11名菲尔兹奖得主反对特朗普“穆斯林禁令”

 

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就在我们国人愉快的欢度春节的这段时间,美国总统特朗普又搞事情了。

 

1月27日,也就是大年三十这天,特朗普签署了“关于难民和移民政策的行政命令”,宣布暂停美国难民项目4个月,暂时禁止伊朗、伊拉克、利比亚、索马里、苏丹、叙利亚和也门的公民入境美国,为期90天。由于所点名的七个国家都是穆斯林国家,所以这个行政命令被俗称称为“穆斯林禁令”。

 

 

这个行政命令引发了美国国内和国际社会的强烈争议,其中不乏激烈的反对。而在竞选时期就和特朗普不和的学术界的一些“大佬”,也加入反对“穆斯林禁令”的队伍中。他们建立了一个网站(https://notoimmigrationban.com)联合学术界的学术人签名反对特朗普的这个行政命令。

 

 

这个网站上,他们对特朗普的“穆斯林禁令”表明了三条主要态度:

 

1、 这个行政命令是歧视性的。

 

2、 这个行政命令对美国的国家利益有害。

 

3、 这个行政命令是强加于我们学术界的过分负担。

 

 

目前,在该网站上已经有超过27000名人士签名,其中美国教员超过20000名。签名者中,很多是学术界的顶级大咖——51名诺贝尔奖得主、104名学术界其它重要奖项得主(包括菲尔兹奖、狄拉克奖、克拉克奖、图灵奖、庞加莱奖、科学突破奖、普利策奖、麦克阿瑟天才奖)。

 

其中菲尔兹奖得主11位,他们是:

 

 

德利涅,1978年菲尔兹奖得主,就职于普林斯顿高等研究院,出生于比利时。

 

德里费尔德,1990年菲尔兹奖得主,就职于芝加哥大学,出生于前苏联时期的乌克兰。

 

高尔斯,1998年菲尔兹奖得主,就职于剑桥大学,出生于英国。

 

林登施特劳斯,2010年菲尔兹奖得主,就职于希伯来大学,出生于以色列。

 

麦克马伦,1998年菲尔兹奖得主,就职于哈佛大学,出生于美国。

 

米尔扎哈妮(女),2014年菲尔兹奖得主,就职于斯坦福大学,出生于伊朗。

 

奥昆科夫,2006年菲尔兹奖得主,就职于哥伦比亚大学,出生于前苏联时期的俄罗斯。

 

陶哲轩,2006年菲尔兹奖得主,就职于加州大学洛杉矶分校,出生于澳大利亚。

 

弗沃特斯基,2002年菲尔兹奖得主,就职于普林斯顿高等研究院,出生于前苏联时期的俄罗斯。

 

威藤,1990年菲尔兹奖得主,就职于普林斯顿高等研究院,出生于美国。

 

泽尔曼诺夫,1994年菲尔兹奖得主,就职于加州大学圣迭戈分校,出生于前苏联时期的俄罗斯。

 

 

不难发现,签名反对这个命令的菲尔兹奖得主绝大部分都是出生于美国国外而在美国就职的学者。在中国人气极高的华裔数学家陶哲轩出生于澳大利亚,而历史上第一位女性菲尔兹奖得主米尔扎哈妮,就来自“禁令七国”中的伊朗。

 

历史上看,数学学术活动也有受政治影响的先例。比如由于前苏联政府的限制,1970年得主诺维科夫和1978年得主玛古利斯没能前往颁奖地领奖(颁奖地点分别是法国和加拿大),而1966年得主格罗滕迪克也抵制了在前苏联举行的菲尔兹奖颁奖典礼,以抗议当时苏联在东欧的军事行动。

 

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数学真的是永恒的吗?

原文作者:Andrea McNally

翻译作者:吹牛皮出洋相哆嗒数学网翻译组成员,就读于苏州大学数学系

 

 

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任何涉及到数学学科的人都很可能会回想起一次或者多次被质问数学是否有用的经历,Eduardo在他的TED演讲“数学是永恒的”中讨论了这个问题。他指出这个问题有三种回答:第一种回答富有进攻性,它认为数学无关实际应用的需要,拥有属于它自己的意义;第二种是一种保守性的回答,它回复道从桥梁建设到信用卡账号,数学隐匿于一切事物的背后;第三种回答,也是Eduardo主张的观点,数学的实用性源自于它的培养直觉的能力,从而使其永恒。

 

 

数学是永恒的吗?Eduardo似乎是这么认为的,他认为钻石不能永恒,而一个定理可以。数学家们用他们一生的时间去提出猜想并想尽办法证明这些猜想,而一个猜想一旦被证明成立,他就成为了一个定理,一个永远存在的真理。因此,诸如勾股定理和蜂窝定理的理论将永远成立,无论我们在这里是否承认它们。这种想法根源于柏拉图主义,一种认为有独立于我们思想存在的抽象数学对象的哲学观点,因此所有数学上的真理只是等待着被发现而不是被发明。(下面是Eduardo的演讲视频,英文中字,地址 https://v.qq.com/x/page/l0186pbi37v.html) 

 

 

 

 

在数学哲学观的领域里有两个做出过重要贡献的人。第一个是德国数学家大卫·希尔伯特(下图),希尔伯特纲领的提出者,他主张所有的数学都可以用公理化的形式表示,并在这样的形式下给予证明,他能够通过有限的步骤给出古典数学问题的一个证明。希尔伯特坚信理论可以在不需要直觉的情况下得到发展并且产生一系列的规则和公理,这些规则和公理是相容的,所以人们不能同时证明出一个断言既是对的又是错的。像Eduardo一样,希尔伯特坚信数学的能力是无限的。

 

 

然而,希尔伯特的研究却给库尔德·哥德尔(下图)的研究以及他的不完备性定理带来了灵感。哥德尔证明了希尔伯特的关于生成公理的步骤的认知是不成立的,总会有一些猜想的证明实际上并不存在。哥德尔第一不完备性定理证明了数学理论不能被明确的统一起来并鉴别真伪,甚至看似最完美的基础理论都会含有有关自然数的不能被证明的断言。但是,我们要知道哥德尔从来没想过要推翻希尔伯特纲领,而仅仅是想要提供一个新的观点,这一点很重要。

 

 

所以这使得数学界仍然保持一定的开放性,以供人们去探索数学是否真的是无关人类的认知水平就已被创造好或永恒存在。如果一棵树在一片无人的森林中倒下,那它还会产生声音吗?如果有个猜想没人能证明,那这个猜想所对应的定理仍然存在吗?像许多学派的思想一样,这里存在着模糊性和不确定性。作为数学界的一名个体,我们有义务深入研究各种认知和观点,并得出我们自己的结论。不过我们可以肯定的是,直觉和创造力在数学中绝对是不可或缺的。

 

 

 

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数学带来世界末日?

 

原文作者:基斯·德夫林,斯坦福大学数学教授,数学科普作家。

翻译作者:xyz哆嗒数学网翻译组成员,就读于华东师范大学数学系。

 

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由阿莱克斯·吉布内撰写和执导的新记录片《零日》(ZERO DAYS)无疑是本世纪最重要的电影。它同时与数学高度相关,因为这部电影的重点在于数学使我们可以通过一些算法就可以在几周内终结所有人的生命。

 

 

    理论上,我们在上世纪90年代中期就已经知道这些。然而,这部电影已经清晰地告诉我们,这一切已经不再是假设。我们已经可以做到这些了。

 

 

    这部电影表面上是关于计算机病毒“震网”的创造和分布,该病毒在2011导致了许多伊朗核计划中离心机的自毁。事实上,这也正是电影前四分之三部分的主题。

 

大部分被表述的内容都会被那些理解了这个迷人的故事的人所熟知,因为它是由一些与商业网络安全组织的调查记者揭露出来的。然而,在这件事情的处理上,让我感到有些奇怪的是,美国情报部门似乎已经和电影制作人合作,基本上承认了镜头中描述的“震网”是美国和以色列的联合项目,正如被外界广泛猜测却并未得到证实的那样。

 

 

    电影的最后20分钟揭示了这种意料之外的坦白的原因。在发现用一小段计算机代码建造末日武器是真实可能的之后,一些现代网络战的核心参与者意识到在世界范围内引起对当前形势的警醒迫在眉睫,并希望可以在如何处理这一情况的问题上达成全球的协定。正如一位高排位的贡献者所说,对全球核战可能导致人灭绝的认识导致了一个不安定,却稳固的制衡的建立,这一平衡从上世纪50年代持续至今。这位贡献者表示,我们需要对网络战做的事。

 

 

    在过去几千年中,数学一直是战争的主角。这一关系至少可以追溯到阿基米德公元在前250年所设计的用于与罗马作战的武器。

 

在上世纪40年代,当数学家与物理学家合作研发核武器时,数学驱动的武器发展达到了令人惊恐的程度。人类第一次拥有了可以灭绝人类的武器。

 

 

    现如今,四分之三个世纪过去,计算机工程师可以用数学建造至少有着相同破坏力的网络战武器。

 

 

    计算机代码如此危险的原因就在于,在当今社会,我们生活中主要依赖的基础建设是建于数学之上的。我们使用的大部分的技术系统和设备的内部是数以千计被称为“可编程逻辑控制器”(Programmable Logic Controllers ,PLC)的固态计算机。这些控制器基于传感器的输入,可以自主决策。

 

 

    “震网”病毒则可以将自身嵌入进控制伊朗离心机的控制器,引起离心机持续加速并超过安全范围,从而导致离心机解体。与此同时,“震网”病毒向在控制室中的工程师发送系统正常的信号。

 

 

    想象一下,现在有许多相似的代码以相同的方式引起关键系统的失效,如:电网系统,交通信号灯系统,供水系统,输气管网系统,医院系统,航线网络系统等。即使是你的汽车——以及其他任何由发动机驱使的车辆——都可能彻底停止工作。可编程逻辑控制器同样在这些设备和网络中起作用。

 

 

    事实上,想象一下,这些破坏可以以这种灾难性且相互联系的方式被施加,并且需要几周的时间才能恢复被破坏的系统。在没有电力、水力、交通与通讯的情况下,几百万人会在短短几天内开始死去,开始是成千上万的飞机,汽车与火车事故,随之而来的就是世界范围内的暴乱。

 

 

    可以肯定的是,现在的情况还未及于此,企图传播病毒的国家在摧毁不同系统的路上所需要克服的困难依然相当大——尽管这些系统的相互依存关系在一定程度上会降低他们的安全系数。另外,当自主的代码被释放出来,这些代码倾向于向多方向传播,就像所有电脑用户迟早会发现的那样。因此,释放病毒的国最终也会毁灭。

 

 但是,“震网”病毒展示出了电影中的场景在不久的将来可能变为现实。如果你可以实现这一切一次,你就可以重复造出这些武器。毕竟,这种武器不过是一种数学结构;一段代码罢了。设计这种武器则是个数学问题。不像核弹,数学家们不需要将他们的结果交给那些大型的资金充足的组织来造出这种武器。他们只需要自己敲击键盘即可。

 

 

这种原动力正是数学的本质,因为我们的祖先在几千年前就开始发展这门学科。我中那些数学专业的人一直知道这一点。看起来,这种力量已经到了新的水平,其可怕程度已经不亚于核弹了,而吉布内的电影的本意就是让更多的观众意识到这种力量。并不是说我们正面临着算法带来的人类的濒临灭绝,而是我们正处于一个数学的新纪元。

 

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小试牛刀:概率论击穿街头高端骗术

 

作者:清华大学数学系 @李逍遥易水寒 


(本文由作者授权哆嗒数学网发布)

 

 

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先来说说事情的起因。前不久,@江宁公安在线 收到微博求助,求助人在街上发现一个小摊玩掷骰子的游戏,规则如下。

 

 

如果看不清,我们把局部放大了看。

 

 

是的,貌似只有一个是罚钱的,其他的都赚钱。好的,从经验来看这一定是个骗术,但是他骗人的机制是怎么样的呢?

 

我们的公安蜀黍当然不能让人民群众失望,一定要给求助者一个完整的分析。于是,做了如下分析:

 

 

然后,蜀黍发现,他分析不下去了,貌似这并不是辣么简单的骗术,似乎骗人的手法还有点高端。于是向广大网友求助。

 

最后,来自清华大学数学系的 @李逍遥易水寒 给出了完整解答。 虽然,从专业数学的眼光上看,是一个简单的概率和数学期望的分析,但是解决的过程缺需要十分细心的操作。其间,还借助了软件辅助解决问题,为广大网友解惑。我们为他的这份工作点赞!

 

@李逍遥易水寒 的解答如下:

 

该游戏的26个数字布局是经过精心设计的,从而保证了利益的最大化。同时这种离散型分布而且是不具备统一的函数表达式的离散型分布,所以我们只能采用穷举加编程的方式来解决这个问题。下面的概率结果涉及到了很多细节,如果其中一个细节出错,那么最终的结果也一定会南辕北辙。第一个细节是“先交2元,然后选定方向,然后再掷骰子”。所有参与的玩家都是不清楚选顺时针和逆时针的差别,所以他们玩这个游戏的时候选方向是随机的,因此二种方向的概率都是1/2。5个骰子一共会出现6×6×6×6×6 = 7776个结果,其中有重复的情况。为了使具备高中数学水平的同学都能够看懂,本文主要采用最基础的数理方法来求解这个问题。虽然从我的角度来说很繁琐,但是从大家的角度来说将会方差便于理解整个问题,既明白结论,更重要的是能够明白问题推导的过程。

 

1.“中+50元”的概率:

 

(1顺时针掷出5点的概率: 首先选出顺时针方向,概率为1/2;然后5个骰子都必须掷出1点,总和为5 的时候,仅存在一个情况。因此概率为1/2 × 1/7776 = 1/15552

 

(2逆时针掷出30点的概率:首先选出逆时针方向,概率为1/2;然后5个骰子都必须掷出6点,总和为30 的时候,仅存在一个情况。因此概率也是1/2 × 1/7776 = 1/15552

 

(3综上所述, “中50元”的概率为:1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601

 

 

2“中+35元”的概率:

 

与“中+50元”的情况一模一样,只是需要把顺、逆时针方向颠倒一下就可以得到这种情况。因此概率与“中+50元”一样,1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601

 

3.“中+10元”的概率:

 

     (1)顺时针掷出6点的概率:首先选择顺时针方向,概率为1/2;然后掷出6点,这种情况必须要5个骰子其中一个掷出2点,剩下4个掷出1点,总共有C(5,1) = 5(C(n,m)表示n元集中选取m个元素的组合数)个情况。因此概率为1/2 × 5/7776 = 5/7776 ≈ 0.0003215

 

       (2)顺时针掷出19点的概率:首先选择顺时针方向,概率为1/2;然后5个骰子点数相加之和等于19的可能情况的约束条件是:

 

 

需要通过编程来完成,结果是735种,因此概率为:1/2 × 735/7776 = 735/7776 ≈ 0.047325

 

(3)综上所述,“中+10元”的概率为:5/7776 + 735/7776 = 740/7776 ≈ 0.047582

 

4.“中+6元”的概率:

 

先选择逆时针方向,概率为1/2;然后掷出11点,方法同上,约束条件是: ,

 

 

也是需要通过编程来完成,得到的结果是205种,所以“中+6元”的概率为:1/2 × 205/7776 = 205/15552 ≈ 0.013181

 

5.“中+5元”的概率和“中-5元”的概率:

 

   这二种情况非常非常复杂。首先它们分别有19种和26种组合,第一步就需要先列举出来这45种组合,因为要根据每一种情况来设定约束条件,而且该游戏的设计没有按照一定的次序来进行,导致无法构造显示函数,毫无疑问又进一步加大了问题的难度。这45种组合全部计算出来之后编写程序,其中的这样才能得到“中+5元”的概率和“中-5元”的概率的准确解,没有误差的那种。下图给出的就是所有结果的概率分布,如果想要准确计算“中+5元”的概率和“中-5元”的概率,只需要将对应的情况列举出来然后累加求和即可。

 

5个骰子之和

对应的概率(准确值以及近似值)

5

1/7776≈0.000128601

6

5/7776≈0.000643004

7

15/7776≈0.001929012

8

35/7776≈0.004501029

9

70/7776≈0.009002058

10

126/7776≈0.016203704

11

205/7776≈0.026363169

12

305/7776≈0.039223251

13

420/7776≈0.054012346

14

540/7776≈0.069444444

15

651/7776≈0.083719136

16

735/7776≈0.094521605

17

780/7776≈0.100308642

18

780/7776≈0.100308642

19

735/7776≈0.094521605

20

651/7776≈0.083719136

21

540/7776≈0.069444444

22

420/7776≈0.054012346

23

305/7776≈0.039223251

24

205/7776≈0.026363169

25

126/7776≈0.016203704

26

70/7776≈0.009002058

27

35/7776≈0.004501029

28

15/7776≈0.001929012

29

5/7776≈0.000643004

30

1/7776≈0.000128601

 

 

“中+5元”的概率:

 

共有19种组合,分别是“逆7、顺8、顺9、··· 、顺28、逆29”,其概率为1/2  × ( 15 + 35 + 70 + 126 + 305 + 420 + 651 + 735 + 780 ×2 + 651 + 540 + 420 + 305 + 205 + 126 + 70 + 15 + 5 )/7776 = 6254/15552 ≈ 0.402135

 

 

 “中-5元”的概率:

 

总概率减去以上的所有概率得到1 – 7203/15552 = 8349/15552 ≈ 0.536844

 

 

同时我们也可以考虑采用蒙特卡洛模拟,需要编写模拟这个游戏程序去仿造这个游戏的过程(代码工作量依然不小,但是只需要将代码调试好,之后就不需要人工了),然后设定Xi = 5, 6, …, 30 , Xi的取值共有26种,这26个取值并不是均匀分布,而是呈“离散正态分布”,需要精确地算出来这26个取值的对应概率(上图已经给出了)。利用设计的蒙特卡洛算法进行模拟,比如说令i为10的9次方,也就是一亿次,虽然运算时间有点长,但是这样可以保证得到的概率值能足够精确到到你想要的任意小数点位数,结果与上述方法得到的精确值非常接近。

 

 

最后,我们给出顾客每参加一次这样的游戏所获得的期望收益值:

 

EX = 48 × 2/15552 + 33 × 2/15552 + 8 × 740/15552 + 4 × 205/15552 + 3× 6254/15552 + (-7) × 8349/15552 = - 32779/15552 ≈ -2.107703

 

意思就是当参与这个游戏顾客的数量足够多的时候,每做成一笔生意,这个老板都是净赚2.1元,次数越多,他每一笔生意的平均收入值无限接近于2.1元,同样的,顾客参与次数越多,每次都是亏损2.1元,次数愈多,每次游戏亏损的平均值无限接近于2.1元。

 

总结:

1、如果你想以2块钱来博取50块钱的奖金,那么要提醒你的是你梦想成真的概率只有0.0001,也就是万分之一的概率。

 

2、如果你不灰心,不想拿50块钱的奖金,只想拿35块钱的奖金,很遗憾,你此刻梦想成真的概率依然是万分之一。

 

3、如果你还不灰心,只想博取5块钱的奖金,然后去买个烤串,你的想法变为现实的概率是0.4,听起来还不错对吧。对不起,还有下面一种情况。

 

4、在这个游戏里面还有罚款的选项。你付2块钱有高达0.54的概率转到“-5块钱”这个选项。因此你有超过一半的概率每参与一次游戏都会输7块钱(2块钱的参与费加5块钱的罚金)的可能性。

 

5、综上所述,各种情况下既有赢钱也有输钱,那么通过求数学期望得到你每参加一次游戏在数学概率上都会输2.1元,参与的次数越多,你每次输钱的平均值也就无限接近于2.1元。

 

所以,还是老实去搬砖别想这些旁门左道了。

 

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阿蒂亚的奇思妙想王国

 

原文作者:Siobhan Roberts,专注于数学与科学的记者。

编译作者:Mathyrl 哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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尽管迈克尔·阿蒂亚(Michael Atiyah)的许多荣誉 ——他是菲尔兹奖和阿贝尔数学奖得主; 世界上最古老的科学团体伦敦皇家学会的前任主席(以及爱丁堡皇家学会的前任主席);剑桥大学三一学院的前主任; 爵士和皇家勋章的成员;并且基本上是英国的数学教皇 --- 但也许对他最贴切的描述是一个媒人。他有一种直觉来安排恰当的知识联络,通常涉及他自己和他个人的想法。在他半个世纪多的职业生涯中,他弥合了数学领域以及数学和物理中截然不同的想法之间的鸿沟。

 

 

例如,2013年春天的一天,当他坐在白金汉宫的女王画廊,等待与伊丽莎白二世参加年度皇家勋章午宴,阿蒂亚爵士为他的终生的朋友和同事、伟大的数学物理学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)爵士做了一次“媒”。

 

彭罗斯一直在试图发展他的“扭量”理论,一条已经进行了近50年的指向量子引力的道路。 “我有一种办法,这意味着走向无穷,”彭罗斯说,“先试图在那里解决问题,然后再回来。”他认为一定有一个更简单的方法。然后,阿蒂亚马上指出了它,建议彭罗斯使用一种“非交换代数”。

 

 “我想,‘哦,我的上帝,’”彭罗斯说。 “因为我知道这个非交换代数在这里一直在扭量理论里面。但我没有想到以这种特殊的方式使用它。有些人可能刚刚说,‘那样做不行的’,但是阿蒂亚可以立即看到,你可以用一种方法使它工作,那正是正确的做法。”考虑到阿蒂亚提出建议的地点,彭罗斯称他的改进的想法“宫殿般的扭量理论”。

 

 

这就是阿蒂亚的力量。大致来说,他花了他的职业生涯的前半部分将数学连接到数学,后半部分将数学连接到物理。

 

阿蒂亚最为人所知的是“指标定理”,于1963年和麻省理工学院的艾沙道尔·辛格(Isadore Singer)(正确地称为阿蒂亚-辛格指标定理)证出,该定理连接分析和拓扑 --- 这是一个被证明在数学领域以及后来的物理学中都很重要的基本联系。很大程度上由于这项工作,阿蒂亚获得了1966年的菲尔兹奖和2004年的阿贝尔奖(与辛格)。

 

 

在20世纪80年代,从指标定理中收集的方法意外地在弦理论的发展中发挥了作用 --- 试图将大尺度下适用的广义相对论和引力与小尺度下的量子力学相协调 --- 特别是在新泽西州普林斯顿高级研究所的弦理论家爱德华·威腾(Edward Witten)的工作中。威腾和阿蒂亚开始了深入合作,并在1990年威腾获得了菲尔兹奖,他是有史以来唯一获得该奖的物理学家,阿蒂亚是他的拥护者。

 

现在,86岁的阿蒂亚几乎没有降低标准。他仍然在研究大问题,仍然在试图统一量子和引力。在这方面,想法快速而激烈地到来,但正如阿蒂亚自己所描述的,它们仍然是直观、富有想象力、模糊和笨拙的原料。

 

尽管如此,他还是喜欢这种自由流动的创造力的状态,紧凑的时间表给他增添活力。在追求这些当前的调查和思考的过程中,去年12月,他在爱丁堡大学同一天里连续发表了多场的讲座,自1997年以来,他一直是爱丁堡大学的名誉教授。他热衷于分享他的新想法,他希望吸引支持者。为此,在11月,他在爱丁堡皇家学会举办了一个关于“美丽科学”的会议。在皇家学会集会和随后,每当他放慢下来有充分的时间,Quanta杂志就和阿蒂亚坐下来向他提问。以下是这些能抓多少就抓多少的对话的编辑版本。

 

QUANTA杂志:你对美和科学的兴趣的起点在哪里?

 

阿蒂亚:我出生86年前。那是我的兴趣开始。我母亲在佛罗伦萨怀上了我。我的父母要给我取名叫米开朗基罗,但有人说:“这对于一个小男孩来说是一个很大的名字。”这将是一场灾难。我不能画画。我根本没有天赋。

 

你提到了在罗杰·彭罗斯的“艺术在数学中的作用”的演讲中有什么东西“豁然开朗”了,你现在有了一个合作论文的想法。这个豁然开朗的过程或状态 --- 你能描述一下吗?

 

是这样一种东西:一旦你看到它,真相或真实性,它只是盯着你的脸。真相回过头来看你。你不必去找它。它在上面闪耀。

 

一般你的想法就是这样到来吗?

 

这是一个引人入胜的版本。数学的疯狂部分是当一个想法出现在你的脑海的时候。通常当你睡着了,因为这是你最无拘无束的时候。这个想法从某处浮起,天知道在哪里。它漂浮在天空中;你看看它,并欣赏它的颜色。它只是在那里。然后在某个阶段,当你试图冻住它,想要把它放在一个坚实的框架,或使它面对现实,然后它就消失掉,它不见了。但它被一个结构所取代,结构捕捉了某些方面,但这是一个笨拙的解释。

 

你总是做数学方面的梦吗?

 

我想是这样。梦想发生在白天,它们发生在夜间。你可以称它们是一个幻象或直觉。但基本上它们是一个思想状态 --- 没有词,没有图片,没有公式或语句。它是“先于”所有这些。它先于柏拉图。这是一个非常原始的感觉。再次,如果你试图抓住它,它就会死去。所以,当你早晨醒来时,一些模糊的残留物萦绕着,一个想法的幽灵。你试着想起它是什么,你只能得到一半正确的它,也许这是你能做到最好的了。

 

想象力是它的一部分吗?

 

绝对是的。在想象中进行时间旅行是易如反掌的 --- 你甚至不需要买票。人们回到过去,想象他们是大爆炸的一部分,然后他们问之前提出的问题。

 

是什么引导想象力 ——是美吗?

 

这不是你可以说明的那种美丽 --- 它是一个更抽象意义上的美。

 

不久之前,你与 泽米儿·泽基(Semir Zeki),伦敦大学学院的神经生物学家和其他合作者发表了一篇关于数学美及其神经相关的体验的研究。

 

这是我写过的最多人读的文章!很久以前人们就知道,当你听到好的音乐,阅读好的诗歌,或看到好的图片时,大脑的某些部分会亮起来 --- 所有这些反应都发生在同一个地方(“情感大脑”,特别是内侧眶额叶皮层)。问题是:数学美的欣赏是一样的还是不同的?结论是,它是一样的。大脑在音乐,艺术和诗歌中欣赏美的相同部位也参与数学美的欣赏。这是一个大的发现。

 

你通过向数学家展示各种方程,同时功能性磁共振成像(fMRI)记录他们的反应得到这个结论。哪个方程最漂亮?

 

啊,最漂亮的是欧拉公式:

 

 

它涉及π;数学常数e [欧拉数,2.71828 ...]; i,虚数单位;1;和0  —— 它在一个公式中结合了数学里所有最重要的东西,这个公式真的很深刻。所以大家都同意这是最美丽的方程。我曾经说过,这是哈姆雷特的名句“生存还是毁灭”(To be, or not to be)的数学等价 ——非常短,非常简洁,但同时非常深刻。欧拉方程只使用五个符号,但它也包含了美妙的深刻的想法,简洁是美丽的重要组成部分。

 

你因两个极其漂亮的工作而非常知名,不仅是指标定理,还有与德国拓扑学家弗里德里希·希策布鲁赫(Friedrich Hirzebruch)发展的K理论。跟我讲讲K理论。

 

标定理和K理论实际上是同一枚硬币的两面。它们开始不同,但之后它们变得如此地融合在一起以至于你不能解开它们。它们都与物理学有关,但是以不同的方式。

 

K理论是对平坦空间和平坦空间移动的研究。例如,让我们拿一个球体,地球,让我们拿一本大书,把它放在地球上并移动它。这是一个平坦的几何体在一个弯曲的几何体上移动。 K理论研究这种情况的所有方面 --- 拓扑和几何。它源于我们对地球的导航。

 

我们用来探索地球的地图也可以用来探索大规模的宇宙,用火箭射出到太空,和小规模的宇宙,研究原子和分子。我现在正在做的是试图统一所有这一切,而K理论是做到这一点的自然的方式。我们已经做了这种类型的地图数百年,我们可能会一直做数千年。

 

你对于K理论和指标定理在物理学中被证明是重要的感到意外吗?

 

噢,是的。我做了所有这些几何,没有任何它将链接到物理的想法。当人们说,“嗯,你所做的与物理学联系起来了。”这是一个大大的意外。所以我快速学习物理学,与好的物理学家交谈,以了解发生了什么。

 

你和威腾的合作是怎么产生的?

 

我在1977年在波士顿认识他,当时我对物理和数学之间的联系感兴趣。我参加了一次会议,有这个年轻的小伙子和老家伙们。我们开始说话,几分钟后,我意识到,年轻的小伙子比老家伙们更聪明。他理解我所说的所有数学,所以我开始注意他。那是威腾。我从那时起就一直和他保持联系。

 

和他一起工作是什么体验?

 

2001年,他邀请我去加州理工学院,在那里他是一位客座教授。我感觉像是再次成为一个研究生。每天早上我都会走进系里,我去会见威腾,我们会聊一个小时左右。他会给我做家庭作业。我会走开,花23个小时来赶上。同时,他会下去做半打其他的事情。我们有一个非常激烈的合作。这是一个令人难以置信的经验,因为这像和一个高明的导师一起工作。我的意思是,在我想到答案之前,他已经知道所有的答案。如果我们曾经有过争论,那么他是对的而我错了。真是尴尬!

 

你之前说过,在数学和物理之间偶尔出现的意想不到的互连是最吸引你的 --- 你喜欢发现自己闯入陌生的领域。

 

对的; 嗯,你看,很多数学是可预测的。有人向你展示如何解决一个问题,你再次做同样的事情。每次你向前迈进一步,你都会遵循前面那个人的步骤。每一次,有人提出了一个全新的想法,惊动了大家。刚开始,人们不相信它,然后当他们相信它,它导致一个全新的方向。数学之道是断断续续的。它有持续的发展,然后当突然有人有一个新的想法,它有不连续的跳跃。这些是真正重要的想法。当你得到它们,它们有重大的影响。我们还会有另一个跳跃。爱因斯坦100年前有一个好主意,我们需要另一个来带我们前进。

 

但是该方法不能只有引导性,还必须更具有研究性。如果你试图引导科学,你只能让人们走你告诉他们去的方向。所有的科学都来自人们注意到有趣的侧面路径。你必须有一个非常灵活的探索方法,让不同的人来尝试不同的事情。这是很困难的,因为除非你随大流,否则你不能得到一份工作。

 

由于担心前程,你必须守规矩。这是现代科学最糟糕的事情。幸运的是,当你达到我的年龄,你不需要管这一点。我可以想说就说。

 

这些天,你正在尝试一些新的想法,希望打破物理学的僵局?

 

嗯,你看,原子物理——电子,质子和中子,所有构成原子的东西。在这些非常非常非常小的尺度上,物理学的规律是相同的,但也有一个你忽略的力,这是一个引力。重力存在于任何地方,因为它来自宇宙的整个质量。它不会自己消失,它没有正值或负值,它都叠加起来。因此,不管黑洞和星系有多远,它们在宇宙中的任何地方都施加了非常小的力,即使在电子或质子中也是如此。但物理学家说,“啊,是的,但它是那么小,你可以忽略它;我们不测量那么小的东西,没有它我们也做得很好。”我的出发点是,这是一个错误。如果你纠正这个错误,你会得到一个更好的理论。

 

我现在再看一下大约100年前的一些想法,当时被丢弃了,因为人们不能理解它们。物质如何与重力相互作用?爱因斯坦的理论是,如果你放入一点物质,它改变了空间的曲率。当空间的曲率变化时,它对物质起作用。这是一个非常复杂的反馈机制。

 

我要回到爱因斯坦和保罗·狄拉克,用新的视点再次看着他们,我想我看到了人们错过的事情。我正在填补历史的空白,考虑到新的发现。考古学家挖掘东西,或历史学家找到一个新的手稿,并提供了一个全新的思想。这就是我一直在做的。不是去图书馆,而是坐在我家里的房间里,思考。如果你思考了足够长时间,你会得到一个好主意。

 

所以你的意思是引力不能忽略?

 

我认为物理学家所有的困难来自于忽略它。你不应该忽略它。关键是,我相信,如果你引入它,数学会得到简化。如果你离开它,你使自己更困难。

 

大多数人会说,当你看原子物理时,你不需要担心引力。规模很小,对于我们所做的计算,它可以忽略。在某种意义上,如果你只是想要答案,这是正确的。但是如果你想要理解,那么在这个选择中你犯了一个错误。

 

如果我错了,好吧,我犯了一个错误。但我不这么认为。因为一旦你选择这个想法,有各种各样的好的结果。数学融合在一起。物理学融合在一起。哲学融合在一起。

 

威腾对你的新想法怎么看?

 

好吧,这是一个挑战。因为在过去当我和他谈到我的一些想法时,他认为它们没有希望,他给了我10个不同的理由为什么它们是无望的。现在我想我可以捍卫我的想法。我花了很多时间思考,从不同的角度来看,并回到它。我希望我能说服他,我的新方法是有价值的。

 

你冒着损失声誉的风险,但你认为这是值得的。

 

我是作为一个数学家建立的声誉。如果我现在把事情弄糟,人们会说,“好吧,他是一个好的数学家,但在他的生命的尽头,他失去了他的骄傲。

 

我的一个朋友,约翰·鲍金霍恩(John Polkinghorne),就像我正在做的一样离开物理; 他进了教堂,成了一个神学家。在我80岁生日我们进行了讨论,他对我说,“你没有什么可失去的; 你只管前进,按你的想法去思考。”这就是我一直在做的。我拿到了我想要的所有奖牌。我能失去什么?所以这就是为什么我准备赌一把,这是一个年轻的研究员不会准备做的。

 

你在这个职业生涯的这个阶段对充满新想法感到惊讶吗?

 

我的一个儿子对我说,“不可能,爸爸。数学家在他们40岁的时候做完他们所有最好的工作。你年过80. 现在你不可能有什么好想法。

 

如果你在80岁以上的时候仍然保持清醒和警觉,你就有了优势:你已经活了很长时间,你已经看到很多事情,你有视角。我现在是86岁,在过去几年里,我有了这些想法。新的想法来了,你东一个西一个地捡起来,现在时机成熟了,而5年或10年前时机可能还没成熟。

 

是否有一个大问题一直在引导着你?

 

我总是想尝试理解为什么事情行得通。我不想只知道一个公式而不知道它是什么意思。我总是试图挖掘背后的东西,所以如果我有一个公式,我明白为什么它在那里。而理解本身是一个非常困难的事情。

 

人们认为数学开始于你写下一个定理,然后给出一个证明。这不是开始,而是结束。对我来说,数学创造性的地方,在你开始把事情写在纸上之前,在你尝试写一个公式之前。你画各种东西,你在你的头脑把它们翻转。你正在试图创建,就像一个音乐家试图创造音乐,或一个诗人。没有规定。你必须以你自己的方式做。但最后,就像一个作曲家必须把它放在纸上,你必须把东西写下来。但最重要的阶段是理解。证明本身并不能让你理解。你可以有一个很长的证明,最后不知道为什么它行得通。但要了解为什么它行得通,你必须对它有一种直觉反应。你必须感觉到它。

 

 

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月光女侠拨弦机

 

作者 Natalie Wolchover, 2016年8月4日发表


译者 林开亮, 2016年12月6日译 

 

(本文由译者授权哆嗒数学网发布,我们欢迎转载)

 

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译者按:原文标题“Moonshine Master Toys With String Theory”,译自https://www.quantamagazine.org/20160804-miranda-cheng-moonshine-string-theory/

本文译出当天,我曾将译稿与原文一并转呈杨振宁先生(他一直关心年轻的华裔科学家),次日收到杨先生的回复如下:

She is evidently a very interesting person. Do you know more about her background?    How did you get a copy of the quanta interview?


很遗憾,对这位女侠,我所知的,也仅仅限于Wikipedia提供的材料。读者中如有知情者,请能告诉我更多的情报,我对程之宁当然也很想了解更多。

 

 

物理——数学家程之宁(Miranda Chih‐Ning Cheng)正在努力研究以驾驭存在于弦论、代数和数论之间的一个奇妙联系。
 

http://duodaa.com/blog/usr/uploads/2016/12/53089372.jpg
程之宁照片,由荷兰女摄影师Ilvy Njiokiktjien 为《量子杂志》提供

 

2010年,位于冰岛南部的艾雅法拉火山爆发之后,程之宁因为 航班取消而滞留在巴黎。程之宁当时是 哈佛大学的博士后,研究弦论。在等待烟消云散之际, 她开始思考不久前挂在网上的一篇论文,该论文的三位作者(见大栗博司等人的文章“Notes on the K3 Surface and the Mathieu group M24”)指出了联系极遥远的一些数学对象之间的一个数值上的巧合。 “我仿佛沐浴在另一种月光里”,程回忆当时的思考说, “它可能是另一种月光吗?”

