所有灵魂的大学。有时候,卓越和有灵魂不一定是一回事。一所卓越的大学并不一定意味着它就是有灵魂的大学——在市场经济的驱动下,结论很可能恰好相反。曾在哈佛大学任教长达30多年的哈佛学院院长哈瑞·刘易斯写过一本发人深省的著作——《失去灵魂的卓越》,深刻分析了哈佛大学是如何在从一个教育机构蜕变成一个商业机构的过程中逐渐忘记了自己的教育宗旨的。在我看来,刘易斯所谈的“灵魂”,其实指的就是大学引领社会的思想。今天,当中国的大学越来越醉心于发表了多少多少篇SCI论文,获得了多少多少个奖项,引进了多少多少各种各样的计划中的人才时,却常常忘记了,当取得这些成就的同时,大学为人类社会,特别是为这个国家和民族贡献了多少有价值的思想?大学是否通过教师的教学活动改善和提高了学生的思想境界和价值观,并进而通过教师和学生的活动和言论引导和影响了社会的价值观?大学是否依然履行了作为大学之所以存在的教育责任?大学之所以为大学而非技能培训班,最根本的区别在于大学生产思想和有思想的人,这意味着大学必须要和社会保持一定的警惕性距离,必须要引领社会而不是被社会牵着鼻子走,更不应当盲目地迎合当下社会某些明显不理性的需求。当社会热的时候,大学反而应该冷一冷,甚至故意去浇两瓢凉水,哪怕会因为暂时的冷而丧失了某些所谓的“时机”。对于以百年计龄的大学来说,时机永远都是存在的,区别只在于当它来临的时候,大学是否已经做好了充足的准备。事实上,除了大学之外,没有任何机构能够承担起这样“冷眼旁观”的任务。因此,如果大学或主动或被动地放弃了自己的这一责任,社会就会因为失去思想上的源泉和动力而可能陷入停滞。


反之,一所有灵魂的大学一定是一所卓越的大学。芝加哥大学之所以被认为是好大学是因为它生产思想,也生产有思想的人,是美国最重要的思想家的汇集地,拥有80多位诺贝尔奖得主,在它最辉煌的时代,堪称群星璀璨,形成了在各个学科中著名的“芝加哥学派”。近年来,由于年事已高,众多大师一个个离世——去年是罗纳德·科斯,今年是加里·贝克尔——这是芝加哥大学最惨痛的损失。但这些大师们毕其一生所营建出来的精神传统,却像芝大图书馆门前的雕塑一般历久而弥新。


这是一所自由宽松的大学。在芝大,没有人要求教授一定要做出什么科研成果,但一定要上课。因此,系里某个教授半年见不着一面,没有人觉得奇怪。有的教授五六年不发表一篇文章,也很正常,没有人会去督促检查。每个人都很从容,很有耐心,彼此之间充满信心和信任。尤其是人文社会科学的教授,主要精力都用在了教书和写“传世之作”上,很少去花时间写一般意义上的学术论文,学校对此也无要求。科斯从1964年起任芝加哥大学教授,直至逝世。在他漫长的一生中,只写了为数不多的几篇文章,而且有些几乎不能被称作严格意义上的学术论文——至少形式上不“规范”——充其量只能算是学术随笔。然而,就凭这一两篇文章,科斯就建立了一个学科,开创了一个学派,并获得了诺贝尔经济学奖。今天,全世界的经济学家都在研究、讨论、引用他的“交易费用”概念,虽然绝大多数人都不明白这个概念到底指的是什么。奥巴马在芝大法学院任教的12年里,也没有发表任何学术成果。然而,正是在这样一所对教授几乎没有要求的大学,却产生了费米、萨缪尔森、弗里德曼、哈耶克、杜威、亨廷顿、波斯纳,以及周培源、吴阶平、叶企孙,等等,数也数不清的思想家和人类文明史上的大师。据说,在芝大经济系流传着一个笑话:如果允许芝加哥大学独立建国的话,那么该国将成为仅次于美国的诺贝尔经济学奖得主第二大国。


这是一所民主平等的大学,实现了真正的“教授治校”。在芝大,一个教授的影响力有时候要比校长大得多。校长决心要干的事情,如果教授们坚决反对的话,一定做不成;反过来,教授们支持的事情,校长即使持反对意见,多数情况下却能做得成。我曾问过芝大的一位教授,为什么他喜欢这里而不去别的大学,即使别的大学所提供的条件要优厚得多。他告诉我,在芝大,是多数人统治少数人,但在很多大学——包括那些被认为是最顶尖的大学——里,则是少数人统治多数人。这是芝大有别于其他大学的最关键的地方,也是它无可替代的魅力所在。也许从芝加哥大学的办学风格中,我们可以窥见到好大学的一丝真谛。做到了这些也就成为了真正意义上的好大学。这也许正是中国大学应当为之努力的方向。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


最坑爹的数学题点评

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


几千年以来,人类在研究数学的过程中,提出并解决了很多难题。有些数学难题不仅玩坏了很多研究者,其解决的过程或结果也让人觉得十分坑爹。哆嗒数学网小编就在这里列举Top5给大家看看。

 

第五名  古西腊三大几何难题

 这是三个尺规作图题,即只使用圆规和没有刻度的直尺作出下面的东西:

1、  立方倍积:求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍

2、  化圆为方:作一正方形,使其与一给定的圆面积相等

3、  三等分角:分一个给定的任意角为三个相等的部分

 

解决:

问题提出大约在公元前400年,直到1830年开始,这三个问题才陆续解决,历经两千多年。化圆为方问题在林德曼证明π是超越数后解决。后两个则是要利用伽罗华的抽象代数理论,而这个理论在刚出炉时,柏松大牛的评语是:“完全不能理解”。而最后的结论,则是“没有结果的结果”——没有任何作图办法完成上面三个中的任何一个,它们都是作图不能问题。

 

第四名  五次方程求根公式

 我们从初中开始就开始学习二次方程ax²+bx+c=0的求根公式。先求判别式Δ,然后对Δ进行讨论,得到方程的根,于是二次方式的求根公式就得到了。其实数学也经过了长期的研究,得到了三次及四次方程的求根公式。而对于五次方程ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0,却一直没找到求根公式。

 解决:

一个叫阿贝尔的数学家在他21岁那年发现,五次方程求根公式是不存在的(又是坑爹的不存在)。他把他的结果印成了小册子进行了分发。据说高斯和柯西两位大数学家都得到了过这个小册子,高斯没认真看,因他觉得阿贝尔不可能解决作为“数学王子”的他都没办法解决的问题,而柯西连看都没看就把小册子当废纸扔了。后来,因为一直没得到认可,贫病交加的阿贝尔27岁时在绝望中死去。这位有如此重大发现的数学家,生前最大的理想是成为一所大学的讲师,而这个愿望到死也没能实现。

 

第三名 四色定理

 四色定理的通俗版本是:“任意一个无飞地的地图都可以用四种颜色染色,使得没有两个相邻国家染的颜色相同。”这最初是由法兰西斯·古德里在1852年提出的猜想。当然,作为一个数学定理,四色定理有着更为严谨的数学叙述,是关于拓扑或者图论,这里就不细述了。

 解决:

四色猜想刚提出时,并不被数学家们重视,比如哈密顿就说“不会尝试解决这个四色问题”。后来在德·摩根的不断推动下,才开始进入数学家们的视野。历史上,曾有一个叫肯普的伦敦律师声名证明了这个猜想,他的证明几乎已经得到了学界的承认,甚至已经得到《自然》杂志的确认。对于一个非专业人士解决的问题,人们开始认为他不难。那个时候,有一所大学给学生留下的习题是“证明四色猜想,且不得超过一页纸的文字,30行算式以及一页纸的图”。而剧情的反转在证明公开的11年后,有人发现了肯普证明无法修补的错误,而使四色猜想重新成为公开问题。1975年,经过IBM360电脑夜以继日近两个月,1200小时的验证,四色猜想被证明,成为四色定理。回想一下那个30行的要求,哆嗒数学网的小编只想说,写作业的学生们,你们还好吗?

 

第二名 连续统假设

 康托尔创立集合论的同时,也发明了一种比较无穷集合元素个数多少的方法。他把无穷集合中的元素个数叫做基数。他研究了很多无穷集合的基数,发现自然数、整数、有理数、整系数方程等等,它们的基数都是一样多的,而实数、无理数、复数、三维空间中的点,它们也是一样多的,而且比自然数要多。他所发现的所有集合,它们的个数都不会在自然数的基数和实数基数之间。于是他猜想:没有一个集合,它的基数在自然数基数和实数基数之间,这就是连续统假设。

 解决:

康托尔为这个猜想几乎耗费了一生,他几次声称证明了连续统假设,但都发现自己的错误又将其声明收回。康托尔后来产生精神问题不知道和这个猜想的证明的有没有关系。问题在1963年终于有了个结论:连续统假设在数学家公认的ZFC公理系统下,即不能证明是真命题,也不能证明是假命题。而在康托尔那个年代,还没有公理化集论的概念,也就是说他的年代是无论如何也解决不了的。

 

第一名  费马大定理

 Xn+Yn=Zn这个方程,在n大于2的时候没有正整数解!这就是费马大定理。

 解决:

费马是在1637年阅读一本书时,在书中写注解时留下这个猜想的,同时,他还写道:对此定理,我有一个美妙的证明,但因书中空白太小写不下。这让痴迷数学的研究者们,对于这个空白充满了好奇和不甘。问题终于在300多年后的1995年被英国数学家怀尔斯证明。证明过程用到模型式等,在费马年代根本没有方法。怀尔斯证明的第一稿用了300多页,在修改精简后,缩至100多页,发表于数学最顶级的杂志《数学年刊》。有人感慨,那个空白的事,简直就是费马挖下的大坑啊。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


发现数学中鬼魂的人

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿被公认为微积分的奠基者之一。由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为解决问题的重要工具。

 

同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。大部问题都指向微积分的基础--极限。其实就是对无穷小量的质疑。

 

据说牛顿在计算自由落体瞬时速度的时候是这样做的。在t时刻和t+Δ t的物体的位移就分别是gt²/2和g(t+Δ t)²/2,于是这段时间内的变化就是两个相减,得到这断时间内的位移变化就是gtΔ t+Δ t²/2,除以时间变化Δ t就是平均速度gt +Δ t/2。最后牛顿说,因为是时间是瞬间的,所以Δ t可以认为是零,于是瞬时速度就是gt。

 

一个叫贝克莱(Berkeley)的主教发现上面的推理有严重的问题。由历史原因,我们也许对反对科学家的宗教人士天生不怀好感,但这里要说的是,这个贝克莱主教其实并分等闲之辈。贝克莱是十八世纪最著名的哲学家之一,英国近代经验主义的三大代表人物中的一个。美国加州的伯克利市也是用他的名字命名的(加州大学伯克利分校的数学也是相当牛的)。他问:“这个Δ t到底是什么,是不是零?”,他继续说到:“如果Δ t是零,那么在求平均速度的时候就不能当被除数; 如果他不是零,最后不能随便消掉。无论怎么样,都是说不通的!”,最后贝克莱还补充:“难道这个Δ t是一个鬼魂?”。

 

 

哆嗒数学网的小编认为:无论贝克莱出于什么目的来攻击牛顿的微积分,但不得不承认的贝克莱的攻击是切中要害的。以当时的数学发展水平,也是说不清那个Δ t的。贝克莱的上述表述被冠以“贝克莱悖论”的名称,而这个“悖论”导致了一次关于数学基础可靠性的危机,史称“第二次数学危机”。

 

150年后,波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄利克雷等人的开始工作,中间经历了50多年,直到魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的工作结束,才基本上解决了“贝尔莱悖论”,为微积分奠定了严格的基础。解决的终极方案就是我们高等数学书上常见的ε-δ语言,对初学者来讲,它晦涩难懂,但的确是数学家近200年的结晶。我们感谢这些为数学基础做出贡献的人!当然,也要感谢贝克莱,哪怕他的贡献是那么的间接。

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

中美俄包揽前四-2014第55届国际数学奥林匹克(IMO)成绩揭晓

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


2014第55届国际数学奥林匹克成绩(IMO)在久前揭晓,中国队再次获得团体总分第一,成绩是201分,也是唯一一支总分超过200分的队伍。美国、中国台湾、俄罗斯分获总分第二、三、四名,成绩分别为193分、192分、191分。值得注意的是,中国台湾的第三名是该地区参加IMO以来的最好成绩。


从奖牌成绩来看:中国与美国获得5金1银、俄罗斯获得4金两银,而中国台湾获得4金两铜。
中国还有两个地区派队参赛。中国香港以4银两铜143分成绩列18位。澳门获得2铜74分,名列62位。

2014第55届国际数学奥林匹克在南非开普敦举行,共有101个国家的560名选手参赛(其中女选手56名)。选手在参赛期间将做6道数学题,每题7分,满分42分。其中获得29分及以上的参赛者将获金牌,22分及以上获银牌,16分及以上获铜牌。本届比赛,分别有49名、113名、133名选手获得金、银、铜牌。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa




2014第55届国际数学奥林匹克(IMO)真题官方中文版(全6题完整高清版)

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


第一天


$\textbf{第1题}$

设$a_0<a_1<a_2<\cdots$是一个无穷正整数列,

证明:存在唯一的整数$n\ge1$使得:$a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}$


$\textbf{第2题}$

设$n\ge2$是一个整数.考虑由$n^2$个单位正方形组成的$n\times n$棋盘.一种放置$n$个棋子“车”的方案被称为是和平的.如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”.求最大的正整数$k$,使得对任何一种和平放置$n$个“车”的方案,都存在一个$k\times k$的正方形,它的$k^2$个单位正方形里都没有“车”.


$\textbf{第3题}$

在凸四边形$ABCD$中$\angle ABC=\angle CDA=90^{\circ}$.点$H$是$A$向$BD$引的垂线的垂足.点$S$和点$T$分别在边$AB$和边$AD$上,使得$H$在三角形$SCT$内部,且:$\angle CHS-\angle CSB=90^{\circ},\angle THC-\angle DTC=90^{\circ}$

证明:直线$BD$和三角形$TSH$的外接圆相切.


第二天


$\textbf{第4题}$
点$P$和$Q$在锐角三角形$ABC$的边$BC$上,满足$\angle PAB=\angle BCA$且$\angle CAQ=\angle ABC$.点$M$和$N$分别在直线$AP$和$AQ$上,使得$P$是$AM$的中点,$Q$是$CN$的中点.
证明:直线$BM$和$CN$的交点在三角形$ABC$的外接圆上.

$\textbf{第5题}$
对每一个正整数$n$,开普敦银行都发行面值为$\frac{1}{n}$的硬币.给定总额不超过$99+\frac{1}{2}$的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同),证明可以把他们分为至多100组,使得每一组中硬币面值之和最多是1.

$\textbf{第6题}$
平面上的一族直线被称为是处于一般位置的,如果其中没有两条直线平行,没有三条直线共点.一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域,我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域.

证明: 对于充分大的$n$和任意处于一般位置的$n$条直线,我们都可以把其中至少$\sqrt{n}$条直线染成蓝色,使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注:如果你的答卷上证明的是$c\sqrt{n}$(而不是$\sqrt{n}$),那么将会根据常数$c$的值给分.


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa



无限不循环的无理数其实很逗比

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

 

圆周率$\pi$是一个我们既熟悉又陌生的无理数。作为一个常见的数学常数,当它以小数形式展现的时候——3.14159265358979323846......,你又能记得它多少位数字?

它是无限不循环的无理数,当它们以小数形式展开的时候,你能告诉我它小数点后的前1万位,前10万位,或者第100万位数分别是多少吗?

不过,有了计算机,我们可以编写一个程序,在时间允许情况下,无论你想知道$\pi$小数点后多少位的数字,利用这个程序,我们都能把它们呈现在你眼前。

 

 

不仅是$\pi$,像$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,自然对数底$e$等等,这些熟知的无理数,我们都能编写一个程序,来呈现他们的小数的展开的数字。

那么,有一个问题,对任意的无理数,我们都能编写一个计算机程序,把这个无理数的小数位全部展开出来吗?

答案是:不能!

这要从可数,不可数来说起。且听哆嗒数学网的小编们慢慢道来。

一个集合可数的意思是说,他能被自然数“编号”写成:a1,a2,a3,...,an,....这样的形式。数学上已经证明,有理数是可数的,而无理数是不可数的。

我们怎么写一个计算机的程序呢?一般来讲,我们会用一个键盘敲打出来。键盘上只有有限多个键(一般的键盘只有100多个键吧),这意味着每次敲击键盘,只有有限多个可能的符号被打出来,这些符号可能是英文字母,数字,括号,空格,换行符等等。而程序无论有多复杂,它总有写完的时候,于是哪怕是100亿行代码的程序,它也是由有限多个符号组成的。

因为上述原因,数学上也可证明,能写出的程序只有可数多个!

所有的计算机程序可数,而无理数不可数。于是一定有一个无理数,无法用计算机把它的小数位展开!

那么,能确切的告诉我,哪一个无理数的小数位不能用计算机程序展开吗?

还真有人找到了一个数,也和计算机的程序有关。1975年,一个叫蔡廷的计算机科学家研究了一个有意思的问题:在给定的编程语言中,随机输入一段代码,这段代码能成功运行,并且在有限时间内运行完毕的概率是多少?当然,数学家描述这个问题会用更严格的语言。在严格的表述下,这样的概率是存在的且是确定的一个常数。这个常数叫做蔡廷常数。这个蔡廷常数是一个确定的数,但数学上已经证明,它无法用程序展开。

一个实数是确定的,但无法用某个程式展开。听起来,好像很逗比。但这就是数学神奇的地方!

 

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

 

 

陶哲轩:奥数改变人的一生--写在国际数学奥林匹克开幕之际

关注微信:  DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

7月3日,第55届国际数学奥林匹克(IMO)在南非开普敦开幕。这次IMO将有100多个国家和地区派队参加,覆盖全球90%以上的人口。并且IMO受到了南非教育部和科技部的支持。


在国内媒体对奥数教育口诛笔伐的环境下,IMO却不断受到其它国家的重视。在韩国宣传国际数学家大会的视频上,韩国获得2012年IMO金牌也成了他们国家的数学成果,着重宣传。另外,还不断有数学界的大人物公开支持IMO,其中一人就是陶哲轩。


关注IMO官网的人或许和哆嗒数学网的小编一样,已经发现在该官网首页,已经在醒目位置“骄傲的宣布”:“陶哲轩成为IMO基金会赞助者”。陶哲轩其实和IMO颇有渊源,三次参赛,分别获得铜牌、银牌、金牌,至今保持着最年青获得IMO金牌的记录(那年陶12岁)。


 “我对参加国际数学奥林匹克竞赛有着非常美好的回忆。”,陶哲轩教授说,“和其它任何学校的运动会一样,在IMO有一群有着差不多能力与好爱的人在一起狂热的进行比拼。我强烈推荐这个赛事给每一位高中生,因为它也是一个全国性和国际性的旅行机会。参加IMO可能是一位有天赋青年数学家改变一生的事件。因此,我将全身心的支持国际数学奥林匹克基金会。”


关注微信:  DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文



数学奖里的“土豪奖”: 科学突破数学奖

 
 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

2014623日,科学突破奖基金首次颁布了科学突破数学奖。包括在华人世界里人气极高的华裔数学家陶哲轩在内的五位数学家获此殊荣。

 

科学突破数学奖是一个刚刚创立的新奖项。但是这个新兴的奖却有一群“富豪爸爸”。

 

科学突破奖是由Facebook创立者扎克伯格夫妇、俄罗斯互联网巨头米尔纳夫妇、中国阿里巴巴集团创始人马云夫妇、谷歌创立者之一布林与23andMe公司创立者沃西基夫妇共同创立。有这么一群富翁坐阵,奖金额度便也扶摇而上,达到300万美元。

 

如果你觉得300万美元是不少,但作为一个世界性的奖励,似乎也没有什么大不了的话,那就随我们哆嗒数学网的小编们一起去看看其它数学奖项的奖金吧。

菲尔兹奖:被称为“数学界诺贝尔奖”的另一项奖项同时也被认为是年轻数学家的最高荣誉,奖金只有1.5万加拿大元,约合1.5万美元。但此奖几乎是数学界最高荣誉奖。 

阿贝尔奖: 同样被称为“数学界诺贝尔奖”,每年颁发一次。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近,600万瑞典克朗,约合100万美元 