 

她恰好读过一本关于“魔幻月光(monstrous moonshine)”的书, 这是一种数学结构,其存在的最初迹象, 也仅仅是一种类似的数字上的巧合:1970年代末,数学家 John Mckay 注意到一个称之为  j-函数的第一重要系数 196884 恰好是 1 与 196883 之和,这两个数是一个称为魔群(monster group)可以表示的空间的 头两个维数。到 1992 年,研究者已经追踪到这个朦胧(因此比喻为“月光”)的对应的 一个不大可能的源头:弦论。弦论是一个备选的基本物理理论,它将 基本粒子投像为(cast as)小的振动弦。在一个特殊的弦论模型中, j-函数描述了 弦的振动,而魔群则俘获了这些弦所活动的时空网的对称。

 

程之宁说,在艾雅法拉火山爆发之前,这都是“陈芝麻烂谷子”了—— 对物理学家来说,只是一个已经休眠的数学火山。 作为魔幻月光之根基的弦论模型,跟现实世界的粒子或时空的几何完全不沾边。 但程之宁说,新的月光——如果真的有——也许不一样。它涉及到 K3曲面——她和许多弦论专家作为现实时空的一个玩具模型来研究的几何对象。

 

在她从巴黎启航回家之前,程之宁已经找到了新的月光存在的更多证据。 她与合作者 John Duncan 和 Jeff Harvey 逐渐梳理出不止一个而是23个新月光 的证据,这些新月光是一种数学结构,在对称群与数论中称为仿模形式(mock modular forms, 包含j-函数为特例)的基本对象之间 架起了桥梁。这23个月光的存在性,被作为“伴影月光猜想(Umbral Moonshine Conjecture)”在2012年正式提出, 去年被 Duncan 及其合作者证明。

 

与此同时,37岁的程之宁,也在追踪作为23个月光之基础的 K3 弦论—— 这是弦论的一个特殊版本,其中时空具有一个 K3 曲面的几何。她和其他弦论学者 希望能够用伴影月光的数学思想来详细研究 K3 模型的性质。这反过来可以成为 理解那些无法直接探测的现实世界——比如,黑洞内部——的有力工具。阿姆斯特丹大学 的助理教授程之宁,在 法国国家科研中心休假期间,跟 《量子杂志》(Quanta Magazine)谈论起月光的神秘,她对弦论的期望, 并分享了她那传奇的人生轨迹:从台湾的一个朋客摇滚乐(punk‐rock)高中辍学, 而最终成为一个探究数学与物理最深奥的思想的研究者。 访谈内容如下:

 



拨云现月的“月光女侠”程之宁,由荷兰女摄影师Ilvy Njiokiktjien 为《量子杂志》提供

 

 

《量子杂志》:您研究所谓 K3 曲面上的弦论。它们是什么,为什么重要?

程之宁:弦论学家说,时空一共10维。既然我们只能感知4维, 其它6维必定卷曲或“紧化”得很小以至于看不到,就像一根非常细的电线的周环一样。 而额外的维数如何紧化的可能性太多了——比方说,大概有10的500次方种可能, 因此,几何不可能断定哪一种紧化比其余的紧化能更好地描述现实。 我们也不可能逐一研究所有可能模型的物理性质。 因此,你会代之以考察一个玩具模型。如果你喜欢精确结果而不是 近似结果,如我的情况那样,那么你通常最终会考虑一个K3 紧化, 它是介于太简单与太复杂之间的紧化。 它也俘获了 Calabi‐Yau 流形(研究得最多的一类紧化) 以及基于 Calabi‐Yau 流形紧化的弦论的一些关键性质。 K3 还有一个好处,你通常可以对它做直接的精确计算。

 

《量子杂志》: K3 实际上看起来像什么?

程之宁:你可以先设想一个平坦的环面,然后将它折叠, 于是将会产生不平的边边角角。数学家有办法将它磨平,其结果就是一个 光滑的 K3 曲面。

 

《量子杂志》:因此你可以探明在这个框架下的物理学, 弦在这个时空几何中游走?

程之宁:是的,在我的博士论文中,我探究了这个理论下的黑洞的性态。 一旦你有了卷曲的与K3相关的 Calabi‐Yau 流形,就可以形成黑洞。 那么,这些黑洞的性态如何——尤其是它们的量子性质如何?

 

《量子杂志》:那就是说,您可以试图解决信息悖论这个悬疑已久的谜题—— 当量子信息跌入黑洞中将会发生什么?

程之宁:当然。你可以探讨各种类型的黑洞—— 如现实的天体物理黑洞或来自弦论的超对称黑洞——的信息悖论和性质。 研究第二种黑洞将会给你的现实问题投来一线光明, 因为它们共享同样的悖论。 这就是理解 K3 下的弦论以及那一紧化下出现的黑洞 也可以给 其它问题的研究带来曙光的原因所在。至少,这是一个期望, 而且我认为这是一个合乎情理的期望。

 

《量子杂志》:您是否认为弦论确实描述了现实,或者 您只是为了它本身而纯粹研究的东西?

程之宁:就我个人而言,我一直把现实世界放在脑后—— 不过,真的真的非常靠后了。 我利用它作为决定研究前进的大致方向的一种灵感。 但我日常的研究并不是以解决现实世界的难题为目标。 在基本高能物理中,需要新的思想, 但很难说这些思想会来自何处。 理解弦论的基本、根本结构, 是必要和有益的。你必须从那些你可以计算东西的地方起步, 那通常会将你引向非常数学化的角落。 理解现实世界所付出的代价可能是长期的, 但在这一阶段是必要的。

 

《量子杂志》:对物理和数学,你是否一直有诀窍?

程之宁:儿时在台湾,我更喜欢文学,那是我最热衷的。 在我12岁左右时,我被音乐吸引,流行音乐、摇滚(rock)和朋克(punk)。 我一直很擅长数学和物理,但并非真正感兴趣。 我总觉得中小学对我是一种煎熬,总是想方设法逃学。 我试图跟老师打赌我没有必要去听课。 或者当我完全没病的时候我会请上几个月的病假。 又或者我在这里那里跳一级。 我想,我只是不知道如何对付当局。

大概是教学内容太简单了。我跳了两级,但那没有用。他们把我弄到一个特殊班, 结果更糟,因为班上的每个人都非常争强好胜, 而我恰好完全无法应对这种竞争。最终我 超级沮丧,我决定要么自我了断要么辍学。 于是,在16岁时,我辍学了, 并且离开了家,因为我坚信父母会逼迫我重回学校, 而我是坚决不肯的。 因此我开始在一家音像店工作,那时我也在一个 乐队演出,我喜欢这个乐队。

 

《量子杂志》:您如何从那里走向弦论的?

程之宁:长话短说,我有点受挫或厌烦。我想做点音乐之外的事情。 因此我试图回到大学,但有一个问题,我高中没有毕业。但在我辍学之前, 我在一个特殊班中,班里的每一个孩子都擅长理科。 因此我可以通过他们进入大学。 所以我想,没问题,太好了,我进入大学后先修物理或数学, 然后转到文学。因此,我进入了物理系,跟它有了断断续续的关系, 常常去上课,然后试着学习文学,同时也在乐队演奏。 后来我意识到,自己并非那么擅长文学。同时,有一个非常优秀的教师讲 量子力学。我只去听过他的一堂课后,就想,这实在太酷了。 我开始投入了稍微多一点的精力到数学和物理的学习, 我开始从中找到平和。那就是数学和物理开始吸引我的所在, 因为我在乐队玩音乐的另一半生活不知怎的有点混沌。 音乐汲取了你许多情感。你总是与人在一起工作, 音乐关于关心生活、关心情感——你必须把你自己的 许多奉献给它。而数学与物理似乎具有这种平和安静的美。 这是一个宁静的世界。

后来在大学快毕业时,我想,好了,让我再学一年物理, 然后此生与它了结,就可以自由漂泊我的人生了。因此我决定去荷兰见世面,学物理,而后来我确实也到了那里。

 

《量子杂志》:您在乌特勒支大学诺贝尔物理奖得主 Gerard’t Hooft 指导下 取得硕士学位,而后又在阿姆斯特丹大学做博士。是什么吸引你去那里?

程之宁:跟Gerard’t Hooft做研究当然是一个重要因素。但是, 学习更多的东西也是一个重要因素——这让我认识到 存在如此多有趣的问题。而且那是主要的因素。 对我而言,日常的片段也很重要。 学习的过程、思考的过程,正是优美之所在。 每天你都会遇到一些问题或思考方式, 或这个事实将会引出那个事实——我想,哦, 这真美。Gerard 不是一个弦论学家——但 他对量子引力的正确领域应该是什么非常开明, 因此允许我走别的道路。 我被弦论吸引,是因为它在数学上是严格的,而且很漂亮。

 

《量子杂志》:对于您现在研究的工作, 除了美感之外,您是否为数学与物理之间这些看似遥远的部分之间的联系的神秘性而着迷?

程之宁:神秘的方面联系着我个性中不好的一面,我执迷不悟的一面。 这是我的推动力之一,从普通人的观点来看,我要说这有点负面,尽管从科学家的观点来看并非如此。 但还有一个正面的推动力,就是我真的享受学习不同的东西并感受到自己何等无知。 我享受那种感觉,就像“我对此一无所知,我真的想了解!”所以那就是一个动机—— 待在数学与物理之间的边界地。月光是一个也许需要各种灵感和知识的谜题。 当然,它也需要美——这是一个优美的故事。 难以言说它为什么如此美。它的美,不同于一首歌或一幅画的美。

 

《量子杂志》:差别在哪里?

程之宁:通常来说,一首歌的美,在于它触发了某种情感, 引发你的共鸣。数学上的美不是那样。那种一种更结构化的东西。 它让你感觉到某种永恒得多的东西,并且独立于你而存在。 它让我感受到自己的渺小,我喜欢那种感觉。

 

《量子杂志》:确切地说,月光是什么?

程之宁:一个月光将一个有限对称群的表示关联到一个具有特殊对称性的函数。 这一关联的基础,至少在魔幻月光的情形,是弦论。 弦论有两种几何。一个是“世界面(worldsheet)”的几何。如果你有一条弦—— 本质上是一个圆周——在随时运动,那么你会得到一个圆柱面。这就是为何我们称之为 世界面的几何的原因;这就是弦本身的几何。 如果你弯曲圆柱面并将两端粘帖,就会得到一个环面(轮胎面)。 这个环面的对称会给你j-函数。弦论中的另一个几何是时空本身, 它的对称会给你魔群。

 

《量子杂志》:一旦你们找出了作为23个伴影月光之基础的K3弦论, 这些月光将会让你在K3弦论的研究途径方面有何收获?

程之宁:我们还不清楚,但这是可以期待的猜测: 月光的存在会告诉你,这个理论必定具有一个代数结构(你必须 能够对代数的元素做操作)。如果你考察一个理论,然后问, 在一定能级范围内存在哪种粒子?这个问题就不能穷尽了, 因为随着能级越来越大,问题也没有尽头。 在魔幻月光中,这彰显在这一事实中, 你观察j-函数,它有无穷多项, 那无穷多项基本上表征了粒子的能级。 但我们知道,这里潜在着一个代数结构—— 有一个机制将低能态关联到高能态。因此,这个无穷无尽的问题 有一个结构; 它不只是随机的。

正如你可以想到的, 有一个代数结构就可以帮助你 理解,表征这个理论的结构是什么—— 如果你看看低能态,它们就会告诉你高能态的一些信息。 然后,它会给你更多的工具去做计算。 如果你想理解高能级下的一些东西(比如黑洞内部), 那么我有更多的信息可以提供。 我可以用手头的低能数据计算我想了解的高能态的信息。 这就是我们的期望。
伴影月光告诉你,一定存在类似于此的某种结构,尽管我们尚不清楚它是什么。 从更一般的角度理解它,势必要求我们理解这个代数结构。 那将会引出对这个理论的一个深刻得多的理解。那就是我们的期望。

 

相关阅读:

数学家追踪“月光幻影”(Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow)https://www.quantamagazine.org/20150312-mathematicians-chase-moonshines-shadow/


及其中译本http://www.huanqiukexue.com/a/qianyan/tianwen__wuli/2016/0923/26494.html


译者简介:林开亮,先后就读于天津大学和首都师范大学数学专业,现任教于西北农林科技大学。热衷数学科普的翻译与写作,曾主持翻译《当代大数学家画传》和《数学与人类思维》,参与翻译《数学家讲解小学数学》和《数学巨匠》。发表的部分作品可见http://math.sjtu.edu.cn/conference/Bannai/2016/talk.php?20160612A

 

 

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美国数学评选2016公众媒体10大热门数学事件

 

原文发布于美国数学会官网。

编译作者:Mathyrl 哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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近日,美国数学会官网发布一个榜单,点评了2016年在数学界或者社会上产生较大影响的,关于数学或者数学家的10个事件。这些关于数学和数学家的故事,由于出现在许多主流媒体上及其趣味性,从而对数学界和一般公众产生了影响。当然,是站在美国人的角度来点评的。

 

书和电影:《隐藏人物》

Margot Lee Shetterly(左图)的第一本书《隐藏人物》(Hidden Figures)讲述了黑人女性数学家们的故事,1958年,在美国国家航空航天局(NASA)采取措施完全消除种族隔离之前,她们在NASA的任务中做出了重要贡献。Christine Darden,现年73岁,从NASA退休之前成为声震工程研究的领导者。Katherine Johnson,98岁,负责计算水星计划和阿波罗计划的火箭轨迹。这部故事的电影版本,由Taraji P. Henson,Octavia Spencer和Janelle Monáe主演,预计于2017年1月发行。媒体对这本书和即将到来的电影进行了广泛的报道。

(照片:Aran Shetterly,下图)


 

《知无涯者》:关于拉马努金的电影

 

电影《知无涯者》是基于印度数学家拉马努金的生平,这位数学家死于32岁。曾经以扮演《贫民窟的百万富翁》男主角马里克而一炮而红的英籍印度裔演员戴夫·帕特尔饰演数学天才拉马努金,而1991年63届奥斯卡影帝杰瑞米·艾恩斯饰演拉马努金的同事兼支持者——另一位传奇数学家,哈代。 小野健(今年发表了一篇题为《我对Ramanujan的探寻》的自传)和2014年菲尔兹奖得主,印度裔数学家巴尔戈瓦对电影提出了建议。

(照片,从左到右: 小野健,影片副制片人和数学顾问; 杰瑞米·艾恩斯,饰演哈代 ,德维卡·贝斯饰演拉马努金妻子佳纳克伊;戴夫·帕特尔,饰演拉马努金; 巴尔戈瓦,影片副制片人和数学顾问。)

 

(《知无涯者电影海报》,下图)

 

2016 国际数学奥林匹克—— 美国又赢了


美国国际数学奥林匹克(IMO)队连续第二年在IMO中获得第一名。韩国落后美国7分,中国夺得第三。所有六个美国队成员在比赛中全部获得金牌。国家和地方新闻媒体以及社交媒体报道了美国教练Po-Shen Loh(卡内基梅隆大学),以及他对团队,团队的训练和比赛的描述。 (照片,从左到右:Ankan Bhattacharya,Allen Liu,Ashwin Sah,Michael Kural,Yuan Yao,Junyao Peng;由美国数学协会/卡内基梅隆大学提供)Ankan赢得了2016年全美的“谁想要成为数学家”比赛, Ashwin和Michael都是前参赛选手。

 

 

Andrew Hacker以及他的言论——“谁需要数学?”

实质上,Andrew Hacker认为,由于只有5%的人在他们的工作中使用代数或几何学,大多学生不需要学习这些科目。 纽约时报和许多其他出版物报道了他的观点,发表了专栏,并评论了他的书《数学神话和其他STEM妄想》。几个月后,Hacker参加了与James Tanton的辩论,辩论在国家数学博物馆(MoMath)的场所举行,并由纽约客进行报道。

 

安德鲁·怀尔斯获得2016年阿贝尔奖

 

世界各地的媒体,特别是在英国,宣布安德鲁·怀尔斯“由于他通过半稳定椭圆曲线的模猜想的方式对费马大定理的绝妙证明,打开了一个数论新时代”被评为2016年阿贝尔奖获奖者的消息。 美国国家公共电台(NPR)提供了关于怀尔斯的更多传记性细节,包括:“1963年,当他是一个在英格兰剑桥长大的十岁男孩时,怀尔斯在当地图书馆找到一本关于费马大定理的书的副本,怀尔斯回忆说,他对于他作为一个小男孩都可以理解的问题很感兴趣,然而三百年来它仍然没有被解决,‘我知道从那一刻起我永远不会放手,’他说,‘我必须得解决它。’”

(照片,安德鲁·怀尔斯,下图)

 

 

Eugenia Cheng:关于数学和烤馅饼

数学家Eugenia Cheng,目前在芝加哥艺术学院,给艺术学生教数学,广泛地做讲座,同时继续她的研究。她的书《如何烤制π:数学的可食用性探索》于2015年出版,令人感兴趣的是她把数学和烘焙联系起来。她接受纽约时报的采访,并与著名脱口秀主持人史蒂芬·科拜尔出现在晚场秀。Cheng坚持认为,公众的理解 ——数学很难,只有有才华的数学家才能做数学 ——完全错了,相反,她说,数学的存在是为了让生活更顺利,解决那些可以通过应用数学最强大的工具 ——逻辑 ——来解决的问题。”

 

 

诺贝尔物理学奖 ——拓扑学解释

 

诺贝尔物理学奖于2016年10月4日授予戴维·索利斯(华盛顿大学,西雅图),邓肯·霍尔丹(普林斯顿大学)和迈克尔·科斯特利兹(布朗大学)。瑞典皇家科学院的嘉奖包括以下声明:“三个获奖者在物理学中使用拓扑概念对于他们的发现是决定性的。”拓扑学是一个数学分支,描述那些只是逐步变化的属性。使用拓扑作为一种工具,他们能够使专家感到震惊。科学院的发言人,索尔斯·汉森,试图使用肉桂卷来解释拓扑,视频被许多新闻媒体和社交媒体报道。

 

 


数学毁灭性武器

数学家和华尔街前“金融工程师”Cathy O'Neil的书《数学毁灭性武器》,研究了一下她所谓的WMD(数学毁灭性武器) ——模型和算法,它们无意间“把人类的成见,误解和偏见编码进入软件系统,这些软件系统越来越多地管理我们生活。”她的挑衅思想被《发现》节目,美国国家公共电台(NPR)和其他媒体报道。

 

 

球堆积问题

寻找最有效的球堆积是数学家长期以来感兴趣的一个问题。3月,柏林数学学院和柏林洪堡大学的博士后研究员Maryna Viazovska发表了一份证明:在8维空间,E8是球形物体最密堆积。她通过使用模形式的理论来找到8维的“辅助”函数,从而做出了这个证明。辅助函数使数学家能够计算给定维度中允许的最大球体密度。 《Quanta杂志》和《新科学家》报道了这项研究发现,这是数学家非常感兴趣的,并向广泛的读者群体解释了这些概念。

(图片:E8根系统的可视化表示)

 


圆周率节

 

像往常一样,圆周率日引发庆祝活动,竞赛和媒体报道。严肃的一面是,数学家Carlos Castillo-Chavez研究亚利桑那州立大学的流行病,并使用“π”来研究一切循环的东西,如他自己对于循环再发生的流感的研究。而有趣的一面,John Conway,最近说,“‘派’可能是‘无理’的,但免费比萨饼就是一切”他与必胜客合作,编写了三个不同难度的数学问题,为“消费者和数学奇才”提出了独特的挑战。第一个正确解决并提交正确答案的人的奖品是3.14年的免费比萨饼。 美国数学学会(AMS)在普罗维登斯学院举办了一年一度的圆周率节“谁想成为数学家”数学竞赛。

 

 

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数学将被证明是错的,如果这程序停止运行

 

原文作者,Jacob Aron,New Scientist物理科学记者。

译文作者:小王子 哆嗒数学网翻译组成员,就读于山西大学。

 

 

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我们使用了150年之久的现代数学将被证明是错误的——如果这样一个新的计算机程序停止了运行。还好,这不太可能发生。但是,支持它的代码正测试着数学体系的局限。

    这个程序就是一台模拟的图灵机,是由密码破译学家艾伦·图灵发明的数学计算模型。1936年的时候,图灵就指出,任何计算机算法的行为都可以被一台简单的机器模拟出来:一台以不同状态和指令在无限长的带子上读写0,1为工作原理的机器。并且算法越复杂,机器所需要使用的状态就越多。

 

 

    现在,麻省理工学院的Scott AaronsonAdam Yedidia已经制造了三台图灵机,他们与一些深刻的数学问题紧密联系。这些问题包括了已经困扰人们150年之久的黎曼假设的证明,黎曼假设是一个对质数的分布规律的猜想。

    一直以来,图灵机都用于探求类似的难题。这些难题源自于上世纪30年代一系列撼动数学界的带有哲学意味的新发现。首先,库尔特·哥德尔证明了总有一些数学命题既不能被证明是真的,也不能被证明是假的——他们是不可以被判定的。特别地,对于“这句话是假的”这个命题(说谎者悖论),他用了全新的数学视角做出如此解读:一个合乎逻辑但又自相矛盾的脑筋急转弯。

 

 

没有能证明一切的万能公理

 

    哥德尔的理论给自己留了一条退路。如果你改变了建立在证明之上的基本假设——公理,虽然你可以使一个问题变得可判定了,但这样却会让其它的一些问题变得不可判定。换句话说,就是不存在能证明一切的万能公理系统。

 

根据哥德尔的结论,图灵相信一定存在一些在标准公理体系下无法预测其行为的图灵机,含选择公理C的策梅洛-弗兰克尔集合论,或者更接地气些可描述为ZFC,ZFC是绝大部分数学的基础。但是我们根本不知道这些标准公理体系有多复杂。

 

    现在,Yedidia和Aaronson已经创造了一台带有7918个状态、具有这个ZFC属性的图灵机,并把它命名为“Z”。

 

    “我们试图能更具体地描述出在进入不可证明性的‘黑洞’前它需要使用多少个状态。” Aaronson说。

 

    他们在计算机上模拟了Z,理论上Z小得可以被当成一个物理设备建立起来。加利福尼亚大学洛杉矶分校的陶哲轩说:“假设忽略物理的摩擦和能源的消耗,如果当时有人已经开启了这样一个物理设备,那么我们可以相信它将无限运行。”

 

无边无际

 

    Z将在它的7918条指令中永久循环下去,然而如果它最终停止了,就将证明ZFC矛盾。数学家们不必太恐慌,因为只要他们简单地转向一组稍稍强一些的公理集合。这样的公理系统是存在的,并且可以用来验证Z的行为,但是这样做几乎得不到什么收获,因为总有一台图灵机可以超越任何公理。

 

    “我们可以把任何被给定的公理系统想象成一个有特定内存大小和处理能力的计算机。”陶哲轩说,“我们可以转向一台拥有更多内存的计算机,但是,不管计算机有多大的存储空间,仍然存在一些超出它能力的任务,是它无法完成的。”

 

Aaronson和Yedidia已经创造了另外两台机器,这可能给数学家们节约不少的时间。长期以来,有两个著名的数学问题一直被相信是真的,并且也只有当它们被证明是确实假的时候,这两台机器才会停止。它们分别是哥德巴赫猜想和黎曼假设。哥德巴赫猜想指出,每一个大于2的偶数是两个素数之和,黎曼假设认为,所有的素数分布都遵循一定的规律。后者形成了部分现代数论的基础,如果不幸地被推翻了,将会是一个重大的颠覆。

 

现实意义

 

    实际上,他们没有无限期运行他们的图灵机来证明这些问题是错误的打算。“这不是攻克这个问题的有效方式,”来自亚特兰大佐治亚理工学院的Lance Fortnow说。

 

    解释数学问题,图灵机有不同的实际意义:它协助计算了复杂问题的复杂性。如果说Z机器有7918个状态,那哥德巴赫的机器就有4888个状态,而黎曼的是5372个状态,这表明ZFC问题是这三个问题中最复杂的。“这更符合大多数人对不同事物的直观的比较方式。”Aaronson 说。

 

    现在Yedidia 已经将他的将他的代码放到网上,数学家们也争相把这些图灵机的大小缩减至极致。尽管还没有验证,但是在Aaronson 博客下的一位评论者声称他已经创造了一台只需31个状态的哥德巴赫机。

 

Fortnow表示图灵机的实际大小是不影响的。他说,“文章表明我们可以有比ZFC强的而可以很精简的图灵机,但是即使它们变得更精简了,在基础数学的研究上它也不会允许我们有更多的松懈。”

 

    但Aaronson 说进一步地缩减Z将会带来一些有意思的讨论——关于数学底层构建的局限性的——一些哥德尔和图灵希望能知道的事情。“他们也许会说,‘这真是太棒了,但是你可以搞定只需要800个状态的图灵机吗?80个状态的呢?’” Aaronson表示,“我想要知道,是否可以有一台这样的机器,它的行为能独立于ZFC而只有10个状态。”

 

 

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匠人精神:一辈子研究的自行车数学

 

 

此文原载于《自然》网站。

译文作者:radium 哆嗒数学网翻译组成员。

 

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Jim Papadopoulos 花了一辈子的时间琢磨自行车运动中蕴含的数学问题,现在他的工作已经发现了新的苗头。

 

在波士顿马萨诸塞州,七辆自行车倚靠在Jim Papadopoulos地下室的墙上,自行车上的油漆被擦挂过,轮胎也是扁的。作为婚礼礼物的手工框架覆盖着一丝细尘。“在我搬家的时候,我把我大部分作为研究的自行车都扔掉了,”他说。而那些些保留下来的自行车对他来讲都是意义非凡的。“这些都是我过去骑的。”

 

Papadopoulos,62岁,他十分痴迷于自行车,一生中大部分时间都在玩弄自行车,时常忽视掉其他事情。当他还是一个在大学读书的少年时他就参加业余比赛,他深陷于其中的乐趣。每一次在骑自行车时,他都在考虑自行车中蕴含的数学奥秘。其中最主要的是:在踩踏板时,到底是什么看不见的力量使自行车保持平衡?为什么一开始操纵向右转自行车会向左方倾斜以及驶向左方?自行车在前进时是怎样靠自己保持平衡而不依靠骑手?

 

在纽约的一个叫Ithaca的小镇上时,作为一个在康奈尔大学的年轻工程师,他十分痴迷于研究这些问题。但是他并没有发表他的大部分想法,并最终离开了学术界。到20世纪90年代末,他在一家企业操纵机械来制造卫生纸。“最后,如果从来没有人发现你的工作,那它就是毫无意义的”他说。

 

但后来有人发现了他的工作。在2003年,他来自康奈尔的老朋友,也是他的合作者-----工程师Andy Ruina,给他打了一通电话。一个叫Arend Schwab的荷兰科学家来到他的实验室想重新开始他们这个团队关于自行车稳定性的研究。

 

“Jim,你得成为这个团队的一员。”Ruina对他说。

 

两个车轮是合情理的

 

于是这些研究员们一起继续破解一个长达世纪之久的争论:是什么让没有骑手的自行车靠自己保持平衡,并在《皇家学会会议录》和《科学》上发表。他们试图给500亿美元的全球自行车产业——一个比纯数学更加依赖直觉和经验的产业——带来新的科学高度。他们的研究成果可能会刺激一些必要的创新,如帮助设计师去创造一个新一代的踏板和电动车,使其乘坐起来更稳定,更安全。通过洞察自行车的原理也有转移到其它领域的潜力,比如假肢和机器人的研究。

 “每个人都知道如何骑自行车,但几乎没有人知道我们是怎样骑自行车的。”一个在加利福利亚大学研究机械学的工程师Mont Hubbard说道,“纯粹从智力角度来看,自行车的研究是非常有趣的。但它也有实际意义,因为他影响着身边的每一个人。”

那些只会用牛顿运动三大定律来完成项目的工程师的理念是过时的,对于一个机械学家来讲,自行车难题特别有诱惑力。“我们都被困在19世纪,那时数学、物理和工程之间没有任何差异”,Ruina说“自行车仅仅是一个数学问题,只是它碰巧和你见到的某样东西有关而已”。

第一个脚蹬车的专利,也是两轮自行车的前生,要追溯到1818年。自行车的发展在试验和错误中摸索前行,并在二十世纪初便有了它们今天的模样。但是几乎没有人想过它们是怎样工作的以及为什么这样工作。William Rankine,一个苏格兰工程师分析过蒸汽机,在1869年第一个谈论’countersteering’现象,即骑手能通过简单地扭转手柄向右使自行车向左行驶,并让自行车向左倾斜。

倾斜和驾驶之间的联系产生了自行车最奇怪的特征:当自行车滑行时可以靠自己平衡。猛推一个没人骑的自行车时,它会在摇摆中前行,但它通常会恢复它的前进轨迹。在1899年,英国数学家Francis Whipple导出了最早的也是持续时间最长的自行车的数学模型,这个模型可以用来探索自行车的自我稳定的原理。Whipple 模型中的自行车有4个刚体----两个轮子,骑手的车架和前叉——被两个轴和铰链通过重力作用。

在自行车运动轨迹模型中插入一个对特定自行车的度量,就像逐帧放映的动画。一个工程师可以使用一种称为特征值分析的技术来研究自行车的稳定性,因为这可能是一个飞机设计问题。1910年,依靠这样的分析,数学家Felix Klein 和Fritz Noether参照了理论物理学家Arnold Sommerfeld的关于回转效应——车轮利用旋转走势抵抗倾斜——的贡献。把自行车向左推这时快速旋转的前轮将向左转,自行车有可能保持直立。

1970年4月,化学家以及科普作家David Jones在《今日物理》的一篇文章上驳斥了这个理论。他讽刺道,骑在一系列理论上无法驾驶自行车。Jones 建了一辆在前端有一个反向旋转车轮的自行车,可以有效地消除回转效应。但是在行驶中手不受约束这方面还有点疑问。

这一发现促使他寻找另一种可能存在的力。他对比了自行车的前轮和可以随着运动方向移动的商场购物车的脚轮。自行车的前轮可以像脚轮一样,因为车轮与地面之间的接触点,位于操作轴后面5厘米至10厘米之前的任何地方(见《无人自行车保持直立吗?》)。这段距离被称为“前轮尾迹”。Jones发现如果一个自行车有太长的前轮尾迹将稳定到很难前进。然而,如果前轮尾迹是负的,将是一个“死亡陷阱”,他会在你释放手把的时候的一瞬间让你翻跟头。

 

 

当一个自行车开始摇摇欲坠,他推断,脚轮效应使前端在重心下降的情况下转向,从而保持自行车竖直。对于Jones来说,脚轮的前轮尾迹是自行车自我稳定的唯一解释。在他40年后出版的回忆录中,他认为他的这个发现是他的伟大成就之一。“我现在被誉为现代自行车理论之父,”他说。

 

增速转动

 

那篇文章将给一个在Corvallis Oregon的少年Jim Papadopoulos 留下了深刻的印象,他虽然拥有极高的天赋,但他的家庭生活却支离破碎。在1967年,他的父亲Michael,一个来自英国的应用数学家,开始在俄勒冈州立大学工作。但是 Michael Papadopoulos在抗议越南战争后被拒绝继续任期并与该大学进行了长达十年之久的法律纷争,这使他失去工作和家庭,只能在垃圾桶搜寻废料。Jim的母亲在20世纪70年代初自杀了,“就在我睁开眼看世界并决定我是谁时” Papadopoulos 说,“我的家庭就支离破碎了。”

 

他在自行车上找到慰藉。他骑着Peugeot AO8(一款自行车)在城镇中穿梭,头发披在肩上。他没有再上课,成绩也严重下滑。在他17岁时,他辍学,离开家。但是就在他放弃研究时,他的老师给了他Jones的一篇文章。

Papadopoulos发现它十分迷人,但又让人困惑。“我得学习这玩意儿,”他想。他一个夏天都在加利福尼亚州伯克利闲荡,并在空余时间阅读George Arfken的教材《物理学家的数学方法》。然后他在俄勒冈州的Eugene的胶合板厂工作,赚取足够的钱购买传奇的Schwinn Paramount牌自行车去参加每周的比赛。在1973年,他为在英国利物浦的框架制造商Harry Quinn工作,但他干得糟糕,Harry Quinn辞退了他。

Papadopoulos于1975年返回俄勒冈,在州立大学度过了一年,然后在剑桥的麻省理工学院(MIT)开始机械工程本科的学习。他在学校干的很好。石油公司艾克森后来支持他继续在断裂力学上攻读博士学位。Michael Cleary作为Papadopoulos的顾问,认为他很适合做学术。“我认为Jim将会成为一名大学教授-------我们当然希望它会在麻省理工学院”,他告诉来自艾克森公司内部杂志的一位作家。

Papadopoulos 有其他的想法,他一直在学习Whipple模型和Jones的文章。在一个夏天,他在加利福利亚州洛帕克的美国地质调查局实习,也是在那里,他遇到了Andy Ruina。

他们两个很快就成了朋友,当Ruina在康奈尔获得工作时,他聘用Papadopoulos 作为博士后。“我们一直谈论自行车,但我没有意识到关于自行车他想做一件严肃而认真的事情。”Ruina说。

Papadopoulos 使Ruina相信那些自行车公司-----像石油公司-----可能有兴趣支持学术研究。所以他开始筹款,为自行车制造商提供帮助。只要$5,000,他们成为康奈尔自行车研究项目的赞助人,一个雄心勃勃的计划------研究在雨中刹车失灵时的各种形式下车轮的力量——开始滋生。

 

 

 

“每一个人都知道如何骑自行车,但没有人知道我们怎样骑得自行车。”

 

Papadopoulos的第一个目标是彻底明白是什么使一辆自行车比另一辆更稳定。他坐在办公室仔细翻阅了30个发表出来的试图表达自行车运动的等式。但他对这样的“伪科学”表示憎恶,他说:这些等式是如何处理连接自行车车架形状和几何的第一步。但是每一个新的模型对早期的工作很少提及或根本没有提及。许多都充满了错误,并且很难做对比。他需要从头开始。

 

经过一年的工作,他手里有了一个他相信是最终的方程组。现在,是它们该回应他的时候了。“每次我都盯着方程,在那儿坐几个小时,试图弄清它们的含义。”他说。

 

他首先就脚轮尾迹,重新写了自行车方程,这是Jones 所主张的关键变量。他希望发现如果前轮尾迹是负的,自行车将不稳定。但是,他的计算结果则不然。在他当时准备的一份报告中,他简述了一辆异乎寻常的自行车,自行车的重量突出在车把的前面。“一个足够向前的质心可以补偿一个微小的负向的前轮尾迹。”他写到。没有单变量,这似乎可以解释自我稳定。

这个发现意味着这里没有简单的经验法则能保证这样的自行车易于驾驶。对于Papadopoulos来说,前轮尾迹是有用的,回转效应是有用的,质心也应该是有用的,这都是具有启发性的。最早的框架建造者只是偶然发现一个感觉不错的设计,并在自行车蕴含的知识宇宙中只看到了冰山一角。但他们并没有通过测试其中蕴含的几何原理来改变自行车的设计。

 

崩溃

 

两年后,Ruina不再支持Papadopoulos,除了自行车制造商Murray,就仅仅得到了两个人,Dahon和Moulton的唯一的行业捐赠。他们是小轮自行车的制造商-----也许是因为这种自行车非常规的设计让他们难以驾驶。Ruina 开玩笑说他应该改名为“折叠自行车研究项目”。这是绞刑架下的幽默(面临大难时的幽默)。

 

虽然Papadopoulos在自行车研究的数学方面取得进展,他作为第一作者只发表过一篇与该主题相关的论文。“我找到了很多令人愉快的新发现然后成功地发展其中的细节。详细地写出来却很无聊。”他说。没有钱和出版物,他在自行车研究中的时间大大减少了。在1989年,他把他的自行车放在一辆客货车然后向西方行驶到伊利诺伊州,他当时的妻子在那里有一份工作。他忍受了一系列教学和工业界的工作,这些都是他所讨厌的。在他的业余时间,他为自行车科学迷创立并主持了核心自行车科学电子邮箱列表,他也为现实版的电视节目“Junkyard Wars”组建了一辆可容纳几个手提箱的车

 

在2001年,MIT工程师也是第一台现代自行车发明者David Wilson邀请了Papadopoulos 合作了第三版的“自行车科学”。债务和家庭责任使Papadopoulos应接不暇。 他没有把第一章发给 Wilson,也停止了回复电子邮件。 Wilson感觉被背叛了,“他是一个很聪明的家伙,” Wilson说,“但是他总是不能完完整整做完一件事。”Papadopoulos 说,他完整地完成了工作,但他多花费了两年,部分是由于离婚带来的过重的压力。

 

重返自行车研究

 

在康奈尔, Ruina继续前进。他将团队对自行车的见解应用到了一个新的领域:机器人。如果自行车能够在没有控制系统的情况下表现出这种优雅的稳定性,他推断,这有可能设计出一种拆卸式步行机来完成相同的事。在1998年,他与荷兰代尔夫特理工大学Schwab的研究生Martijn Wisse合作,建立了一个双足行走的机器人,可以在没有电机的情况下沿着轻微的斜坡行走,并将能量存储在摇摆臂中。只需添加一些电动机就产生了一个能够在水平地面上行走的节能机器人。

 

在2002年,Schwab决定与 Ruina一起度过他的公休假,他们开始讨论老式自行车的运行。那时 Ruina叫上了Papadopoulos并支付他来访问的费用。“这是我第一次见到这个天才”Schwab 说。

 

 

 

“一旦你有自动自行车,你可以做很多疯狂的实验”

 

随着越来越多的自行车行驶在路上,Schwab难以想象居然没有人发表正确的自行车方程组,或者把方程应用到自行车的设计挑战上。在一年内,他和现在在荷兰的特文特大学的工程师Jaap Meijaard独立得出了他们自己的方程,并发现与Papadopoulos的完全一致。他们在韩国的一个工程会议上提出了这些最佳的方程。四个合作者共同发表了这些公式。

 