高斯奖:由国际数学家联合会和德国数学家联合会共同颁发,获奖者可获得一枚绘有高斯肖像的奖章和一笔奖金,1万欧,约合1.4万美元 

奈望林纳奖:颁予在计算机科学的数学方面有主要贡献者。每四年在国际数学家大会颁发。得奖者必须在获奖那一年不大于40岁。奖项为一面金牌和现金奖,1万欧元,约合1.4万美元

陈省身奖章:是国际数学界设立的首个以华人名字命名的数学大奖。奖金一共50万美元,其中一半(合25万美元)被要求得主投入其今后的数学研究或与数学相关的教育活动。奖金的剩余一半(25万美元)即奖予数学家个人。

还有两个跟华人有密切关系的奖:

晨兴数学奖:世界华人数学家大会最高奖,被誉为“华人菲尔兹奖”。 每位金奖得主可获赠2.5万美元

邵逸夫数学奖:这是个国际性奖项,形式模仿诺贝尔奖。由邵逸夫奖基金会每年选出有成就的数学家,颁授100万美元奖金以作表扬。

需要注意的是,以上不少奖项,还是获奖人平分奖金的,所以如果某次获奖的人数比较多时,那么获奖人获得的奖金,就更少了。

这么一对比,作为每个获奖人都可获得300万美元的科学突破数学奖,是不是顿时就土豪无比了!五个人总奖金达到1500万美元

米尔纳曾经指出,“突破奖”的目标是为科学和理性主义营造一个积极形象,对人类未来保持一个乐观的看法。他说,“知识界的光彩在我们的社会被掩盖了。58年前,世界上最著名的人不是演员、运动员或音乐家,而是科学家爱因斯坦。他的面孔出现在全世界的杂志封面和报纸头版以及电视上”,但今天的大部分科学家虽然取得了攸关人类未来的重大科学发现,例如治疗绝症和延长寿命的方法,公众对他们却一无所知。

在财富日益被人们关注的今天,300万美元的高额奖励确实形成了一定轰动效应,也将鼓励那些为数学及其它科学奋斗的人们更加投入到他们所执着的事业中。

今年揭晓的五位获奖者之一,普林斯顿高等研究院的英国数学家理查德•泰勒是数学理论的领军人物,说到:“得到这一奖项的承认我感到很意外,也很感动。”泰勒目前还没有决定该如何使用这笔奖金,但他说,“数学是一项团队工作,需要团队的努力与合作,因此我想要找到一种回报社会的方式”。

首届科学突破数学奖的另外三位获奖者是:英国帝国理工学院的西蒙•唐纳森以及法国高等科学研究所的马克西姆•孔采维奇、哈佛大学的雅各布•卢里。

 

 

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

把数学变成拼图游戏-希尔伯特纲领

关注微信:  DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文




一个个小块能拼出美女,能拼出野兽,能拼出大千世界。这多么神奇!数学家们也有人希望用这样一小块一小块的东西,拼出整个数学世界。这人就是希尔伯特。




不过,我们还是从“说人话”开始谈吧。


当我们刚到一个新环境的时候,大概都会有类似这样一句开场白:“大家好,我是新来的。请多多关照!”。这当然是一句典型的人话。但如果仔细想想,这话无非是几个大家知道的符号(汉字和标点),按照一定的合法规则(语法)拼接起来的而己。因为他符合这些,所有这个拼接有了意义。而下面这句是没有意义的,至少哆嗒数学网的小编认为,地球上没人了解这个意义。


“牜飛阿烙鯡衿!。六福揂機阿拉丁飛阿。。←”。



希尔伯特纲领(Hilbert's Programme),其实就是按上面思路,试图把所有的数学证明,都能用一些符号按合法的规则拼接出来。比如数学中的两个命题P,Q,我们做这样的拼接“P→Q”,P是真命题,且这个拼接合法,那么Q也是真命题。

这里如果还有一合法过程能得到“Q→R”,我们还能说R也是真的。我们用一个符号"∧"来表示"且"。那么上述拼接的全过程可以写成"(P→Q∧Q→R)→(P→R)",这还是一个拼接。


如果一个命题能用合法规则拼接出来,它就是真命题。如果一个命题能拼接出反例那么他就是假命题。


要说希尔伯特在那些年留下的东西,除了23个经典问题,剩下的估计最就是那个希尔伯特纲领最让人兴奋了。如果它能实现,数学证明完全成了一个拼图游戏,这虽然会让数学变得很无趣,但的确会让数学变得简单。给你一个命题,你能不能证明,或者能不能否定它,完全取决于你能不能把想拼的东西拼出来。当然,数学上能证明,如果命题是真的或者假的,那么一定能拼出来的。所以,剩下的问题就是如果拼出来的算法问题了。计算机来做这事,太擅长了。


但问题在于,是不是一个命题它一定真的,或者是假的吗?一个叫哥德尔神人得到一个惊人结果,一个命题他可能即不是真的,也不是假的!这就是著名的“哥德尔不完备定理”。


哥德尔的这个结果,据说让希尔伯特非常生气,但希大神也只能无奈接受。希尔伯特纲领就此破灭!


关注微信:  DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

写在奥林匹克日:谈谈奥数与顶级数学家

关注微信:  DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文


国际奥委会从1948年起将每年的6月23日定为国际奥林匹克日。每年这个时候世界各个国家都会举办一些体育运动来做为庆祝纪念。


但是,奥利匹克本身已不再是指一项简单的体育活动。各国奥委会围绕“提高”、“学习”和“发现”三大纲领,积极开展各类体育、文化和教育活动。

那么今天我们就来看看其中一个最近几年在我国教育界炒的很厉害的奥数——“奥林匹克数学竞赛”。



国际奥林匹克数学竞赛,即International Mathematics Olympiad,简称IMO,是国际中学生数学大赛,在世界上影响非常之大。

国际奥林匹克竞赛的目的是:发现鼓励世界上具有数学天份的青少年,为各国进行科学教育交流创造条件,增进各国师生间的友好关系。这一竞赛1959年由东欧国家发起,得到联合国教科文组织的资助,现已成为国际科学奥林匹克历史最长的赛事。
 
IMO是否真的为发掘、鼓励数学天才起到了作用呢?我们可以用数学的另一项奖项做一个侧面考察。

菲尔兹奖一直以来被视为“数学界的诺贝尔奖”。自1936年开始到2010年,获菲尔兹奖的已有53人。

这些堪称数学界明星、精英的大咖们,有不少跟数学奥林匹克奖(IMO)都有渊源呢!

哆嗒数学网为读者列举以下大咖为例:
1. 1959年IMO银牌得主,苏联数学家格·阿·玛古利斯获得1978菲尔兹奖
2. 1969年IMO金牌得主,乌克兰数学家德里费尔德获1990年菲尔兹奖
3. 1974年IMO金牌得主,法国数学家约克兹获1994年获菲尔兹奖
4. 1977年及1978年IMO金、银牌得主,英国数学家博切尔兹获1998年菲尔兹奖
5. 1981年IMO金牌得主,英国数学家高尔斯获1998年菲尔兹奖
6. 1982年IMO金牌得主,俄罗斯数学家佩雷尔曼获2006年菲尔兹奖(得IMO时,他的国籍还是苏联)
7. 1985年IMO银牌得主,法国数学家洛朗·拉佛阁获2002年菲尔兹奖
8. 澳大利亚华裔数学家陶哲轩在1986年、87年、88年,分别获得IMO铜牌、银牌、金牌,获2006年菲尔兹奖
9 具备越南和法国双重国籍的数学家吴宝珠在1988年、89年,连续两年获得IMO金牌,获2010年菲尔兹奖
10. 俄罗斯数学家斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫在1986年、87年,连续两年以满分成绩获得IMO金牌,获2010年菲尔兹奖
11. 以色列数学家埃隆•林登施特劳斯在1988年获得IMO铜牌,获2010年菲尔兹奖。
自1986年我国正式参加国际奥数竞赛以来,共有个一百多名选手获得金牌。从1997年开始连续17年,中国队获得了其中13枚团体金牌,3枚银牌(1998年因特殊原因中国队没有参加在中华台北举行的IMO)。
但令我们深感遗憾的是,迄今为止这些金牌选手当中,没有一个人获得过菲尔兹奖。

在我国小初高中招生所表现的“奥数热”并没有为中国选拔出真正的数学人才。其中的原因大概正如《国际先驱导报》采访丘成桐时,丘所说的:“……国外奥数考得好的学生,往往能够成才,而我们的学生不一定能成才,因为国内是机械性的学数学,不是出于兴趣。我自己教过几个得奥数金牌的中国留学生,但他们学问太狭窄,考试有能力,思考没能力,甚至毕不了业。”

2014年,IMO将在南非开普敦举行。届时将有100多个国家参加。参加国的人口覆盖了世界90%的人口。这是历史上规模最大的一届。届时,我们一起为中国队加油!


关注微信:  DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文


数学家逆袭高富帅!谁说学搞数学的没钱挣!

作者:施瑜原文地址:外滩画报 http://www.bundpic.com/link.php?linkid=55240

原标题:揭秘 2014 年全美职业红黑榜:大数据时代数学家的逆袭?

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

说到数学家,如果你的脑海里弹出的仍然是架着眼镜的学究或是哥德巴赫猜想,那你肯定需要更新一下“内存”了,因为数学家已经是美国“最霸气”的职业了。

美国职业咨询网站 CareerCast 最新评出的 2014 年全美 10 大最佳职业排行榜中,数学家凭借 101360 美元的年薪、23% 的就业增长空间 (至 2022 年)、高舒适度的工作性质摘取桂冠,紧随其后的有大学终身教授、统计师、精算师,听觉矫治专家、牙科保健员、软件工程师、计算机系统分析师、职业复健师、语言矫正师挤进前 10 位。

 

**数学家逆袭?**

单从排行榜的顺序来看,数学从业者可谓“独领风骚”,因为十大最佳职业榜,有半数职位和数学有关,数学家 (冠军)、统计员 (第三名)、精算师 (第四名)和计算机系统分析员 (第八名)。

那么,这是不是预示着数学家的“逆袭”?CareerCast 网站创始人托尼·李(Tony Lee)在接受《外滩画报》采访时表示,数学家登上最佳职业冠军榜并非 “意料之外”,而是“大势所趋”。“过去几年,我们的排行榜上最佳职业几乎都和数学、工程、技术有关,所以今年数学家上头条,我一点也不感到惊讶。”托尼·李说,“数学是个跨领域的学科,随着‘信息革命’的来到,它在职场的应用范围会越来越广。可以说,参与这场‘革命’的人都能分到一杯羹。

今天,数学系毕业生可以从事金融工作,可以去企业做研究员,可以供职国家公务部门,当然也可以选择留校任教。 这种趋势会继续维持下去,不是一年或者两年,而是 10 年甚至 20 年。”来自圣地亚哥的数学家索博朗斯基(Jessika Sobanski)对排行榜持赞同态度。她在接受 CareerCast 网站记者采访时表示,随着大数据时代的来临,数学家将会越来越受欢迎。“目前公司都在雇佣那些可以读得懂数据,并且能根据数据预测出趋势的数学家,发生在那些空间的数据量实在是太庞大了,无论是新产品促销、新建电视台,所有的东西都建立在数据之上。” 索博朗斯基解释道。索博朗斯基是数学教育网站的创始人,可以说是资深的数学从业者,她对数学前景坚信不疑的态度是情理之中。

那么,年轻的数学从业者对自己的职业展望又是如何?记者电话采访了两位数学系的毕业生。Ellie 本科就读于复旦大学数学系,后来在西雅图华盛顿大学取得概率学博士。Ellie 说,她的圈子里都在谈论这个排行榜,作为“准数学家”,她感到异常惊喜。她说自己并没有规划这样的生涯,成为“数学家”完全是歪打正着。临近毕业,华盛顿大学数学教授到复旦讲学,Ellie 顺利通过选拔并进入该校攻读博士。据她介绍,华盛顿大学数学系每年招 15 - 20 个博士,目前,一共有 100 多名在读博士。Ellie 表示,数学系毕业生想要留在高校走学术道路,要面临粥少僧多的竞争压力,而很多想任教的博士毕业生不得已选择“Teaching school”当助理教授。“Teaching school 就是那些不设研究生点的大学,在那里授课的教师不做学术研究,性质和高中一样。” Ellie 解释道。Ellie 博士尚未毕业时,就有伦敦的金融猎头公司找过她。如今,她如愿拿到伊利诺伊州芝加哥大学数学系博士后的职位,她的入职年薪是税前 6 万美元。

“其实,数学家是个越老越安逸的职业。在年轻的时候,你需要过居无定所的生活,从一个学校搬到另一个学校,另外,教学其实是非常有压力的活,因为美国大学的学生平均水平参差不齐,而且学校实行的是严格的打分制,因此教课的同时,你需要小心翼翼,不能得罪学生。但你一旦获得终身教职后,生活就很安逸,你就不用担心被开除,也不用搬家,还能有自己能支配的教育经费。”Ellie 说 。CareerCast 网站创始人托尼·李在接受《外滩画报》采访时表示,数学家登上最佳职业冠军榜并非 “意料之外”,而是“大势所趋”陆鑫和 Ellie 是同龄人,2008 年毕业于北大的数学系,后赴麻省理工学院攻读运筹学博士学位。2013 年博士毕业后,他进入亚马逊总部担任研究人员,他透露自己的薪水是六位数。陆鑫说最初学数学,是为了追求解题的快感,而后来学的运筹学是一门综合学科。他自嘲说,自己可以勉强“冒充”数学家,因为现在的工作基本偏离了数学家的原始轨道,但他始终对数学界的动态保持密切的关注。 “外围的人对数学家有误解,觉得数学家都是神算,但数学界一个笑话,就是真正的数学家不会算术,因为数学家研究的东西其实都是很抽象的,有时候好几年研究做一个猜想或者论证,最后都发现是徒劳无获。我受不了那种枯燥的、单调的生活,也没有华裔数学家张益堂的那种毅力,可以在 Subway 打工,一边搞学术研究,所以改行了。”陆鑫说。陆鑫现在每天的工作就是帮亚马逊计算省钱方案,最大限度地节省人力、物流以及库存成本。当被问起对大数据的看法时,他果断地回答:“我觉得大数据是个被炒出来的概念,因为面对大量的数据,很多数据员采取的处理方式是非常原始的手段,比如取中位数或取平均值,根本没有大众所想象的那么‘高大上’。”对于数学家上榜单冠军,陆鑫也表示质疑,“我不知道他们是怎么计算的,就我认识的数学系毕业生,面临很大的就业压力。再说,数学家收入高也是值得商讨的,我们学校运筹系的几个博士生进了工程学院当助理教授,他们的收入和待遇和商学院教师相差甚远。”托尼·李承认“学院派”数学家面临的就业竞争力,但他表示在美国从事教育工作的数学家,仅仅是一小部分,而超过 70% 的数学家都进企业和机构工作,后者收入相当可观;而那些在大学留任的数学家,也有机会在企业担任兼职。

 

**如何评出榜单?**

20 多年来,托尼·李和团队每年都会对全美常见的职业进行评估,他们对职业收入、发展空间、工作环境及压力、体力因素分类计算,公布 10 大最佳职业和 10 大最差职业的排行榜。托尼·李表示,网站收集的资料均来自美国劳工部、人口普查局、各个行业协会、调查公司公开过的权威数据。他们在制作榜单时,尽量将一些主观因素进行量化数据处理。他们首先列出人们择业时最重视的要素,即工作环境、薪资水平、职业展望和工作压力。他们将这些要素定义为评估职业优劣的基准,再按个细分处理。在工作环境中,情感因素和体力因素被列入考虑范围,其中,情感因素又被细分为竞争激烈系数、人身安全威胁系数、公众曝光度等;而物理因素则包括体力消耗、外在环境 (如噪音、污染等)等,这些因素是用数字来划分等级,数字越大,工作环境越恶劣。在薪资水平中,薪水数目和收入的增长幅度均被列入评估项目,其中薪资水平抽取的是行业收入的中位值。 第三项是职业展望前景,包括该岗位数量增长趋势和失业危险系数。第四项是工作压力,这一项中,工作量、截止期限、竞争激烈系数、体能要求均被考虑进去。同时,他们仍然采用数字描述压力程度,数字越大,压力越大。其实只要稍微留心,就会发现这个繁琐的方法论里面存在漏洞,因为不少基础因素是重复计算的,比如体能要求,而测评基准本身带着很强烈的主观性。从这点看,这个排行榜存在争议也是无可厚非的。那么 CareerCast 网站如何应付这些内在矛盾呢?其实,CareerCast 考虑到多数在职者最看中的是薪水和升职空间,采用了三分法,第一部分是收入;第二部分是职业展望;而第三部分则是优先因素 (preferential factors),又称为舒适度指标(comfort levels),优先因素由工作环境、体能要求、工作压力三项构成,计算的是前四项基础指标子因素的叠加值。最后,CareerCast 通过各项指标汇总的结果进行排序,收入越高、升职空间越大、舒适度越高的工作是最佳职业,反之,则为最差职业。过去几年,CareerCast 网站评选的排行榜中,最佳职业几乎都和数学、工程、技术等理工学科有关

 

**最差的职业也有人爱!**

今年,上黑榜的职业有伐木工人、报纸记者、现役军人、出租车司机、播音员、主厨、空乘、消防员、狱警、垃圾回收员。其中,伐木工人的年收入为 24340 美元,报纸记者年收入为 37090 美元。此外,两个职业正在受到残酷现实的威胁——据美国劳工统计局最新统计,到 2022 年,伐木工岗位缩减将达到 9%,而报纸记者则缩减达到 13%。“我们采访过一些终身从事伐木的工人,他们第一反应是,我们的工作很棒,在户外又享受充分的自由。如果和他们深入交谈,他们很快会告诉你,他摔伤过三次腿,掉了一根手指。伐木工人能忍受严寒酷暑的工作环境,但多数人受不了伐木机器的噪音。”托尼·李说。去年,纸媒记者被列为黑榜“状元”,今年,无冕之王的排名仅下滑一位, 仍然“遥遥领先”其他“恶劣”职业。托尼·李对此解释道,“普通人会认为记者是光鲜的职业,经常出差,采访名人和明星,享有的自由度很高。但是,他们不了解北美记者的薪酬水平这几年来没有显著增长,而且记者入行的竞争压力非常大。另外,记者实际的工作时间很长,他们受到‘发稿最后期限’的困扰,因此要承受的压力很大。这几年来,美国的纸媒公司一直有大刀阔斧的裁员政策。”托尼·李说做排行榜不是为了将某个行业作为靶心来攻击,而是提供给人们一个参考,黑榜“阻挡不了人们对最差职业的追求”。既然如此,那么排行榜的意义又何在? 托尼·李表示,最初做排行榜只是想给求职者做参考标准,但随着榜单知名度的提高,它产生了较大的社会效应和预想不到的娱乐效果。同时,不少教师会把排行榜作为教案,给在校学生做志愿参考。

 

**2014 年全美十大最佳职业:**

Career Cast 网站的评估方式,主要根据来自美国劳工部、人口普查局、行业协会及其他来源的数据,采用薪酬、就业前景、工作环境、从业压力和体力要求 5 项标准来评估每种职业。

1. 数学家 (年薪 101360 美元)

2. 大学教授(终身) (年薪 68970 美元)

3. 统计员(年薪 75560 美元)

4. 精算师 (年薪 93680 美元)

5. 听力矫正师 (年薪 69720 美元)

6.牙科保健员 (年薪 70210 美元)

7. 软件工程师 (年薪 93350 美元)

8. 计算机系统分析员 (年薪 79680 美元)

9. 职业治疗师 (年薪 75400 美元)

10. 语言病理学师 (年薪 69870 美元)

 

**2014 全美十大最差职业:**

1.伐木工人 (年薪 24340 美元)

2.报纸记者 (年薪 37090 美元)

3. 现役军人 (年薪 28840 美元)

4. 出租车司机 (年薪 22840 美元)

5.播音员 (年薪 55380 美元)

6.主厨 (年薪 42480 美元)

7. 空乘 (年薪 37240 美元)

8.垃圾回收员 (年薪 22970 美元)

9.消防员 (年薪 45250 美元)

10. 狱警 (年薪 38970 美元)

 