现在的挑战是证明它不仅仅是一个数学发现。Schwab和一个学生花了一年的时间制造了一个有着一个极小负向前轮尾迹,能够自我稳定的自行车。看起来像剃须刀,滑板车和跷跷板的后代。他把重心斜置到前轮的前面,然后用一个反向旋转的轮去抵消回转效应。在自行车靠惯性滑行的视频中,你可以看见他倾斜然后猛然转向右,但它又很快自己恢复平衡。实验证明,Papadopoulos对于导致自行车稳定或不稳定因素的解释是正确的。

 

然而,在等待了30年之后,他的发现才引起了大量读者注意。Papadopoulos感到很气馁。“它没有按照我的想象改变任何事”他说。今年的自行车架看起来跟去年没什么两样。“人们仍然因循守旧,”他说。然而,其他的研究人员已经被拉进了该组织的轨道,引起了足够大的势头,使他们得以在2010年发起一个自行车和摩托车动力学会议。来自世界各地的修补匠聚集到一起,其中一些人也建立了形状怪异的自行车用来测试设计原理。

 

今年会议的组织者之一,加利福尼亚大学戴维斯分校的工程师Jason Moore试图探索自行车车架几何形状与手把的客观测量----它操作的容易性。这项工作的是受大量对飞行员的研究所启发。Moore创造了一个仿人类控制的模型,通过在自行车转向装置的检测器上装备传感器,来执行在自行车上的各种倾斜和速度方面的演习。为了强迫自己平衡并且仅靠掌握方向盘运动来行驶(而不是靠改变他的重量),他不得不通过穿上刚性的上半身安全带来把自己束缚在自行车上。这项研究确认了存在已久的假设------自行车的手把越稳定越好,这间接给框架建造者提供了一个方法来优化他们的设计。

 

它也带来了一个谜题:转向装置转矩所需的是Whipple自行车模型所预言的两倍或三倍。这可能是由轮胎的摩擦和弯曲引起的,而这些在模型中并没有考虑,但没有人能肯定。为了进一步的测试,Moore和他的同事建立了一个可以平衡自己的机器人自行车。“一旦你有机器人自行车,你可以做很多疯狂的实验,而不必把实验员推入危险之中。”他说。(他早期处理的实验之一需要他用一根木条从一旁猛击来重新保持平衡。)不像许多其他无人驾驶的自行车机器人,它不需使用内部陀螺仪来保持直立,但依赖于独立的转向装置。Moore把这个问题丢给了Schwab进行进一步研究。

 

如今,Schwab拥有Papadopoulos一直梦想的那种实验室,而Papadopoulos也很感激能够合作。“这是你可以想象的最美妙的事情。”他说。Schwab的其他项目包括“线控转向”自行车,能够让他分离操舵运动和平衡机制;“转向辅助”自行车,可在低速保持稳定。他也发现了一个后方转向的斜躺车(一种可躺卧蹬骑的自行车),显示了自我稳定性,其中一部分利用了增大前轮来增强回转效应。后方转向的斜躺车的主要优点是,它比标准的斜躺车拥有更短的链条,这将导致更高效的能量传递。“以前人们试图建造它们,但它们无法驾驶。”Schwab说。

 

Papadopoulos现在在波斯顿东北大学有一个教职,他现在正重新适应学术界的生活。他与人合作,检验一些思索良久的想法,关于为什么一些自行车在高速行驶中会摆动。他相信他可以用一个阻尼器通过“吸收”座椅中的震动来消除因为速度导致的摆动。他和他的新同事以及学生正在涉及其他类型的问题,并不是所有的问题都与自行车相关。

 

在他的地下室,Papadopoulos打开棕色文档储藏柜的抽屉,开始浏览那些起皱的马尼拉纸做的文件夹上的有标签的注释,如同“轮胎压力”、“生物力学”和“康奈尔”。他拿出一本教科书“运动生理学?我从来没有真正了解它。”他说,他把它抛到一边。在抽屉的底部,他找到一个厚厚的有关自行车研究想法的文件夹,上面标记为“未完成”。

Papadopoulos思索了一秒,然后进行了修改:“大部分未完成”。

 

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艾瑞深中国校友会网:《2016中国大学学科评价报告》数学排名

 

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2016年10月31日,艾瑞深中国校友会网大学研究团队发布了《2016中国大学学科评价报告》。同期公布了99个一级学科的排行榜,当然包括数学学科。星级排名的最高星级为8星(★★★★★★★★)。
 
获得最高星级8星的有2所大学——北京大学和中国科学院大学,他们分别排在第一名和第二名。办学层次定位为世界一流学科。有三所大学并列第三——复旦大学、山东大学、南开大学,办学层次评定为世界知名高水平学科。四川大学排名第六,中国科学技术大学排名第七。北京师范大学、清华大学、兰州大学、武汉大学、上海科技大学这五所大学排名并列第八。
 
共有270所大学进入榜单,最后附上星级排名的详细图表,注意排名中大量并列的情况,哆嗒数学网的小编提醒你,这是中国校友会网排名 的特色。

 

 

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代数拓扑的数学方法正在变革脑科学

 

此文原载于《麻省理工科技评论》网站。

译文作者:芝城柿子芝士 哆嗒数学网翻译组成员,就读于芝加哥大学。

 

 

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没有人彻底了解大脑各部分间的连接图全貌,但是代数拓扑的工具正逐渐帮助人们管中窥豹。
 

人的连接体指的是大脑中不同部分间的网络连接。这些连接表现为大脑中的白质:轴突束。轴突是神经细胞上的突起物,它们连接了组成灰质的神经细胞体。

脑科学的传统观点认为,灰质主要负责信息处理和认知,而白质负责大脑中不同部分间的信息传递。所以白质,也就是连接体,就是大脑的连接图。

人们对这个结构所知甚少,但有几个引人注目的项目正在对它进行研究。研究表明连接体比人们原来认为的还要复杂。人的大脑里有大约10的10次方个神经元,它们之间有10的14次方个突触连接。找出它们连接的方式是个极富挑战的工作,特别是因为连接体的结构取决于观察的大小尺度。

研究还发现了证据,表明白质在学习和协调大脑活动方面发挥的作用比人们所想的重要。但是这作用和连接体的结构的具体关系仍处于未知。

 


  

所以说在跨度巨大的不同尺度上了解连接体的结构是神经科学最大的挑战之一,但人们并没有合适的数学工具来研究这个课题。

如今,由于代数拓扑这个数学领域的发展,局面开始改变。这门传统上只是关于分类空间和图形的晦涩学科,现在也逐渐开始为神经科学家们所用。宾夕法尼亚大学的Ann Sizemore和她的同僚向人们展示了它如何革命性地推进了我们对连接体的了解。

代数拓扑学家的目标非常具有挑战性:他们致力于研究拓扑空间在不同尺度下的对称性。

在数学领域内,对称性指的是任何从不同的视角下看起来不变的东西。比如说正方形旋转90度后看起来没有任何变化,这就是一种对称性。

还有一些数学结构,它们在不同大小尺度下保持不变。它们被称作稳定同调(persistent homology)。寻找它们成了研究连接体的关键步骤。

神经科学家早就知道某些认知功能需要调动分散在大脑各处的许多神经节点。这些节点如何被白质连接起来的是整个连接体项目的中心问题之一。

神经科学家们通过观察水在其中的扩散来研究白质纤维。扩散核磁造影技术可以显现出水扩散的路径,从而显现出白质的结构。

为了进一步研究,Sizemore和她的同事们测量了八个健康成年人的大脑,这样他们就可以寻找在每个人大脑中都相同的结构。他们专门研究了已知在认知系统中有作用的83个区域之间的连接,这些区域包括听觉系统,视觉系统,和触觉、压力、痛感有关的体感系统等等。

这样得到了一个连接图以后,Sizemore和她的同事们运用了代数拓扑的技巧来研究它。这个新方法让他们得到了一些重要的新认识。

首先,它揭示了某些神经节群之间是“完全连接”的——意思是节群里的每个节点都和其他所有节点相连,整个节群组成一个叫做团的结构。所有和认知有关的系统都是由包括不同数量的节点的团组成的。

但是,研究还揭示了另一组重要的拓扑结构。这个结构叫做圈,就是闭合的环。它指的是一个节点连接着另一个节点,第二个又连着第三个,等等,直到最后一个节点连接上了第一个节点,就是一个完整的圈。

圈在大脑中产生了一个神经回路,不仅可以在大脑各处传递信息,还可以帮助反馈环作用。这些作用大概是记忆的产生或行为的控制。Sizemore和她的同事们说他们的研究发现了许许多多不同大小的圈。

不像团的范围主要局限在大脑中的特定部位比如皮质,圈的延伸范围很广。它们连接起这些功能非常不同的区域。“这些圈用一个长环连接了进化上早期和晚期出现的区域,使两者在控制脑功能上发挥的独特作用都有所降低。”Sizemore和她的同事们说。

团和圈的另一个区别体现在他们的密度。团代表了完全连接的节点,所以它们是密集的结构;环状的圈则相对比较分散。事实上,看和它们有关的大脑各部分间的所缺失的连接数量,是描述它们特点的一个方法。

圈实质上描述了连接体中的洞。Sizemore和同事们的工作表明了这些洞的作用很重要。“这些结果第一次向大家展示,代数拓扑的技巧给连接体结构的研究提供了全新的视角。这个视角把环状回路作为大脑建筑结构的关键特点。”研究团队说。

这个引人入胜的工作使代数拓扑在更好地研究连接体方面的贡献初露端倪。正如所有好的科学研究一样,这项工作不仅回答了问题,更提出了许多新问题。既然发现了圈可以比其他任何网络结构提供更多认知上的计算,那就可以问:这是些什么样子的计算呢?

另一个研究新方向是:现在的人工智能系统所依赖的神经网络是从大脑的结构中取得的灵感。既然分析发现了大脑中新的结构,人工智能领域将如何吸收这些结果,又如何在他们的工作中引入代数拓扑呢?

无疑这是一个代数拓扑学家的激动时刻。

参考: arxiv.org/abs/1608.03520 : Closures and Cavities in the Human Connectome

 

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“高一维度”看天体轨道计算

 

原文作者:John Baez。

译文作者:豆浆哆嗒数学网翻译组成员,数据分析师。

校对:donkeycn

 

 

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开普勒问题涉及一个质点在引力作用下运动,就像是一个行星围绕太阳运动。牛顿证明了假设它不飞向无穷远,这种粒子的轨道是一个椭圆。有很多方法可以证明这一点,但最富于启发性的想法是将轨道想象成4维空间里的一个圆。当这个圆投射到3维空间上,它就会变成一个椭圆。

 

 

Greg Egan创建了上面的动画来展示这一过程。这个平面代表我们住的3维空间里的2维,垂直方向代表了第四维。一个点在R^4绕了一圈。但是将这个圆投射到R³,我们就会得到一个椭圆:行星的实际轨道。

 

什么是第四维?它与时间有关,但不完全是时间。它是常规时间和一个时间的重新参数化版本之间的差,该时间的流逝速度与行星到太阳的距离成反比。

 

动画使用了这个另类的时间。相对于这个时间,行星正在以恒定速度在4维空间上做圆周运动。但在普通时间下,当它接近太阳时,正如行星必须要做的,就是其在3维上的投影运动得更快。

 

至少从1980年以来物理学家们就知道了这个观点,这得益于由数学物理学家Jürgen Moser写的一篇论文。这个故事的某些部分是老得多。许多论文也已经有写到,但这一次是特别优雅:

 

Jesper Göransson,开普勒问题对称性,2015年3月8日。

 

关于描述行星运动的Göransson 4维空间的最好的事情是,它给出了一个惊人的事实,一个干净的解释。你可以取任何椭圆轨道,施加一个4维空间的旋转,并获得另一个有效的轨道!

 

当然,我们可以在通常的3维路径下围绕太阳旋转一个椭圆轨道并得到另一椭圆轨道。有趣的是,我们还可以做4维旋转。这样可以使一个丰满的椭圆看起来瘦小:当我们将一个圆倾斜到第四维,它在3维空间的“影子”变得更瘦!

 

事实上,你可以通过这样的一个四维旋转把任何椭圆轨道变成任何其它具有相同能量的椭圆轨道。所有具有相同能量的椭圆轨道都是四维空间里在同一球面上的圆形轨道的投影!

 

让我们来看看更多关于数学方面的细节。

 

开普勒问题

 

 

假设我们有一个质点在平方反比定律的作用下运动。其运动方程为

 

 

其中R是它作为时间函数的位置,r是从原点的距离,m表示它的质量,而k是表示力有多强。由此我们可以得出能量守恒定律,如下

 

 

对于一些常数E,它依赖于粒子轨道,但不随时间变化。

 

 

让我们考虑一个引力,因此k>0,而且是椭圆轨道,因此E<0。让我们把这个质点称作一个'行星'。这是一颗围绕太阳运行的行星,在这里我们把太阳看得非常重以至于它完美地保持固定在原点。

 

 

让我们把注意力集中在一个具有单一固定能量E的轨道上.这可以让我们自由地选择质量,长度和时间的单位

 

 

 

这将减少一堆杂乱的字母,使我们专注于关键的想法。如果您更希望看到技术细节方面的东西,那就去看看Göransson的论文吧。

 

现在运动方程变成了

 

 

能量守恒方程变成了

 

 

显然是由于Moser,这个伟大的想法是从普通的时间概念切换到一种新的时间概念!我们将这个新的时间叫做s,并要求

 

 

你离太阳越远,这种新的时间走得越慢。因此,当行星远离太阳时,使用这种新的时间会加快它的运动。如果这看起来是倒退的,思考一下吧。对于一个离太阳很远的行星,这个新时间的一天可以等于普通时间的一周。所以,使用新时间来测量,一个远离太阳的行星可以运行一天,而这通常需要一周的时间。

 

当它远离太阳时,这弥补了行星运行得很慢的正常倾向。事实上,用这种新的时间,当行星离太阳最远和最近的时候,它运行得一样快。

 

随着这新的时间概念,令人惊奇的事情发生了!为了看到这一点,首先使用这一新时间概念改写能量守恒定律。沿用牛顿的记号,我们一直在使用点表示普通时间的导数。让我们使用上撇符号(′)来表示相对于s的导数。因此,例如,我们有

 

 

 

 

使用这种新的时间导数,Göransson证明能量守恒可以写成

 

 

这是4维空间的一个球面方程!

 

稍后我们就会明白为什么能量守恒定律可以这样写。首先让我们来谈谈这意味着什么。要理解它,我们应该把普通的时间坐标t和空间坐标(X,Y,Z)平等看待。点(t,x,y,z)随着参数s的变化在4维空间移动。我们现在看到这个点的速度,即是v=(t′,x′,y′,z′)

 

在4维空间里的一个球面上移动。它是以点(1,0,0,0)为中心的半径为1的球面

 

在进一步的计算之后,我们可以得到一些其他精彩的事实:

 

 

 

 

这些是谐振子的普通方程,但加入了一个额外的导数。

 

这些事实证明如下。首先,让我们思考一下他们意味着什么。我们可以按如下说明用文字表达这些事实:4维的速度v进行了关于点(1,0,0,0)的简谐运动。

 

那很漂亮。但由于v还停留在以这个点为中心的单位球面上,我们可以得出更好的结论:v必须以恒定的速度沿着这个球面一个大圆移动!

 

这意味着4维速度的空间分量的均值为0,而t分量的均值为1。

 

这里的第一部分有很大的意义:地球永远不会从太阳漂移得更远,所以它的平均速度必须为零。第二部分是有点微妙,但它也有道理:普通时间t关于新的时间参数s以平均速度1向前移动,但其变化率是正弦振荡的。

 

如果我们对方程R'''=-R 的两边积分,我们会得到

 

 

对于某个常数矢量a。这就是说位置R关于一个点a谐波振荡。由于a不随时间变化,这是一个守恒量:它被称为龙格 - 楞次矢量。

 

人们常常从平方反比力定律入手,证明角动量和龙格 - 楞次矢量是守恒的,并使用这6个守恒量和诺特定理证明存在一个6维对称群。对于具有负能量的解,这正是4维空间的旋转群,SO(4)。随着越来越多的工作,我们可以看到开普勒问题是如何与在4维空间的谐振子相关的。这样做涉及到重新参数化时间。

 

在很多方面来说,我更喜欢Göransson的做法,因为它坚持从重新参数化时间入手。这让他更有效地证明,行星的椭圆轨道是四维空间中的圆轨道在三维空间的投影。四维旋转对称性是那么明显!

 

实际上Göransson在n维空间里用平方反比定律进行论证;这没有更困难。n维的椭圆形轨道是n +1维圆形轨道的投射。角动量是n维的二重向量;它与龙格-楞次矢量一起形成在n + 1个维的二重向量。这是与这个问题的第(n+ 1)维的旋转对称相关联的守恒量。

 

他还证明了对于正能量的双曲线形轨道和零能量的抛物线形轨道也有类似的结论。双曲线的情况下有洛仑兹群对称性,而零能量的情况下有欧几里德群对称性!这是已知的,但很高兴地看到Göransson的计算是如何轻松地处理所有这三种情况。

 

 

数学细节

 

用矢量微积分检查所有这一切是一个简单的练习,但它需要一些工作,所以让我在这里做了一些。仍然会有细节留待填补,我希望你可以试一试。

 

请记住,我们的时间重新参数化给出了

 

 

其中上撇符号(′)代表d / ds。因此,我们可以从能量守恒入手:

 

 

并且使用

 

 

(译者注:原文可能有误,根据上文,这里应该是

 

得到

 

 

运用一点代数知识给出

 

 

这证明了4维速度v=(t’,x’,y’,z’)在中心为(1,0,0,0)的单位球上。

 

下一步就是取运动方程

 

 

并采用上撇符号(′)(s的导数),而不是点(t的导数)重写。我们先从

 

 

并再次微分得到

 

 

接下来,我们其他的方程为R''给出了

 

 

或者

 

 

因此有

 

 

为了走得更远,这也是为了给R''得出一个很好的公式。首先我们计算

 

 

然后再微分

 

 

 

给R''代入公式,会出现一些精彩的相消,我们得到

 

 

但我们还可以做得更好!记住了,能量守恒有

 

 

而且我们知道t'=r .因此,

 

 

 

 

所以,我们知道

 

 

因为 ,如预期的给出了

 

 

下一步让我们给 得到一个类似的公式。我们先从

 

 

入手,然后两边微分,得到

 

 

然后给r''和R''代入我们的公式。 出现了一些真正的神奇的相消,然后我们如预期得到

 

 

公式两边积分,我们就得到了

 

 

对于一些固定的矢量a,龙格 - 楞次矢量。这是说R进行了关于a的谐波运动。这是相当了不起的,R和它的范数r都进行了谐波运动。

 

 

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对于特朗普,统计学家的预测犯了什么错

 

原文作者:Taeer Bar-Yam

译文作者:mathyrl哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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注:此文原文发表于2016年7月16日,当时特朗普获得共和党提名几乎已经板上钉钉。而现在的结果,大家都知道了……

 

 

 

纳特•西尔弗(Nate Silver)是活跃于体育、政治和其他领域的统计研究人员,最受尊重的统计学家之一[1]。在2016年总统竞选期间,他对唐纳德•特朗普成为共和党候选人的可能性的早期分析引人注目 ——他估计只有2%的概率。正如他后来承认那样,即使统计数据不是关于现实,而是概率,后来的事件似乎与这些预测不一致 [2-4]。他解释了分析的问题是由于政治因素[3] 转化为统计变量难度太大[4],但不是由于他使用的模型本质上是有缺陷的。在这里,我们指出他使用的统计思想的根本问题。统计从独立的假设开始,这通常是无效的。在这种情况下,这些假设导致数学上的矛盾。这说明了即使对于统计预测的高手,统计数据导致不合逻辑的预测结果是如何发生的。事实上,也许更容易误导那些高手 ——一个警世的故事。

西尔弗的分析[2]是基于提名的六个“生死攸关的阶段”。他分别为每个阶段分配1/2的获胜机会,导致提名的机会少于2%=(1/2)^6(1/2的6次方)。就像连续赢6次抛硬币。

有一个论据使西尔弗的结果可疑。西尔弗的分析的一些阶段显得对特朗普是特有的。然而,每个候选人都面临困难,提名的每个阶段肯定不能保证有利于他们中任何一个。虽然所使用的具体术语可能不一样,但是对于每一个候选人都可以进行类似的分析:获得并保持注意,经受彻底审查,在提前投票的州取得成功,建立组织,积累代表以及取得党代会的多数票。如果有什么不一样,他们面临更大的挑战因为特朗普在民调中领先。

因此,类似的逻辑应用将导致我们得出结论,每个人都有2%的获胜机会。这是不合理的,因为必定有人赢---概率的总和必须是1(除非一个非候选人成为提名人,这个概率很小)。如果每个候选人具有相同的概率,他们的机会将不小于6%=1/17,17是原始候选人的数目。当然,必须有人有大于2%的概率。这表明西尔弗的推理在内部不相容。

事实上,西尔弗写了那篇文章是因为当时对特朗普在民调领先的关注。可能有人猜测,他有超过1/17的机会。这些情况表明,从大众的角度看的概率的估计会高得多。

 

 

在西尔弗的分析还有其他假设。把 因子1/2乘起来是基于假设任何一个阶段的失败都是会对提名产生障碍。这似乎不太合理。我们可以很容易地发明其他独立假设:每个阶段都有独立的1/2成功机会,包括提名 ---  50%而不是2%。为什么是1/2?也许因为它经常在统计样本中使用。

估算的真正问题是独立性是否符合现实。赢得一个阶段的胜利,会提高赢得其他阶段的概率。虽然,赢得一个阶段不保证赢得其他阶段。然而,众所周知,赢得一个阶段的因素有助于赢得其他阶段,以及赢得一个阶段的事实有助于赢得其他阶段(势头起来了)。我们不知道依赖的强度,但这个问题可以完全左右模型的预测。因此,各个阶段之间的依赖性不是小的影响,即使在粗略近似中,也必须考虑。

在现实问题中应用统计是棘手的。尽管我们在这里提出了问题,西尔弗已经做出努力使现实世界的数学问题更受尊重,对此应该给他记一大功。

使用统计学的时候我们会做出假设,这些假设使计算成为可能。但如果我们假设一开始就是错误的,计算的结果也会跟着错。应该怎么做? 西尔弗写了一个深思熟虑的经验教训[4]指出复杂性、反馈循环和混沌动力系统的重要性。结合这些过程所涉及的数学框架将推进统计之外的分析,以实现更好的数学预测。关心相互依赖性,如只关心英国脱欧对欧洲造成问题的是不够的。我们需要理解相互依赖性[5],以便作出正确的假设,并得出正确的结论。


1.    http://fivethirtyeight.com
2.    http://fivethirtyeight.com/features/donald-trumps-six-stages-of-doom/
3.    http://fivethirtyeight.com/features/why-republican-voters-decided-on-trump/
4.    http://fivethirtyeight.com/features/how-i-acted-like-a-pundit-and-screwed-up-on-donald-trump/
5.    Y. Bar-Yam, Dynamics of Complex Systems, Westview Press (1997) http://necsi.edu/publications/dcs/

 

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创造π的男人:威廉琼斯和他的圆

 

原文作者:帕特丽夏罗斯曼,伦敦大学学院数学系荣誉研究员。

译文作者:小龙虾哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

 

 

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在1706年,一个名叫威廉•琼斯的不知名的数学老师第一次使用了一个符号来代表圆周率π,一个用数值可以接近却永远无法达到的理想概念。


任意圆周长与直径的恒定比值的历史和人们渴望测量的历史一样悠久,然而这个今天广为人知的比值π是起源于十八世纪早期。在这之前,这个比值用中古拉丁文晦涩地表示为:quantitas in quam cum multiflicetur diameter, provenietcircumferencia(这个量乘直径会得到周长)。


人们广泛认为是出生在瑞士的伟大数学家莱昂哈德•欧拉(1707-1783)将符号π引入普遍使用。事实上,在欧拉出生前一年的1706年,π第一次以它的现代含义出现在一个自学成才的数学老师威廉•琼斯的第二本书《新数学导论》中,这本书是基于他的教学笔记编写而成的。


在符号π出现前,像22/7和355/113的近似值被用来表示这个比值,这带来一种这个比值是个有理数的印象。尽管琼斯没有作证明,但是他相信π是个无理数,一个无限不循环小数,它不可能完全用数字形式表达。在《最新数学导论》中,他指出“…周长与直径的比值不可能由数字准确地表达”。因此需要用一个符号来表达这个可以接近却无法达到的理想概念。为此,琼斯认为只有一个纯的理想的符号才能满足需要。


在之前一个世纪,符号π被同时是教区长的数学家威廉•奥特雷德(1575-1660)用作另外的含义。在他的书《数学之钥》(在1631年第一次出版),他使用π代表给定圆的周长,所以他的π会随圆的直径的变化而变化,而不是现在代表一个常数。那时候圆的周长用'periphery'表示,因此用希腊对应字母“π”来表示。琼斯对π的使用是一个重要的奥特雷德没有实现的哲学进步,尽管奥特雷德引入了其他的数学符号,比如::表示比例以及'x'作为乘法的符号。


在奥特雷德去世的1660年,数学家约翰•科林斯(1625-1683)获得了奥特雷德数学图书馆中的一些书和论文,而琼斯也是通过约翰•科林斯获得了这些资料。


π的无理数特性直到1761年才被约翰•兰伯特(1728-1777)证明,然后在1882年费迪南•林德曼(1852-1939)证明了π是非代数的无理数,是一个超越数,即不能是任意次数的有理系数代数方程的解。有两个类型无理数的发现并没有贬低琼斯认识到周长与直径的比值不能用有理数表示的成就。


在第一次使用符号π之外,琼斯是非常令人感兴趣的,因为他与很多十八世纪的关键数学人物、科学人物与政治人物的联系。他还负责建设一个伟大的科学图书馆和数学档案馆,它们在他的赞助人麦克莱斯菲尔德家族的手中从当时一直保存了将近300年到现在。


尽管琼斯是带着数学成就去世的,但是他的出身是普通的。在大约1675年,他出生在安格尔西岛的一个小农场中。他唯一接受过的正式教育实在当地的慈善学校,在那里他展示出了数学才能,然后他被安排到伦敦的一个商人的帐房工作。后来,他航行到西印度群岛而且开始对航海感兴趣。后来他在一艘军舰上当数学老师。在1702年十月他参加了比戈战役,这场战役中英国人成功地拦截了由法国护送回西班牙西北部港口的西班牙舰队。胜利的水兵登上岸寻找金银,而根据廷茅斯男爵1807年的回忆录,对于琼斯来说最大的战利品是梦寐以求的文学珍品。


在琼斯回到英国后,他离开了海军然后开始在伦敦教数学,可能一开始在一个咖啡屋收取少量费用给人们上课。1702年,他出版了他的第一本书,《新实用航海艺术的纲要》。在这不久以后,他成为了菲利普约克的老师。后来菲利普约克(1690-1764)成为阿德威克第一任伯爵,他任大法官而且为介绍他的导师琼斯提供了无价的资源。


在大约1706年,在琼斯发表了《新数学导论》时,他第一次得到了艾萨克牛顿的关注,他在其中解释了牛顿的微积分方法和其他数学新观念。在1708年,琼斯可以获得克林斯的图书馆和档案馆的丰富资料,包括许多牛顿在17世纪60年代写的信和论文。这些提高了公众对琼斯的兴趣对他的名声很有帮助。


出生相离半个世纪,克林斯和琼斯从来没有相见,然而由于图书馆和数学档案馆历史将这两个人永久的联系在一起。图书馆和数学档案馆由克林斯建立,琼斯继续管理,在他俩对收集书籍的热情下发展壮大。克林斯是贫困牧师的儿子,他在一个图书商那里当学徒。像琼斯一样他基本上也是自学,也走向海洋学习航海。在他回到伦敦后,他靠当老师和会计谋生。他拥有几个不断获利的岗位而且擅长理顺复杂的账目。


克林斯有个普通的志向就是开一个书店,但是他没有积累足够的资金。然而在1667年,他被选入皇家学会,成为不可缺少的成员,协助学会秘书亨利•奥尔登伯格处理数学事务。从那时开始,克林斯与牛顿以及很多顶尖的英国和国外数学家一样,代表学会起草数学笔记。


在1709年当琼斯申请基督医院数学学校校长时,他带了牛顿和埃蒙德哈雷的推荐信,尽管有这些,但他还是失败了。然而,琼斯之前的学生,现正从事法律事业的飞利浦约克他的导师推荐给托马斯帕克爵士(1667-1732),他是一个成功的律师并且在下一年将要成为下一人最高法院首席法官。琼斯加入了他的家庭,并成为他儿子乔治(1697-1764)的导师。这是他与帕克家庭常年交往的开始。


在那时,琼斯买下了克林斯的图书馆和档案馆,牛顿和德国数学家莱布尼茨正在辩论是谁先发明了微积分。在克林斯的数学论文中,琼斯发现了牛顿最早使用微积分的副本《分析》(1669),他在1711年出版了这本书。这本书之前仅仅是不公开的流传。从1703年担任皇家学会会长的牛顿不情愿让他的成果发表而且小心翼翼地保护自己的知识产权。然而,他把琼斯视为他的支持者。


在1712年,琼斯加入了皇家学会建立的确认微积分的最先发明者的委员会。琼斯把克林斯的论文和牛顿关于微积分的信件提供给了委员会,并且形成了一个有关争端的报告,这个报告《Commercium Epistolicum》在那一年发表,它的大部分内容都是基于克林斯的论文和牛顿关于微积分的信件撰写。尽管这个报告是匿名的,但它被牛顿编辑,所以很难认为是公正的。不出意料,它是站在牛顿一边的。(今天,大家认为牛顿和莱布尼茨都独立地发明了微积分,尽管莱布尼茨的标记法优于牛顿的而且是目前普遍使用的。)


到1712年,琼斯已经有稳固的数学成就了。在1718年,他的赞助人托马斯帕克爵士被成为大法官并且在1721年被封为麦克莱斯菲尔德伯爵。在那时,他已经用当时总计18350英镑购买了锡伯恩地产和城堡。锡伯恩城堡同样也成为了琼斯的家,在那时他几乎已经是一个家庭成员了。除了法律帕克对许多学科包括科学和数学有学术兴趣,而且他对科学和艺术还是一个慷慨的赞助商。他作为皇家天文学家在1721年“约会”哈雷彗星过程中有很大的影响。


但是在第一伯爵的人格中也有对立面。他似乎在拥有很强的能力和抱负的同时对财富也有危险强烈的欲望。他被指控贩卖大法官职务给最高竞买人,并且允许将让投资者的资金被滥用。在1725年帕克从大法官职位辞职,但是他仍被控告。他被罚缴纳30000英镑,并且被禁足在伦敦塔6周直到罚金缴齐。他的一些资产被变卖,他被枢密院除名。但是他并没有丧失锡伯恩,锡伯恩由麦克尔斯菲尔德家族拥有到现在。在1727年,他是牛顿葬礼送葬者之一,这恢复了一些他的尊严。


托马斯的儿子乔治帕克在1722年成为了沃灵福德的一个议员,并在锡伯恩度过了大量时间,在那里在琼斯的指导下,他丰富老了琼斯带来的图书馆和档案馆。乔治帕克对天文很有兴趣,在一个天文家朋友詹姆斯布拉德利(在1742年哈雷去世时成为第三皇家天文家)的帮助下,他在锡伯恩建立了一个天文台。


到1718年,琼斯将时间花费在锡伯恩和临近伦敦红狮广场的蒂博尔德的宫殿。在许多有影响力的数学家、天文家和自然哲学家中,他结识了罗杰科茨(1682-1716),他是剑桥第一个布卢米安天文学教授,他被很多人认为是那一年代牛顿之后最有才能的英国数学家。他被委托修订牛顿原理第二版的出版物。


当牛顿和科茨关系紧张时,琼斯便作他们的中间人。他显然有影响力而且相当的机智。在一封信中科茨对琼斯写道:“有件事情我自己不能很好地处理,需要您的协调…”。这件微妙的事情是对牛顿的一个方法改良的建议牛顿有难以相处的人格,必须小心对待。而琼斯可以做得很好。牛顿原理第二版在1713年出版,得到很大的赞扬。


牛顿在大多数时期像是高耸的巨人,科学界活在他的阴影下。琼斯和天文学学家、数学家约翰梅钦有广泛的通信。约翰梅钦从1718年开始在皇家学会担任秘书近30年。他也是学会调查微积分发明的委员会成员。他在格雷沙姆学院任天文学教授近40年,研究月球运动理论并且认为他自己是这一学科的专家。在写给琼斯的一封信中,他用富于幻想语言来抱怨牛顿的月球运动理论。

她(月球)通知我说他(牛顿)在她生命的整个过程中污辱她,公布说她因不规则和各种罪恶应感到内疚,继续说没有活着的人可以在任何时间发现她的位置。


他继续写道,他梅钦,知道月亮在什么地方而且他有能力获得“Lord Treasurer”提供发现海上经度的10000英镑,因为他的月球运动理论可以提高月亮航用表的准确度。


尽管梅钦没有获得那奖金,他的月球运动理论被描述为依照重力的月球运动规律并且在牛顿死后的1729年添加到了牛顿定理的英文版中。


梅钦也在周长与半径比值方面做了一系列工作,他的计算方法快速收敛。他的计算结果被印刷在琼斯1706年的书中“超过100个地方可以验证正确;由准确、文思敏捷、真正有天才的约翰梅钦先生计算..”梅钦使用其和收敛于π的无穷级数来计算。用数学术语意味着,无论有多少项求和这个和的值与π的值总是有差距尽管差距很小。梅钦使用的无穷级数里的项正负交替,所以和的值交替地小于和大于π。


琼斯也和海外人士保持联系。其中一位特别兴趣的是住在美洲的教友派信徒学者詹姆斯洛根(1674-1751)。洛根出生于爱尔兰,被教友派领导人和宾夕法尼亚州建立者威廉佩恩邀请作他的秘书。他把那里建设得很兴旺,最终买下了斯坦顿大农场,在那里他从50多岁退休并开始追寻他的兴趣包括数学和植物学。他拥有的图书馆有超过3万本书,是美国18世纪最出名的图书馆之一并且后来赠给费城。


在1732年,洛根写信给琼斯,信中内容与一个发明相关:“这里的一个年轻人…是非常有天赋的”。这个年轻人是托马斯戈弗雷(1704-1749),他是一个装玻璃工人,在1730年10月发明了一个可以在海上准确应用的仪表,因为这个仪表有一个单向透视玻璃太阳和地平线的反射图像排成一行。任意两个天体例如月亮和一个星星可以通过移动一个包含镜子的旋转臂排成一排,而且可以从量表中读出角度。这意味着船的移动不会干扰角度测量,因为物体和图像会同时移动。这是一个精巧的仪表。洛根认为可以用它确定海上经度。这个仪表就是现在我们知道的哈德利四分仪,尽管实际上是个八分仪。英国和美国都索要了这个发明的归属。英国天文学家约翰哈德利(1682-1744)在1730年的夏天制作了一个这样的仪表而且在接下来的五月把一个报告给了皇家学会。

洛根写了一个私人信件描述戈弗雷的发明给哈雷,然后皇家学会的会长称他为“尊敬的朋友”。这是一个友好的科学的沟通,而皇家学会照例没有阅读这个信件。洛根向琼斯询问这一遗漏。琼斯后来在1734年一月和学会提出这个议题,戈弗雷作为仪表的发明者的地位被确立,尽管不是第一发明者。


在过了一些年的1736年琼斯写信给洛根,为没有及时回复道歉,他写道:


我的事务需要我全神贯注而且占据了我的思想以至于我有很少或者几乎没有时间考虑其他的事情甚至是数学。过去的这18年我缺少想法,我现在那些改进几乎是一个陌生的人。


但是在那个时间过后琼斯有关于数学学科的通信。可能是他不想鼓励洛根给他一些其他的发现。洛根是一个不知疲倦的通信者,他写的信比琼斯回复的信多很多。


当然琼斯脑海里是有其他东西的。像许多其他的研究科学的人,琼斯对经度问题感兴趣。他给皇家学会写信有关于当温度变化时时钟保持精确时间的课题。


他担任学会委员会成员并且在1749 年成为他的副会长。他的收入因工作清闲但报酬优厚的职位而大涨,这个职位是由他之前的学生建立的。他在阿德威克的影响下担任和平秘书,在乔治帕克的帮助下担任财政部副出纳员。然而他仍然在那时候经常发生的银行破产的作用下经历多次经济危机


琼斯在1731年完成了第二次婚姻,娶了比他小30岁的玛丽尼克斯,他们有三个孩子。在1747年他被选为育婴医院管理者,这时乔治帕克是副院长。是乔治让贺加斯为琼斯作画。尽管琼斯在这幅画中看起来令人注目,但是他被报道是一个矮小脸不长的威尔士人并且经常用粗暴和自由对待他的数学朋友。尽管如此,就像我们已经看到的,他知道在必要时如何变得机智而且展示盛意。


在他1749年74岁去世之后。皇家学会职员和图书馆管理员约翰罗伯特森说他去世时的情况比很多数学家好。他唯一存活的儿子,也叫威廉,那时只有三岁。他为人知的名字是奥连塔尔琼斯,他是一个出色语言学家和文献学者而且他精通印度法律而且他被正式封爵。


在1750年,乔治帕克撰写了一篇论文,这篇论文被皇家学会阅读而且被命名为评论太阳和月亮年。乔治是采用阳历最重要的支持者而且在1752年将新年从3月25日改到1月1日。有些人可能认为日历的修订是威廉琼斯科学遗产的一部分。在同一年,帕克被选为皇家学会会长,他直到去世都担任这一职务。


按照琼斯的意愿,他把学术书籍给乔治帕克作为他接受了帕克很多帮助的证明与鸣谢。帕克从琼斯继承的科学书籍和档案馆里的论文保存在锡伯恩的图书馆中。得到这些资料受到了严格的控制,尽管需要承认的是他们代表了他们在私人手中的最重要的书籍。在2000年剑桥大学图书馆在遗产彩票基金一笔基金的帮助下花费6370000英镑购买了档案馆的书信和论文。在2005年麦克莱斯菲尔德图书馆最终在索斯比以世界第六大销售额卖掉。


在琼斯的一生中,他将赞助商留住的能力十分重要而且他为他们服务得很好。从历史的角度来看,琼斯为麦克莱斯菲尔德做出贡献远大于他从赞助商的获取,正是这样,他为世界留下了智力遗产。

 

 

 

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数学证明你是与众不同的!