其实,一般上红榜的从业者不会发出质疑声,但去年网站却意外遭到红榜冠军的质疑。2013 年,大学教授荣登最佳职业榜首,结果网站收到不少大学助理教授发来信函,抱怨榜单存在误差,称自己工作压力大,报酬低。面对质疑声,网站只好发声明解释,排行榜中出现的大学教授是“终身教职”,而非助理教授。托尼·李表示,今年的排行榜推出后,并没有收到数学家们的书信质疑。榜单公布后,电视台会把红榜和黑榜上的从业者请到脱口秀节目中,让“状元”们畅谈自己的职业生活,这些节目恰恰促进了不同从业者之间的交流,当然也会有“互掐”现象,于是,有趣的故事从节目中源源不断地流出来。“我们制作榜单是很严肃的过程,但它发布后,确实产生了一定的娱乐效应。”托尼·李说。

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

中国校友会网2014中国大学数学专业排行榜

在最新公布的中国校友会网2014中国大学数学专业排行榜中,北京大学的数学专业荣膺2014中国六星级学科专业,入选中国顶尖学科专业,位居全国高校第一。另外,五星级学科专业及四星级学科专业如下。五星级:复旦大学、中国科学技术大学、山东大学四星级:清华大学、上海交通大学、武汉大学、浙江大学、南京大学、吉林大学、中山大学、北京师范大学、四川大学、南开大学、西安交通大学、厦门大学、哈尔滨工业大学、华东师范大学、大连理工大学、华中师范大学、兰州大学、苏州大学、首都师范大学、湘潭大学值得注意的事,这个排名的并列情况之多,是之前的排名都很罕见的,就并列第5名就有20个之多。2014中国大学数学专业排行榜

名次 一级学科 学科专业星级 学科专业层次 学校名称 2014综合排名 办学类型 办学层次
1 数学 6星级 中国顶尖学科专业 北京大学 1 中国研究型 中国顶尖大学
2 数学 5星级 中国一流学科专业 复旦大学 4 中国研究型 中国一流大学
2 数学 5星级 中国一流学科专业 中国科学技术大学 14 中国研究型 中国一流大学
2 数学 5星级 中国一流学科专业 山东大学 16 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 清华大学 2 中国研究型 中国顶尖大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 上海交通大学 3 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 武汉大学 5 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 浙江大学 6 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 南京大学 8 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 吉林大学 9 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 中山大学 10 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 北京师范大学 11 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 四川大学 13 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 南开大学 15 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 西安交通大学 18 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 厦门大学 19 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 哈尔滨工业大学 20 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 华东师范大学 24 中国研究型 中国一流大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 大连理工大学 30 中国研究型 中国高水平大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 华中师范大学 36 行业特色研究型 中国高水平大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 兰州大学 38 中国研究型 中国高水平大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 苏州大学 52 区域研究型 中国知名大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 首都师范大学 86 区域特色研究型 中国知名大学
5 数学 4星级 中国高水平学科专业 湘潭大学 102 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 华中科技大学 12 中国研究型 中国一流大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 中南大学 17 中国研究型 中国一流大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 同济大学 22 中国研究型 中国一流大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 湖南大学 28 中国研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 西北工业大学 29 中国研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 重庆大学 33 中国研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 西北大学 37 区域研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 东北师范大学 40 行业特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 中国地质大学 44 行业特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 西南大学 50 区域研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 中国石油大学 54 行业特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 南京师范大学 54 区域特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 河海大学 58 行业特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 西南交通大学 61 行业特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 北京化工大学 63 行业特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 郑州大学 64 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 西安电子科技大学 65 行业特色研究型 中国高水平大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 华南师范大学 70 区域特色研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 上海大学 73 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 上海财经大学 74 行业特色研究型 中国一流大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 福州大学 77 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 江南大学 81 区域特色研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 太原理工大学 85 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 新疆大学 86 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 安徽大学 88 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 河南大学 89 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 华北电力大学 91 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 内蒙古大学 95 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 昆明理工大学 109 区域研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 扬州大学 111 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 江苏大学 117 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 上海理工大学 123 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 上海师范大学 127 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 西北师范大学 129 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 湖北大学 131 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 武汉科技大学 139 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 中北大学 146 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 河北师范大学 148 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 长沙理工大学 152 专业型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 青岛大学 153 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 西南石油大学 158 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 宁波大学 161 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 浙江理工大学 166 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 广西师范大学 168 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 云南师范大学 174 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 杭州师范大学 176 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 四川师范大学 178 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 内蒙古师范大学 183 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 哈尔滨师范大学 189 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 广州大学 191 专业型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 曲阜师范大学 206 应用型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 南京信息工程大学 211 应用型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 江苏师范大学 216 应用型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 杭州电子科技大学 226 应用型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 重庆师范大学 253 应用型  
25 数学 3星级 中国知名学科专业 解放军理工大学   行业特色研究型 中国知名大学
25 数学 3星级 中国知名学科专业 国防科学技术大学   中国研究型 中国一流大学
关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

父亲节专题:也给数学家拼拼爹

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

本文的部分节选将发表于7月的《新高考》的高一数学版上。

 

数学家都有一个爸爸,他们中有好爸爸,也有坏爸爸。还有的爸爸不知道去哪了。

 

阿基米德:我有一个好爸爸,好爸爸,好爸爸,好爸爸。。。

被西方称为最伟大的三位数学家之首的阿基米德出身于希腊贵族家庭,其父费狄亚就是是天文学家兼数学家。这位父亲不仅给儿子带来了贵族身份、良好的家教,更因为他与叙拉古的国王—海维隆二世国王的关系,为阿基米德的发展铺好了一条光明大道。

关于费狄亚与国王的关系,有两种说法,一种说他们是朋友,一种说他们是亲戚。不管真相如何,不可否认的是费狄亚跟国王相处密切,所以阿基米德学成回国后就有充分的机会出入宫廷,并常与国王、大臣们闲话家常或是畅谈国事。

在这样优裕的环境下,阿基米德作了好几十年的研究工作,并在数学、力学、机械方面取得了许多重要的发现与成就,成为上古时代欧洲最有创建的科学家。

 

 

 

   欧拉:我曾跟爹一起走近上帝

莱昂哈德·欧拉出生于瑞士的巴塞尔。他的父亲保罗·欧拉是基督教加尔文宗的牧师。受父亲的影响,欧拉13岁时就入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁顺利获得硕士学位。虽然对数学早有接触,但是欧拉此时的主修方向还是哲学和法律,并在之后遵从父亲的意愿进入了神学系,学习神学,希腊语希伯来语

不过虽然保罗·欧拉一心想让儿子也成为一名牧师,但是他也不是冥顽不化的固执老头。当约翰·伯努利来说服他允许欧拉学习数学时,他还是听取了意见,并开始相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家,从而使欧拉真正开始逐步走向数学家的道路。

 

 

 

   高斯:我不坑爹,爹坑我

近代数学奠基者之一高斯几乎可以用天才、早熟、高产、创造力不衰等人类智力领域所有褒奖之词来形容。但是他的父母却是很普通的一对夫妇。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿,没有接受过教育,近似于文盲。在成为高斯父亲的第二个妻子之前,她仅仅从事着女佣工作。而高斯的父亲做过园丁,工头,商人的助手及一个小保险公司的评估师。

这位经历丰富的父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉,甚至有些过分,常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。高斯很小就对一切现象和事物十分好奇,并且常常坚持弄个水落石出。古板顽固的父亲经常因此而训斥他。

幸运的是,高斯拥有一位鼎力支持他的母亲和颇有眼光的舅舅。        

舅舅弗利德里希发现高斯的聪明伶俐后,花费了很大一部分精力投入到对高斯智力的启蒙和教育中,并经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展,才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。

而高斯的母亲罗捷雅也对儿子的才华十分珍视,在高斯的父亲面前坚决维护高斯的思考和行动,也为高斯的发展赢得了更为开阔的思维空间。

不过不可否认的是高斯虽然没有直接从自己的父亲那里获得更为良好的教育,但是他秉承了其父诚实、谨慎的性格,这也算是父亲身教的良好结果吧。

 

   拉格朗日:我本官二代,一朝变屌丝

在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性贡献的约瑟夫·路易斯·拉格朗日,生于意大利都灵。

他的父母共有11个子女,但大多数夭折;拉格朗日为长子,是幸运活到成年的两个之一。

从出身来看,拉格朗日的家境应该不错:曾祖父是法国骑兵上校,祖父任都灵的公共事务和防务局会计,父亲也在都灵政府任同一职位。可是这位父亲,弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚,并不满足这样职位和收入,参与了大笔金融上的的投机,最终失败将家产挥霍殆尽。

早期拉格朗日并没有展现出对数学特别大的兴趣。在都灵大学进修的时候,他最喜欢的学科是拉丁语,还认为希腊几何学很枯燥。但到青年时代,在数学家F.A.雷维里指导下学几何学后,激发了他的数学天才。17岁时,他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后,感觉到“分析才是自己最热爱的学科”,从此他迷上并且转向主攻当时迅速发展的数学分析。

不过拉格朗日本人曾回忆说自己,如果家境富裕,可能就不会作数学研究了。大概中落的家道也让他放弃了对其它某种生活方式的追求,才能致力于数学研究吧。这算不算是他父亲歪打正着的为数学界做出的另类贡献呢?