 

 

原文作者:德夫林,斯坦福数学教授,英国数学科普作家。

译文作者:mathyrl哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

校对:333

 

 

 
 

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“每个人都会在某些方面表现优秀。”我们经常听到这样的论调,当有人因为在某件事情上表现不佳而感到沮丧时,通常可以从中得到安慰。特别地,父母们常常靠它来安慰自己的孩子们。然而很少有人认识到这个命题是可以用数学证明的。你只需要考虑200个本质上相互独立的人类行为表现特征,98%的人在至少其中一个特征上表现出众。这里“出众”定义为处于顶部或者底部的1%。(数学给出极值;如果你想有效保证处在顶部的1%,你需要更多的特征。这种现象是渐近的。)


这个结果源自于一个令人难以置信的但少有人知道的关于高阶超立方体的观察:随着维数的增加,内部点(即不在边界上)的比例无限制地缩小。

.
按照以下方法,你可以向你的孩子、爱人、学生、挚友、或者其他什么人,来证明他们---或是你自己,看情况而定---会在某方面表现优秀。
 

 

大家都熟悉钟形曲线(正态分布),它显示了在足够大的人口数量里对某一特征表现衡量的典型的分布。这个分布图形抓住了这样的事实:大多数人的得分聚集于一个“均值”附近,即中等值,只有极少数的人处在两端(特别差或者特别好)。

 

为了进行高维计算,我们先从一个几何上更简单的模型开始,即闭区间[0,100],如图2所示。我们定义异常点为位于两端单位区间中的点。在这个模型里,对于单个的特征,只有2%的人是出众的,其余98%的人是“普通”的。
 

 

现在考虑2个特征,X和Y(按假设是相互独立的)。它们的分布可以被表示为一个100x100的正方形内含一个98x98的方块,如图3所示。

 


衡量一个人的特征X用x-坐标,特征Y用y-坐标。普通人被表示为内部正方形的点,出众者被表示为外围区域的点。

.
所有的点的总数是100×100。正常点的数目是98x98。所以异常点的数目是10000 – 9604 = 396。


因此异常点所占的比例是396/10000 = 0.0396,即3.96%。所以,当你考虑2个特征时,更多的人被归类为出众的(3.96%相对于2%)。


接下来看3个特征,X,Y,和Z,模型就变成一个100×100×100的立方体内含一个98×98×98的方体,如图4所示。

 


外部立方体的体积(表示总人口)是1000000。内部立方体的体积(表示普通人)是941192。所以外围区域的体积(表示出众者) = 1000000 – 941192 = 58808。因此出众者所占比例 = 58808/1000000 = 5.88%。


到目前为止,一切看起来都相当直接和合理。考虑超过3个特征,模型就是一个4维或更高维的超立方体,我们无法提供有意义的图像。但现在我们已经熟悉了这样的套路:模型把出众的人表示为1%的外壳里的点。为了看出这能导致什么,让我们直接跳到10个特征,X(1),…X(10)。那样的话,我们的模型就表示为一个100^10)体积的超立方体内含一个98^10体积的超立方体。(译者注:a^b表示a的b次方,下同)


外部超立方体的体积(~总人口)= 100^10,内部超立方体的体积(~普通人)= 98^10。因此,外围区域的体积(~出众者)= 100^10–98^10,出众者所占比例为(100^10–98^10)/ 100^10–98^10。现在,是时候搬出Wolfram Alpha(译者注:著名的数学引擎,擅长各种数学计算)来做计算了。算出结果为,对于10个特征,18.29%的人是出众的。


对于100个特征,X(1),…X(100),我们的模型给出:超立方体的体积(~总人口)= 100^100。内部超立方体的体积(~普通人)= 98^100。外围区域的体积(~出众者)= 100^100 –98^100。出众者所占比例 = (100^100 –98^100)/ 100^100。再次呼叫Wolfram Alpha,我们算出对于100个特征,86.74%的人是出众的。


对于200个特征,X(1),…X(200),我们的模型给出:超立方体的体积(~总人口)= 100^200。内部超立方体的体积(~普通人)= 98^200。外围区域的体积(~出众者)= 100^200 – 98^200。出众者所占比例 = (100^200 – 98^200)/ 100^200。所以对于200个特征,98.24%的人是出众的.(再一次呼叫淡定的Wolfram Alpha。)


这就得到我们的结论。


当然,这只是一个模型。一如既往,这势必需要做出各种假设和简化。如果这个结果让你难以置信,你有两种选择。或者回头修改初始假设并生成另一个模型。或者接受这个结果并改变那个使你难以置信的成见。

 

在这种情况下,我们不得不接受这样的事实:高维的等边、直角、实心(!)方体的几乎所有材料都位于其外壳上。(实体)内部几乎是空的。

 

当我们考虑更高维的情况,数学有时候会导致意料之外的反直觉的——但是正确的——结论。并不是每个人都可以接受这个事实。

 

是的,在美国的选举季度,这是一个有寓意的故事。

 

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USNEWS数学学科排名:普林斯顿世界第一,中国霸榜亚洲

 

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美国有多个机构对大学进行排名,其中最有影响力的就是由《美国新闻和世界报导》在每年下半年公布排名,也就是常说的每年的USNEWS排名。日前,2017年USNEWS全球最佳大学排名已经公布。哈佛大学、麻省理工学院、斯坦福大学三所美国大学分列前三,而去年第三名的加州大学伯克利分校排在第四。
 
我们哆嗒数学网的小编最关心的还是数学学科的排名。去年中国学校在这个榜单的表现可以说是让人惊异——而今年——更进一步,可以说是惊艳!绝对的霸榜亚洲!
 
还是先说总体排名—前十名依然被英美法三个国家的大学完全占据。数学学科的前三名被美国大学包揽。第一名是普林斯顿大学,而麻省理工学院和斯坦福大学分列二、三名。另外四所美国大学,加州大学伯克利分校、纽约大学、加州大学洛杉矶分校、哈佛大学分别占据了第六、七、八、十的位置。法国的巴黎第六大学与英国的牛津大学并列第四。著名的剑桥大学位列第九。

 

 

再来说说中国高校在这个榜单的表现。在入围的200所高校中,中国高校占据33所。而全部亚洲高校总共才51所入围。另外,亚洲前十名里,有7所来自中国。说中国高校在USNEWS数学榜里霸榜亚洲,一点也不为过。

 

 

 

 

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烧脑:乒乓球、无穷与幻术超能力

 

 

原文作者:Ken Wessen,理论物理与人类生物学博士。

译文作者:333哆嗒数学网翻译组成员,就读于中南大学数学专业

校对:小米

 

 

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在这篇文章中,我打算用三个幻术让你惊奇不已。它们真的非常美妙。在这三个幻术中,正是无穷的概念让你的大脑一团乱麻。我想在意识到它是一个多么疯狂、令人激动的概念这一过程中,你会享受很多乐趣。

首先,我想让你思考一下由无穷多个物体组成的一个整体,或者说无穷集合,它的大小是什么。一个集合的大小简单来说就是它所包含的元素的个数。两个集合被认为是一样大的,如果至少存在一种方式能够将一个集合中的每个元素精确对应到另一个集合中的一个元素,并且每个集合里面都没有元素没被对应。

 

 

这个定义是有它的道理的。集合{1,2,3}与集合{A,B,C}是同样大的,因为我们可以这样作一个对应:1 ↔A,2 ↔B,和3 ↔C(当然,还有别的方式让它们一一对应起来,不过我们只需找到一个就行。)然而,当我们处理无穷集合的时候,事情就变得更有趣了。举个例子,考虑由所有正整数组成的集合{1,2,3,4,……}它和所有偶数组成的集合{2,4,6,8,……}是一样大的!这听起来很疯狂,扔掉第一个集合的奇数部分却仍然给我们留下了一个大小没变的集合,因为我们可以让它们的元素这样对应:1↔2,2↔4,3↔6,……第一个集合中的任意一个元素在第二个集合中都有唯一的元素与之对应,也就是它与它自身的两倍一一对应;同样,第二个集合中任一元素都可以和自身的一半建立对应。没有元素被漏掉,也没没被对应到的数;所以,奇怪的事情发生了,两个集合是一样大的。其它和正整数集大小相同的集合还有奇数集、由10的倍数组成的集合,甚至是由所有分数组成的集合。(这样的集合我们称之为可数无穷。)


现在我即将描述一个思想实验,用来展示基于这一事实的一些出人意料的结果。


打包乒乓球

让我介绍一下克拉克。他有一项超能力,能够让他完成一个数学家们口中的超级任务——在有限的时间内完成无限多的步骤。在这里,我们限定时间为一个小时,11:00开始,12:00结束。

有无穷多个乒乓球可供克拉克使用,并从1开始标号;还有一个袋子,克拉克可以用它来装乒乓球。

在11:00时,他拿起了第一批10个球,标号1,2,3,…10,并把它们放进了袋子里。接着,他从袋子里拿出了标号为10的球,其他的九个被留下。到现在为止,这些都小菜一碟,还没用到什么超能力。这时克拉克也应该休息一会,喝杯茶,因为接下来事情就不容易了。

等了30分钟,11:30,克拉克把标号11,12, …20的球放进了袋子里,又从中取走了标号为20的球。
 

又等了15分钟(11:45)他把标号21到30的球放进了袋子里,并取走了标号为30的球。

 

克拉克一直这么操作,总是先放进去10个球,又拿走第十个,但是每次等待的时间都变成了前一次的一半。

 

显然克拉克将要这样操作无数次才能把无穷多的乒乓球放进袋子里。所以,他能完成任务吗?


答案是肯定的。如果我们把克拉克在将下一批球放入袋子之前所等待的时间间隔加起来,就得到了和式(以小时为单位的分数形式):

 

 


 

12:00时,当这个过程完成了,克拉克的袋子里装了多少球呢?


每一步,克拉克放入了9个球,这样操作了无穷多步,所以袋子里将会有无穷多个球。事实上,在所有正整数中,只有那些标号为10的倍数的球不在袋子里。这些真的都很显然。还没出现令人感到迷惑的事情——只需要集中一点点精神去仔细想一下这个无穷的过程。

 

但是,下面的事情就开始令人困惑了。

 

 

第一个幻术


假设,当克拉克在做这个实验的时候,他的朋友布鲁斯也在把无穷多的乒乓球放进一个袋子里。但是,他稍稍用了点不同的策略。


在11:00,布鲁斯拿起了第一批10个球,标号1, 2, 3, … 10,把它们放进了袋子里,但是他把标号为1的球从袋子里取走了。接着,在11:30,他把下一批10个球放了进去,标号为11, 12, … 20,又从袋子里取走了标号为2的球。15分钟后,在11:45,他把21到30号球放进了袋子,又从中取出了标号为3的球。一直这么操作,每一步放入10个球,但是又从袋子中取出标号最小的那个球。


布鲁斯的方法和克拉克的在本质上是否一样呢?嗯,每次他放进去10个球又取走1个,所以,看上去当然是一样的。


在12:00,当克拉克和布鲁斯比较他们各自袋子中乒乓球的个数时,他们会看到什么情景?


我们知道克拉克的袋子里含有无穷多个乒乓球,但是,令人难以置信的是,布鲁斯的袋子里一个球都没有!是的——0个。每个球都会被取出袋子。
 
 

思考一下:什么号码的球能留在袋中呢?这些球被标号为1,2,3…直到无穷,但是每个数字都一一对应这无穷多次放入-取出步骤中的一个,所以每个球都会被取出。举个例子,20号球在第20步时被取出,1529号球在第1529步时被取出,1327821号球在第1327821步时被取出。它们都消失了!

 

哇哦!太疯狂了。克拉克有无穷多个乒乓球,布鲁斯却一无所有。(作为一个有趣的转折,假想一下,这个实验不是用的乒乓球,而是用英镑的硬币,你被允许保留到了12:00时袋子里剩下的所有硬币。)

 

但是,当你想知道如果他们在时间结束前检查会发生些什么时,这甚至更为荒诞。

 


第二个幻术

假设布鲁斯和克拉克每一步都检查一下袋子而不是只在12:00检查那一次。他们会看到什么情景?

 

在12:00之前的每一次检查,他们都将会看到有相同数量的乒乓球。这是真的——每一次他们检查,乒乓球的数目都将严格相等。只有在精确的12:00那一刻,当无穷多的操作步骤被完成,才会出现差异——多么巨大的差异!那看起来就像是布鲁斯所有的球都在一瞬间消失无踪。

 

 

第三个幻术

 

理解并计算克拉克与布鲁斯的结果依赖于球的标号,所以现在让我们设想第三个超级英雄,戴安娜,也在那里做着相同的事情——每步放进去10个球,取出1个球。但是,戴安娜的乒乓球没有被标号并且是完完全全的不可区分。

 

在12:00时,戴安娜的袋子里将会有多少乒乓球呢?

 

抱歉——这时没有答案。这种情况下,我们已经从数学穿越到了哲学领域,所以这个问题留给你去思考、辩论。

 

讨论


也许你会觉得这些都太不现实,因为超级任务事实上并不可能?唔,在数学中这并不重要。我们对它们的思考、推理和研究都是可能的,数学中的许多东西都是如此。
 
 

 


举个例子,你相信三角形吗?它们是真实的吗?并不是。在现实世界中并没有如三角形的物体。它们只存在于我们的数学头脑中,就像无穷和超级任务以及很多其他的数学概念。我们看到的每一个“三角形”都只是一种近似——边并不完全是直的;角加起来也并不完全等于180度,等等。但这并不有损于作为一个数学实体来研究三角形和它们所有性质的重要性和必要性。

所以我们的乒乓球问题怎么跟无穷和无穷集合的数学产生联系呢?

在每种情景下,我们都在相加无穷多个球,并减去无穷多个球,但是∞-∞是无意义的:它可以有很多不同的答案,这已经为我们所证实。

乒乓球问题也阐明了两种方法之间的区别。把正整数集合和10的倍数集合分别排好并作一一对应可以表明它们是一样大的(这是布鲁斯的策略):
          


                          
与之相对的是,从正整数集合中直接去掉所有10的倍数,留下一个无穷集合(这是克拉克的策略):

 


                                                                                                                   

 

一些进一步的思考


1、 你可以尝试构造一个过程,通过在合适的时间,把克拉克的策略转变为布鲁斯的策略来使得袋子里最终留下的球数可以是任意一个指定的正整数。试试看,设计一个能够留下5个球的策略。


2、 戴安娜在参与实验的时候,球是不可区分的。考虑她的第k步放入/取出。
2.1  在这一步之后,一个随机的球还留在袋子里概率是多少?
2.2  在这一步和下一步之后,一个随机的球还留在袋子里概率又是多少?
2.3  你能用这些结果计算出在无限多步后一个随机的球留在袋子里的概率吗?
2.4  这个计算结果是否提供了一种方式,能够回答在无限多步后戴安娜的袋子里有多少个球?
2.5  在布鲁斯的情形中,他总是在取出球之前立刻放入10个球,那么最后一个球是怎么被取出以至于袋子里一个不剩?
   
3、 想象一下,在克拉克的袋子中有一个小妖精。当他试图取出10号球时,小妖精把数字0擦掉了,使得这个球变成了1号球;又给袋子里原本的1号球后面加了个数字0,使它变成了10号球。当克拉克取出20号球时,这个小妖精又这么做了——把20号球变成了2号,把原本的2号变成了20号。对于30、40号等等,它都如此进行。小妖精的重新标号是否意味着最终克拉克袋子里球的数量为0(就像布鲁斯一样)?
3.1 如果是,那么说清楚这是怎么回事?他取走的仍然是完全相同的那个球!
3.2 如果不是,那么最后袋子里剩下的那些球标号是什么?

4、 显然,超级任务是不可能实际做到的。那么你是否认为这些悖论表明了超级任务甚至在逻辑上都是不可能实现的?

 

 

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计算它们?那只是数学海洋中的一滴水

 

作者:N_a_O_H_ , 哆嗒数学网群友, 常年活跃于数学贴吧。

 

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和朋友们聚餐吃饭,他们总会把最后验证账单的活交给我。我说我算不出来,还是按计算器吧。于是伴随着目瞪口呆,他们会惊诧地问我:“你不是数学系的吗?”

 

在诸多情况想,包括在研究中,这类体力活般的运算都交给了计算工具,比如说计算机。计算机,顾名思义,最初是人们发明出来代替人们进行计算工作的机器。随着编程语言被应用于计算机,人们可以精确定义给予计算机的指令,并且能以比人工计算快得多的速度得出结果,精确程度亦是令人信服。


人们利用计算机处理一个庞杂的计算任务时,依赖的是一种叫做循环结构的东西。这种结构把本身复杂的运算转化为一步一步的,每一步都依赖一个离散变量的小型计算,只需设定好想要的步数,就能令计算机按照这规定的步数进行一次次的机械的简单运算。就像织布机和流水线一样,这种简单机械的工作交给计算机是再适合不过的了,计算机运算的效率与准确程度都远高于人类。随着人们对数学的深入了解,指数函数,三角函数以及对数函数这些超越函数都可以通过这种循环结构计算了,而这些运算是初期的编程语言没有规定的。

 

泰勒公式是计算这些函数的一种方法,把上述函数转化为一个多项式,这些多项式每一项的系数也是有特定的规律的。这样,每一项的指数与系数都有规律可循,那么用循环结构执行就成为了可能。按照这种思路,就连定积分的计算也可以交给计算机了。

 

看上去很厉害,没错吧?


请仔细留意我上面的措辞。我说,计算机用泰勒公式去运算那一系列超越函数的函数值,这听起来似乎没有半点问题。然而泰勒公式是用一个多项式近似表示函数某点周围的性态,注意是近似!泰勒公式只是个有限项的多项式,只要你愿意你可以写出它的任意多项,但是它始终是有限项的。真正恒等于那些超越函数的是它们的泰勒级数,泰勒级数是一个无穷和。你用泰勒公式无论怎么精确,都只是泰勒级数的一个部分和,也就是其中有限项的和,其结果永远与精确值相差一些。

 

简单来说,得到上诉精确值或者近似值的方法,就是本文说的“数值计算”(这里打个引号,避免和真正专业的数值计算这个分支误会)。


计算机也可以计算定积分的数值,我们可以完全按照定积分定义相仿的思想来计算——取曲线下一列纵向的细长矩形面积之和来逼近曲线下的精确面积。这样的方法下,计算机无论如何努力,都只能把曲线下的面积化为有限个矩形之和,其结果自然与精确的结果有所偏差。当然,我们可以改进这些计算方法,比如把矩形改成梯形,或者利用根高级的理论简化步骤,但是我们得到的还是有限次计算得到的精确值或者近似值。

 


有人说,计算机进行了那么多次运算,其得出的结果的误差已经非常小了,以至于人们随时都能把它扔掉。不要着急,我完全没有要责难计算机计算能力的意思。我说了这么多,只是想说上述计算并没触及到数学的一个基础核心概念:无穷。


无穷这东西,其实并不像它们在实平面中那样离我们那么遥远,而是一直在我们身边。小学二年级引入了除法的概念,老师一再强调0永远不能作为除数。那时我想勤于思考的孩子都想过,那么0做除数会是什么后果呢,比如说1除以0?抱着好奇心他们把这个算式输进了计算器,得到的却是一个冷漠的Syntax Error,于是只好就此作罢。到了后来,随着知识的不断积累,学生们意识到了任何0之外的数除以0,得到的是无穷大,因为你无论有多少个0,它们的和就一定是0,所以结果只好是无穷大了。这种想法倒无可非议,只是流于想象,并不十分不严谨罢了。于是,“n/0”这类形式的无穷,大概就是我们最早能够接触到的了。


感谢数学家柯西和魏尔斯特拉斯,我们终于有了一种严谨的方式定义,证明和计算极限。那么我们回到上面的例子,我们还是来研究1/x在x=0处的极限。这次先让计算机来做。直接输入1/0会让电脑爆炸,所以我们只能通过一系列尽可能接近于1的数字来研究结果,1/0.1=10,1/0.01=100, 1/0.0001=10000, 1/0.00000001=100000000...千万不要以为这一系列结果告诉你很多东西,尤其是不能错误地就这几个结果,我们就臆断,x越接近于0,1/x越大,而这恰好是许多对数学不了解的人所犯的错误。数学中,对于有限的极限有这样一个性质:某处的极限存在(或者都趋于无穷),当且仅当每一个收敛到这点的数列,都收敛到一个相同值(或者都趋于无穷)。因此,为了用计算机证明这种极限,我们必须证明任意一个这样的数列都趋于正无穷,这将意味着我们必须验证无穷多个数列的结果,而且,就算我们能够验证无穷个序列的结果,那么对于这每个序列都有x趋于0时,y不断增大,注意我们能得出的只是不断增大这个事实,至于有多大呢?计算机暴力验证的办法,就行不通了。
 



来看另一方面,人们可以用极限的严格定义来证明,1/x在0处的值为无穷。容易验证对于任意给定的正整数N,存在0附近的某个点x,使得|1/x|>N。数学分析的知识告诉我们,1/x的绝对值可以比任何一个正整数都大,自然就是无穷大了。

 


从这里,我想引出这篇文章我真正想说的。我们数学系做数学的方式是用理性推理去证明数学问题的,这些数学命题很可能涉及无穷的概念。我们大多数人不会去纠结一个复杂的加减乘除运算式子,如何快速心算得到结果。比如,上面的命题“1/x在x=0处的极限为无穷”这一命题就是一个例子。暴力计算的思路很难验证一个涉及无穷的数学性命题,绝大多数情况下都只能验证有限个情况下命题的真伪性,而无法从本质上证明或证伪它。

 

下面我想再举另一个例子,这是我这周的C++课作业内容。作业要求编一个程序,来算采矿和淘金两种方法的收益,已知两种方法中,各有一定的概率获得一定数量的收入。要求设定一些随机变量,然后把程序跑1000000次,求平均数。这个作业的目的再明显不过了,无非是要验证数学实验的结果符合某个期望。作业中(具体的作业内容我不再叙述了)按照数学推理计算能得到数学期望的理论结果,采矿的期望收益为75美元,淘金为68美元。而用程序跑出来的结果,始终与这两个结果相差一些。诚然,如果你用程序模拟的结果最终成两个分别以75和68为中心的正态分布,或者能验证这个程序计算的次数越多(多于1000000次),结果越接近于75和68,那么自然是有说服力的。然而,尽管做出一个很大的样本,也不能从数学理论上认定,他们的数学期望就是75和68。如果要认定,两种情况都要求无限次的运算。而我们能通过有限次运算得出的,从某种意义上来讲是苍白无力的,看上去很接近75和68的结果根本不足以说明数学期望的存在性——无论他们怎么接近目标值。反过来说,倒是因为有了理论上数学期望的存在,多次运算后的结果一致地逼近某个数值,这样的一个结果才是可能的。我们熟知的投针实验和抛硬币实验都是一个道理。


这揭示了一个事实:在一些人认为很厉害的“数值计算”,在我们做数学的时候只是一个验证的工具,很多时候也许能给我们一些启发,但是大多时候一个数学理论突破的瓶颈跟计算机的这种计算没有半毛钱关系。甚至,我可以说严重一点,正如伟大哲学家康德也指出的,这些算式都是一个个经验性的命题,永远不会有真正的普遍性,从而没有指导意义。

 


这些“数值计算”够做到的,只是穷举和有限的运算,总而言之能做到的东西有限,不足以归纳证明带有任意性的命题,也就是本身蕴含着无穷的那些。实际上,计算机要做到真正的数学推理,需要换一种办法。这也是数学家们研究的一个领域,叫做机器证明。它的思路,已经不是“数值计算”去得到一些近似值,这个不是本文想讨论的范围。

 

 

在文章的最后,我想描述一下,有限在无限面前是多么渺小。

 


现在的计算机,如果要他完成一个需要2的500次方步骤才能完成计算,那简直是不可能完成的任务。但在,无穷面前,他可能只是一个很平常有限数,很多时候都可以忽略不计。比如,前面验证极限的时候,这个数字都出不了场呢!

 

说到底,这些“数值计算”可以覆盖的数学中的领域,标题上还高估了呢。所以,我是数学系的,但是是不会帮你们验证账单的。

 

 

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高德纳:数学绝对有用!

 

 

原文作者:Bruce Ferrington,数学普及作家。

译文作者:Humphrey Liu,哆嗒数学网翻译组成员,中学教师

校对:Donkeycn

 

 

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致歉

 

今年三月,我出版了对一些杰出科学家的采访,咨询他们关于数学教育的经验和在他们的科学领域中是如何使用数学的。那时,我收到了传奇的计算机科学家、数学家高德纳教授的邮件回复,这封邮件却被我忽视而没有打开。

 

今天我收到高德纳一封礼貌的邮件,他想知道他之前的回复出了什么问题,为什么我没有告知他参加“科学中的数学”项目。当我检查我的收件箱时,发现那封邮件从三月以来一直在收件箱躺着(编者注:作者的这篇文章是同年的11月写的),而我没有打开和阅读它。

 

我感到深深地内疚,为自己的疏忽对高德纳教授致以公开的道歉。我也回复了他的邮件并致以真诚的歉意.

 

请阅读以下高德纳教授对我所问的十个问题而提供的慷慨回复.高德纳教授是斯坦福大学名誉退休教授,“算法分析之父”,若干计算机程序系统的创造者,字型设计系统Metafont的创造者,也是《计算机程序设计艺术》一书的作者——此书是计算机程序员的圣经。

 

以下为高德纳教授今年三月回复我的邮件的注记,他热心的评论让我感到更加惭愧错过打开他的邮件。

 

布鲁斯,你好

 

十个问题的回答如下!

 

对于学习来说,一个最重要的方面是如何问好的问题。你肯定把这一条学得很棒。

 

最美好的祝愿

 

高德纳

 

 

1、 描述你念书的时候数学课是怎样的?

 

我们这代人(在美国威斯康辛州)在二年级学乘法表,五年级学分数,九年级学代数,十年级学平面几何,十一年级学复杂算术,十二年级学立体几何。我提出的很多数学问题老师们都无法回答,所以我的大部分时间只能用于思考其他学科(英文,拉丁文,物理,化学,生物,音乐)的问题。但在我家,父亲有一台机械式加法乘法计算器,我很喜欢玩它。我花了数百小时用于画形如sqrt(x+a) – sqrt(x+b) (sqrt表示开方运算,其中a,b可以取不同的值)的函数图像,由于使用了不同颜色的铅笔,所以我可以将不同的图像画在同一张纸上。”)

 

 

2、 你在学校学的数学对你以后的生活有用吗?

 

绝对有用。我在数学课上学的东西没有一个不在反复使用的。例如,几何课不仅教我如何严格的证明,也为我创造字型设计系统Metafont语言提供了想法。很多字体是用这种语言设计的,这些字体正被全世界数以百万计的人使用。

 

3、 你心算需要有多优异才能在头脑中做计算?

 

我很欣慰我能记住乘法表直到12×12。不过我觉得记住更多(比如直到99×99)将浪费时间。仅仅当问题相当容易或者问题中含有符号而不仅仅是数字的时候,心算是非常重要的。当我做研究的时候,我通常开始时会使用很多草稿纸进行部分计算。而我边游泳边思考这个问题时,最终获得了灵感,然后通常就解决了能解决它。

 

4、 数学教导我们可以把两个事物放一起而创造一个新事物,这在你做的事情中重要吗?

 

复杂的结构是由简单的结构用简单的方式结合的。我认为计算机科学家能比数学家更好的明白这点,因为我们学会了如何在一台机器中表示多种数据。



5 、 数学是关于发现模式的。你在研究中需要寻找模式或者模式的反例吗?

 

是的,我觉得数学事实上是模式的科学。我日常处理的模式是一些事物之间的规律,而不是数字之间的规律。不过数值模式也非常重要:例如

1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42 ,等等.

13=12,13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2,等等.

 

 

6、 数学也教导我们平衡和相等,这种观念在你的研究中有用吗?

 

在前面提到的字型设计系统Metafont语言中,我们通过用某些关键的点应满足的方程所画的直线来表示字母A的形状。“左干从基线开始,距离边框左边沿半个单位,直到大写字高,左干的斜率等于右干斜率的相反数。”

[参考: 《计算机现代字体》,第369页。]                      


 

7、 数学帮助我们表示数量和数值测量,你工作中做这些吗?

 

实际上我描绘希腊字母π的程序,有两个地方使用了数字3.14159. [《计算机现代字体》,第159页。]


 

8、 估测足够精细吗或者你需要精确测量事物吗?

 

计算机科学家必须特别仔细,因为小的错误很容易被放大,并导致灾难性后果。
 

 

9、 你怎样使用统计来分析你的结果?

 

我工作很多都涉及比较不同的计算方法,以此确定哪一个最快。基本的统计,比如关于运行时间的最大值,平均值,中位数,以及方差在分析中是关键的。更大胆的说,在今天已知的大多数计算方法中,随机数和概率的概念是绝对本质性的因素。
 

 

10、 你还有其他的关于在你的工作中如何使用数学的领悟吗?

例如,当我刷牙时,我需要覆盖八个区域,分别为左和右,上和下,内和外。最有效的方式是沿着哈密顿路或者格雷码。

左上外侧

右上外侧

右上内侧

左上内侧

左下内侧

右下内侧

右下外侧

左下外侧

 

 

 

高德纳教授,非常感谢你回答这些问题,感谢你参与“科学中的数学”项目。你带给我很多思考,也希望能带给其他许多人思考,甚至在牙齿健康方面你也给了很好的建议。


再次为我在三月份项目早期没有包含你的观点而致歉。

 

 

 

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如何定义三角函数才算严谨?

 

 

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从初中开始,我们就开始接触三角函数了。初中的时候,三角函数是在直角三角形中定义的。直角三角形中一个锐角的对边比上斜边就是这个角的正弦值,而余弦值被定义为这个角的邻边与斜边的比值。

 

 

初中的定义,使得我们对三角函数的研究停留在锐角的范围内。到了高中,我们利用单位圆和有向线段把三角函数的定义域扩大到了可以取到任意实数。于是,三角函数成了实数R到实数R的函数。

 

 

然而,如果你真较真儿的看看以上中学阶段的两种定义的话,你会发现以上两种定义方式都离不开“画图”,而看图说话的方式依赖人的感觉——视觉,这不是一种数学意义上的严谨方式。再深入一点,单位圆和有向线段定义三角函数的方式,需要把角的大小对应成为实数,而对应实数的方式,要么用到某个扇形的面积,要么会用到圆上某段弧的弧长。然而,你在圆上截取的这部分扇形的面积,或者那段弧的弧长分别存在的理由是什么呢?奥,你会说我画出来了,看吧,它就是占了一块地方,或者就是一截长度——我相信是对的,但是这样的理由依然是感觉的,而非数学逻辑的。

如果,按数学严谨的逻辑应该怎么做呢。我们可以完全依照公理与逻辑从自然数理论(可以用ZFC或者皮亚诺公理导出自然数的相关理论),发展出有理数理论,再而发展处实数理论。理由实数的完备性的公理,发展处极限理论、微积分理论,再而级数和微分方程理论。这些基础,都可以只依赖于公理体系和形式逻辑,而不依赖与感觉。于是本文就用这些理论来定义三角函数,已经推倒三角函数的性质。——本文将用无穷级数定义三角函数。利用无穷级数或微分方程也是到目前为止,严谨的定义三角函数的最佳方案。

定义三角函数的核心也就是定义正弦和余弦函数,下面我们会围绕这个来展开讨论。

我们用级数来定义下面两个函数:

 

 

我们后面证明的公式,很多可以利用级数之间的四则运算直接得出(比如2sinx cosx = sin(2x)之类),但是我们哆嗒君并不打算这样做,下面所有的关键推导,我们都尽量避开一些艰深的级数间运算的技巧,虽然那很直接(比如证明存在使得sinx小于0的x的时候,可以直接估计计算sin5,sin6之类),但是,对一些普通人来讲,那过于麻烦了。


1、    π的定义


上面两个级数对任意实数x都是收敛的。而且很容易看出sin0 = 0, cos0 = 1 。


另外我们也很容易得到上面两个定义后的函数的奇偶性,即是说:

 

 

根据无穷级数的相关理论上面的两个级数都是连续,可微,且求导导数的时候还可以使用逐项求导的方法。

于是我们得到

 

 

于是有,

 

 

说明sin² x + cos² x 是常数,代入x = 0,得到

 

 

利用上面的式子,我们还能得到关于两个函数的上下界的不等式。

 

 

注意到sin x 连续可导,导函数在零点为cos0 = 1 > 0,说明sinx 在0 点的某个右邻域内单调递增,从而在某个区间(0,δ)上,sin x > 0。(*)

 

我们估计一下来说明sinx存在大于零的零点。这只需要说明sinx有取得负值的点。显然,sinx,cosx在任何区间上都不恒为常数,于是我们假设sinx > 0恒成立,这时cosx是单调递减的,用下面两部分文字来推出矛盾。

 

若cos x 非负恒成立,则有sinx单调递增,于是由单调有界原理,可设

 

 

则由拉格朗日中值定理,有下面的矛盾:

 

 

若存在y使得cos y小于零,那么当x≥y时,cos x < 0,说明在这个区间上sin x单调递减。

 

于是由单调有界原理,可设

 

 

则由拉格朗日中值定理,有下面的矛盾:

 

 

于是,存在y,使得siny < 0,也就是说存在x > 0,使得sinx = 0。

 

于是我们把下面的实数定义为π。

 

 

因为sinx的连续性和(*)的结论,上面的下确界inf符号其实可以换成最小值min,即有π > 0 ,sinπ = 0 。

 


2、 和角公式和诱导公式

 

这一部分的内容需要用到常微分方程的相关理论。

 

注意到,sinx与cosx 都满足下面这个二阶常系数线性方程:

 

 

因为sinx和cosx是线性无关的。于是上面方程的解一定有形式:

 

 

而对应任意实数y,sin(x+y)也满足上述方程。所以

 

 

代入x = 0,x = -y 得到

 

 

同理可得,

 

 

于是我们得到了和角公式。

 

令x = y = π/2 , 得到

 

 

注意到由π的定义可得sin(π/2) > 0,可以得到 cos(π/2) = 0, 从而利用sin²x+cos²x=1这个式子得到sin(π/2)=1。再利用一下cos x 在[0, π]的单调性(由π的定义这个区间上cosx 的导数-sinx 非正),得cosπ=-1。

 

于是反复使用以上公式,我们得到诱导公式,

 

 

于是我们知道2π是sinx 和 cos x 的一个正周期,实际上它还是最小的正周期。比如用sinx来说,2π不是最小的正周期,那么存在正数T < 2π还是sinx的正周期,下面三种情况都会得到矛盾。

 

  若T < π , 则 0 = sin0 = sin( 0 + T ) = sinT ≠ 0 。


  若T = π , 则 1 = sin(π/2) = sin(π/2 + π) =- sin(π/2) = -1  。


  若π < T < 2π , 则 0 < T-π< π , 有 0 = sin 0 = sin( 0 + T ) = sinT = -sin(T-π) ≠ 0 。

 

于是,正弦和余弦函数关于周期的性质我们也得到了。

 

反复利用和角公式,我们得到正弦和余弦二倍角公式是三倍角公式。

 

 

利用这些公式,我们得到常用的一些特殊锐角的值,

 

 

 


3、 反函数

 

我们已经知道,-sinx 在[0,π]内是非正的,且只有孤立的x = 0,π两个点上取得零值。这说明,cosx 在[0,π]上是式单调递减的,于是在这个区间上有反函数,记为arccos x。

 

而sin x = cos(π/2 - x) ,利用复合函数的性质,得到sin x 在[-π/2, π/2]上单调递增。于是sin x 在这个区间上有反函数,记为arcsin x 。

 

特别的,我们有arcsin 1 = π/2 , arcsin (1/2) = π/6, arcsin 0 = 0。

 

利用反函数的求导法则,对y=arcsin x求导,得到,

 

 

同理有

 

 

 

好了,我们已经把正弦和余弦函数的中学中常用的性质推了个遍,那他和圆有什么关系呢?

 

 

 

4、 圆的周长和面积公式

 

我们知道,圆的周长和面积都是由解析式x²+y²=r²(r > 0),所围成图形决定的。而对于这样图形的面积和曲线长,我们利用积分(依赖于极限)有严谨的定义。

 

对于面积,由于对称性,我们计算下面这个定积分的4倍。

 

 

而对于后面的积分,令其为I,我们有

 

 

得到I = πr²/4 , 那么它的4倍就是半径为r的圆的面积,πr²。

 

对于连续可导的函数y = f(x) ,在区间(a,b)上的那一断曲线长为: 

 

 

于是由于对称性,圆的周长就是下面这个定积分积分的4倍。

 

 

于是4倍就得到半径为r的圆周长2πr。

 

我们通过上面的积分计算,建立起了圆的两个重要几何性质与之前定义的π的联系。最后我们要看看,π的值到底是多少。

 

 

 

5、 π的值是多少

  微积分中,我们知道,下面的公式(|x| < 1,规定(-1)!!= 0!! = 1):

 

 

得到:

 

 

两边积分有,

 

 

代入x=1/2 有

 

 

这个级数的收敛速度还不错,要计算到3.14…..的精度只需要计算4项,计算到3.1415926......的精度只需要10项,耐心一些用手算都可以出结果。它比一般高数书给出的用arctanx的展开式计算π/4的速度快了不少,而后者,就算计算到500项也得不到3.14......的近似值。

 

 


学数学一定追求严谨到极致?

 

有句话说得好,数学的严谨就像衣服,太紧了不行,太松了不好。如果用这种最严谨(目前)的方式来作为起点学习三角函数,这种丧失全部直观的方式其实并不符合人们认识新事物的规律。另外,由于理解这种方式,需要对实数理论、微积分相当熟悉,而后者要到大学才开始接触,会拖后三角函数的学习进程。毕竟大部分人使用三角函数,都是使用其函数性质而非它的逻辑底层,完全没必要把这部分知识放在那么后面。


但是,如果我们追求一个理论的逻辑上的完美,在有一定数学功底之后,来回味一下从实数的基本理论来建立三角函数(或者其他初等函数)的过程,借此品尝一下数学的“极致严谨”小甜点也是一件很有趣的事情。

 

 

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七个赌博游戏改变世界!

 

原文作者:Alex Bellos,巴西数学科普作家。

译文作者:xyz,哆嗒数学网翻译组成员,就读于华东师范大学

校对:小米

 

 

赌博有其罪恶之处,却有助于塑造现代社会。本文中,数学家亚当•库哈尔斯基讲解了赌博和纸牌游戏启发科学领域中许多原始想法的方式。

 

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1.掷骰子游戏和新科学的诞生


十六世纪时,运气是无法被量化的。如果有人在一局摇骰子游戏中摇出两次6点,人们认为这是运气使然。吉罗拉莫•卡尔达诺,一个一生好赌的意大利籍物理学家,却并不这么想。他决定用数学方法处理赌博游戏,并写了赌徒手册,里面描述了如何驾驭概率事件的“样本空间”。例如,两个骰子有36种放置方式,但只有一种是两个6点。


这就是概率论的起源。这意味着我们可以量化一件事的可能性,并精确算出我们有多幸运——或者多不幸。多亏他的新方法,卡尔达诺在赌博中挣到了很大一笔钱,同时,数学也有了一个新的研究领域。

 

2.点数分配问题


假设你和一位朋友玩掷硬币游戏,并且第一个赢六次的人得到£100。如果游戏在你5-3领先时结束,你们该怎么分这一笔钱?1654年,法国贵族安托瓦尼•贡博就上述的“点数分配问题”向数学家费马和帕斯卡寻求帮助。


为了处理这个问题,费马和帕斯卡发明了名为“期望”的概念。这个新概念指的是:如果游戏被不断重复进行,每一方平均获胜次数的比例。现如今,这个概念是经济和金融的重要部分:通过计算一项投资的期望,我们可以算出该投资对每一派的价值是多少。


在掷硬币游戏中,你的朋友(3-5落后)需要连续掷对三次才能获胜。这件事发生的机会是1/8,而你平均在8局游戏中会赢得其余7次。因此,这笔钱应该以7:1的比率分配,也就是£87.50对£12.50。

 

 

 

3.轮盘赌和统计学


19世纪90年代,摩纳哥报会经常刊登蒙特卡罗赌场的轮盘旋转结果。在当时,这正是卡尔•皮尔逊想要的。他对随机事件极感兴趣,并需要数据去证明他的方法。不幸的是,轮盘不像他期待的那样随机。“就算蒙特卡罗轮盘从很远很远的地质时期就开始转动,”皮尔逊在研究数据后说道,“我们都不指望报纸上这两周的轮盘结果会出现——哪怕一次!”


皮尔逊的方法,经过轮盘分析的打磨,已成为科学的重要组成部分。从药物试验到欧洲核子研究所的实验,实验员计算完全靠运气获取结果的几率,并依此检验理论。这使他们能够确定是否有足够的证据支持他们的假设,或者这些结果是否只是巧合。至于皮尔逊持续关注的轮盘数据,下述解释更接近真相——懒惰的摩纳哥报记者并没有记录轮盘结果,而是捏造了数据。

 

 

4.圣彼得堡彩票问题


假设我们进行如下游戏,我反复掷硬币,直到正面第一次出现。如果正面在第一次掷就出现了,我给你£2。如果正面在第二次掷时出现,我给你£4。如果是第三次才出现,我给你£8,依此类推,每多一次,金额翻倍。那么,你愿意付我多少钱来玩这个游戏?
    
由于其期望值(也就是当这个游戏被进行很多次后,其平均支出)极其巨大,这个名为圣彼得堡彩票问题的游戏使18世纪的数学家感到困惑。然而,很少有人愿意花一笔钱钱来玩这个游戏。1738年,数学家丹尼尔•伯努利通过引入“效用”的概念解释了这个困惑。一个人的钱越少,他就越不愿意在赌博中冒大风险赚大钱。效用现在是经济学领域的核心概念,实际上也支撑着整个保险行业。我们大多数人宁愿进行小的定期投资以规避潜在的巨大风险,即使我们总体上会收获更多。

 


5.轮盘赌和混沌理论


1908年,数学家庞加莱出版了《科学与方法》,他在该书中思考我们做出预测的能力。他指出像轮盘赌这种游戏的随机性在于球的初始速度的差异——这种速度很难准确测量——并对球的落点有很大影响。20世纪下半叶,这种“对初始条件敏感的依赖性”成为“混沌理论”的基础概念之一。其目的是研究对于物理与生物系统可预测性的极限。


当混沌理论成为一个科学领域时,其与轮盘赌的联系依然存在。20世纪70年代,混沌理论的开拓者的其中一部分是像多因•法默和罗伯特•肖的物理学家——他们把电脑偷偷地带到赌场中,以测算轮盘赌中球的速度——并用这些数据成功预测了结果。

 

 

6.纸牌游戏和模拟的力量


计算机在概率学中有重要地位。20世纪40年代,计算机有了重大发展,这要归功于一位名为斯坦尼斯拉夫•乌拉姆的数学家。与许多同行不同,他不喜欢进行冗长的计算。他曾经打坎菲尔德牌戏——一种源于赌场的单人纸牌游戏——并思考以怎样一种方式才能赢得游戏。这位数学家意识到与其尝试并计算所有可能性,还不如多进行几次游戏并观察结果。


1947年,乌拉姆和他的同事约翰•冯•诺依曼应用了一项新技术用以研究位于新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯国家实验室中的核连锁反应,并给它起了代号“蒙特卡罗方法”。通过使用计算机重复模拟,他们可以解决那些对于传统数学来说过于复杂的问题。自那时起,蒙特卡罗方法成为了从计算机图形到疾病疫情分析等众多行业的重要组成部分。

 

7.扑克牌和博弈论

约翰•冯•诺依曼在很多事情有辉煌成就,却并不擅长扑克牌游戏。为了研究什么样的策略更有效,他决定用数学方法分析游戏。尽管如何处理卡牌是一个概率问题,单纯解决这些问题并不足以获胜:他还需要预测他的对手的行动。


冯•诺依曼对于扑克牌和百家乐这样的游戏的分析引导他进入了“博弈论”的领域,也就是研究不同玩家的策略和决策的数学领域。约翰•纳什在冯•诺依曼的基础上进行研究,他的故事被翻拍成了电影《美丽心灵》。自那时起,博弈论逐步进入经济学,人工智能,甚至是进化生物学。也许由赌博引发的想法渗透进了如此多的领域并不会让人过于惊讶。正如冯•诺依曼所言,“真实生活中充满了虚张生势”。

 

 

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凯莱三次结点型曲面

 

原文作者:John Baez

译文作者:Donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员,华东师范大学

 

 

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一个三次曲面是一个由3次多项式方程所定义的曲面。一个结点型曲面是一个仅有的奇点都是普通二重点的曲面:也就是说,它的奇点看起来就像是3维空间中按下面方程所定义的锥面的锥顶。

 

 

x² + y² = z²

 

 

凯莱三次结点型曲面(参见上面由 Abdelaziz Nait Merzouk 给出的图),是拥有最多(即4个)可能的普通二重点的三次曲面。事实上,每一个拥有4个普通二重点的三次曲面都与它是同构的。

 

 

 

 

凯莱三次结点型曲面可由如下方程定义:

 

wxy + wxz + wyz + xyz = 0

 

 

该方程定义了一个复维数为2的C4的子集S。需要注意的是,如果(w , x , y , z)∈C4是该方程的解,那么它的任何倍数(cw , cx , cy , cz)也是。因此我们可以射影化S,将任何一个解与它的任何倍数视为是相同的。于是我们得到了复射影空间CP³中的代数簇X。该簇具有复维数2,所以它被称为一个复曲面。为了获得一个普通的实2维曲面,我们将它与CP³中的一个RP³的拷贝作交集。

 

 

现在让我们着眼于RP³,相应地我们将得到很多普通3维空间R³的拷贝。上面的图片显示了凯莱三次结点型曲面在其中一个拷贝中的部分图像。

 

 

凯莱三次结点型曲面的简单二重点出现在w,x,y,z中有三个坐标为零的地方。超平面w + x+ y + z = 1决定了CP³中的一个C³ 的拷贝;并且如果把所有四个坐标都限制为实数时,将给出一个R³ 的拷贝,同时这些二重点恰好构成一个正四面体的四个顶点。此外,凯莱三次结点型曲面的对称群是S4,即正四面体的对称群。

 

谜题1. 凯莱三次结点型曲面上有9条直线。其中6条包含了上述四面体的棱。那么另外3条呢?

 

下文讨论了凯莱三次结点型曲面的一些有趣性质:

 

·Bruce Hunt, Nice modular varieties, Experimental Mathematics 9 (2000), 613–622.

 

特别地,他解释了它是如何作为一个球的商的紧化以及某特定的阿贝尔4-流形的模空间。

 

 

谜题2. 证明:通过变量代换,凯莱三次结点型曲面也可以由如下方程定义。

 

 

w³ + x³ + y³ + z³ = (w+x+y+z)³

 

 

 

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特朗普曾反呛:陶哲轩是一个失败的分析学家

 

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前不久在美国,共和党总统候选人唐纳德·特朗普和民主党候选人希拉里·克林顿在电视上进行了唇枪舌战的电视辩论,“美国大选”这一话题有成了一些圈子谈论的热点话题。

 

我们哆嗒君之前发布过著名数学家陶哲轩发表在自己博客上说特朗普不适合当总统​的博文译稿。我们今天的话题还是关于他们俩的。

 

我们的朋友圈这两天挖出特朗普对于这件事对陶哲轩的反击,特朗普在发布推文道:“陶哲轩声称,我川普不适合做美国总统,但骗子希拉里没问题。而真像是,陶哲轩那小子只针对我是因为他是一个失败的分析学家,他连挂谷宗一猜想(Kakeya Conjecture)都证明不出来。悲哀!”

 

 

 

 

这一点倒是符合特朗普一项说话大大咧咧的作风。而提到挂谷宗一猜想,陶哲轩的确有不少博文提到它。陶哲轩多次强调这还是一个没有解决的问题,现在只有部分结果。

 

 

当然,我们不知道特朗普是否真的了解这个猜想的难度。不过,路过的我们,可以看看热闹,当一回吃瓜群众。

 

当然陶哲轩不是唯一一个揶揄特朗普的学术界大神,著名物理学家霍金也表示,自己无法用已知的物理理论解释特朗普为什么如此的受人欢迎,还说,特朗普是一个善于煽动庸众的政治家。

 

 

当然,一些美国人对霍金的说法不以为然,一位美国大叔在Facebook上评论道:霍金这样的大牛竟然不懂这个道理?一直以来人们都受够了玩弄政治的政治家,特朗普可能不是最好的反建制派候选人,但他作出了尝试,这已经是我们最好的选择了。他不是妄想家,不觉得自己是统治阶级,他就是想让美国变得更好。而且他是不会被收买的。建制派的民主党人和共和党人,有些东西没法说。

 

 

 

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对微积分的忌惮让女人们不敢搞科研

 

原文作者:Rachel Feltman,华盛顿邮报记者。

译文作者:小泽,哆嗒数学网翻译组成员,就读于早稻田大学

 

 

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我有很多让自己泄气的经历,对微积分II的学习就是其中之一。我努力学习这门课程,但它还是让我得到了有史以来的最低分。现在回想起来,我不是“不擅长数学”——我只是无法很熟练的记忆公式和定理,这与我用普通话表演戏剧或者写一篇通用电气(GE)工厂的终身环保费用的评论中的表现并不一样。而它和我在麻利地完成化学课程的实验部分时被化学考试呛住是同一件事情:对我来说记住那些东西是既困难又无聊的,可是这对数学学习来说似乎不太好。

 


当我一周两次地走向极度拥挤的微积分II教室并经过天体物理学系的公告板时,我能感觉到一种内脏搅在一起的恶心感。我知道我在基本的数学学习上做得不够好更别提研究宇宙中的恒星。除非是我能通过考试,并且比周围许多人花在课程辅导上的时间更少,作弊也更少,要是这样,我就能扎紧我的马尾辫并全心全意投入几年的物理和数学课程的学习中。我曾经如此渴望过。


【性别差异:研究发现,女性在需要努力工作的领域受欢迎,然而“天才”的领域还是在男性主导下。】


根据星期三的PLOS ONE上发表的研究,微积分可能实际上是女性在通向STEM道路上一个常见的流失原因。性别差异在缩小但是没有完全消失——根据美国劳动力统计局的数据,女性构成了国家总劳动人口的47%,但是女性在其中,只占到化学家和材料学家总数的39%,环境学家和地球学家总数的28%,化学工程师的16%以及土木工程师总数的12%。许多研究员在寻找女性教育中可能因为性别偏差而被过度消极对待的问题点。新的研究表明大学里的微积分I课程可能是一个主要转折点。


作为领头研究员的科罗拉多州立大学数学系助理教授的Jess Ellis说她没有打算去研究性别差异:她的工作被国家科学基金会资助并受美国数学协会的帮助指导。她的工作致力于在整体上了解微积分教学在全美的总体情况。


【即使他们看到了证据,男性(在网上)也不相信性别歧视会在科学研究领域里是一个问题。】


在微积分I考试的前后,全国范围内有14000名学生接受了调查(在分析中只包括了5000人提供的足够完整的数据,但是那依然使得这个研究是此类研究中涉及范围最广的)。他们被要求回答关于对STEM学位的兴趣和追求STEM学位的意向,同样还包括了他们的考试成绩,经历和背景的一些问题。


Ellis想知道那些本计划坚持学习微积分II的学生是否真的在学完微积分I后继续学习,并且想看看她是否可以在那些学生的经历中找到可以解释原因的某种模式。


“分析数据时我们意识到不同的性别似乎是一个主要的差异并决定深入调查。”Ellis告诉华盛顿邮报。


男性和女性学生回答了关于他们抛弃微积分的决定,其结果相当一致--除了一个明显的例外:

 

 

想从事STEM的

喜欢STEM的

不打算继续学习微积分II的原因

男性
(37)

女性
(48)

男性
(36)

女性
(158)

我更改了我的专业所以现在不需要学微积分II

70%

65%

33%

32%

为了把微积分II做得更好,我可能需要更多时间并付出更多努力

41%

35%

38%

37%

我在微积分I的表现使我决定不学微积分II

32%

38%

42%

45%

我还有其他好多课程要完成

27%

25%

50%

50%

我不相信我对微积分I的理解程度能够去学好微积分II

14%

35%

20%

32%

我的微积分I的成绩不好不能学习微积分II

16%

19%

15%

15%

 

不超过五分之一的选择不继续课程的学生因为分数太低无法继续学习(无论性别)。但是在选择STEM专业的学生中,认同“我不认为我在微积分I的理解足以好到让我继续学习微积分II”这一观点的女性的数量是男性的两倍多。


“作为老师这很令人伤心,但也在意料之中。”Ellis说到,“我曾经教过很多在数学上有很强思维的女性学生,但是她们对自己的信心却和她们的能力不相匹配。”


【新的研究表明,大脑实际上并没有“男性”和“女性”之分。】


当然,有人可能会争论说女性是正确的,也许她们真的无法像男性那样把微积分理解得很好。但是男性和女性在数学上的表现的差别更可能是在文化上的而不是大脑上:研究发现男性和女性几乎都潜意识里假设男性在数学上表现更好,而且这个偏见甚至可以影响小学老师给年轻男生和女生的数学作业打分的方式。研究发现,和男生同样的作业,那些被老师打了低分的女生,她们长大之后在数学方面做得更糟,然而男孩变得更加自信。


最近的研究发现如果女生父母是来自性别比较平等的国家的话,她们在数学上的表现更有可能赶上男生。一些研究员甚至暗示我们国家的STEM隔阂可能是特权和性别定式化混合的结果:“我们的国家能够很大程度上能支持公民的个体奋斗,使得孩子们可以找到使他们幸福和成功的工作。但是课堂里有这么多的无意识的偏见,也难怪许多女生认为她们成功的最好机会只在科学领域之外。


Ellis和她的同事希望她们的新数据能够鼓励各个阶段的老师,尤其是那些教微积分I的老师,让女性通往STEM的路上不再因为上面的原因而流失。她们也在深入挖掘那些来自少数族裔,低社会经济地位和拥有第一代移民背景的学生的动向的数据。

 

但是让女性学习微积分II并不能解决所有科学领域里的性别问题。流失的原因很多,不一而足。


【科学研究的性别歧视:同龄的编辑告诉女性研究者她们的研究需要一个男性作者。】


“有许多工作研究在STEM生涯的不同阶段的男性和女性的经历,并表明随着时间推移的不同经历。在学院人员设置方面,这些经历可能和手稿的审查,终身职位和升职决定还有休假奖励有关。我没有意识到这其中任何一个直接地影响我的工作,但是我意识到这本身就是一种可能性。”Ellis说。


还有一个老生常谈,在STEM领域工作的女性,不论是学生还是教授更有可能面临性骚扰。这个问题在今天越来越突出,要让学术界像欢迎男性一样欢迎女性的加入,依然有很多工作要去做。


即使“性别歧视不好并应该被抛弃”这句陈述对你没什么用,但还是有很多原因去强调这个事情。下一个十年,估计STEM领域能够高速发展,几百万本应该进入STEM领域的工作人员却没有成为这些领域的毕业生。白宫发起倡议安排这些更多的STEM工作人员走上学术道路,而且针对性别平等的工作将会使人才储备扩大很多。
 

 “作为一个团体,我们需要正视研究已经展现的东西,以及研究在字面以外蕴含的东西,STEM领域里工作力人口总数和可能对这个领域做出贡献的人口总数不相称,并且我们可能会因为在STEM领域中有了更多样化的视角而获益。”Ellis说。

 

 

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全是判断题的卷子怎么评分?

 

 

原文作者:陶哲轩,加州大学洛杉矶分校数学教授,2006年菲尔兹奖得主。

译文作者:念琦,哆嗒数学网翻译组成员,就读于东北师大附中

 

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注:以下是对我做了一些评分工作之后产生的新想法和有关计算的记录。这个类型的问题可能已经在某些文献中被研究过了;我很乐意了解任何相关的资料。

 

假设一次考试中有N道判断对错题,每道题的答案是随机的,即答案是“对”和“错”的概率相等,并且不同的问题之间没有关联。假设参加考试的学生必须用“对”或“错”回答每一道题(不允许跳过任何一道题)。

 

那么我们很容易知道如何评分:只要数一数每个同学正确回答了多少道题(也就是每道题回答正确得一分,回答错误不得分),并将这个数字k作为考试成绩即可。

 

更普遍的情况是,我们将每道回答正确的题的得分记为A,每道回答错误的题的得分记为B(通常是一个负数),那么总分将是 Ak+B(N-k)。只要A>B,这种评分方案就相当于对前一种直接把k作为总分的模式进行了改变比例的变换,并且同样可以达到评价学生和鼓励学生尽可能多地正确回答问题的目的。

 

然而事实上,学生很可能不能绝对确定每个问题的答案。

 

我们可以采取一个概率模型,即对于一个给定的学生S和一个给定的问题n,学生S认为问题n的答案为“对”的概率是p(S,n),而答案为“错”的概率是1-p(S,n),其中0≤p(S,n)≤1,p(S,n)可以被看作一个衡量学生S对这个问题的答案的自信程度的量(若p(S,n)趋近于1,则S对于答案是“对”有信心,反之若p(S,n)趋近于0,则S对于答案是“错”有信心);为了简化问题我们假定在这个概率模型中,每个问题的答案都是相互独立的随机量。

 

考虑这个模型,并且假设学生S希望最大化自己的得分,我们很容易发现S回答问题的最优策略是当p(S,n)>1/2时回答“对”,当p(S,n)<1/2时回答“错”。(如果p(S,n)=1/2,S可以任意选择答案。)

 

 [注意:这里的“自信程度”不是统计学中的术语“置信度”,而是一个描述主观概率的非正式用语。]

 

就现状来说这样还不错,但是对于评估学生究竟掌握知识到何种程度的目的,它只提供了一些有限的信息,尤其是我们不能直接看到学生对每道题的自信程度p(S,n)。

 

举例来说,假设S在10道题中回答正确了7道,那是因为他或她确实知道这七道题的答案,还是因为他或她对这十道题作出了合理推测,使得最终的正确率略高于随机猜测的正确率而达到70%呢?看起来如果学生只被允许回答“对”和“错”,我们没有办法辨别这两种情况。

 

但如果学生可以给出概率性的答案呢?也就是说,对于给定的问题n,学生不是只能回答“对”或“错”,而是可以给出一个如“答案是‘对’的可能性为60%”(因此答案是“错”的可能性为40%)的回答。这样的回答使我们更加了解学生掌握知识的程度;更重要的是,理论上我们将可以确切地知道学生对每道题的自信程度p(S,n)。

 

但是现在,如何评分变得难以确定了。假设100%确信正确答案的回答得一分,60%确信正确答案的回答应该得多少分?60%确信错误答案(等同于40%确信正确答案)又应该得多少分?

 

数学上,我们可以选择评分函数f:[0,1]→R,当学生对正确答案给出的可能性为p时,得分为f(p)。例如,如果学生认为“对”的可能性为60%(因此“错”的可能性为40%),在这个评分方案下,如果正确答案是“对”,学生的得分为f(0.6),如果正确答案是“错”,得分为f(0.4)。我们的问题是:在这种情况下最合适的函数f是什么?

 

直观地,我们认为f应该单调递增——对于正确答案有较高自信的学生应该得到比对正确答案自信较低学生更高的分数。另一方面,后一种学生也应该得到一部分分数。一种想法是采用线性的函数f(p)=p,即对正确答案给出60%自信的学生将得到0.6分。但这是最好的选择吗?

 

为了使这个问题在数学上更明确,我们需要一个客观的标准来评价评分方案。这里可以采用的一种标准是是否避免了不正当奖励。

 

如果一个评分方案设计得不好,学生最终可能会夸大或故意少说自己对答案的自信程度,以此提高自己的(期望)成绩:对于一个学生,一道题的最优回答q(S,n)可能与其主观的自信程度p(S,n)不同。因此我们可以设计一个总能使得q(S,n)=p(S,n)的评分方案,从而激励学生真实地写下他或她对此题的自信程度。

 

这是对评分函数f的一个明确约束。如果学生S认为问题n的答案为“对”的可能性为p(S,n),答案为“错”的可能性为1-p(S,n),而作答时回答答案是“对”的可能性为q(S,n)(因此“错”的可能性为1-q(S,n)),学生对这道题得分的期望为

 

 

 

为了使这个期望最大化(假设函数f可导:在一个部分给分的评分方案中这是一个合理的假设),学生会执行对独立变量q(S,n)求导并使结果为零的策略,得到

 

 

为了避免不正当奖励,期望的最大值应在q(S,n)=p(S,n)时取到,因此我们有

 

 

对于所有0≤p(S,n)≤1成立。这要求函数p→pf'(p)为一常量。(严格地说,应是要求函数p→f'(p)关于p=1/2对称;但是如果将问题推广到不止两个选项的多选题的情况,对于只与正确选项的自信程度有关的评分方案,同样的分析将得出pf'(p)必为一与p无关的常量的结论;这个计算留给感兴趣的读者完成。)

 

也就是说,f(p)应为Alogp+B的形式,其中A,B为常数;根据单调性,A为正数。如果我们规定f(1/2)=0(即“对”和“错”的自信程度各占50%时不得分)以及f(1)=1,我们就得到了评分方案

 

 

因此,如果一个学生认为答案是“对”的可能性为p,答案是“错”的可能性为1-p,如果正确答案是“对”,他或她将得到

 

 

的分数,如果正确答案是“错”,他或她将得到

 

 

的分数。下表中的值可用于说明这种评分方案:

 
   

 

 

我们注意到对于错误答案自信程度很高时惩罚会很严重;尤其是,学生会避免回答对某个答案有100%的自信,除非他或她真的绝对确信自己的答案。

 

在这个评分方案下,若学生S对每个问题n的回答是答案为“对”的可能性为p(S,n),答案为“错”的可能性为1-p(S,n),则总分为

 

 

这个分数也可以被写作

 

 

 

其中,

 

 

是给定正确答案的情况下学生S的主观概率模型(即学生S的答案)的似然函数。因此这里的评分系统还有一种对数似然函数的解释。它激励学生使自己的主观概率的正确可能性最大化,这与统计学中的标准做法(最大似然法)一致。

 

根据贝叶斯概率的观点,学生的分数可以被看作对学生的主观概率模型为正确(接近正确答案)的后验概率比先验概率高出多少的(对数尺度下的)量度。

 

我们可以用上述的评分方案评估对二元事件的预测,例如对于即将到来的只有两名候选人的选举,就可以在事后看看各预测者的预言起了多大作用。

 

这样做会遇到的一个困难是很多预测都不会给出一个明确的概率,而如果对任何并非完全确定的预测给出了默认100%的主观概率,只要其中任意一个预测错误,就必然产生-∞的得分。

 

但是如果预测者拒绝给出明确的概率,或许我们可以设计一个默认的主观概率p,并且(选择一些合适的该预测者做出的预测作为“训练样本”)找到使该预测者得分最高的p值。这个值作为默认概率可以被用于该预测者此后做出的任何预测。

 

以上的评分方案很容易推广到多选题的情况。但是我遇到的一个困难是如何处理不确定性,也就是学生甚至无法给出一道题的答案为“对”或“错”的可能性的情况。

 

这时,允许学生空题(也就是回答“我不知道”)是很自然的;更加高级的选项是允许学生以一个自信程度的区间作答(例如“我认为答案为‘对’的可能性在50%到70%之间”)。

 

但是对此我还没有一个很好的评分方案;一旦学生的主观概率模型中出现不确定性,由于“不确定的不确定概率”,最大化学生分数的期望的问题就会是不适定的,因此之前使用的判断是否避免了不正当奖励的标准也不再适用了。

 

 

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数学家是怎么玩连线游戏的?

 

原文作者:Kevin Knudson,佛罗里达大学数学系教授。

译文作者:Y. W.,哆嗒数学网翻译组成员,就读于北京四中。

校对:donkeycn

 

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我们都玩过连线游戏。一张图上有一组标好号的点,我们从数字1开始一个个连线段,一直连到最后就能看到一个图案。
 

上面这个连线游戏的图案是太阳。

 


 
这简单的连一个小孩儿都能做,更别说一个数学家了。


因为我们的点是有顺序的,而且我们知道要按顺序连点,所以我们可以玩这个游戏。但是,在实际生活中,我们经常遇到没有标号的点。那怎么连点才能连出一个有意义的图片呢?


我们可能不想把离的太远的点连到一起,比如我们不太可能想到把上图中在整张纸的两侧的1和13连到一起。那么到这里就需要一个标准了,到底怎样算远?怎样算近?这里可以参考沃罗诺伊图。


给定平面上的一些点,平面被划分为相应的区域(每个平面上给定的点对应于一个区域),使得每个区域中任意一点距对应的给定点比距其它任何给定的点都近,每一个区域被称为一个沃罗诺伊胞腔,这样就得到了沃罗诺伊图。下面是一个例子(一张平面上有八个点的沃罗诺伊图):
 


画一张沃罗诺伊图并不难:首先作出任意两点的垂直平分线, 这些垂直平分线形成了沃罗诺伊胞腔的边界。举个例子,在上面的分割中,中间的红色胞腔包含了距离中央的给定点距离比距离其他给定点近的点。虽然这个红色胞腔是一个有界的区域,但是其他的胞腔可以是无界的(比如右上角紫色的胞腔 )


当我们完成了这一步,就可以开始德劳内三角剖分了。德劳内三角剖分就是按照一个特定的规则连点。形式上,德劳内三角剖分是沃罗诺伊图的对偶图。但是如果你不知道上面这句话的意思,也没关系,因为这个过程很容易描述,只要对应点的沃罗诺伊单元胞腔有一公共边,我们就把它们用一条边连接起来。这保证了我们只连接“近”的点,而非 分别位于给定点集两侧的2个点。


那么,我们刚刚连出太阳的图会变成什么样子呢?来看看下面的沃罗诺伊图(给定点集的沃罗诺伊胞腔)。

 

 

好像和数字没有什么关系……不过没关系,现在来看看在沃罗诺伊图上建立的德劳内三角剖分(黑线为德劳内边)

 

 

 

现在我们可以看到一个暗藏的太阳了。但是,我们不仅连上了相邻的点,还意外连上了几个在圈 上的点。总的来说还是不错的,而且这个方法也很简单。 虽然这样,还是有一些问题的。这个方法可以在更高维的空间中运用,但计算会变得繁琐。 给定d维空间中的n个点,对应的沃罗诺伊图具有n^(d/2)(n的d/2次方) 个点。也就是说,如果d比2大很多的时候,要得到相应的沃罗诺伊图,将会不胜其烦。


沃罗诺伊图有一段广为流传的历史,包括在解决1854年伦敦霍乱爆发事件中著名的应用。医师约翰•斯诺通过不同的井分割城市,从而排查致病的水源。德劳内三角剖分还应用在在国土建模和其他曲面的可视化中。随着新计算技术的到来, 寻找能更好应用德劳内三角剖分(“应用德劳内三角剖分”改为“得到沃罗诺伊图”)的算法已经变得非常重要。


麦克•波斯多克使用机场的位置作为给定点划分的美国地图,我个人最喜欢的沃罗诺伊图。

 


詹森•戴维斯制作了一张世界机场沃罗诺伊图。这张沃罗诺伊图可以让你旋转地球表面。(传送门:https://www.jasondavies.com/maps/voronoi/airports/)建议你看看这个,挺好玩的。


现在你知道数学家是怎么连线的了,这可不仅仅是一个小孩玩的游戏哦。

 

 

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观点:科学和人生中更多的是算法而非数学方程

 

 

原文作者:JAG BHALLA,科普作家。

译文作者:mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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科学的“菜谱”中有一道新的热门食材。可以让科学变得更加美味,而数学方程却无法实现。在关键的转变过程中,需要更好的语言来实现。

 

 

1,    科学通常用数学关系来组织数据。然而Joscha Bach等物理学家们,正在刷新关于自然界“由数学写就”的观点,重新描绘宇宙为“非数学的,而是计算性的”。


2,“计算不同于数学”,数学大多是不可计算的(=不可解)。然而物质总是在计算(它总是知道该做什么)


3,对于Bach来说,物理学是关于“找到一个能够重现的算法”的数据。他称之为计算主义(computationalism),然而“算法形态主义(algomorphism)”更好地强调了算法的结构。


4,就像菜谱那样,算法有详细操作指令和操作步骤。除了Bach的可计算性的愿望之外,算法可以更好地表达顺序和条件的关键特性。

5,受过训练的物理学家们所热爱的代数方程语言(Algebraic Equation Language ,AEL)有着致命的局限性(经典案例“三体问题”)。


6,AEL的语法暗藏着更深层次的逻辑影响。X+Y=Y+X,但是“车在马之前”≠ “马在车之前”。顺序通常有重大影响(在实际生活中,即使不在代数方程语言语法里)。

7,一些人寻求只有代数方程语言的世界。Sabine Hossenfelder曾发出挑战:是否有任何人能够“写下任何……允许……自由意志的方程”。也许AEL不能描绘所需的场景?