 

   柯西:差点跟爹一起文艺

奥古斯丁·路易·柯西的父亲路易·佛朗索瓦·柯西是一位精通古典文学的律师,曾担任法国参议院秘书长。他将自己擅长的法语、拉丁语等语言研究早早教给柯西,使得柯西小时候在文艺的道路上遥遥领先。柯西很小就曾获得希腊文、拉丁文作文和拉丁文诗奖,在中学毕业时还赢得了全国大奖赛和一项古典文学特别奖。

可是柯西最终还是从一个文艺青年胚子转成了数学家。这也离不开他父亲的铺垫,因为他的父亲经常带着他一起出入法国参议院。在那里柯西得以和两个已经成名的数学家经常进行交流。这两位就是拉普拉斯和拉格朗日。两位数学家都对柯西表现出来的天赋非常的欣赏,拉格朗日更是在众人面前评价柯西,说这个孩子将来会超过我们所有人。但是,拉格朗日后面还加了一句,说柯西的身体太单薄,17岁以前最好不要碰数学,否则他会沉迷其中。简单地说,拉格朗日怕柯西累死。所以,柯西的父亲坚决贯彻了这个政策,把柯西的早期教育重点放到了文科上。但当柯西接触数学并且专攻数学后,这位父亲也没有要求儿子继续文学而进行干涉和指责。

 

   

笛卡尔:我是留守儿童,爸爸每个月寄钱给我。

勒奈·笛卡尔父亲Joachim是雷恩的布列塔尼议会的议员,同时也是地方法院的法官。笛卡儿1岁多时母亲患肺结核去世,而他也受到传染,造成体弱多病。母亲去世后,父亲移居他乡并再婚,而把笛卡尔留给了他的外祖母带大,自此父子很少见面,也因此养成终生沉思的习惯和孤僻的性格。父亲见他颇有哲学家的气质,亲昵地称他为“小哲学家”。可是他们父子俩相处得并不融洽,笛卡尔自己曾经说,他是父亲最不喜欢的孩子。他与兄弟之间的感情,似乎也不怎么深厚。可能是因为这个缘故,他经常离乡背井单独外出旅行,并且对待朋友特别情深。

迪卡尔的父亲虽然心理上跟笛卡尔有些疏远,却从没有真正放弃笛卡尔,他一直给予迪凯尔提供金钱方面的帮助,使他能够受到良好的教育,并且在死后也留给笛卡尔一大笔遗产,让笛卡尔可以追求自己的兴趣而不用担心经济来源问题。

 

 

希尔伯特:我没成为爸爸强扭的瓜

大卫·希尔伯特,二十世纪的一流数学家,被称为数学世界的亚历山大,是康德的同乡。

希尔伯特的父亲奥托·希尔伯特是法官。他有些狭隘,他对儿子喜欢搞数学总是持批评的态度。幸好母亲玛利亚·特丽萨却比较开明,她兴趣广泛,对天文学、哲学以及应用数学都抱有兴趣。这无疑对儿时的希尔伯特产生了影响。

而希尔伯特的数学天分,在中学就表现出来。据说在中学时,希尔伯特不能写出很好的德语作文,于是她母亲经常为其代笔,但是他的数学非常好,能够给老师们讲解数学问题。

这样的天分,做父亲的却不能接受,是不是有点失败呢。

 

 

康托:我的蛇精病和爸爸没任何关系

乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。父亲乔治·瓦尔德玛·康托是个富商。1856年康托全家迁居德国法兰克福。像许多优秀的数学家一样,他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感,并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工,因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学,康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。

康托父亲的影响对于康托来说是一生的。这位在福音派新教影响成长起来的父亲,不仅在经济上给康托的发展提供了物质基础,他将宗教的使命感,及自信、自强和奋斗精神也带给了康托。父亲在给15岁的康托的一封信中写到:“你的父亲,或者说,你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你,希望你将来能成为科学地平线上升起的一颗明星”。这封信始终陪伴着康托,成为康托终生奋斗的一个动力,让他面临数十年的指责,也不放弃捍卫超穷集合论。

 

庞加莱:我爹基因好强大

亨利·庞加莱出身于法国的显赫世家。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职,生有两个儿子,大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。莱昂·庞加莱是一位著名医生,并任南锡大学医学院教授。

庞加莱从小就显出超常的智力,他很爱读书,而且阅读速度快得惊人,并对内容的记忆迅速、准确而持久。他在儿童时代还显露了文学才华,有的作文被老师誉为“杰作”。庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异,但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁,并很快就显露了非凡才能。从此,他习惯于一边散步,一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。

看上去这位天赋异禀的数学天才,应该是遗传了家族的良好基因吧。不仅他的祖父、父亲颇有成就,他叔叔的两个儿子也成为法国政界的著名人物:雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统;吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长。 
 


   陶哲轩:爸爸为了学位到处奔走

陶哲轩的父亲比尔·陶是儿科医生,和母亲格雷丝相识在香港大学,后移民澳大利亚。

陶哲轩小时候惊人的智力发展让父母意识到,儿子是个神童。于是这对夫妻到处为陶哲轩买书、借书,鼓励他读书探索。但是不久他们就发现自己的教育很难跟上孩子的进步。围边绵耽误了儿子的发展,决定让他提前上学。然而,提前入学对这个智力提早发育的孩子似乎并不合适。智力上,陶哲轩比同班5岁的孩子们发育得都要成熟,但为人处事方面,他还不愿意长时间和比自己大两岁的孩子呆在一起。对此,私立学校的老师无能为力。几个星期后,父母和老师达成一致,让他退学。陶哲轩又被送进幼儿园,和与他同龄的孩子一起成长。幼儿园的18个月里,陶哲轩的数学能力显著提高。在妈妈格雷丝的帮助下,不到5岁,陶哲轩完成了小学的所有数学教程,这通常需要7年时间。格雷丝在香港大学念研究生时,曾经获得数学物理一等奖学金。然而,她发现,在数学上,陶哲轩不需要别人告诉他该怎么做,他主要通过大量阅读数学著作和教科书来完成学习。

在这个时候,陶哲轩也开始接受专门针对天才儿童的零星教育。这个项目由澳大利亚的教育机构发起,每个星期六对天才儿童进行特殊教育。也是从这个时候开始,陶哲轩的父母开始为儿子“量身定做”教育课程,在专门从事天才儿童教育的老师的帮助下,终于让这个神童的智力发育走上了“正轨”。

 

牛顿:爸爸去哪儿呐?

相比以上所有几位数学家,艾萨克·牛顿就可怜多了,出生前三个月,他同样名为艾萨克的父亲不幸离世了。之后牛顿的母亲在牛顿3岁时改嫁了。而她母亲并没有把牛顿带入巴纳巴斯·史密斯牧师家,而是把他托付给了他的外祖母玛杰里·艾斯库。这样的疏离导致年幼的牛顿不喜欢他的继父,并因母亲改嫁的事而对母亲持有一些敌意,牛顿写过他曾:“威胁我的继父与生母,要把他们连同房子一齐烧掉。”这位伟大数学家的人生中,父爱就是一片空白。

  父亲节来了,祝福天下所有的爸爸都有值得自己骄傲的子女!感恩父亲!

 

 

关注微信:DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

高盛集团的世界杯预测模型:巴西将是冠军,梅西饮恨决赛

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


高盛集团的近日在其网站上发表了一篇题为《2014世界杯统计模型》(A STATISTICAL MODEL OF THE 2014 WORLD CUP)的文章,文章中对2014的世界杯的比赛进行了预测。

高盛的研究员构造了一个统计模型用来模拟生成2014世界杯的所有比赛结果,而用于预测的方法,还是大家熟知的回归分析。文章对1960年以来所有(约14000场)“强制性”国际比赛结果作样本进行统计,然后得出结果。所谓“强制性”比赛,在文中的解释是非友谊赛的比赛。当然,文中还提到,他们假设,一场比赛中,某方的进球数量服从泊松分布。

即然预测方法是回归分析,当然会有解释变量了。高盛给出的解释变量是这些:
1、Elo排名的差距。依据历史上所有的比赛的战绩得到一个Elo排名。注意这个排名并非国际足联的世界。
2、最近10场“强制性”国际比赛的平均进球数。
3、最近5场“强制性”国际比赛的平均失球数。
4、特定国家队的虚拟变量。衡量一些国家在世界杯上的表现趋势。高盛只在有参加了足够多1960年之后世界杯比赛的国家队上使用这个变量(包括巴西,德国, 阿根廷, 西班牙, 荷兰,英格兰,意大利和法国)。
5、主场国家的虚拟变量。衡量球队是不是在他自己的国家比赛。
6、主场大陆的虚拟变量。衡量球队是不是在他自己的大陆比赛。

64场比赛的比赛情况的模拟,还是用暴力的蒙特卡罗方法。

高盛的模型中,没有把球员的个人能力作为参数,因为他们认这个因素应该在历史成绩中反映。就是说,像里贝里的伤退,在模型中不会对法国成绩的预测产生任何影响。

高盛的一些主要结果:
1、 揭幕战巴西将4比1战胜克罗地亚。而卫冕冠军西班牙首战将和荷兰1比1战平。
2、 亚洲球队第一个出战的日本,将和科特迪瓦1比1打平。
3、 16强中有5只南美球队、10只欧洲队、1只亚洲球队。这只亚洲队是伊朗。
4、 巴西、阿根廷、德国、西班牙进入四强。四强战,巴西3比1胜德国,而阿根廷于西班牙战成1比1后,点球淘汰西班牙。
5、 巴西在决赛中3比1击败阿根廷夺冠。

不过,高盛没有把所有的预测认为必然的,他同时给出了事件发生的概率。

比如,即便认为巴西会夺冠,但预测模型中,巴西夺冠的概率为48.5%,并没超过一半。而亚洲球队中,虽然伊朗出现在了16强对阵表中,但模型给出的伊朗进入16强的概率41.4%,低于韩国的49.1%。


关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa


实数到底有多少个?

 

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

 

原文作者:Keith Devlin, 英国数学家和科普作家,斯坦福大学教授

翻译: 哆嗒数学网, www.duodaa.com

 

实数有多少个呢?一种回答是:“无穷多个”。由于康托证明了实直线--即连续统--不能和自然数有一一对应,于是能得到更好一些的回答是,“不可数多个”。但我们能更精确一些吗?康托引进了一种度量无穷集合个数的方法:使用阿列夫数。阿列夫是一个希伯来字母,康托用它来表示无限集合的个数(阿列夫“ℵ”这个号很多时候在网页上都打不出来)。他把所有的无限集合的个数都用这样的无限数量(基数)进行了分层,ℵ0(第一个无穷基数,自然数集的数量),ℵ1(第一个不可数基数),ℵ2,等等。

 

无穷基数和有限的自然数一样,可以做加法和乘法,只是比自然数的加法和乘法容易得多。两个无穷基数相乘或者相加,都等于这两个中最大的那个。

 

我们也能把任何一个有限或无限的基数来计算它的幂。这样问题瞬间变得不那么容易了。我们来看一个相对最简单的情况,如果κ(西腊字母,Kappa)是一个无穷基数,那么2^κ(2的κ次幂,即κ基数集合的幂集的基数)的值是多少?康托证明了这个幂一定比κ本身大,但这也就是他得到的最深的结果了。特别的,他无法表明2^ℵ0是否等于ℵ1。

 