8,Freeman Dyson说过“将物理学以外的其他科学归约到物理学并不可行”。将活细胞看作只是“一堆原子的组合”并不是最合适的。


9,构成你身体的那一堆原子执行着令人吃惊的复杂过程,组织策划着数万亿计的组成原子(=大量有序的,完全算法的,非代数的)。


10,生物学也需要算法逻辑,因为现实生活不可避免地涉及到选择(例如选择避开什么以免被吃掉)。算法提供了一种自然适用于描述选择的语言。而AEL 难以表达诸如“如果有捕食者就马上逃跑,否则就吃青草”这样的规则。


11,自然选择本身就是一个元算法。同样,经济学(~生产力选择)也是算法的(不幸的是建模者主要用AEL来描写它)。


12,宇宙中的行为富含算法。物理学已经描绘了大部分适用于AEL的场景。但是现实生活的经验模式里展现了更丰富的逻辑。


13,选择是关键(正如选择正确的语言),即使是无生命的系统——例如计算机——也体现出选择逻辑。


14,婴儿,需要强大的因果关系探测器来区分两种模式类型--物质的东西(=非选择)和有生命的东西(=展现“偶然性模式”)

15,如果一个系统能够用像电荷工作方式的“选择商(choosing quotient)”CQ来描述,将会怎样呢?带电的东西(净电荷>0)与不带电的东西所做的事情不一样。也许CQ>0的系统用能量做出的反应不同于CQ=0的系统。

16,因果性本身可以看作是允许算法可计算的状态之间的转移。

17,AEL 不能有效地描绘所有的经验模式。而算法提供了一个更丰富的调色板。

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图片来源于Julia Suits,纽约漫画家,《The Extraordinary Catalog of Peculiar Inventions》一书的作者

 

 

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一个关于开普勒方程的的实用解法

 

 

原文作者:Marc A. Murison,美国海军天文台,华盛顿特区。

译文作者:

radium,哆嗒数学网翻译组成员,就读数学专业

donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员,​华东师范大学数学博士

校对:小米

 

 

 

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摘要


我们呈现了一个开普勒方程的数值解法。这个方法实用又快捷,同时对CPU的运行时间进行了优化。 


关键词: 天体力学    二体问题       开普勒方程

 


1、    引言


开普勒方程联系了线性流逝的时间与非线性的两个天体m1和m2相对于它们的质心做开普勒运动时的相对角位置。即:
               

       (1)


其中E是偏近点角,e是轨道离心率(或轨道偏心率),M (t) = n (t − τ )是平近点角,n是该二体运动的平均角速度,τ是行星经过近日点(注:此时可认为是行星绕恒星运动,近日点即行星与恒星距离最短处)的时刻,a是椭圆轨道的半长轴,a与n满足n²=G(m1+m2)/a³。参见下图。
 

 

我们将在这里概述如何推导一个开普勒方程的数值解法。理想情况下,一个方法是否实用,应该看它是否同时具备以下两种特质:(1)计算E的CPU时间是否最小化(2)程序的复杂度是否最小化。这两个需求往往是互相制约的,但幸运的是我们可以找到一个折中的方法来解决这个矛盾。一个更详细和完整的方法会在另一篇文章中讨论,这里我们主要强调实用性。


开普勒方程是超越方程,故它的解只能通过迭代法得到。因此,任何一个数值设计的过程都有两个任务。第一个任务是设计迭代循环中的逼近算法;这个逼近算法需要重复直到结果达到令人满意的精度。一般说来迭代公式所用的阶数越高,迭代所需的次数就越少。然而,更高阶的迭代公式将使得公式的表达式变得十分复杂,这将极大地耗费CPU的运行时间。因此,无论我们选择何种算法,一个适当(通常是比较低)的阶数会使得CPU的时间耗费最短。第二个任务是选择一个迭代循环的初始值,初始值选的越精确,循环将收敛的越快。选择初始值的方法不需要和迭代方法一样,哪怕极其相近。类似于迭代算法,对于一个给定的确定初值的算法,将有一个理想的阶数能够最大限度地减少CPU的时间耗费。


接下来我们将给出一个特别简单的确定初值的方法,在那之后会给出一个快速迭代法。而第五部分,我们列举的其他研究成果表明,这里总结出的对于每种方法的阶数的选法都是理想的。紧接着是一个使用这些方法的快速和傻瓜式的程序。幸运的是,你将吃惊地发现它十分简单,而且很容易移植到各种数值计算语言。

 

2、    初值法

由于我们必须用迭代法求解开普勒方程,我们给循环迭代的初始值越精确,效果就越理想,至少在迭代表达式的复杂性变得令人反感之前应该是如此。我们有开普勒方程

              (2)


在离心率为0的这个极限情况下,我们有E = M;这是最简单的初始值近似。因此方程(2)暗示了如下改进此近似的简单迭代公式:

                 (3)


其中初始条件E0 = M。我们可以对迭代递归表达式(3)进行反复迭代,直到得到我们希望达到的E的任意高的阶数。例如三阶近似公式:

   (4)

公式(4)对应的计算时间最优化的三阶伪代码如下: 

KeplerStart3 := proc(e,M) 
local t33, t35, t34; 
t34 := eˆ2;
t35 := e*t34; 
t33 := cos(M); 
return M+(-1/2*t35+e+(t34+3/2*t33*t35)*t33)*sin(M); 
end proc;

 

3、    迭代法

因为(1)是超越方程,无论是数值求解还是解析求解,我们都必须使用迭代法。所以当给定一个具有一定误差E的时候,我们必须找到一个迭代公式,使其返回一个误差更小的近似值。同时它也必须是收敛的。基于这种情况,我们按如下方式改写方程(1):

               (5)

式(5)中,f(x)= 0的解是x = E 。设ε=x-E是用x近似E时所引起的误差。将f(x)在x = E处进行泰勒展开,我们得到

 

 (假设 ε 充分小)


只考虑式(6)到ε的1阶项,求解可得

 

        (7)

 

我们可以把这个作为一阶迭代公式的核心部分。假设我们一开始的猜测是x = x_0,那么x_1 = x_0 + ε比x0更接近于E。我们得到如下一阶迭代程序:


   (8)

 

其中初始值x0的取值将在后面讨论。由(8) 我们可以得到一个单步一阶迭代方法来估计E_{n_1}=E_n – ε_n 。式(8)对应的伪代码程序是

eps1 := proc(e,M,x) 
return (x-e*sin(x)-M)/(1-e*cos(x));
end proc;


现在把ε的二阶项考虑进去,方程(6)的霍纳形式是


 (9)

 

在方程(9)中令f (x − ε) = 0,整理得到如下形式:


     (10)

 

我们可以通过分析方程(8)来创建一个二阶迭代形式:

 

    (11)

 

我们还可以创建一个两步迭代过程,具体过程如下:首先计算方程(8)给出的ε_n ,然后计算方程(11)给出的ε_{n-1}。我们也可以直接跳过中间步骤,直接把方程(7)给出的ε_n代入方程(11),得到单步迭代为

 

 (12)


关于方程(12)的一个优化后的伪代码为


eps2 := proc(e,M,x) 
local t1, t2, t3;
 t1 := -1+e*cos(x); 
t2 := e*sin(x); 
t3 := -x+t2+M; 
return t3/(1/2*t3*t2/t1+t1); 
end proc;

关于函数f(E) = f(x − ε)的三阶近似的霍纳形式为


   (13)


令方程(13)为0,解出“最外层”ε,放在右边,我们有方程:

 

  (14)     

 

(在方程(14)中我们或许可以用方程(12)代替ε_n使其变为二步迭代方法,或在方程(11)中用方程(8)代替ε_n变为三步迭代方法。又或者,我们可以在(14)中直接用(12)代替ε_n,从而得到一个单步三阶方法,后者优化后的伪代码为

 

eps3 := proc(e,M,x) 
local t1, t2, t3, t4, t5, t6; 
t1 := cos(x);
t2 := -1+e*t1; 
t3 := sin(x);
t4 := e*t3; 
t5 := -x+t4+M; 
t6 := t5/(1/2*t5*t4/t2+t2); 
return t5/((1/2*t3 - 1/6*t1*t6)*e*t6+t2);
end proc;

我们可以继续利用这种方式到更高阶的形式。


4、    真近点角与偏近点角之间的互相推导


如果有人需要使用真近点角θ 而不是偏近点角E,我们可以参考前面的图对它们进行转换。由图可知,位置向量的大小可以写为:


  (15)


观察图1,我们有


  (16)


从方程(16)我们可以推导出


 和  (17)


从方程(17)用θ反解出E,我们得到


 和    (18)


因此,在必要的情况下,我们可以使用迭代程序去求解我们开普勒方程中的E,然后使用方程(17)解出θ。

 

5、    总结:一个有用的数值方法
 

 


(作为初始值精度 (Nstart)和迭代阶数(Niter)的二元函数,等高线表示在每一个(Niter, Nstart) 点上求解160000个开普勒方程花费的CPU总时间。这160000个方程的e和M从{ R×R:e∈(0,1),M∈(0,π)}的一个等间隔400×400网格域中选取。从上图看,每个方法的三阶算法都接近最优)

 

广泛的数值测试(参见图2)表明,三阶迭代,不论是对于初值法,还是迭代法,对比以前用的方法,在节省时间上更优。

 

这是一个在数值上利用优化后的三阶迭代和初始值方法求解开普勒方程的程序。

 

 

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既是数学大咖又是力学大神的哥廷根大师们

 

作者:陈刘,哆嗒数学网群友,就读于西华大学。

 

 

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在这个安静的夜晚,刚看了一篇关于哥廷根应用力学学派思想发展的综述论文,思索再三,终于敲打起键盘,写我喜欢的应用力学。应用力学的思想精髓是什么?应用力学研究什么?应用力学的发展历史是怎样的?有哪些著名的力学大师?我国的力学发展情况?我会就我个人的看法,一一回答。总之,仅代表我个人的看法,望能激起你对应用力学的兴趣。
 


应用力学,我个人认为是沟通自然科学与工程科学的桥梁,从生活实践中提取,归纳理论,进而形成规律,然后运用于生活,这便是其思想精髓。自然科学侧重探索自然的奥秘,工程科学侧重运用理论解决生活实践中的实际问题。理论在与实践结合的过程中,力学扮演了重要的角色,处于核心地位。


那么,应用力学的研究内容主要有哪些了?我举具体的例子说明这个问题:


力学就其历史上经典的门类,可以粗略的分为固体力学,流体力学(现在还有物理力学,生物力学等等)。在二十世纪以前,弹性理论,流体力学是理论物理的一部分。在后来的发展过程中,弹性理论主要运用于分析材料的力学性能,形成一门经典的学科,也就是固体力学。现在,我们大学开设的工科力学基础课程就包括,材料力学,弹性力学,结构力学,还有建筑系的建筑力学,可以说都是固体力学的一部分。固体力学就完成了力学在工程实践中的应用,但同时和物理保持着深刻的联系。流体力学在当时也是理论物理的一部分,至今在某种程度上也可以说是理论物理的一部分。流体力学的分支学科包括:空气动力学,多相流体力学,燃烧学,湍流与流动稳定性等等。可以这样说,流体力学既是基础科学又是应用科学。


空气动力学主要应用于航空航天领域,解决飞行器飞行过程中的具体问题,包括:激波,边界层减阻,音障突破等。多相流体力学主要研究汽液固三相物质之间的相互作用。简单的例子就是,气泡在液体中的生成和溃灭现象;以及海洋中,海水与固体建筑物,船只等的相互耦合作用。燃烧学的应用非常广,比如在发动机领域,燃烧室的燃烧现象是一个涉及面广且困难的问题。燃烧现象涉及到复杂的热化学反应,复杂的湍流运动,还有各种未知的环境影响,综合来说,燃烧学是一个与流体力学结合紧密的学科,了解燃烧现象,对很多基础学科都有本质上的进步。湍流与流动稳定性领域,主要研究流体如何从层流状态过渡到湍流状态,以及流体在湍流状态后的一切动力学特征。这是一个非常困难的领域,世界各国都有很多科学家致力于湍流的研究。从哥廷根大学的应用力学研究所开始,普朗特曾致力于湍流的研究,提出了著名的“混合长度理论”;普朗特的学生,冯•卡门也曾孜孜不倦的研究湍流,写下了著名论文《湍流的力学相似原理》。这些领域的应用,都说明了流体力学既是一门重要的应用学科,同时又是一门重要的物理科学,从而也论证了,为什么力学是联系自然科学和工程科学的桥梁。

 


应用力学的发展历史是怎样的了?我才疏学浅,仅就我所了解的范围斗胆谈论这个问题,恳请有识之士批评指正我,并改正,补充和完善相应的内容。
在哥廷根应用力学研究所建立以前,我所知道的力学大师有泊松,欧拉,达朗贝尔,阿佩尔,拉格朗日,拉普拉斯。我们能发现,其实我所列举的力学大师更准确的说,应该称为数学家。没错,我曾在费米的传记中看到一段话,在当时的意大利,力学都是由数学系的老师授课的,也就是说,力学是作为数学系的一部分,这个现象在当时很多国家都是类似的。
      


      

在哥廷根应用力学研究所建立以后,力学作为一门独立的学科逐渐开始从数学,物理中分化出来。在二十世纪初叶,哥廷根是世界的数学中心,有着深厚的数学底蕴。高斯,黎曼,希尔伯特,克莱因都是鼎鼎有名的数学大师。同时,在哥廷根大学还有一个传统,就是既要在纯粹数学领域深入研究下去,另外还要把数学应用于生活,以及其他科学领域。从高斯起,哥廷根大学就坚持着这个传统。所以,我们会发现,高斯既是一位数学家,又是一位在物理学领域颇有建树的物理学家。
      


在希尔伯特和克莱因作为哥廷根数学领袖的时候(二十世纪初),希尔伯特更侧重纯粹数学的研究,但也支持相关的物理学研究(曾支持波恩建立物质结构研究所,海森堡曾在这里学习)。与此同时,克莱因较侧重应用数学的研究,建立了哥廷根应用力学研究所,邀请著名科学家普朗特带领应用力学研究所。两位数学大师在各自的信仰下,使数学在各个方面蓬勃的发展。


应用力学研究所成立以后,力学进一步蓬勃的发展。当时的哥廷根,力学主要在固体力学和流体力学方面得到了充足的进步。后来应用力学研究所又继续分为流体力学研究所,由普朗特主持;以及空气动力学研究所,由贝茨任主任。此后,应用力学研究所有着许多成果:托儿明研究了非定常边界层的稳定性;尼姑拉兹在管道的阻力方面做了一系列的开创性实验;贝茨研究了翼型阻力;阿克莱特研究了超声速流相似律和吸气边界层等等。


应用力学研究所培养了一个时代的力学大师,冯•卡门,铁摩辛柯都在应用力学研究所学习过。学成的冯卡门更是培养了一个时代的力学家。我们国家的钱学森先生,钱伟长先生,郭永怀先生都师从于冯•卡门。


总之,从哥廷根应用力学研究所建立开始,力学作为真正的科学开始在自然科学和工程科学间建立起沟通的桥梁。
有哪些著名的力学大师了?


当然,我所列举的力学的大师,可能存在我个人的偏爱。


普朗特,当之无愧的力学大师,开创了哥廷根应用力学研究的先锋,并使工程科学的思想开始生根,发芽。


泰勒尔,英国著名的流体力学家,湍流统计学派的代表。


冯•卡门,继续把哥廷根应用力学的工程科学思想发扬光大,把空气动力学应用于航空航天,取得了相当大的成就,著名的卡门涡街应该是人人皆知。并培养了钱学森,钱伟长,郭永怀等我们国家一个时代的科学家。


巴彻勒,英国著名的流体力学家,师从泰勒尔,在局地均匀各向同性湍流中取得了很大的成就,同时开创了悬浮流体力学的研究,也是剑桥大学应用数学与理论物理系的创始系主任。我曾看过我国著名物理学家温景嵩老师对巴彻勒老师的回忆,深深感动于巴彻勒老师的品质。我对我自己的要求是,一定会去剑桥大学,去看看巴彻勒老师工作过的地方,巴彻勒老师也是我前进的目标。


科尔莫果洛夫,前苏联著名的数学家,力学家。提出的湍流“负5/3律”,至今都是,湍流领域的重要成果。


铁摩辛柯,著名工程力学家,被誉为“现代工程力学之父”。


周培源,我们国家著名物理学家,力学家,在湍流统计领域取得了巨大成就,对我国的力学事业做出了巨大贡献。
      


还有很多力学大师。我个人认为,前辈们的品质,纯真好奇心的求知,值得我们用心学习。


我国的力学发展情况是怎样的?我国力学学科的发展,我认为有两个平行的方面。


第一个方面是周培源教授带领下的湍流研究,使我国的湍流研究在国际上有一定地位。第二个方面是钱学森先生,钱伟长先生,郭永怀先生在二十世纪五十年代回国后所做的贡献。钱学森先生,郭永怀先生创建了中科院力学研究所。中科院力学研究所为我国的火箭发动机,风洞研究做出了巨大贡献。今年,我国发射了首颗微重力研究卫星,力学所是主要负责研究所。随后,钱学森先生还在中科大成立了近代力学系。钱伟长先生在上海建立了应用数学和力学研究所,进一步发扬工程科学思想,把数学理论应用于生活实践。

 


简单的叙述,也就到此为止了,这些都是我平时看的点滴,肯定有叙述不当或错误的地方,望亲爱的读者能批评指正,更希望能激起你对力学的兴趣。我了,也得踏踏实实努力,继续在力学考研的道路上前进啦,共勉。

 

 

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三位改变数学的女人

 

原文作者:AVERY CARR,原文载于科学美国人网站。

译文作者:e^iπ+1=0,哆嗒数学网翻译组成员,就读于上海科技大学

校对:333

 

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——所有人都以为最伟大的数学家都是男人。不,你们都错了!

 

数学的历史,包括从对空间形状的深刻揭示,到可由想象与逻辑到达的最大程度的探索,似乎一直被男性数学家主导着。像高斯,欧拉,黎曼,庞家莱,埃尔德什,或者更近一些的数学家怀尔斯,陶哲轩,佩雷尔曼,张益唐,他们所有人都与最美丽的数学发现相关,并且全部为男性。
  
E.T. 贝尔于1937年所撰《数学精英》(Men of Mathematics)一书,就是一个例子说明这个“事实”是如何在公共意识中被加固强化的。即使在今天,男性数学家主导数学领域也不是什么秘密。但是这不能让我们忽视女性在数学上做出的革命性成就。有很多著名的女数学家值得我们感谢,感谢她们在诸如现代计算领域中,对揭示几何空间的问题上,对抽象代数的基石的构筑上,引导决策论的主要进步以及在数论和天体力学等领域中取得的成就,这使得人们在如密码学,计算机科学和物理等应用领域作出重要的突破。

像朱丽叶•罗宾逊在希尔伯特第十问题(数论问题)上的进展,埃米•诺特在抽象代数和物理领域获得的成果,以及阿达•洛夫莱斯在计算机科学领域里做出的天才成就,这三个著名的例子充分证明了女性数学家的贡献是非常重要的。

 

茱莉亚•罗宾逊(1919-1985)

 

 

 

在二十世纪之初,著名的德国数学家大卫•希尔伯特发表了二十三个吸引人,但却让绝大多数天才数学家也大伤脑筋的问题。其中第十问题描述为是否存在一般的算法可以判定所有的丢番图方程(整系数多项式方程)的可解性。设想,存在一个机器对于任意一个丢番图方程可以判别这个方程是否可解。数学家们常常通过简单而广泛的观察来处理大自然中无穷无尽又超乎解决能力范围的谜题。这个特殊的问题引起了伯克利数学家茱莉亚•罗宾逊的兴趣。经过了几十年的研究,罗宾逊与她的同事包括马丁•戴维斯与希拉里•普特南合作,最终给出了一种情况,否定回答了希尔伯特第十问题。

在1970年,一位年轻的俄罗斯数学家尤里•马季亚谢维奇利用罗宾逊,戴维斯和普特南提供的思路解决了该问题。由于其在数论方面杰出的贡献,罗宾逊成为了杰出的数学家,那是一个最重要的数学问题之一,罗宾逊为它的解决铺平了道路。在美国数学协会的一篇文章,“茱莉亚•罗宾逊自传”中,她的妹妹和传记作家康斯坦斯•里德写到“通常情况下,她永远不会刻意去收集自己的故事。但就她而言,她在数学上所做的一切工作都是重要的。”

 

艾米•诺特(1882-1935)

 

 

在抽象代数中浸润一段时间,会接触到一个经常出现的名字,那就是艾米•诺特。她的工作涉及的领域从物理到近世代数,使得诺特成为数学历史上最重要的人物之一。她1913年在变分法上的工作,诞生了诺特定理,被认为是最重要的数学定理之一,并且这个定理奠定了现代物理学的基础。 关于理想与交换环的诺特定理,形成了所有研究者对更高级的代数研究的基础。

她的工作的就像指引的灯塔,影响着那些想要更抽象地理解这个物质世界的人们。数学家与物理学家很欣赏她里程碑式的贡献,而这些贡献使得他们能够更深刻地理解各自的领域。在1935年,爱因斯坦写了一封信给《纽约时报》,“在所有现有数学家中,诺特是到目前为止,女性高等教育中培养的最伟大,最有创造力的数学天才。”

 

阿达•洛夫莱斯(1815-1852)

 

 

在1842年,剑桥数学教授查尔斯•巴贝奇在都灵大学做了一场关于他的解析机器(第一台计算机)的设想的讲座。此后,数学家路易吉•蒙博将讲座笔记转录为法语。年轻的女伯爵阿达•洛夫莱斯被查尔斯•惠斯通(巴贝奇的一位朋友)委托把蒙博的笔记翻译成英语。由于其在记录时富有远见的记法,她被公认为世界上第一位程序员。这份笔记在1843年被发表,洛夫莱斯在G部分增加了她个人的笔记,其中列出了一份计算伯努利数的算法。实际上,她利用了巴贝奇的理论机器,将它变成了可计算的现实。埃达•洛夫莱斯为那些想要探索计算奥秘的人提供了一条路,并持续地影响着科技的发展。

 

 


尽管她们的贡献意义深远,这三位女性数学家的发现却经常被男性数学家的贡献所遮蔽。据2015年联合国的估计,在世界上男人与女人的数量基本相同(101.8位男性对100位女性)。由此我们受到启发,工作在数学领域的女性应该和这一领域的男性有大致相同的数量。

我们之所以没能看到这一点,有个很重要的原因,是由于我们错误地认识了女性数学家的历史贡献。考虑到现代社会中科学技术的重要地位,我们认为促进和鼓励更多的女性进入数学领域,在一个文明社会里,是大势所趋的。

 

 

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一位文科生对贝叶斯定理的理解

 

 

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有的时候,讲的人并不严谨,但听的人懂了。罗胖讲的东西很多都有这样的情况,从专业角度来讲,槽点很多,但是,你要说他完全错误,也不能这样说。

 

从学术角度来讲,这些演讲也许是失败的,学术是严谨的,容不得半点儿似是而非;但从知识普及角度来讲,我认为却是成功的。没有这些讲解,没有这些瑕疵,你也不会站出来指出他的错误是不?因为你的指出,正确的知识也得到了传递是不?

 

互联网内容有了评论的功能后,就有了神奇的化学反应。往往发表的主体内容,只是诱发读者、观众在评论区再创造的一个引子。主体内容和评论一起化学反应后的产物,才是最精彩的作品,不是吗?

 

所以,我会用网上流行的一句话来阐述我转发罗胖在罗辑思维182期上转述贝叶斯定理的目的——“我是来看评论的!”

 

 

 

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从理论到实践:量子历史八十年

 

本文绝大部分内容载于IBM的量子网站上,http://www.research.ibm.com/quantum/expertise.html。

译文作者:冬眠的小老鼠,哆嗒数学网翻译组成员,互联网游戏行业从业者。

 

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1. 【1935】 EPR悖论


阿尔伯特•爱因斯坦,鲍里斯•波多尔斯基,和 纳森•罗森 提出对量子体系完备性的质疑。
 



2. 【1964】 贝尔不等式


约翰•贝尔认为,量子机器将有着与现实中的定理(比如经典物理学)有着完全不同的观测效应,后来,这些观点得到了很多来自不同团队的实验验证,这其中值得关注的实验包括:斯图尔特•弗里德曼和约翰•克劳泽在1972年的工作,阿兰•阿斯佩及其合作者在1981年至1982年的重要工作,还有最近的“loophole-free”实验(分别由3个不同的团队在2015年完成)。
 


3. 【1970】 量子信息学诞生


当查理•贝内特还是哈佛大学一名学生的时候,在一次和斯蒂芬•威斯纳的谈话中首次提到“量子信息学”,并建议使用量子纠缠态来实现通信,而在之后的1992年,斯蒂芬和查理使其发展成为了量子通信的编码基础,但是在早期的版本中,他们错误的认为接收方可以单一的接收到一个量子比特位,但不能同时接收到两个,而实际上,通过对纠缠态的测量,可以同时接收到两个量子比特位。
 


4. 【1970】 量子货币


斯蒂芬•威斯纳首次发现利用不确定性原理的量子位可以作为一种不可能被伪造的货币,而这种货币受到的是自然定律的约束和保护,而不确定性原理则成为其中的工具而不是障碍。

 


5. 【1981】 MIT联合IBM第一次举办量子物理计算大会


在这次会议期间,诺贝尔物理学奖获得者理查德•费曼对科学家们正在研发的量子计算机提出了物理学上的质疑,而同时,科学家们则在努力的克服相应的挑战。

 


6. 【1982】 首次发现量子拓扑序


崔琦,霍斯特•施特默,亚瑟•戈萨德发现了分数量子霍尔效应,而他们的发现获得了1998年诺贝尔物理学奖。这个重要的发现显示,在超低温环境下,量子物质会形成与宏观状态下性质完全不同的高度纠缠态,但对观察者而言似乎完全没有区别----一种量子拓扑序属性。

 


 
7. 【1984】 量子密码(IBM)


查理•贝内特和吉尔斯•布拉萨德提出了一种基于自然定律的加密算法(量子力学),而不是依靠一种数学理论基础的密码实现。

 


8. 【1993】 量子隐形传输


查理•贝内特和合作者们提出量子信息可以从一个地方传输到另外一个地方,而仅仅使用到量子纠缠态的原理和一个经典通信信道。量子隐形传输编码已经成为了一种重要的基本操作而广泛的应用在量子算法和量子纠错协议中。
 


9. 【1994】 秀尔分解算法


皮特•秀尔提出一种能将合数分解成素数的高效的量子算法,大整数的素数分解是一个传统计算机中的困难问题,秀尔算法第一次展示出量子计算机在处理这类问题的具有更大优势,并且带动了很多在该领域上理论与实验的研究。

 


10. 【1995】 量子纠错


在1995年到1996年,一个漂亮的关于量子纠错的定理出现在了世界上的好几个地方,包括IBM,这个定理说,虽然我们无法复制量子信息,但是我们可以使用一个较小的冗余信息来对量子信息进行纠错,量子纠错理论让制备量子计算机的实现更具有了可能性。

 


11. 【1996】 DiVincenzo量子计算机标准 


大卫•迪文森佐提出了在物理学上要实现量子计算机的必须的5条判据,这如今已经成为了量子计算机的迪文森佐标准,并已经影响到了很多构建在量子计算机上的实验程序。该标准包括:(1)定义良好的可扩展量子位阵列;(2)初始化量子位到简单的基准态,比如|000…>;(3)通用的量子门;(4)长的退相干时间,必须比门操作的时间长很多;(5)单量子比特测量。


 
12. 【1997】 量子拓扑码


量子拓扑码是一种可以被嵌入到二维网格量子位的量子纠错码,可以让所有的奇偶校验操作都得以在本地进行。第一种拓扑码,是阿列克谢•基塔耶夫在1997年提出的表面码,这种表面码被认为是实现可扩展性的容错量子计算机中最有前途的拓扑码。

 


13. 【2001】 量子算法分解15


秀尔算法第一次在量子计算机上实现,尽管是一个非常小的整数,3x5=15。这个系统使用了核自旋量子位,和MRI类似,它被称为NMR量子计算机。

 


14. 【2004】 量子电路


罗伯特•薛尔考普夫和他的合作者在耶鲁大学发明了QED电路,其中的超导量子位是一种位于微波腔中的强相干光子。这是一个突破性的进展,他展示了如何在一个芯片上让原子发生干涉。耶鲁大学领导的这项工作开启了很多新的可能的方向,而其中的量子电路耦合方案也成为了耦合标准,宣读量子比特的系统也开始形成规模。


 
15. 【2007】 超导量子位


罗伯特•薛尔考普夫和他的合作者在耶鲁大学发明了超导量子位传输,这是一种被设计成具有高灵敏降噪(噪音是一种长时间相干的主要障碍)的超导量子位,现在它已经被很多超导量子系统所采用,包括IBM。
 

 

16. 【2012】 量子位相干时间提升


多个量子信息传输的重要参数得到了提升,而其中的量子退相干时间,也就是量子位保持量子态的时间,已经延长至100微秒。

 


17. 【2015】 展示[[2,0,2]]量子编程
IBM团队实验了一个几乎是最小的量子代码,使用到了一个量子稳态,它可以用来检测到两种类型的量子错误:比特位翻转和相位翻转。


18. 【2016】 IBM在云计算平台上接入量子计算


IBM的科学家建立了一个用户可以通过云计算系统访问到其建立的量子计算机系统的平台,这个名为“IBM量子体验”的量子云计算平台,允许用户在IBM的量子处理器上运行算法,探索可能与量子计算有关的实验。

 

19. 【2016】 量子卫星


2016年8月16日1时40分,中国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空。

 

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电脑能取代人类做数学?!

 

 

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原文作者,Borwein,纽卡斯尔大学数学教授,以及,Bailey,加州大学戴维斯分校研究员

译文作者:333,哆嗒数学网翻译组成员,就读于中南大学数学专业。

 

 

电脑在帮助数学家解决问题时是很有用的工具,同时,它们也能够自己发现并证明一些数学定理。


或许由电脑做出的第一个重要结果要算是40多年前关于四色定理的证明,这个定理声称任何一张地图(有着确定的、合理的条件)只要用四种不同颜色就够了。

 

  
 

这个定理在1976年首先被电脑证明,尽管不久后就被发现有漏洞。而一个完全正确的证明直到1995年才被最终完成。


在2003年,匹兹堡大学的托马斯?海尔斯发表了一篇关于开普勒猜想的基于计算机的证明,这个猜想是说,与超市堆放橘子的方法类似,这也是摆放相同维数球体的最节省空间的方法。


尽管海尔斯在2003年发表了这一证明,许多数学家对此却并不满意。因为这个证明是伴随着2G字节的计算机输出(需要耗费大量的时间),并且某些计算无法保证完全正确。


作为回应,在2014年海尔斯发表了一个已被计算机验证过的正式证明。

 



新手上路

 


沿着这条线的最新进展是最近《自然》上的一篇关于所谓的“布尔毕达哥拉斯三元数问题”计算机证明的声明。


这个断言是说,从1到7824的任何整数能够被染成红色或蓝色,使得满足a2+b2=c2(由毕达哥拉斯定理,a,b,c正好是直角三角形的三条边)的三个整数a,b,c不全是同一种颜色;而对于从1到7825的整数,不存在满足条件的染色。

 


 
 

即使是对于比较小的整数也很难找到一个满足上述条件的染色方法。举个例子,如果5是红色的,那么12和13中至少得有一个是蓝色,因为;3和4中也必须至少有一个是蓝色,因为。每一种选择都将导致对于其他数产生不同的约束条件。

 

研究表明,给1到7825的整数进行染色,其所有可能的方法总数是一个天文数字——超过10的2300次方(1后面跟着2300个0)。这个数字比可观测到的宇宙中的基本粒子数10的85次方还要来得巨大的多!
 

 

不过通过利用各种各样的对称性和数论性质,研究人员能够把这个数字显著地减小到“仅仅”一万亿。德克萨斯州立大学有着800个处理器的超级计算机Stampede为了检查这一万亿种情形足足运行了两天。


尽管这一结果无法被直接应用,但是解决这样一个困难染色问题的能力势必会对密码学和安全领域产生一定影响。

 

在德州的这次计算,据估计执行了大约10的19次方次算术操作,却仍然不能称得上是最大型的计算。2013年对π²数字的计算,两名IBM的研究人员做了两倍于此的计算量。

 

梅森素数互联网大搜索(GIMPS),是一个寻找最大已知素数的全球性计算机互联网络,每秒可执行450万亿次计算,每六个小时就超过德州那次计算的数目。


在计算机输出中,德克萨斯的计算机在数学计算方面却是超人一筹——令人难以置信的200兆兆字节,换句话说2字节或者平均到地球上每个人30000字节。


谁能检查这种尺度的输出结果?幸运的是,这个布尔毕达哥拉斯三元数问题的解法能够被一个小得多的程序检查。


这跟用计算机分解一个很大的数c为两个较小因子a和b,使得c=a×b很相似。通常寻找这两个因子a和b是极其困难的,但是一旦找到,把它们乘起来以确认结果就是很容易的事了。

 

 

数学家过时了吗?

 


所以,这些发展和进步意味着什么?是否数学研究者们很快就要沦落为国际象棋大师、Jeopardy节目、售货员、出租车司机、货车司机、放射科医师等等这些被快速发展的科技所威胁而面临淘汰的职业之列?


不完全是。数学家,就像许多其他领域的专业人士,已经很大程度上接受计算机作为一种新的数学研究工具,由此发展来的所谓的实验数学,已经产生了深远影响。


那么实验数学究竟是什么呢?它被很好地定义为使用计算机作为“实验室”的一种研究方式。跟物理学家、化学家、生物学家或者工程师做实验一样,举个例子,它可以用来获得洞察力和直觉,检验和否证猜想,以及确认一些已经被传统方法证明了的结果。


在某种意义上,数学研究的实验方法并没有什么根本上的新意。在公元前三世纪,伟大的希腊数学家阿基米德写道:

 

“当我们做过先期的质询与调查,就会更容易地给出一个证明。这种[实验]方法使我们对问题有一些初步的认识,这比一无所知地直接寻找答案要好得多。”

 

据说伽利略曾写道:


“一旦真理被发现后就会很容易理解;关键之处是发现它们。”

 

卡尔?弗雷德里希?高斯,19世纪的数学家和物理学家,频繁地使用计算来激发他那些卓越的发现。他曾写道:


“我已经得到了结果,但我还不知道如何证明它。”

 

基于计算机的实验数学当然有它的科技优势。每一年,计算机的硬件就按照摩尔定律在不断更新,越发先进。数学计算软件包例如Maple, Mathematica, Sage以及其他的此类软件也变得越来越强大。

 

实际上,这些系统已经强大到几乎足以解决本科阶段任何方程、微分、积分或者其他的本科数学阶段的任务。


所以,尽管基于人脑的传统证明仍是基本的,计算机在帮助数学家发现新定理、指明正式证明的道路方面也是功不可没的。


更重要的是,我们认为在很多情况下,计算的结果要比人工的证明更令人信服。毕竟人工证明会被小错误、疏忽和对前人也许并不正确的结果的依赖所干扰。


安德鲁·怀尔斯关于费马大定理的初始证明被发现是有瑕疵的,这个错误之后被修正了。


顺着这条线,最近亚历山大·伊和近藤贸计算出了π的12.1万亿位数。为了算出这个结果,他们首先计算出了稍微超过10万亿的十六进制下的数字,然后他们用另外一个不同的算法计算了在接近尾部的一段十六进制下的数字,以检查之前的结果是否正确。比较后发现,它们吻合得非常完美。


所以到底哪个更可信呢?一个几百页篇幅的人工证明的定理,而且只有少数其他的数学家读过并证实那些细节之处,还是伊-近藤的结果?让我们接受这一点,计算机的计算结果在很多情形下比证明更可靠。

 


数学家将来的命运如何?

 


各种迹象都表明在可预见的未来,数学研究者们将会和计算机互利共存,继续他们的工作。确实,随着这种共存关系和计算机技术的成熟,数学家们将会更愿意把证明的某些部分扔给计算机去做。


这个问题在2014年六月的科学突破奖(数学)的授奖典礼演说上被五位获奖者所讨论。澳大利亚裔美国数学家陶哲轩在这些方面表示赞同。


毫无疑问,计算机会越来越强大,但是我期望数学家们能够继续与计算机一起工作。所以别急着扔掉你的代数课本,你任然是需要它的!

 

 

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人人都可以成为“神奇的设计师”!

 

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作者,读,某杂志社编辑。

 

 

上述是出自英国游戏专家亨利•杜德尼的研究成果,1903年,杜德尼发现可以把等边三角形分成四部分,经重新拼合后变成正方形。

 

这个设计我很早就知道,但从未对其有过关注,直至近年,有新闻报道,提到这一游戏被英国建筑师“相中”,他们获得设计灵感,建造了一种奇妙的房子,可随着季节的不同而呈现不同的稳定结构,以适应不同的气候环境(http://tech.ifeng.com/discovery/detail_2012_12/10/20012762_0.shtml)。

 


 

巧合的是,设计师们似乎十分喜欢杜德尼的这一发现,他们对此做了很多精心地尝试与应用。

 

如设计师David Ben-Grünberg和Daniel Woolfson精心设计的“百变茶几”,就是充分利用了杜德尼三角形多变的造型(http://www.333cn.com/industrial/sjxs/138462.html)。

 

2015北京国际设计周的混凝土灯具作品展上,有件展品为“杜德尼”灯,也是类似的创意(http://www.verydesigner.cn/article/25424)。

 

最近,看到微信群里大家也在传“杜德尼三角形”的神妙,不禁想加深一下大家对这一现象的认知。

 

这种变换的游戏,神奇但不玄妙,数学可以引导我们正确看待这一问题,从而让每个人都成为“神奇的设计师”!

 

其实,我们看到这一特例,就不禁想问:这是巧合吗?这是唯一的特例吗?

 

那么,我想说,这不是巧合,也不是特例,而是经过精心计算得到的结果。

 

换句话说,并不一定需要正三角形,面对一个“长相普通”,甚至“歪瓜裂枣”的三角形,我们仍有可能将之变形成为一个“端正、大方、得体”的正方形,当然,方法还是类似于“杜德尼三角形”的变形,我们不妨称此方法为“简单四分”。

 

数学的演算比较复杂,为了保证大部分人不头晕,我们就直接上结论了:

 

(一)拿到任意一个△ABC,我们先判断其是否可“简单四分”,请按以下顺序操作:

1)度量高h与底边l,确保高与底边之比介于2/5≤t(=h/l)≤2之间(不妨设底边左右端点分别为B,C,其对应高为AK);若不存在,则△ABC不可“简单四分”;


 
2)计算X(=2t-t2)([0,1]),k ([-1,2])的值,其中k使得向量KC正好是向量BC的k倍;

 

3)判断是否满足如下的结论:


i 当0≤X<1/4时,若 满足sqrt(x)-1≤k≤sqrt(x)或1-sqrt(x)≤k≤2-sqrt(x),则三角形可“简单四分”;(sqrt表示开根号,下同)


ii 当1/4≤X≤1时,若 满足sqrt(x)-1≤k≤2-sqrt(x),则三角形可“简单四分”,

 

i、 ii皆不满足,则△ABC不可“简单四分”。(注:“简单四分”只是代表一种方法,并不一定分成四块,有些临界情况只需要分成三块)

 

三思而后行,这一判断可能花费你较多的时间,因为三角形有三条边,如果你选择的三角形比较“糟糕”的话,那你所花的时间可能就是别人的数倍。当然,如果你自认为自己是行动派,而不是预言派,直接操作也是可以的。

 

好了的话,那我们就可以开始行动了!

 

当然,还请仔细筛查,我们下面要做的事,类似于让“丑小鸭变成白天鹅”,万一选到“冒牌货”,那就不妙了——可能你白忙活半天,也没法让戏法变成功。

 

(二) 对于判断通过的△ABC,我们可按照如下顺序画出四块,使其拼成一个正方形:

 

还是先要回到杜德尼的方法上去。我们发现,杜德尼充分发挥了中点作为旋转对称中心的特点。

 

如图,其中,DE作为中位线,与底边BC平行,即DE∥NK,又有DE=NK,显然,四边形DNKE为平行四边形(一开始我直观还以为是个矩形,其实不是)。
 

 

这个平行四边形是杜德尼“正三角形四分”的一个关键,它很特殊,而且有固定的作法,以任意△ABC为例:

 

(1)对于符合判断条件的底边BC以及底边上的高h,求出△ABC的面积S=a2(a>0);

 

(2) 取AB,AC的中点D,E,连结DE;

 

(3) 以E为圆心(也可以D为圆心,后续操作方式类似),a为半径画弧,与直线BC交于点N(当有两个交点时,只能取左交点;若无交点,则操作无法完成),连结DN;

 

(4)过点E作DN的平行线交底边BC于点K(如果不存在,则操作无法完成),则四边形DNKE就是我们所要作的平行四边形。

 

显然,从这个特殊的平行四边形的作法,善于思考的人已经知道我们之前为什么要对三角形进行判断了。

 

第(3)(4)步的作法是有限制的, 这个平行四边形若无法作出来,那我们就无法按照杜德尼的“简单四分”的方法,对一个三角形进行裁剪拼合。

 

虽然任意△ABC不一定行,但是经过了前面的筛选后,被我们“选中”的△ABC绝对能行!

 


 
恭喜你,当你画出这个“平行四边形”的四个顶点D,N,K,E时,再连结EN,作DQ⊥EN于点Q,KP⊥EN于点P,(这里的操作同样体现在了判断的标准中)即可得到你想要的“四分”三角形,将它裁剪后,就能变成一个正方形。

 

如上所示,我们只谈操作的话,还是不繁的,所以只是行动派的话,也是可以完成的。不过他们属于后知后觉的那种人,不到最后一刻,完全不知道这一三角形是否可以“简单四分”为正方形。

 

这样一来,相信你作为一个“神奇”的三角形裁剪设计师,还是愿意先花点时间做个“预言”,然后再选择操作,不是吗? 