这个问题有何意义呢?在数学其它地方,已经证明了2^ℵ0正好是连续统的个数,即实数的个数。由于康托能证明有理数的大小是ℵ0,那接下来一个自然的问题,实数到底有多少个?这样的问题不能回答是让人沮丧的。希尔伯特也在1900年,把它列入了他《数学问题》中的23个问题之一。

 

命题2^ℵ0=ℵ1的就是著名的连续统假设。它和选用的构造无限集合的公理体系密切相关。这个公理体系是由策梅罗和弗兰克尔在20世纪初建立的,叫做ZF公理体系,是被数学界普遍接受的。1936年,哥德尔用他的证明震惊了数学界。他证明了ZF公理体系是不能证明连续统假设是一个假命题的。

 

其实,部分逻辑学家、一些实分析学家,以及大部分数学家并不关心连续统假设是真是假。所以,让人震惊的并不是这个结果本身。让大家惊奇的是,哥德尔发现了一种证明手段,可以证明一些数学命题是不能被证明的。(注意,哥德尔证明的是连续统假设不可能在ZF公理体系下被证明是假的,但这并不意味着连续统假设可以在这个体系下被证明是真的。他没有一个证明它是真命题的逻辑推导。)于是,大家知道了连续统假设不可能被证明是假命题,研究转向去证明它是真命题。但这样的研究是徒劳的,1963年科恩的证明告诉了大家,为什么之前的研究是徒劳的。科恩用他发明的力迫法证明了连续统假设也不可能被证明是真命题(在ZF公理体系的框架下)。于是这个假设是不可判定的。因为这个发现,科恩还在1966年获得菲尔兹奖。

 

当然,一个很自然的想法。我们想在ZF公理体系下增加一些公理,让连续统假设变得可以判定是真是假。的确有很多数学家做了这样的工作,但都没有成功。问题在于,我们试图为所有的数学分支提供一个统一的集合论的基础框架(这个框架包含算术系统),框架中的公理要被大家接受,还必须看上去是“显然的”。没人能找到这样的公理。有一种我个人觉得很吸引人的公理叫做构造性公理(我博士期间是研究集合论和无穷基数算术的,我研究生涯的前15年都在搞那个)。

 

这个公理是哥德尔发现的。哥德尔用它来证明了连续统假设在ZF公理体系下不是假命题。虽然哥德尔不建议让它成为一个集合论的公理,但我觉得它还是比较“自然”,能成为一条公理。不是因为我相信那个是“真”的。当我们在无限集合上讨论数学时,我认为不应该较真公理的对错。甚至,我觉得科恩的结果(以及很多之后的结果)向我们表明的原始信息应该是:我们在选择集合论的公理时,应该务实一点。由于集合论的终极目的是为数学提供一个普遍的根基,我可以提出(事实上在1977年我已经提出过)一个非常好的支持将构造公理纳入公理体系的论点。(我把这个观点写进了我的专著《The Axiom of Constructibity: A Guide for the Mathematician》,于1977年在Springer-Verlag出版。) 如果构造性公理被假定成立(作为一条新的公理,加到ZF公理体系里),就可以证明连续统假设是真命题。由于各种原因,很多数学家不支持我以及其他支持构造公理体系的人的观点。但没有一个人提出一个我认为令人信服的反对理由。至少,在那个时候没有。

 

1986年,情况发生了改变。Freiling在《Journal of Symbolic Logic》上发表了一个有趣的文章,题目叫《公理的对称性:往实直线上投飞标》。在文章中,Freiling提出了下面这个假想实验。你我两人向一个飞标靶子投掷飞标。我们之间隔了一个屏风,所以我们之间互不影响。当我们收到一个来自第三方的信号的时候,我们一起向靶子投掷飞镖。我们投掷的结果完全是随机的。(形式上,由于靶子上的点可和实数产生一一对应,所以我们两个人可以简单的看成两个独立的随机数发生器。)那谁是赢家呢?恩,实验的组织者把所有实数排成一个良序(即把靶子上的点排成良序),记为“<<”。我们的目标是在这个良序下,击中的目标比对手大。如果你击中的实数是Y,而我击中的M,若Y<<M,就我赢,否则,你赢。

 

好的,再多说几句。假如连续统假设成立。实验的组织者可以把这个良序排成这样:对任意实数x,集合{r|r<<x}是可数的。同意吗?好,由于我们是独立投掷的,我可以假设我第一个投,我击中了M。现你轮到你投了,由于{r|r<M}是可数的,所以如果你击中的是Y,那么Y<<M的概率是1,即你赢的概率是1。但,我们的条件是完全对称的,所以相似讨论,我赢的概率也应该是1.但这是不可能的。结论:我们不到找到这样的良序,所以连续统假设是假命题。

 

是吧?别急,别太武断。要让上面的推理成立,我们假设了良序“<<”是可测的。但没有任何理由支持这个假设。所以,我们并没有证明连续统假设是一个假命题。但我们(或者Freiling)也不是要证明他是假命题。相反,我们是在找一些似是而非的理由,来找一个公理集合论体系来解决连续统假设。如果,你们公理集合集结看成一个构造集合的框架,这个框架为数学其它所有分支都提供一个构造集合的保守方法,那么,你可以用构造性公理。这时,连续统假设成立。但是,如果你认为数学是现实经验的抽象,且你认为Freiling的投标假想实验是直观、自然且“应该是对的”,那么你能承认的集合论中的公理就得让连续统假设是一个假命题。(或者,退一万步来讲,你的公理体系不能让连续统假设是真命题。)那我现在是观点是什么呢?恩,我还是在考虑一个支持构造性公理的论点。但我也发现Freiling的假想实难是宁人信服的。

 

所以,我的观点是,从直观的层面上考虑,肯定要让连续统假设是一个假命题。当一个数学家发现他在支持两个互相矛盾的命题的时候,他显然是当系主任或者院长太长时间了。是时候放弃职位而继续前进了。你知道吗?我这样做了。请注意我的联系地址已经变了。

 

 

关注微信: DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博: http://weibo.com/duodaa

独立性证明介绍

    市里发生一起凶杀案,警方断定:

  1. 凶手是男性
  2. 受害者是女性
  3. 凶手做案之前有大量饮酒
  4. 凶手用双手掐死了受害者

    受害者的丈夫在案发现前和受害者有过激烈争吵,并且案发时就在案发现场附近。由于是健美教练,有足够的手力掐死一名成年女生。并且,有很多案件,在夫妻发生激烈冲突后发生的。于是被控方锁定为重大嫌疑人。

    受害者的丈夫的律师却说:另外一个城市,也是相同情况,但受害人是被一个流窜作案的流动人员杀害的,所以现有证据无法证明嫌疑人就是凶手。

    当然,目前为止,也无法证明嫌疑人是凶手。

    所以,控辩双方都要继续找证据,来证明他们相要的结果。

    其实,数学公理就是“证据”。这种“证据”是一个要求人们先接受,而无需证明的一些命题。至于,为什么要接受,或是因为生活经验,或是因为某些实验结果,再或没有任何理由,反正先接受。但接受的东西之间不能有矛盾的地方。比如,下面一串的东西,不能看成公理。

  1. 世界中存在两个人类小明和小红
  2. 小明是男人
  3. 小红是女人
  4. 小明与小红是相同性别的
  5. 男女是两个不同性别

    我们再来说一个数学的例子,高等代数中学过数域的定义,我们把这些定义的条件看成公理吧。一个实数子集$F$,满足就是下面几条公理,就称为数域(简单起见,我们只在实数上讨论)。

  1. $1\in F$
  2. 如果$a,b\in F$,则$a+b\in F$
  3. 如果$a,b\in F$,则$ab\in F$
  4. 如果$a,b∈F$,则$a-b\in F$
  5. 如果$a,b∈F$,$b≠0$,则$a/b\in F$

    那么,对于一个数域$F$,由这几条公理(加上默认的一些公理,比如实数完备性的公理),是否能推导出$x^2=2$在$F$上有解?我们说,不能,因为如果我们让$F$为有理数集的时候,有理数集是一个数域,但$x^2=2$无解。那能否推出$x²=2$无解呢,我们说也不能,因为如果我们让$F=R$时,在这个域上是有解的。

    于是,得到结论“代数方程$x^2=2$有解”这个命题,在数域公理体系下,是无法证明,也无法证伪的。于是这个$x^2=2$是否有解,与数域公理独立。

    通过上面的讨论,我们知道,我们要一个命题的证明独立性,有一个办法是,找两个模型,两个模型都满足所有公理的条件,但这个命题在其中一个模型里是真命题,在另外一个是假命题(比如前文中的有理数集和$R$)。

    我们都熟知的连续统假设与ZFC公理系统独立就是用这样的办法证明的。

    第一个找到让连续统假设是真命题模型是哥德尔,他利用了构造性公理。由于ZF和构造性公理一起还能顺便推出选择公理,于是他证明了连续统假设和ZFC是不矛盾的。

    找到另一个让连续统假设是假命题模型,要难得多。不过还是由科恩(P.J Cohen)找到了,找的过程中,他用了他本人发明的数学工具力迫法(Forcing)。于是,连续统假设与ZFC公理体系就独立了。由此,科恩获得了1966年的菲尔兹奖,也是唯一一个在数理逻辑领域的菲尔兹奖的获得者。

    最后补充一点,我们说公理就是“证据”。现代的公理代数学到底是哪些“证据”呢。这些证据被称为ZF公理体系。我这里列举一下,不过我全部用口语不严谨的列举(严谨的要用形式语言)。

  1. 公理1 外延公理
    两个集合有相同的元素则两集合相等

  2. 公理2 正规公理
    每个非空集合$x$ 都包含一个元素$y\in x$ ,使得$x$和$y$不相交。

  3. 公理3 分类公理
    $x$是一个集合,$p$是一个描述集合的性质,则$\{ y\in x:~ p(y) \}$是一个集合

  4. 公理4 配对公理
    $x,y$都是集合,则$\{x,y\}$也是集合。

  5. 公理5 并集公理
    一簇集合的并,还是集合。

  6. 公理6 替代公理模式
    一个集合被映射后,得到到的像还是一个集合。这个公理之所以称为模式,无穷多的映射,对同一个集和都能产生像,这些像都是集合。所以这其实无穷多条公理。

  7. 公理7 无穷公理
    存在一个无限个元素的集合(所有自然数在一起是集合)。

  8. 公理8 幂集公理
    一个集合的子集做元素,能形成一个集合。

上面8条就构成ZF公理体系,再加上下面的选择公理,就是ZFC公理体系。

  1. 公理9 选择公理
    对一簇集合,我们可以每一个集合里抓出一个来,形成一个新集合。

决定性公理介绍

    很多人都玩过斗主,我也玩。当我在QQ游戏上玩得最HI的时候莫过于三个人都大叫一声“明牌!”,所有牌的游戏都能被互相看见。   

    这个时候,其实原本三个人的游戏变成了两个人在玩,地主与斗地主的一方。而且,打牌的双方都能知道对方有哪些招能用,哪些招用不了。
    这时,我们再大胆假设一下,我们认为双方都足够聪明,出牌都按最优的方式,即不失误。那么其实,这样的一局牌就变得很无趣了,因为当发完牌的同时,游戏的结果已经决定了。

    因为牌都亮着,必然有一方有一种打牌的策略,让他能在最后处于取胜状态。

    我们把这个游戏变得更为无趣。我们把先出牌的一方叫P1,后出牌的一方叫P2。在轮到某人出牌的时候,他只有有限多少出牌的选择。把可能出牌的办法都编号吧,比如当轮到打牌的时候,他就可以说,1号办法应对,2号办法应对,...,n号办法应对...