 

神奇源于数学,而数学的思考可以帮助我们揭示这种神奇。
 

 

 

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数学告诉你勒布朗•詹姆斯从来没手热过

 

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作者,南梦玲,绳索技术协会理事。

 

数学在生活中不可或缺,这也许是老生常谈了。数学嘛,买菜总是要用到的,加价减减而已。也许很多文章介绍过数学的伟大用处,但实际上也过于脱离生活了,数学用于制造电子设备?管他呢,我自己能用就好了。数学能用于金融?对于玩不起钱的我来说,还是算下工资多少年能买房更切实际。能发射火箭去上天?上去的又不是我。你们别整这些高大上的东西,数学对于常人还真是加加减减仅此而已了。


果真如此吗?

 

我们先来看一个例子,请看下面这两位想要降低其成本的车主。


 
小明(小明终于长大了)原来的车每升汽油能跑12公里,现在他换了一辆更省油的车,每升能跑14公里。


小丽爱护环境,她把原来每升汽油跑30公里(好节约的耗油!)的车换成了每升汽油跑40公里的车。

 

 

假设这两个车主一年的行程是相同的。换了车之后,谁省油的数量更多?这问题太简单了吧,加加减减而已,小明每升提高了2公里,等于是提高了六分之一,而小丽每升多跑了10公里,提高了三分之一!肯定是小丽更加省油!这是一个小学知识就能解决的问题,大部分人直觉口算都是这么认为的。好,现在我们再来算下,假设两人都跑了10000公里,小明就从833升减少到了714升,共省了119升,而小丽从333升降到了250升,只省了83升油,实际上小明更省油!

 

    好吧,小编我并不是想要来证明大家小学没毕业,而是想要告诉大家,做广告的最高境界就是,明明说的都是实话,却依然让观众的直觉产生偏见,从而去购买产品。我们每天都会看到各种信息,并且会对这些信息有一个主观的理解,其实我们的主观理解未必有多正确,生活中充满了偏见。这个问题之所以产生直觉错误,是因为描述的人采用了每升汽油行驶的公里数的框架。为了防止此类问题的出现,我们应该采用每公里耗油多少升的框架来描述。错误直觉很容易误导政策制定者和买车的人。以上描述的现象,心理学家查德•拉里克(Richard Larrick)和杰克•索尔(Jack Soll)研究过,他们2008年在《科学》杂志中发表了的《每加仑汽油所跑英里数的错觉》中有详细讲解。
    
    我们再来看一个例子,2014年一项研究对中国2856个县的肾癌发病率进行了调查,调查显示2014年该病发病率最低的县差不多位于西部和西部人口稀少的乡村,对此你有何看法?


    人们很容易就做出推断,认为肾癌发病率低主要是由于乡村的生活方式很健康——“没有空气污染和水污染,食品没有添加剂,保证新鲜。”这一点完全说得通。我们依赖直觉得出这一结论,并且看似很有道理,但实际上果真如此吗?如果把描述改为发病率最高的县位于西部和西部人口稀少的乡村,相信人们可以毫不费力的做出推断:“乡村生活贫困,人们无知、医疗条件差、不注重卫生、嗜烟等。”虽然这两个理由都看似很有道理,但一个地方不可能在同一时间发病率又高又低。
 
    之所以会出现这种情况的原因,是因为我们的直觉存在偏见。问题的关键在于乡村地区人口稀少,仅此而已。稍微学过概率的人,都可以很快的反应过来:“样本数量越少,极端事件连续发生的概率就越大。”举个例子,我们仍1个 骰子,连续扔3次全是6的概率远远大于连续扔30次全是6的概率。在没有大数定律支持的情况下,一切仅仅是运气罢了。不信的话你可以尝试去计算这个题目:在一个装有两种颜色的箱子中有超多的红球和黑球,其中红球黑球一样多(这相当于在说,癌症比例为50%),小明每次拿4个球而小丽每次拿7个球,那么分别去计算两个人拿出来的全是同一种颜色的球的概率(发病率100%或发病率0%),可以发现小明的概率大概是小丽的8倍(12.5%与1.56%)。这就是真相,某县人数少,因此更容易出现极端事件,而恰好赶上了数据调查,人们就容易得出错误的结论。统计学家霍华德•维纳(Howard Wainer)曾经做过一个实验,来解释类似的现象。


            
    “现在勒布朗连投几个都进了,手热的发烫!队友应该尽量把球都传给他多打!”这是我们看篮球的时候,经常听到解说说的话,也是我们要说的第三个例子。篮球运动员有时候会有投篮手风很顺的现象,如果一个运动员连续进了三四个球,那么人们就会不由自主做出判断:这个球员现在正处于手热状态,得分率暂时增加。两队队员都持这种判断——队员也更爱将球传给打得手热的人,对方球队则会加强对这个球员的防守。然而真实情况是,通过统计学研究表明,根本没有投篮手热这一回事,之所以会有这样的错觉,是因为人们太快做出了评判。再更多次观察之后你就会发现,球员的得分率将会回归他的正常水平,也就是回归平均值。统计学告诉了人们事实,却没多少人相信这个事实。做这项研究的是阿莫斯•特沃斯基(Amos Tversky)、汤姆•季洛维奇(Tom Gilovich)和罗伯特•瓦隆(Robert Vallone)。


 
    我们的思维经常会对事物产生偏见,直觉也会欺骗我们,而人们往往却不肯承认自己思想的错误。这些事例里边蕴含着最基本的数学原理,并没有什么高大上的理论,不需要微积分,也不用研究群环域,只要简单应用高中以下的数学知识,就可以避免我们做出错误的判断。


    接下来我们再看第四个例子,如果你在北京地铁上看到一个人正在读知识专业性比较强的报纸,那么他学历更有可能是博士还是根本没读过大学?我们的直觉会告诉我们,应该选第一项,但实际上这样选择并不明智。因为在地铁上面是博士的人的基础比例远小于没有本科文凭的人的基础比例(1.3%和35%)。

 


 
这里我们来看一个贝叶斯定理应用的经典例题:

一辆出租车肇事逃逸,这座城市有两家出租车公司,其中一家公司的车全是绿色的,另一家全是蓝色的。

你知道这座城市85%的出租车是绿色的,15%是蓝色的。

一位目击证人辨认出那辆肇事出租车是蓝色的。当晚,警察在出事地点对证人的证词进行了测试,得出结论是:目击者在当时能够正确辨别出这两种颜色的概率是80%,错误的概率是20%。


这场事故的出租车是蓝色而不是绿色的概率是多少?根据贝叶斯定理,目击证人得出正确答案的概率为41%。


当人们面对这样的问题的时候,往往会忽略基础比率,只考虑目击者因素,因此大部分人会认为是80%。


在这里,我们需要用贝叶斯定理来约束我们的直觉,才更有可能得到正确的答案。生活中我们的直觉往往忽略事件的基础比率,所以我们会产生偏见与错误。

 

现在,你还敢说数学仅仅是加加减减,和生活无关吗?这四个事例,都是我们生活中常见的事情,但我们很容易就被我们的直觉所欺骗,对其产生偏见。数学可以给我们的生活我们的判断带来指导性建议,直觉往往欺骗自我,善用数学思维,而不是仅仅依赖直觉,能够让我们减少偏见。

       
 

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0,1,π,e,i就是射雕英雄传中五大高手

 

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作者,江苏省徐州市第二十四中学   罗伟


瑞士数学家欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界做出贡献,更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家,写了886本书籍和论文,其中有分析、代数、数论、几何、物理、天文学、弹道学、航海学、建筑学等,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了四十七年。


欧拉公式e^(iπ) + 1 = 0中( a^b 表示a的b次方,下同),有五个数,0,1,e,π,i, 其中0,1是有理数,e是自然对数的底,π是圆周率,i 是 -1的一个平方根,体现了数学的一种奇异美。i、e是欧拉创造的,π是欧拉推广的,欧拉把这五个重要的符号用公式统一起来了,可看做数学这颗大树中各个分支的代表,0和1代表算数,i代表代数,π代表几何学,e代表分析学。有朋友要问,欧拉是数学家,怎么和射雕英雄传牵扯在一起呢,我们看过电视剧的都知道,剧中有东邪、西毒、南帝、北丐、中神通五位武林高手,他们也许和数学也有某种联系呢?不信,你听我说说。


 
一、    东邪----黄药师  

 


 
首先,这五大高手和五行有关,作者金庸在名字中都有暗示。“东为木”:黄药师三字表面看来似乎有“草”无“木”,其实不然。金庸使用的是繁体字,“药”字的正确写法是“藥”,一根巨木,赫然在下。

 


正中带有七分邪,邪中带有三分正”的人物,是“桃花岛”的岛主,亦是桃花岛派武学创始人。“桃花影落飞神剑,碧海潮生按玉箫”是他一生武功的写照,造诣非凡,已臻化境,为金庸小说中武功绝顶的高手之一。


黄药师上通天文,下通地理,五行八卦、奇门遁甲、琴棋书画,甚至农田水利、经济兵略等亦无一不晓,无一不精。


    e,作为数学常数,是自然对数函数的底数。其近似数约为e = 2.71828182845904523536……,目前为止,已知小数点后约20亿位,也知道是无限不循环小数。


有时称它为欧拉数,以瑞士数学家欧拉命名,欧拉定义如下:

 

 

它的另外一个定义是

 

 

 e也为超越数(不为有理系数多项式的根的数)。东邪性情孤僻,行动怪异,身形飘忽,有如鬼魅,算是性格怪异,行动为常人所不解,在常人看来是无理的,漠视“传统礼教”,然却最敬重忠臣孝子个性行事潇洒。又看做超越常人的。e书写流畅洒脱,似弹指神通,又如开创桃花岛一片美景,e^x不论对它微分几次,结果都还是e^x,正如黄药师对他妻子的真情,难怪数学系学生会e用比喻坚定不移的爱情!e又如电脑上网浏览器,我们点击它,可查询古往今来各门学问,都易如反掌。还有一些,你们掌握吗?


e的近似解:培格推导出计算欧拉常数e的公式e≈3-sqrt(5/63)(sqrt表示开根号)。 


印度数学家拉马努金的变形公式:


 

二、西毒-----欧阳锋 


 
西毒欧阳锋——“西为金”:“锋”赖“金”利。作为音乐家的欧阳锋,常备乐器不是吉他,而是铁筝。仍是“金”制。“西,色白”:长居白驼山,他本人、侄儿、部属皆作白衣装。


作为射雕时代中的头号反派人物,只想武功天下第一,使用毒蛇、灵蛇杖法、蛤蟆功等,因逆练郭靖乱改的九阴真经,第二次华山论剑中夺得天下第一。却被黄蓉用计逼疯,跟自己的影子打斗,接着离开华山,后来与洪七公在华山比武,洪七公之功由正转逆,欧阳锋则反由逆转正,两人内力顿时合而为一,水乳交融,一人是在寒冷澈骨时,因对方内力传来而如沐春风,另一人是在全身炙热时,接受对方内力而顿感清凉,两人当下融为一幅“太极之图”。就在时刻,洪七公一跃而起,抱住欧阳锋,说“咱俩殊途同归,最后变成哥俩好”。欧阳锋刹时回光返照,心中一片澄明,与洪七公相拥大笑,两人在笑声中同时辞世。


我们对 要熟悉一些,祖冲之计算出小数点前六位:π= 355/113 = 3.141592 ……,1000年后,西方才把π的值改进。π 是第十六个希腊字母的小写,希腊在西方,π表示圆的周长与直径的比值,也等于圆形之面积与半径平方之比,1736年, 欧拉也开始用π表示圆周率。1974年,人们第一次用计算机来计算π,在运算70小时后,算出小数点后2037位,如今,已算出小数点后万亿位。

 

π也是无理数和超越数,欧阳锋也算行为怪异,年轻与嫂子私通生下欧阳克,但却只让其叫他叔叔,在《神雕侠侣》中收杨过为儿子,但与东邪比,作恶多端,恩将仇报。一般人不理解。逆练九阴真经;仗着自己的绝世天资与前半生对武学的深厚基底,将所有经脉颠倒移位,练成一种新的厉害武功,越练越怪,越怪越强。因而在第二次华山论剑中夺得天下第一。算是超越完成任务,但疯癫不如常人。π如蛤蟆功,又如灵蛇拳法:手臂犹似忽然没了骨头,如变了一根软鞭,打出后能在空中任意拐弯  。最后和洪七公决斗,恢复神智。两人同归于尽,也算是圆满。


我们可以定义π为满足sin(x) = 0的最小正实数


这里的正弦函数定义为幂级数

 

 

1844年,德国达瑟用不到两个月的时间把π计算到小数点后200位,因超常的计算能力被高斯推荐在汉堡科学院工作。据说,达瑟的计算公式是

 

 

1655年,英国数学家约翰•瓦里斯得到一个π的公式:

 

 

法国数学家维达发现π的公式:

 

1998年《π》(又译名《死亡密码》)显示了数学人的痴迷。
逆练九阴真经,打通全身静脉的后果,功力大增:

 

 
如果东邪西毒合作,会是什么样的情形呢?

 

 

拉马努金公式展现无穷级数与连续分数之间的惊人关系,级数和连续分数都可以用π、e表示出来。

 

 

下面一个美得让人惊讶的方程,不仅包括π、e,还包括无理数、阶乘和无穷极限。

 


 

三、南帝----段智兴
  

                                           
南帝,真名段智兴,天龙八部中主角段誉的孙子,大理国的皇帝(如图一),后因故出家,法号一灯(如图二),出自《法华经》:以一灯传诸灯,终至万灯皆明。“南为火”:一灯大师之“灯”待“火”点燃。其秘技为“一阳指”,而太阳是最大的一个火球。“南,色赤”:“灯”与“阳”皆作赤红色。


第一次华山论剑,东邪西毒南帝北丐中神通 五个人大战七天七夜,全真教创始人“中神通”王重阳夺得天下第一, 武林奇书九阴真经被王重阳夺得,其目的是避免天下武林大乱。为防自己死后无人能阻欧阳锋,而在第一次华山论剑的第二年来到大理,用先天功交换了段智兴的一阳指。却不料和王重阳同来的老顽童和段智兴深爱的妃子刘瑛有染,并诞下私生子。不料某一日铁掌帮帮主“铁掌水上飘”裘千仞潜入皇宫并袭击瑛姑之子,瑛姑因而向段智兴求医。而段智兴本欲施救,待打开婴儿襁褓时看到锦帕上刺着“鸳鸯织就欲双飞”;知道自己的皇妃心里仍惦记着周伯通,因而醋意大发。加上他即将要参加华山论剑,而救人将消耗大量功力,犹豫之间,未救而致其死亡。后因心怀愧疚,万念俱灰之下段智兴出家为僧,法号“一灯”。


后来黄蓉身受重伤来到一灯大师住处寻求救治,一灯为黄蓉疗伤,因使用了含有“先天功”的“一阳指”以致元气大伤,后瑛姑来此寻仇。郭靖假扮一灯挡住一刀后,瑛姑才觉悔意。后一灯出现,瑛姑则羞愧而远去。随后与师弟一起翻译了《九阴真经》中总纲的梵文部分,也借助《九阴真经》所载的疗养法门,终得复原功力。


i是-1的一个平方根,在初中阶段,我们知道-1没有实平方根,随着数系的扩大,到高中阶段,由于需要,就产生了i,为虚数单位,且i²=-1,这样数系就由实数扩大到了复数。i看上去就像一盏灯,也像一灯的绝技一阳指,根据五行相克的理论,一阳指最能破解欧阳锋的蛤蟆功,但也不是很容易,要出其不备才有奇效,这才有王重阳装死棺材中重创欧阳锋使其几十年不敢踏中原半步的后话, i名为虚数,如一阳指能治病救人,但要耗费巨大的内力,也如段智兴的心理状态,因愧疚心里不踏实,后又能不断帮助别人。i也像数字1,但没有联通,说明比北丐洪七公看似差一点,但终究有无法跨越的距离。


南帝与西毒的合作可得到πi,其中π是无理数、实数、超越数,i是虚数、复数、代数数,πi是复数、复超越数。


由i拓展也可得到四元数。四元数是一个包含复平面在内的四维空间。可以表示成以下形式:Q = a + bi + cj + dk ,其中i,j,k都是三个互相垂直方向上的单位向量(与虚数i一样),他们都和实轴垂直,两个四元数相加或相乘,可以看成是关于i,j,k的多项式,按照下面的规律产生如下结果:


I² = j² = k² = -1


ij = -ji = k  jk = -kj = i  ki = -ik =j 


       
四、北丐----洪七公

 


 
北丐洪七公 “北为水”:七公姓“洪”,果见洪水汤汤,“北,色黑”.书中不曾描写七公衣服颜色。但他作为丐帮老头子,估计不管衣服原色为何,上身之后,必将改造成唯一色调:总是黑。(从图看,有点不对,毕竟是天下第一帮丐帮帮主吗,也要注意点形象。)
洪七公为丐帮帮主,为人正义且机智,生性贪吃,曾经因贪吃误事,自断其右手食指,故也称"九指神丐",无论黑白两道都十分敬重他。在桃花岛,洪、黄、欧阳三人以音乐比试武功,岛主吹箫,欧阳弹筝,老七公没得钱买乐器,只好鼓着两片腮帮子作“仰天长啸”状,实为艰苦朴素、廉洁自律之典范。洪七公和蔼正义,具有一切正派人物所应具有的优点,一直率领丐帮抗击金兵。其独门武学为"打狗棒法"及"降龙十八掌"。


洪七公一生最大的敌人为"西毒"欧阳锋,曾被其暗算多次,几乎丧命。晚年与欧阳锋于华山比武,两人打了四日,总之是打得神困力倦,几欲虚脱,斗过棍棒,休息了一下,两人接著又比拼内力,结果竟战到天下两个均已奄奄一息。两人隔天又开始比起了纸上谈兵,比法是洪七公按招式逐一告诉杨过打狗棒法,杨过演给欧阳锋看,欧阳锋再思考破解的杖法,两人拆解了三天,到第三日欧阳锋已破解打狗棒法的前三十五路,而打狗棒法的第三十六路天下无狗,这一式则让欧阳锋思考到一夜之间须眉尽白,似乎老了十多岁,这才将之破解。后比试内功,耗尽功夫,欧阳锋恢复记忆,两人大笑,互相拥抱而逝。


数字1给洪七公,数字1和0是自然数、有理数、实数,看上去很自然,是实实在在存在的,天下第一就是这个1字,首先,丐帮为天下第一大帮,对外用降龙十八掌抗击金兵,对内用打狗棒除暴安良、劫富济贫,洪七公为人善良,就是面对老毒物遇到危险差点被火烧,也冒着生命危险去救他,满满的正能量。

 

数学上,你知道1有什么特殊的用处吗?


三角函数的变换很多都离不开1。


南帝和北丐同为首领,1和i在一起,组成了更广阔的一片新天地,那就是任何复数都可以由二者表示出来。


z=a•1 + b•i,其中a、b为实数

 


 
虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面,复平面上每一点对应着一个复数。


东邪、西毒和北丐在一起
 


五、中神通----王重阳

 


 
中神通王重阳——‘中央为土”:原名“王喆”,这姓名两个字皆具“土”形。 “中央,色黄”:王重阳既为道教大师,而道士用黄冠束发,因此又被称作“黄冠”。


王重阳少年时曾大举义旗,与金兵对敌,但因不遗余力,动用数千人力,历时数年建成“活死人墓”,在其中暗藏器甲粮草,作为起事之根本。由于将士伤亡殆尽,王重阳愤而出家,自称“活死人”,后来生平劲敌林朝英在墓门智激王重阳,二人,化敌为友,携手同闯江湖。


林朝英对王重阳甚有情意,欲以身相许,但王重阳以国事为重,不谈私情, 两人本已化敌为友,后来却又因爱成仇,约在终南山上比武决胜,斗了几千招,始终难分胜败。


最终林朝英和王重阳打赌,石头上刻字,胜过王重阳,逼使他在出家为道士与跟她一起在古墓中长相厮守之间作一选择。但王重阳宁愿把自己所建的古墓让给她居住,自己另在古墓不远处盖了全真观,出家为道士,那就是重阳宫。而后道书读得多了,大彻大悟,乃苦心潜修,功成丹圆后,前往山东布教,建立全真道,先后收马钰、孙不二、丘处机等七人为弟子,后世称“全真七真人”。


王重阳得知林朝英在活死人墓中逝世,想起她一生对自己情痴,悲痛万分,于是悄悄从密道进墓,见到两间石室顶上她的遗刻的玉女心经,招招克敌全真武功,后精研这玉女心经的破法,终未成功。


后来武林奇书“九阴真经”出现在江湖中,引起各路武林人士争夺。华山论剑,力压四强,天下第一,王重阳因此夺得九阴真经。他决意不练经中功夫,但为好奇心所驱使,禁不住翻阅一遍。一经过目,思索上十余日,即已全盘豁然领悟,后回到活死人墓,在最隐秘刻下九阴真经的要旨,并一一指出破除玉女心经之法。


王重阳旧疾复发,为了在身死之后留下一个克制西毒欧阳锋之人,求段智兴传他一阳指,以先天功作为交换,后来王重阳假装病死,以一阳指破掉了欧阳锋的蛤蟆功,使得欧阳锋退回西域。王重阳也在此之后逝去。


王重阳和洪七公都有义举,曾抗击金兵,以国家为重,所以在五大常数中只有0和1供选择,才有切实意义,王重阳的武功第一,缘于研究玉女心经,夺得九阴真经后,自己禁不住翻阅,有违当初华山论剑不研习九阴真经功夫之嫌,虽然没传授全真七子相关功夫。然世界还算相对公平的,黄药师、洪七公、一灯大师都练过九阴真经或运用之疗伤来恢复功力,欧阳锋也逆练九阴真经,武功达到新高。在射雕英雄传中,王重阳已经故去,对他的描写只是残存在部分人的回忆中,所以用0来表示以为最佳。


在数学中,你知道0有什么妙用吗?


学生们曾被教授0的任意次幂都是0,但是很多时候认为0的0次幂是未定义的(部分数学书把0的0次幂也规定成1,比如陶哲轩的实分析——编者注)。如果你要画出x^y的示意图的话,你会看到在点(0,0)是不连续的。关于0的0次方的应该是多少的讨论已经很久了,这个争论曾风行整个19世纪。

 

中神通与北丐的组合:

 

任何一个不等于0的数的0次幂都等于1,这就相当于人们纪念中神通这一天下第一武林高手。

 

20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用,因为数字计算机只能识别和处理由0、1符号串组成的代码。其运算模式正是二进制。0、1是基本算符。非常简单方便,易于用电子方式实现。

 

还有一个式子,你理解吗?

 

 

问世间是否此山最高

 

或者另有高处比天高

 

在世间自有山比此山更高

 


欧拉不仅包含科学创见,而且富有科学思想,他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神。历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。如果数学家也能来一次华山论剑,相信欧拉也是绝顶高手之一。


参考文献:数学之恋 克利福德•A•皮科夫 注  马东玺 译 湖南科学技术出版社

 

 

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万物皆圆,无处不圆

 

 

原文作者:Jill Howard

译文作者:我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员,大学教师。

 

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就像其他有趣的图形一样,圆形在我们周围随处可见。但你会经常注意到他们吗?古往今来圆形一直让人醉心其中,让我们一起来看看一些历史上著名而神秘的圆形。

 

圆形的设计理念在全世界的古代文明和近代文明的文物中所发现。人类在史前4000年前就建造了巨石阵,也许你曾听说过最有名的巨石阵位于英格兰威尔特郡。该遗址极具宗教气息,并且也有人认为其依照天文观测构筑而成,太阳将会在夏至日(一年中白天最长的一天)升起时的方向与其中一块石柱的指示方向相一致。欲知巨石阵的更多信息请浏览网站English Heritage.

 

 

在古希腊文化中,圆被认为是完美的形状。你能想到为什么吗?例如,一个圆有多少条对称轴?对希腊人来说,圆圈是神圣的对称和平衡的象征。希腊数学家们着迷于圆的几何形状,数个世纪以来都在探索它们的性质。 

 


至今仍吸引着人们的一种圆圈是麦田怪圈。虽然近来他们一直是阴谋论和恶作剧恶搞的对象,但从古代就已经有了相关报道。没有人真的知道这些复杂的模式是如何形成的。欲知麦田怪圈的更多信息请浏览网站http://en.wikipedia.org/wiki/Crop_circle  

 


对于圆来讲存在着很多未解之谜。其中一个希腊人未曾解决并且从未有人能够解决的问题,是被称为“化圆为方”的问题。即只用尺规作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积。你不能简单地测量或计算圆的面积,而只能采用几何作图的方式。几个世纪以来人们一直试图解决这个问题,但在1882年它被证明在数学上是不可能的。为此,那些继续不断尝试解决它的人被认为是在白日做梦,而“化圆为方者”也成为那些做事荒谬不切实际之人的代名词。欲知更多关于化圆为方的问题请浏览网站http://mathforum.org/isaac/problems/pi3.html

 


另一个著名的圆形之谜是博罗米恩环。这三个环互锁而彼此无法分开,但是如果你拿走一个圆环的另外两个也会随之分开。这个圆环的历史可在http://www.liv.ac.uk/~spmr02/rings/查阅。这个古老的,视觉上令人费解的问题令艺术家以及数学家着迷。这个概念不局限于圆环。不同的形状如三角形和矩形也同样适用。该作品的例子如下所示:

 


 

 时至今日圆仍然有着重要的象征意义——它们经常被用来象征和谐与统一。例如,观察一下奥林匹克标志。它有不同颜色的五环套接而成,代表了世界五大洲在良性竞争的精神下团结在一起。

 


 
现在看看你的周围,能看到有多少圆。也许你从未停下来去思考他们,但圆是无处不在的,他们真是美丽动人。也许你想尝试制作圆的模式和图片,或者在此网站上的许多圆的问题中一展身手。首先,看一下Borromean Mind Boggler 或者Overlapping Circles .

 

 

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小怪兽说:“解释是二流智商的活儿。”

 

原文作者:Ben Orlin , 英国数学教师。 

译文作者:小饕,哆嗒数学网群友。就读于邯郸市第一中学,中学生。

 

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你想把我卷入一阵热血沸腾的盛怒之中吗?这儿有以下几个选择:


烧毁一个废弃的书店;

 

赞助商立法禁止在甜品中添加花生酱;

 

不假思索地告诉我你觉得黑猩猩宝宝不太可爱。

 


再或者,简单干脆些,就直接对我说出这句出自伟大数学家哈代的语录:


 


 

热血啊……


沸腾啊……


啊!热血沸腾啊……
 


我尽力了,但我就是做不到去痛恨哈代。他创作了完美的教科书,把数学之美当做毕生的信仰,还完成了许多其他的功绩。


但是我可以厌恶这个观点,这个有毒的文化基因,这些在我看来是我们对数学潜在的固有成见:产生新的数学观点的信念一直是对人们的最高召唤,而沉湎于陈旧的思想只能是无趣的唠叨,也只适合那些我们称作老师的顽固而堕落的傻瓜。


这并不是哈代发明的观点,他只是把它讲了出来。


所以,在此我代表那些被称作老师的顽固而堕落的傻瓜,希望能够发起一场保卫解释之艺术的运动。

 

1、 解释转化知识

 


我的第一个证人嘛,下面有请……欧几里德!


这么说吧,欧几里德并不是第一个进攻几何学的希腊学者,而且远远不是。在他初涉这个领域之前,好几个世纪的杰出的数学家们早已名留青史。那么,是什么让他成为数学证明的鼻祖而名扬四海呢?又为什么传统学校的几何学通常都叫做“欧几里德几何学”?为什么我在他去世后的2500年又提出他的名字?


这是因为他写了一本书,《几何原本》。


这是因为他强化了自己的思想观点。


这是因为他做出了解释。


在欧几里得之前,几何学零散地排列着,正如同收藏的珠宝散落在沙滩上。观点存在。证明也存在。但它们之间少有组织、结构和条理性。


欧几里得把几何学统一成了一个清晰、逻辑的系统。他罗列出基本的假设(称为公理),然后把每个几何定理都追溯回这些公理,不论它们看起来多么互不相干或者繁琐复杂。他的工作把支零破碎的数学整合成了一个单个的连贯的有机整体。

 


欧几里得改变了数学,不是通过创造新的主张,而是通过阐述已有观点之间的联系。


也就是说:通过解释。


二流的大脑也挺不错的,是吧?

 


2.解释改变世界

 

 
欧几里得并不是唯一一个通过数学解释来改变世界的。比萨的列昂纳多(也就是人们熟知的其死后的昵称斐波那契)带领现代数字体系登上了新大陆。


在列昂纳多之前,欧洲也算是受够了罗马数字:计算起来低效、缓慢又繁琐。但在阿尔及尔的一家造船厂里,小列昂纳多学到了一套更好的系统。这些数字——1,2,3,4,5,6,7,8,9,还有这个奇怪的0-都诞生于印度,并在阿拉伯半岛得以完善,而现在通过列昂纳多传播到了欧洲。它们很快在商人阶级中流行起来。然后终于,倾扫了整个世界。


列昂纳多向整个大陆重新诠释了算法。在此期间,他将历史推向了现代,实现了数字语言的全球化。
二流智商们再得一分。

 


3、解释衡量理解程度

 

 
艾伯特·爱因斯坦——很明显又一个他们口中的傻瓜——曾说过:“如果你不能把它简单地解释出来,就说明你还没能很好地理解。”但其实我们并不需要利用爱因斯坦来解释这儿的智慧。


每一个上学的孩子都知道向朋友们解释一些东西可以帮助你自己更好地掌握它。


每一位导师(从小学的到大学的)都能体会到教授知识可以帮助自己将那些松散的片段整合到自己的理解中去。


而每一位研究人员也都见证过将自己的观点写下或说出能够使它们更加纯粹和清晰-就像蒸发掉多余的水而使调料更顺滑,更浓醇。
可见解释不仅对他人有好处,也对解释者本身有好处。

 

 

4、解释营造交流圈

 

 

哈代是一个骄傲的,有着卓越贡献的数学研究团队成员。所以我认为他如此盲目和坚决地把“学术研究”和“交流圈”分开也是挺令人费解的。


如今,研究数学就是要发展新的观点。这对集体智慧的书库做着不断地补充。这显然是一件很酷的事。


但是当你传授这新的观点,或者写作易懂的书籍—也就是说,当你解释的时候——你也是在做一些很酷的事儿。
你在组织和安排这座图书馆。

 

 
如果我们都采用了哈代提出的说法,我们就只能是将一大堆从未读过的新书堆砌到书架上。没有人会去编辑或巩固整理这些知识。没有人会去组织整合前人的努力。也没有人会在图书馆中去引进新的学者。


哈代的这点建议实是自我打击。它在构建一个只有研究而没有交流的学术研究圈子。


它创建了一个有书无人读的图书馆。 


那么我们应该感到高兴,因为哈代看到了他自己过去的坏主意——尽管他对这种事很不情愿,但他的确写了一些像《一个数学家的辩白》这样的书以及其它一些容易理解的文章。

 

5、未解释的知识从世间消失
 


也许你会觉得我夸大了数学对于解释的反感。当然,这样的支持研究而反教学、反与教学有关的全部的也不见得全都那样普遍和那么严重的危害,是吧?


这样一来,我推出最后一件展品:ABC猜想。


ABC猜想于1985年首次提出,是数学界尚未证明的伟大猜想之一。它是一个与数论有关的有力说法,如果它正确,定将产生许多深刻的间接影响。


然后,就在2012年的8月,它被证明了。


嗯……或许被证明了吧。


我们不能确定。


这位掌握着证明全过程的数学家名叫望月新一。他花了几十年的时间去发展自己的理论,那包括了500页难以理解的信息,充满了各种符号和文字,还有新颖的概念模式。这项成就太具创新性以至于——不幸的是——还没有人有能力去检查和验证。


他在解决问题方面的个人成就被几个典型的解释错误所隐没了。他的证明就在那儿,没有解释,没有改变,就如同蛇颈里没有消化的大餐。


我们最好找些二流的大脑来帮忙吧。


对吧,哈代?
 


当然,我的控诉不是针对哈代的。


我的控诉甚至不针对研究中片面的精英主义。(想要把学术研究带头人的自我重视和智商优势的自我感觉从他们那里清除,就如同想要从摇滚乐中清除性别差异。这几乎不可能实现,而且就算实现,结果也未必如你所愿。)


我的控诉是针对你应当关注观点本身而痛恨分享观点这样扭曲的信念。


我的控诉是针对把学术研究从持续支持和解释的生态系统中分离出来这样的做法,那完全是搬起石头砸自己的脚!


我的控诉是针对那些认为解释是次要艺术的人。


而最重要的是,我的控诉是针对那些不觉得黑猩猩宝宝可爱的人。


我是说,快来看,伙伴们。睁大你们的眼睛!

 

 

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香农——信息时代之父,今年1100100诞辰

 

原文作者, SIOBHAN ROBERTS , 科学新闻工作者。

译文作者,斜风细雨,哆嗒数学网翻译组成员,大学教师。

 

 

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12年前加利福尼亚理工学院的数学家、工程师,罗伯特·麦克利斯获得了得香农奖。在芝加哥一个国际论坛上,他发表获奖感言时,他介绍了香农其人。香农于2001年去逝。

 

麦克利斯设想几千年以后,第166卷银河百科全书(艾萨克·阿西莫夫第一个构想)将包含以下传记:

 

克劳德·香农:公元1916年生于地球(第三太阳行星)。被认为是信息时代之父,他于公元1948年提出了信道容量的公式。经过数学家和工程师的数十年努力,所设计的可靠通信系统,其数据速率达到香农极限的百分之一。

 

 

某些时候,在百科全书中的较为简单直白的词条与其含义并不相符。信道容量这一平淡的词是指:在给定媒体中,在不丢失完整性的情况下,可在其中传输数据的最大速率。香农极限是可知的,与电话线到光缆的差别不同(传输速率提高了很多),香农极限更像绝对零度和光速一样,在现实世界中是极难达到的。但是香农的巨大突破并不仅仅是提出了一种计算这一极限的方法。首先,也是最重要的,他提出了将信息进行量化的概念。1948年在其传奇论文“通信中的数学理论”中,香农提出了应用“比特”(离散的“0”和“1”)对数据进行测量,香农将发明这个词的荣誉归功于约翰·图基,当时在贝尔实验室工作的他将二进制数(binary digit)缩写为比特(bit)。

 

《信息》的作者詹姆斯·格雷克在投稿前告诉我:“将香农与爱因斯坦进行对比更有意义。爱因斯坦贡献突出,地位显赫。但我们并没生活在相对论时代,而是生活在信息时代。正是香农,在我们所拥有的电子设备中,在我们注视的每一个计算机屏幕上,以及所有数字通信的方法中都留下了他的印迹。他是这样一个人:他改变了世界,而且在更改以后,旧世界已经被人们彻底遗忘。”格雷克说:“那个旧世界将信息看作是模糊的不重要的,只是图书馆中信息架上的某些陈列。而香农的新世界中,强调信息,信息是随处可见的。”麻省理工的电子工程师/副教授大卫·福尔内说“他重新建造了一个全新的世界,从宙斯的额头开始”。“比特”马上就轰动了,科学家尝试用比特测量鸟的叫声、人类的语言和神经脉冲。(1956年香农写了一篇名为《时尚》的文章反对这一现象)

 

虽然香农主要工作在模拟技术,还是有人提议他为数字时代之父。他的启蒙思路不只来源于他1948年的文章,同时还包含他十年前发表的硕士论文。这一论文将乔治·布尔19世纪的布尔代数(基于由二进制“0”“1”代表的“真”“假”值变量)与电子电路中的中继与交换结合起来。计算机科学家及历史浑家荷曼·哥斯廷将这一论文称之为:“目前所写出的最重要的硕士论文之一。”并认为“论文从艺术到科学上改变了电路的设计。”贝尔实验退休数学家尼尔·斯洛那也赞同这一观点,他是香农论文集的编辑,同时也是“整数序列在线百科全书(OEIS)”的发起人。斯洛那说:“当然,香农的工作属于通信理论,没有他我们现在可能是在等我们的电报。”他说“但是对于电路设计来说,似乎是香农的极大爱好,他喜欢小机器,他也喜欢焊接。”

 

例如,香农曾经建造了一台可以用罗马数字进行算术运算的计算机,并命名为THROBAC I。(Thrifty Roman-Numeral Backward-Looking Computer后向简洁罗马数字计算机),他还建造了火焰喷射喇叭和火箭驱动飞盘。他建造了自动下棋机器人,可在对手行棋后给出奇妙的评论。在后来人工智能先驱马文·闵斯基的启发下,他设计了一个被称为“终结机器”的机器人。当你把开关拨到“开”,盒子打开并伸出一个机械手,它把开关拨回到“关”,然后机械手缩回到盒子里去。在马萨诸塞州温彻斯特香农的家中(香农称为“熵宅”)堆满了他的小发明,他的车库中存放了至少30辆奇特的独轮车,一个没有脚蹬的独轮车,一个是方形的轮胎的独轮车,一个特为两个人骑的独轮车。他所考虑的问题有:任何人都可以骑的最小的独轮车是什么样的?“他已经建造了几个非常小的独轮车” 伯克里大学的退休数学教师,同时也是香农最后一篇论文的合作者埃尔温·伯利坎普告诉我,香农是伯利坎普论文答辩委员会成员,他向伯利坎普请教怎么玩四个球。“他说自己的手太小,确实如此,他的手确实比其他人的小一些,所以他在开始的时候,很难握住四个球。” 伯利坎普说。他后来掌握了这一技能,并进一步用他的杂技表来进行测量。“他是现实的黑客”数字哲学家安布尔·凯斯说。

 

1960年,如同那顽皮盒子里的那支手一样,香农退休了。他不再参与他所创建的那个领域时的任何活动,写作也很少。他仍然在焊接,那些时间他本可在追求那些周围科学家正在追求的更大荣誉。1973年,在以色列的阿什凯隆召开的信息论国际研讨会上,国际电子电器工程师学会命名了香农奖,并把这一奖项授于香农本人。香农正在遭受严重的神经疾病,他打起精神做了一个精彩的演讲作为回报,很快又回到原来的状态。1985年,在英国布莱顿的国际研讨会上,香农奖授于南加利福尼亚大学的所罗门·格罗姆。后来,格罗姆从回忆他前天的一个恶梦开始了他的演讲:他梦见将要进行自己的演讲,而在前排的除了香农之外的专家应当起身。但是,就在格罗姆本人的前边,就是香农本人。他的又一次出现(包括在宴会上的小插曲)成了这次研讨会的一个话题,但他根本没有到会。

 

 

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国际奥数竞赛:中国18年来首次跌出前两名

 

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在香港举办的2016年第57届国际数学奥林匹克(IMO)各个队伍成绩日前揭晓。和上届一样,美国、韩国、中国成为前三名。美国队以214分,全队金牌的成绩蝉联第一,而韩国和中国的位次发生变化,韩国队以207分的成绩升至第二,中国队204分降至第三。中韩两队同样是4金2银。从总分名次来看,这是中国队1999年开始,连续18届参加该项赛事,第一次跌出前两名。而美国队经过这次蝉联第一之后,成为历史上第四支蝉联第一的队伍。另外三只队伍分别是,匈牙利、前苏联和中国队。 

 

 

东道主中国香港队总分161,3金2银1铜,取得第九名,这是香港队参加此项赛事以来的历史最好成绩。中国台湾队也有不错发挥,总分175,3金3银,取得第五的佳绩。中国澳门的成绩是108分,1金1银,39名。

 

 

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陶哲轩:川普不适合当美国总统应该成为共同知识

作者:陶哲轩,著名数学家,2006年菲尔兹奖得主。

译者:浪荡游侠,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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在博弈论中,有如下两个概念:

共有知识:每个人都知道的信息。

共同知识:不但是每个人都知道的信息,而且每个人都知道别人也知道该信息。[而且每个人都知道别人也知道其他人知道该信息]

此二者,差之毫厘,谬以千里。

 

 

安徒生童话里《皇帝的新衣》就是一个经典的例子。皇帝没穿衣服是“共有知识”,但不是“共同知识”。在小孩戳破之前,每个人都知道皇帝是裸着的,然而他们不知道别人看见的也是一个裸体的皇帝。因此,他们不愿承认自己属于看不见皇帝新衣的笨人。这个荒唐的骗局也是因此才持续了好一段时间。

现实中,美国总统的竞选上也上演了这么一出闹剧。我们提出如下命题:

命题1: 共和党候选人唐纳德·川普是无法成为一个合格的美利坚合众国的总统。

该命题对很大一部分美国民众来讲是“共同知识”。 即便很多川普的支持者也在私下里怀疑这个命题是否为真。当然,他们是绝不会当众说出来的。 两党诸多精英也在某种程度上印证了这个命题,比如2012年的总统候选人米特·罗尼发表演讲称川普是一个“骗子”。今年的总统候选人希拉里·克林顿也在演讲中提到了川普有多不靠谱。

然而,即便命题1从某种意义上已经成为了“共有知识”,但是它离“共同知识”还差得远:一个人也许私下里认为川普不是一个靠谱的美国总统,但他们认为川普成为总统是合理的,因为他们周围的人、媒体和政客似乎都这么想。

我想现在是时候将这个骗局结束了:川普不适合当总统。所有人都知道这个事,但需要更多的人大声说出来!