    于是,好好的斗地主就成了一个叫号的游戏,P1叫我用1号办法,P2叫8号办法,然后P1又叫19号办法,于是得到一串叫号的数列。因为游戏一定会在有限步内结束,于是我们能得到一个有限长数列,这个数列可能指向P1赢的状态,可能指向P2赢的状态。这两种状态,都能分别构成集合。

    如果,这时候我们要改变一下斗地主的规则(比如最后一手牌必须少于5张才算赢),那么,我们本质上是改变上述所得到的赢的状态所对应的集合。

    上面说到的东西,在数学中有一个叫博弈论(Game Theory)的分支在做研究,其实就是研究游戏啦。注意到,上面提到的对局有两个特点,第一,第一轮对局者都只能在有限个对局策略里选择,第二,对局一定能在有限的轮次中结论。

    如果策略选择和轮次都是无限的会怎么样呢?现在P1,P2能叫的号是所有自然数,而且每个人都要玩无限轮次。这样,同样在事先规定,哪些数列算赢,哪些数列算输。会怎么样了呢?是不是无论我们怎么改变游戏规则(就是改变赢的状态集合),这个游戏都在规则确定的同时,结果已经定了呢?

    如果,我们要继承斗地主时的感觉,当然我们要认为结果已经定了!于是,我们就这样认为他定了。这就是决定性公理(Axiom of Determinacy,简称AD)。他和熟知的选择公理(Axiom of Choice)矛盾的。那么和ZF是不是相容呢?可惜,决定性公理能推出ZF是自洽的,所以由哥德尔不完备性定理,ZF+AD是否自洽不能由ZF得到。   

    不过,这个公理很难让人认为是“真”的。它除了和选择公理矛盾,由这个决定性公理还能推出一系列太过于“卖萌”的数学“事实”。其中最有趣的是,由它可推出所有实数集合都是勒贝格可测的。这样一来,许多数学成为没意思的了。因此,数学家们还是不太想承认这个过于“萌”的公理。不过,它带来的一系列问题仍有在研究当中。

柯西函数方程和选择公理

柯西函数方程的问题,就是问如果一个实函数f(x),对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)。那么这样的函数是什么?
 
 
有些人马上会不假思索的回答,这是一个线性函数,而且是一条过原点的直线,f(x)=ax, 其中a=f(1)。如果多问一句为什么,他们之中也会很熟练的给出“证明”, 但你会发现,他们会自然而不自然的用到下面的条件。
 
 
条件1:  f(x)是连续函数
条件2:  f(x)是可导函数
条件3:  f(x)在个别点是连续
条件4:f(x)在某个区间上有界
条件5:f(x)在(在某个区间)单调
 
没有这上面的条件,这些同学就很难证下去了。
 
 
的确是这样,其实对于满足这样条件的函数来讲,前文说的5个条件都是等价的。实际上有朋友列出了更多的等价情形,这里我就不再多讲,大家自己去找贴子吧。我这里再说一个重要的等价条件,关于可测的(可测是专业词汇,不懂没关系不是重点)。
 
 
条件6: f(x)是一个勒贝格可测函数。
 
 
啊,有人可能会没有耐心了:“废话那么多,你倒给个不连续的例子呀!”
 
 
咳咳!我还要继续多几句废话。这个例子,可以说能给,也可以说不能给。因为这和数学中的一条公理有关系——选择公理。在数学里选择公理是一条非常神奇的公理,它的大意是说如果有很多集合(可能有无穷多个),每个集合里都有东西(即非空),那么我可以从每个集合论抓取一个元素组成新的集合。
 
这似乎是一条看似显然应该成立的公理。你会说随便抓啊!我会问怎么个随便法?你会再强调,随便就是随便啊!我再问,有多随便?实际上,这个公理导出的一些推论让一些人“三观尽毁”!我们之所以觉得应该是真的,是因为大部分人会把有限世界的经验和感觉直接移植到无穷世界,这有事时候会出问题。
 
选择公理能做出一种看似违反物理定律的操作(巴拿赫-塔尔斯基悖论),一个皮球,切上几刀,把切好的碎片重新拼接组合,最终能拼接处和之前大小一模一样的两个皮球。另外,选择公理能把任何集合排成良序——一种其中任意元素都可比较大小且任何子集都有最小值顺序。这让我想起我在一本集合论的专业教材上,书的作者幽默留下字句:“Show me the well-ordering on R, somebody cry!”(有人会叫嚣,你把实数的一个良序写出来给我瞅瞅!)。是的,是的,我写不出来,也没有人类能写出来。
 
罗素对选择公理有个有意思的比喻:“如果有无穷多双鞋,我可以告诉你都选左脚的那只;但如果是无穷双袜子,我们应该怎么选呢?”
 
尽管有一些反直觉的推论,绝大部分数学家还是相信选择公理是真的。
 
选择公理在线性空间理论里能得到一个很强大的结论——任何线性空间都有基,有的书还特别强调是代数意义下的基,叫做Hamel基。
 
我们来回顾一些线性代数的知识。数域F上线性空间的基,是这样一个集合B。对空间中的任何一个元素r,我们都可以从B中找到有限个元素b(1),b(2),...,b(n), 和相同数量的数域F中非零的元素f(1),f(2),...,f(n),r能写成r=f(1)b(1)+f(2)b(2)+f(n)b(n)。而且这种写法还是唯一的。(这和你手里的线性代数书的表述可能不一样,但是你不用怀疑表述的等价性)
 
上诉B中元素的个数,叫做这个线性空间的维数。
 
我们还知道,一个空间是多少维的和我们把他看成哪个数域上的空间有关系。比如复数,如果看到复数域上的线性空间就是一维的,任何一个非零单点集合都是这个空间的基,而在实数域上看是二维的,{1,i}是一组基。
     
 
于是我问,如果把实数集合看成有理数域上的线性空间,那么这个空间有基吗? 选择公理说,有!那基长什么样,选择公理说,不告诉你!——但我们可以肯定这个基有无穷多的元素,这个空间是无限维的。但无论怎么样,也没有人能把这个基很清楚的呈现出来。但有了这个基,我们就能造出不连续的例子了。
 
对于任何一个实数r,我们都可以从这个基中找到有限个元素b(1),b(2),...,b(n), 和相同数量的非零有理数q(1),q(2),...,q(n),最终把r写成r=q(1)b(1)+q(2)b(2)+q(n)b(n)。而且这种写法是唯一的。
 
现在我们来“构造”函数了。我们在这个基中定位一个具体的元素t,那么对于某个实数x,他写成的样子有可能是x=q·t+q(1)b(1)+q(2)b(2)+q(n)b(n),就是t前面有个有理数系数q。也有可能写成的结果里,根本没有t。那么前者情况,我们令f(x)=q, 后一种情况我们令f(x)=0。因为表示方式是唯一的,你可以验证,这样定义的函数f(x)的确满足对所有实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)。
 
这个函数的确满足我们想要的性质,但我无法告诉是f(1)等于多少,f(e)等于多少,f(π)等于多少。
 
     有人会说,你用选择公理做出的东西太奇怪,难道不用选择公理做不出这种不连续的例子吗?
 
      似乎下面的文字会让有的人更崩溃的。
 
 
      回忆一下实变函数的课程内容(如果你学过的话,当然这是一门很变态的课)。我们曾经“构造”过不可测的集合,但如果你能回忆起每一个细节话,你会很失望,这样集合的构造,也用到了那个“无所不能”的选择公理。实际上数学界的大牛告诉我们,在ZF下是没有办法推出或者推翻不可测的集合是不是存在的。下面的东东,也能构成一个没有矛盾的体系(数理逻辑中叫“自洽”):
 
 
      "ZF体系" + "所有实数子集都可测"。
 
 
      刚才说的条件6,记得吗。不可测的函数是因为不可测集合存在才存在的。于是,在这个体系下,所有函数都可测了,于是满足柯西函数方程的函数在这个体系下就都连续了。
 
 
附: f(x)为可测实函数,若对任意实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=f(1)x为线性函数。
证明:令g(x)=f(x)−xf(1),则对任意实数x,y,有g(x+y)=g(x)+g(y)。现在证g(x)=0。
易见对任何有理数q有f(q)=qf(1),于是g(q)=0。
令A={x : g(x)>0},B={x : g(x)<0},则A,B都可测。
注意A=−B,于是A,B有相同测度,即m(A)=m(B)。
 
若m(A)=m(B)>0,由这里的证明有,A−B=A+A包含一区间(实变经典定理,正测度集合代数和包含区间),于是包含一有理数,
取s∈A,t∈B,满足s−t=r为一有理数,则有
0=g(r)=g(s−t)=g(s)−g(t)>0,矛盾。
 
于是只能m(A)=m(B)=0,得到L = {x : g(x)=0} 为零测度集的余集。
若有实数a,使得g(a)>0,观察集合:
C = {x : g(x−a)=0} = {x : g(x)=g(a)}
中间集合表达式,说明C=a+L是一个零测度集的余集。
右边的集合表达式,因为g(a)>0,说明C是A的子集,是一个零测集。
矛盾
若有g(a)<0,则g(-a)>0,亦有矛盾
于是g(x)=0