注: 我预期会有很多回复说希拉里·克林顿也不适合当美国总统。个人来讲,我觉得这种说法是不对的,起码希拉里比川普靠谱多了。但不管怎么说,这种言论并没有从逻辑上证明川普可以胜任美国总统。 本文所关注的是命题1的正确性,因此,我将删除所有本质是“希拉里也一样”的言论。然而,美国选举制度中确实存在着一些根本的缺陷,尤其是“多数制”(即“胜者全取”)的制度。在这种制度下,一旦候选人定下来,投票人只能在两个多数党的候选人之间进行选择。不然他们就只能弃权,或者象征性地投个反对票。在一个候选人明显不适合当总统时,这种制度的缺陷便会明显地体现出来,就像现在一样。我觉得有必要讨论一下是否应该对美国的选举制度进行改革。从我个人来讲我很倾向用我的祖国澳大利亚所用的“排序复选制”(参见注解[1])。这种制度下对第三方的投票是真正有用的,而不像现在制度下只具有形式上的意义。关于选举制度的回复,我将认为是切题的。当然这些都是后话了,在这次美国大选之前是不可能对选举制度做任何修改了。

 

译者注:

[1]. 排序复选制:在候选人超过两名的情况下,选民在选票上按喜好排列其支持的候选者。计票时,首先依照选票上的第一选择来计算候选人的得票,得票最少的候选人将被淘汰,然后将其得票依第二选择重新分配给其他候选人,按票数再排序后,再将最少票的候选者排除,并将其选票分配给余下的候选人,如此类推,直至有候选人取得过半数选票为止。

 

 

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香港回归后首次大型国际活动:国际奥数竞赛

 

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2016 年第 57 届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)今日(7月6日)在香港举办,按国际数学奥林匹克香港委员会主席岑嘉评的说法,这是香港回归后首次大型国际活动。

去年在泰国清迈举办的国际数学奥林匹克比赛中,由于中国队的团体总分输给美国队屈居第二,引起了一次关于奥数的社会大讨论。这回中国队能重新夺回第一吗?

 

 

实际上,中国队一直是这项比赛的“巨无霸”。从1999年开始,中国队连续17年在这项赛事中,非冠即亚。毫无疑问,中国队还是这次比赛的夺冠的最大热门。

 

然而,中国选手在IMO上的出色表现,并没有让奥数在国内得到一致的好评。在反对奥数的各界人士中,不乏数学大家,曾经的菲尔兹奖得主丘成桐曾这样评价到:“奥林匹克数学竞赛的组织者是一个帮助中学生的国际组织,他们都不是一流的数学家,所做的也只是引起学生对数学的兴趣,对发展整个数学没有起到什么作用。在数学界看来,‘奥数’就像是报纸上的娱乐版,看过之后也就扔到垃圾筒里了,根本不可能拿到课堂上去讲的。……,出‘奥数’题目的很少是一流的数学家,他们出题很偏,在研究数学的人看来,学生解决非一流数学家出的很偏的问题,并没什么了不起的。”


 
但大数学家之中,也有不少支持者,比如同样是华裔,同样是曾经的菲尔兹奖得主的陶哲轩。陶哲轩教授甚至是IMO基金会赞助者,他本人先后三次参加IMO,分别获得铜牌、银牌、金牌,至今保持着最年青获得IMO金牌的记录(那年陶哲轩12岁)。
 


“我对参加国际数学奥林匹克竞赛有着非常美好的回忆。”,陶哲轩教授说,“和其它任何学校的运动会一样,在IMO有一群有着差不多能力与爱好的人在一起狂热的进行比拼。我强烈推荐这个赛事给每一位高中生,因为它也是一个全国性和国际性的旅行机会。参加IMO可能是一位有天赋青年数学精英改变一生的事件。因此,我将全身心的支持国际数学奥林匹克基金会。”
 


事实上,近几届获得数学界最高荣誉菲尔兹奖的人中,很多人都是IMO的奖牌获得者。也许IMO对他们数学兴趣的培养,起到过至关重要的作用——这个对兴趣培养的作用,无论是丘成桐还是陶哲轩都是同意的。
 

 

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我们的世界因为这17个公式而改天换地

 

原文作者:Max Nisen,Quartz网站记者。

译文作者:我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员,就读于中国矿业大学。

 

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今年早些时候,数学家斯伊恩•图尔特出版了一本十分优秀而专业的书籍,书名为《探索未知:改变世界的17个公式》。该书审视了有史以来最为关键的公式,并从人类背景而非技术背景下进行了解读。

 

我们询问斯图尔特教授为什么决定写这本书:

 

“公式可以非常枯燥,也可以非常复杂,但主要是因为它们通常是在一个枯燥且复杂的方式下呈现的,和学校的数学老师相比我更具优势:我不会试图教你如何做运算。你可以欣赏公式的美丽和重要性,而不需要懂得如何计算... 本书主要目的在于定位公式所处的文化和人文背景,并揭开它们隐藏在背后影响历史进程的面纱。公式是我们文化的重要组成部分。隐藏在公式背后的故事--发现/发明了它们的人以及他们所生活的时代——都是引人入胜的。”

 

 

这与受到金融危机影响的那些人尤为相关。

 

 

布莱克•斯科尔斯期权定价模型,是位于第17位的一个衍生品定价方程,可以有助于阐释该问题。

 

 

摘自同斯图尔特教授的电邮交流:

 

 

“从数学角度来看,它实际上是一个相当简单的方程。真正带来麻烦的是数学系统建模的复杂性。你不需要成为一个内行去搞懂将数百亿美元借给别人并且指望归还的那些人,他们的想法是多么的幼稚可笑…”

 

人们对待一个理论公式过于严肃认真,滥用其假设,用其为错误的决策辩解,花费上万亿美元搭建纸牌屋(译者注:用纸牌砌成的房子,形容脆弱,不堪一击),这使得危机不可避免:

“我认为一旦金融工具在巨额交易条件下,情况会变得太过复杂以至于危机是无可避免的,没人能完全理解它们的价值和所带来的风险。当市场用真实的货币交易真实的商品时,过度交易只能到达实际存在的上限。当交易变成虚拟商品(金融衍生品)兑换虚拟货币(杠杆作用)时,由于没有客观世界的限制,市场就会变为脱离现实的幻境。”

 

 

现在我们来看看这17个公式:

 

勾股定理

含义:直角三角形的斜边的平方等于它的两条直角边的平方和。

 

历史:尽管归功于毕达哥拉斯,但是尚未确定他是第一个证明该公式的人。第一个明显的证据来自于欧几里德,也许巴比伦人比毕达哥拉斯早1000年就知道这个概念。

 

重要性:该公式是众多几何学的核心,将其与代数相联系,并且是三角学的基础。该公式对于精确的测绘、制图、导航是不可或缺的。

 

现代应用: 三角原理用于确定全球定位系统导航(GPS)的相对位置。

 

 

 

对数及其恒等式

 

含义:对数可以化乘为加。

 

历史:最初的概念是由苏格兰梅奇斯顿的地主约翰•纳皮尔在大量使用乘法运算时发现的,使得那些令人难以置信的繁琐和费时的计算会变得更容易和快捷。后来由亨利•布里格斯使其变得更加易于计算和使用。

 

重要性:对数是革命性的,它使得工程师和天文学家的计算更快更准确。随着计算机的问世,该公式似乎不再那么重要,但是对于科学家来说它仍然是不可或缺的。

 

 

现代应用: 对数可以有助于我们理解放射性衰变。

 

 

 

 

微积分基本定理

含义:可以计算出瞬时速率的变化

 

历史:微积分,正如我们所知在17世纪晚期由艾萨克•牛顿和戈特弗里德•莱布尼茨所发现。有关发现权的剽窃和先后有着长时间的争论。这也许永远无法解决。现在我们使用的逻辑和部分符号来自于上面两个人。

 

重要性:摘自斯图尔特的书,“对比任何其他的数学技术,它创造了现代世界”。微积分是我们理解如何测量线、面、体的关键。它是许多自然法则的基础,也是微分方程的来源。

 

现代应用:任何一个需要得出最优解的数学问题。医学、经济学和计算机科学的必备知识。

 

 

 

牛顿万有引力定律

含义:计算两个物体之间的引力。

 

历史:艾萨克•牛顿在翰尼斯•开普勒早期工作的帮助下得到了该定律。 他还使用甚至剽窃了罗伯特•胡克的工作。

 

重要性:微积分技术一直用于描述世界是如何运行的。时至今日我们仍然将它用于卫星和探测器的轨道设计。即使后来被爱因斯坦的相对论所取代,但它对于阐述物体之间如何相互作用仍然是至关重要的。

 

价值: 我们有太空发射任务时,该方程是用来寻找最佳的引力“管道”或路径,使它们可以尽可能地节约燃料。同时它也使得卫星电视成为可能。

 

 

 

 

复数

含义:虚数的平方为负值。

 

历史:虚数最初是由著名的赌徒/数学家吉罗拉莫•卡尔达诺提出,后由拉斐罗•邦别利和约翰•沃利斯进行了拓展。他们一直作为一种奇特而重要的数学基本问题存在,直到威廉•哈密顿阐述了这个定义。

 

重要性:摘自斯图尔特的书,“...如果没有该公式,很多现代科技,从电灯到数码相机不可能被发明出来。”虚数可以用于复分析,它可以让工程师们在平面上解决实际的问题。

 

现代应用: 广泛应用于电器工程和复变函数理论。

 

 

 

 

多面体欧拉公式

含义:描述了一个空间的的形状或结构,与度量方式无关。

 

历史:笛卡尔首次表述了顶点、棱、面三者之间的数量关系,随后的定义、证明和发表是莱昂哈德•欧拉在1750年完成的。

 

重要性:地形测量学发展的基础,它可以延伸到任何连续表面的几何形状。也是工程师和生物学家的一个重要工具。

 

现代应用: 拓扑学可以用于解释DNA的行为和功能。

 

 

 

 

正态分布

含义:定义了标准正态分布

 

历史:早期研究是由布莱斯•帕斯卡开始的,但是其分布的逐步形成是由伯努利完成的。我们目前的钟形曲线来自比利时数学家阿道夫•凯特勒。

 

重要性:该公式是现代统计学的基础。没有该公式,科学和社会科学不会以现在的形式出现。

 

现代应用: 用于在临床试验中确定药物相对于负面影响是否足够有效。

 

 

 

 

波动方程

含义:描述波的行为的微分方程,最初始于对振动小提琴弦的行为的研究。

 

历史:18世纪数学家丹尼尔•伯努利和让•达朗贝尔首次阐述了该公式,尽管他们是以略微不同的方式提出。

 

重要性:由波的行为推广到声音的传递方式,地震如何发生,以及海洋的行为。

 

现代应用: 石油公司引爆炸药,然后可以从随后的声波中读取数据来预测地质构造。

 

 

 

 

傅里叶变换

含义:描述时间作为频率的函数模式。

 

历史:约瑟夫•傅里叶发现了这一方程,该方程是从他著名的热流方程和前面描述的波动方程中扩展而来。

 

重要性:该方程可以将复杂的模式分离、清理和分析,对于许多类型的信号分析是至关重要的。

 

现代应用: 用于将信息图像压缩为JPEG格式,以及发现分子的结构。

 

 

 

 

纳维尔-斯托克斯方程

含义:等式左边反映的是流体微元的加速度,等式右边反映的是施加在上面的力。

 

历史:莱昂哈德•欧拉首次对流体的运动进行了模拟,法国工程师路易斯•克劳德•纳维叶和爱尔兰数学家斯乔治•托克斯构建了我们现在仍在使用的模型。

 

重要性:一旦计算机强大到足以解决这个方程,便可以开辟了一个复杂的和非常有用的物理领域。这对于设计更符合空气动力学的车辆是非常有用的。

 

现代应用:此外,该方程有助于推动现代客机的发展。

 

 

 

 

 

麦克斯韦方程组

含义:映射出电场和磁场之间的关系。

 

历史:迈克尔•法拉第对电磁之间的联系做了开创性的研究,詹姆斯•克拉克•麦克斯韦将其转化为方程,从根本上改变物理学。

 

重要性:有助于预测和帮助理解电磁波,同时也有助于许多现代技术的实现。

 

现代应用: 雷达、电视和现代通信。

 

 

 

 

 

热力学第二定律

含义:能量和热量随时间的推移而消散。

 

历史:萨迪•卡诺首次提出自然界是不可逆的。数学家路德维希•玻尔兹曼拓展了该定律,威廉•汤姆森正式表述了该定律。

 

重要性:它对于我们通过熵的概念来理解能量和宇宙是必不可少的。它有助于我们认识到热能提取工作的限制,并有助于发明更好的蒸汽机。

 

现代应用: 证明物质是由原子构成时,起到了一定的作用。

 

 

 

 

 

 

 

爱因斯坦相对论

含义:能量等于质量乘以光速的平方。

 

历史:很少有人知道(非物理学家)爱因斯坦的方程起源于由阿尔伯特•迈克尔逊和爱德华•莫雷实验,该实验证明了按牛顿的方式改变参照系条件下,光并没有发生移动。随后爱因斯坦在他的著名论文中就狭义相对论和广义相对论(1915)和广义相对论(1905)进行了深入的研究。

 

重要性:也许它是历史上最著名的方程式。彻底改变了我们对物质和现实的看法。

 

现代应用:有助于核武器的发明,如果全球定位系统没有考虑它的话,你的位置会偏离上千码。

 

 

 

 

薛定谔方程

含义:建立物质的波模型而不是粒子模型。

 

历史:1924年路易•维克多•德布罗意发现物质的双重性质。我们所见的方程是1927年埃尔温•薛定谔推导的,构建工作是由沃纳•海森堡那样的物理学家完成的。

 

重要性:彻底改变了物理学在微观尺度的观点。粒子以概率的方式出现,具有不确定的观点是革命性的。

 

现代应用: 对半导体和晶体管的使用是至关重要的,因此大多数现代计算机技术也依赖于它。

 

 

 

 

 

 

 

香农信息论

含义:通过概率及其符号估计一段代码的信息量。

 

历史:二战后的几年里由贝尔实验室的工程师克劳德•香农发现。

 

重要性: 摘自斯图尔特的书,“这是信息时代迎来的方程。” 通过阻止工程师们寻找过于高效的代码,它建立了从光盘到数字通信的界限。

 

现代应用: 用于很多容错检测的编码。你们这几天上网了吗?

 

 

 

 

 

逻辑斯蒂增长模型

含义:在有限资源的条件下估计种群隔代的数量变化。

 

历史:1975年罗伯特•梅可能是第一个指出该模型人口增长可能产生混沌的人。数学家弗拉基米尔•阿诺德和斯蒂芬•斯梅尔的重要工作使人们认识到混沌是微分方程产生的结果。

 

重要性:有助于混沌理论的发展,该理论完全改变了我们对自然系统工作方式的理解。

 

现代应用: 用于模拟地震和预测天气。

 

 

 

 

布莱克—斯科尔斯期权定价模型

含义:对衍生品的定价是基于无风险假设,并且当不存在套利机会时它的价格是正确的。

 

历史:费舍尔•布莱克和迈伦•斯科尔斯建立了模型,罗伯特•莫顿进行了拓展,后面两个人获得了1997年诺贝尔经济学奖。

 

重要性:有助于建立现在上万亿美元的衍生品交易市场。有人认为不当的使用公式(及其推论)导致了金融危机。特别是方程的几个假设不适用在现实金融市场。

 

现代应用: 在金融危机之后,仍有更多的拓展模型用来对大多数衍生品进行定价。

 

 

 

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费马大定理:一个傲娇法国人的诡异故事

 

 

原文作者,James Propp,马萨诸塞大学数学教授

译文作者:333,哆嗒数学网翻译组成员,就读于中南大学数学专业。

 

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这个故事正如数学科普作家西蒙·辛格在一个“数字狂”(Numberphile)视频中所说:这个十七世纪的法国数学家,皮埃尔·德·费马,坐在他的私人图书馆中正读着一本书。他激动地写下了他的一个新发现,就在书的角落里——一个我们如今称为费马大定理,或简写为FLT的断言——但他紧接着写道,书的边角地方太小以至于写不下他的证明。在他还没能跟任何人交流这个问题的细节之前,“他就暴毙而亡了。”

 

 

 

 

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关于这个版本的费马大定理故事,我有两个疑问,并且它似乎在暗示是主人公的死亡才导致这个重要的数学秘密被久久尘封。首先,我们看过太多遍“秘密在临死前始终说不出口”的电影片段了;这很做作可笑,不是吗?第二,并没有证据表明费马死前写过那样一段话。我们无法回到过去确定他所使用过的墨水,因为在他的注释被人转录之后原书就不见了,但是从费马的信件中我们能够得知,他读这本书是在职业生涯早期,大约1630年代。大多数学者认为这个传奇的注释写于他死亡之前二十年。所以辛格在他的视频2分15秒开始杜撰了一个过于戏剧性的故事。他仍然确信费马是带着一个没有向任何人揭示的他所声称的证明归于尘土的。

 

 

多亏了现代数学家安德鲁·怀尔斯,我们才能够知道费马的声称是正确的,他也因为在费马大定理上的著名工作而在不久前获得了阿贝尔奖。但是,费马真的有那个绝妙的证明吗?这正是我今天想要探讨的。当我们讨论这个费马没有揭示的最著名的证明时,我将要告诉你费马确实创造了一个证明方法——一个可以美妙地解决其它的与此类似形式数论问题的方法。

 

 

 

这本使得费马很丢面子的书是他私人抄本的《丢番图算术》。而吸引了费马注意力的那一页上讨论的问题是:将一个平方数分解为两个平方数的和。(5²=4²+3²,20²=16²+12²,再不然分数也行,4² = (16/5)² + (12/5)²,因为丢番图对分数和整数都同样满意。)

 

 

费马在书的边上写道:“然而,你却不可能将一个立方数写成两个立方数之和,也不能将一个四次幂数写成两个四次幂数之和,或者更一般的,任何一个高于二次幂的数都不能写成两个和它同次幂的数之和。我已经发现了一个绝妙的证明,但是这里太窄了,我写不下了。”用现代的记号表示即:若n是一个大于2的正整数,则方程x^n + y^n = z^n (x^n 表示x的n次方)没有非零的有理数解(你或许会想为什么我会说“有理数”而不是“整数”?仔细想一想)。费马的儿子在费马1665年去世之后整理出版了父亲的手稿和笔记,才使得这个断言公之于众。

 

费马是认真的吗?

 

考虑到费马在今人中的名声很大一部分源自于这个声称,一些人想知道是否有可能他故意误导后世的人们以博得死后的荣耀——他明知这是个困难无比的问题,但在心里察觉到,若他声称有一个办法,那他死后就会像一个无与伦比的圣人那般著名。他的所谓的证明会是纯粹的虚张声势吗?

 

这是个有意思的观点,但这并不符合我们了解的费马和他那个时代的人。像费马大定理这样的问题并不能激起费马时期那些顶尖的数学家太多的兴趣。微积分正在欧洲文化的子宫里孕育,那些导致了微积分被发明出来的问题才是人们的兴趣所在。费马在解析几何、计算领域、光学、最优化上的创造性工作——正是这些让他享有巨大的声誉。

 

相反,费马在试图让人们相信诸如他的大定理之类的问题有很大价值时遇到了重重困难。他用以构造“佩尔-费马方程”解的步骤确实引起了一些人的兴趣,比如约翰·沃利斯,但是沃利斯觉得费马否定性的结果索然无味。布莱斯·帕斯卡,他很赞赏费马在概率论上先驱性的工作,然而对费马在数论上的工作却是不屑一顾。

 

如果我活在费马的时代,我会很同情费马努力所做的工作,但是恐怕我很可能会站在那些怀疑者的一边。我能想象我自己会说:“数学难道不该是解出方程,而不是证明它们无解吗?如果试图找出所有数字解导致我们要去考虑那些压根就没有解的方程,那么从一开始,试图寻找它们的解不就是个错误吗?难道这不是告诉我们费马在问一些错误的问题吗?”

 

费马敦促他的同时代人在解方程时加入有理性和整数性的要求,并没有其他原因,纯粹是为了使方程更具挑战性。在实数范围内容易解出的方程,在加上诸如有理解或整数解等附加条件后会变得极端困难而精妙。后代人开始视这种精妙为一件好事;这些问题很难但仍然可解的事实表明了这些问题值得研究。随后世纪里最伟大的数学家们,比如莱昂哈德·欧拉、卡尔·弗雷德里希·高斯,对费马的工作非常感兴趣,甚至对他遗留下来未完成的工作更加有兴趣;他们的认可使得费马关于整数谜团的杂乱口袋变成了数学中一个叫数论的分支,并赋予了这个领域自己的合理性和无尚荣耀。应当说明高斯对费马大定理并不感冒,他曾明确指出(在对n=3的情形找到一个证明后)在数论中可以很轻易地提出许多这样很困难的问题。

 

到十九世纪早期,数学家们已经解决了费马所有的猜想——除了这一个,这也致使这个遗留的问题被冠以“费马大定理”的名号。(不妨告诉你,费马“倒数第二大定理”是被柯西在1813年证明了。)费马声称他关于费马大定理的证明是“绝妙的”给人类知识的鸿沟增添了额外的凄美。

 

让我们返回十七世纪,费马问题的巨大困难使得很多数学家认为他们应该把心血努力转移到别的地方。正如费马的同代人克里斯蒂安·惠更斯写道,“有别的更好的东西等着我们去做。”所以,要是费马想用不诚实的断言来使人们佩服,那他就不该打费马大定理的主意。

 

 

你仍可以刻薄的怀疑,费马的缄默就是他根本没有那个证明的证据。不过你得知道,对于费马而言,对一个命题不给出证明是一件寻常的事,并不是什么例外。他没有发表任何关于数的工作,但他通过和其他数学家的通信来是自己满意。(不错,费马是一个“业余的数学家”,不过话说回来,谁不是呢?)他就像在和他的通信者玩一个奇妙的游戏,他提出一个问题并且暗示如果对方无法解决他就会揭示答案。所以,很有可能费马确有一个关于他的“大定理”的证明,但是在别人绞尽脑汁徒劳无功之前他不愿揭秘,这样就更能显示他自己的聪明。

 

 

总之,我从未见过任何可信的证据表明费马在书页边角写下的评注是在误导后人。我认为费马是真的找到了一个论据并且他觉得是一个有效的证明。那绝不是安德鲁·怀尔斯和理查德·泰勒的手段,他们的手段包含了太多的数学新概念(像是“椭圆曲线”)和历代数学研究者的杰出成果,这些都是在费马死后才被发展出来的。数学史专家们认为费马一定拥有一个他自己确信无疑的证明。

 

 

如果我们想要理解当费马说他证明了某个数论中的问题时他是什么意思,我们需要了解他用了何种方法。幸运的是,这一点费马能够亲自告诉我们,因为在他一生中,他确实给出了这么一个数论问题的详细证明过程。他使用了一种方法,他认为是他对数论这门学科最重要的贡献:在1657年给皮埃尔·德·卡尔加维的一封信中,费马称其为“无穷递降法”。

 

无穷递降法

 

很容易给出一个后项比前项大的无穷正整数序列:如素数序列、完全数序列或者1,2,3,4……但你能想出一个后项比前项小的无穷正整数序列吗?只要稍微想想你就会回答“不可能”。比如,取第一项是一百万,那么第二项至多是999999,第三项至多是999998,一直下去;在一百万项之后(不会更多),这个序列就会发现自己被逼到了角落里,这是因为每一项都要求是正整数。如果第一项不是一百万,是个更大的数,比如十亿,那么这个序列仍然会到达终点,尽管要很多很多项之后。这就是说,不存在无限长的正整数递减序列;无论首项多么大,一个正整数的递减序列迟早都会终结。这个似乎不起眼的费马原理却有着意义深远的结果。

 

 

举个例子,让我们把费马的方法运用到这个方程:xy + y² = x² ,我们来证明它没有正整数解。费马会用纯代数的形式来陈述他的证明,而我将采用几何的途径,来使证明的逻辑更清晰。要提醒的是,费马从未将他的无穷递降法用在这样简单的方程上,他发明这个方法是为了敲开更硬的坚果,例如方程x^4 + y^4 = z²,在他给卡尔加维的信中明确的展示了这个方法。

 

 

为了开始我们对方程 的分析,首先把“x”用“a”代替,把“y”用“b”代替,这样方程就变成了ab + b² = a²;然后将它变形为(a+b)/a = a/b;接下来将这个方程表示为几何形式,我们可以画一个a×(a+b)的矩形,它里面包含了一个a×a的正方形和一个a×b的矩形,如下图所示。

 

 

方程(a+b)/a = a/b表明大矩形相似于小矩形:即将大矩形旋转90度,再把它按比例缩小就得到了小矩形。因此,这个大矩形就是古希腊人所说的“黄金矩形”:它包含了一个正方形和其自身的缩小版。同样,这个小矩形也相似于大矩形,它也是个黄金矩形;正如下图所示。所以,这个小矩形也可以分解为一个正方形和一个更小的矩形;这个更小的矩形还能分解成一个正方形和一个更更小的矩形……可以将这个过程一直无限进行下去。

 

 

当你第一次看这张图可能会有点眩晕,但这在数学上不成问题。如果从一个黄金矩形开始,你可以画越来越小的正方形和越来越小的黄金矩形,直到你实在没耐心了(或者找不到更尖细的铅笔了)。但是,假如你不是从一个黄金矩形开始会怎么样呢?要是你想徒手画一个黄金矩形,怎么画呢?甚至如果你要求你的黄金矩形每边都是整数个单位长,这又会如何呢?

 

 

这样的话,你就陷入了麻烦之中,而费马的无穷递降原理会告诉我们为什么。但是首先,我们需要对图一做一个似乎很天真的观察:如果大矩形的边是整数,那么小矩形的边也是整数(代数语言:若a+b和a是整数,则a和b是整数。这是因为我们可以将b写为(a+b)-a,这是两个整数的差。)为了看出这将导出什么,来看接下去的下面那张图中的小黄金矩形。如果最大的是整数边,那么小的也是,更小的也是,一直下去都是。这样,我们就得到了一个无穷递减的整边矩形序列。看出问题了吗?拿出每个矩形的短边,我们可以得到一个无穷多项递减的正整数序列——但是这是不可能的,这由无穷递降原理可知。所以,不存在一个整数边长的黄金矩形。

 

间接证明

 

我们刚刚所展示的证明就是一个间接证明:为了说明某个命题在数学上是不成立的,我们只要说明它的成立会与自身产生矛盾或与已知的产生矛盾即可。举个例子,为了证明不存在整数边长的黄金矩形,我们证明了要是这样的矩形存在就会导致存在无穷递降正整数序列,而这一点与无穷递降原理矛盾。

 

 

如果这是你第一次领略非直接证明,你也许会感到有些不安——这仿佛在骗人!如果你这么觉得(有这种感觉很正常),那我告诉你这是一种和我们现实世界并不十分相称的推理方式,在这种推理方式下,事物的性质是受到怀疑的,这样你或许会感觉好一些。这也许就是为什么你的大脑会对这种方法有所警惕。但是在数学中我们处理的是经过精确定义的抽象概念,而不是凭经验的观察所得,因此运用矛盾来证明是一种合理的推理方式。在构建可数数这一数学论据时,我们被允许作出没有无穷递减的可数数序列这一假定——不是因为我们在实际生活中没有遇到这样的序列,而是当我们说可数数时它就已经暗含了这一性质。

 

 

如果你认为要是没有间接证明数学会发展的更好,这就有一个问题值得深思:那你还能用什么办法去证明某个东西是不存在的呢?通过遍寻它可能存在的地方然后发现哪儿都没有它?当这样的地方是无限多个时,这种办法就不管用了!

 

 

间接证明的一个好处是,在你紧接着的推理过程中提供了非常广阔的目的地:你只要到达其中任意一个矛盾的地方,那就完成了证明。可以把推理的过程想象成地理位置依赖于知识状态的导航过程。如果你试图证明“若命题P,则命题Q”,那么你就会从P出发尝试建立一条通往Q的路线;也许只有惟一一条路线,找到它可能要很高明的技巧。但是,如果你试着去证明命题P和命题Q的否定放在一起可以产生一个矛盾,不管是什么样的矛盾都行,都可以使你到达原来的目的地。你可以马上就试试从一些前提假设作一些随机的结论,再看看它们把你带到了何处!所以这种证明方法经常能给你提供比直接证明更大的前进空间。

 

 

如果你喜欢上面那个没有整数边长的黄金矩形的证明,你可以用同样的方法试着证明,不存在五条边和五条对角线都是整数的正五边形。

 

 

费马知道什么?他什么时候知道的?

 

费马有找到了一个正确的证明的可能性,但是这一点随着时间流逝变得越发不可信。因为那些掌握着费马所知道的所有数学工具的业余数学家们,足够聪明也花了足够多的时间在数学上,都没能找到费马大定理的一个初等证明。要是真有那么一个简单的证明,会时至今日还没被发现吗?

 

 

大多数历史学家倾向于费马犯了个错误这一观点。(这可能不是他唯一的错误;参看参考列表中的文章“费马的错误”。)这一假设会更可信如果历史学家们能够重现关于费马大定理的那些似是而非的费马式的错误证明。其中之一是费马之后两个世纪,数学家拉梅的那个错误证明;尽管它包含着一些费马那个时代所没有的想法(如将复数引入数论),不过费马很可能有一些基于直觉的、怪异的方法去处理数,而不使用我们今天的方法,比如精巧的三角学方法。所以费马可能有一个天才的方法比拉梅早两个世纪犯了那个错误。

 

 

即使没有拉梅的那个例子,我们也能够看出费马是在试图解决一个极其容易犯错的问题。证明一个东西不存在几乎总是要用到间接证明,当你构建了一个间接证明,找出任意一个矛盾就行了。这就使得很容易构建出一个虚假的间接证明:仅仅犯了一个代数错误,就推出了一个矛盾,而这个矛盾却并不能由你最开始的前提假设推出,它仅仅只是起源于你推理中的一个小错误。

 

 

大多数对费马的证明抱有兴趣的数学家都得出了和我相同的结论,这也是我在文章标题的选择中所暗示的。这个词组“深夜小狗神秘事件”来自于《福尔摩斯》里的故事《银斑马》,在这个故事里,福尔摩斯向苏格兰警察厅的侦探格雷戈里解释了他的推理。

 

 

格雷戈里:“你还有其他东西想引起我的注意吗?”

 

福尔摩斯:“ 这只狗在晚上的奇怪举动。”

 

格雷戈里:“这只狗夜里什么都没做。”

 

福尔摩斯:“那才是一件奇怪的事。”

 

 

对于我们而言这个奇怪的事是,在他所有的信件中,包括他1659年最后一封给卡尔加维的信(在这封信中他在总结了他一生在数论中的所做的工作),费马也没有提到他证明了费马大定理。他的确证明了x^4 + y^4 = z²没有正整数解,由此可以推出n=4时的费马大定理成立。费马也声称用他的无穷递降法他也证明了x³ + y³ = z³没有正整数解。但是对于方程x^n + y^n = z^n,当n大于4的时候,他沉默了。是否有可能在他原以为自己证明了费马大定理后,突然意识到实际上他并没有?而他也忘记了在那一页书上重新作个声明,或者他根本就不记得自己写过那段评注?

 

 

我们永远也不可能知道真相了,但是除非直到有更多的证据,那似乎是这个数学谜团貌似最真实的答案了。

 

 

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中国校友会网发布中国数学本科专业星级排名

 

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近日,艾瑞深中国校友会网大学研究团队发布了2016中国大学本科专业排行榜。其中数学与应用数学专业的星级排名也同期发布。星级排名的最高星级为7星(★★★★★★★)。榜单公布了三个星级的排名,分别是7星级(★★★★★★★)、6星级(★★★★★★)、5星级(★★★★★)。共有17所高校的数学专业进入榜单。

 

最高星级有4所大学,他们并列排在第1名——北京大学、复旦大学、南开大学、中国科学院大学,办学层次都被评定为世界知名高水平专业。而其余13所大学分别评定为6星级和5星级,办学层次分别为中国顶尖专、世界知名专业、中国一流专业。

 

最后附上星级排名的详细图表,注意排名中大量并列的情况,哆嗒数学网的小编提醒你,这是中国校友会网排名的特色。

 

 

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爱丽丝2:下午茶前的四元数派对

 

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5月27日,迪士尼的3D魔幻电影大作《爱丽丝梦游仙境2:镜中奇缘》在北美和中国大陆同步上映。这是2010年《爱丽丝梦游仙境》的续作。
 
 
两部电影的素材都分别取自刘易斯·卡洛尔的两部小说——《爱丽丝梦游仙境》(Alice in Wonderland)以及《爱丽丝魔镜之旅》(Alice Through the Looking Glass)。原著中那光怪陆离的世界,在电影中得到了重现,不同的是女主角由一个小女孩变成了一个成年女子。
 
 
然而,如果我告诉你这两部小说都充斥着数学内容,你会不会认为我脑洞开的实在太大了?恩,我就知道你会这样说,好吧,你听我慢慢道来。
 
 
首先,从作者刘易斯·卡洛尔说起。卡洛尔是作者的笔名,他的原名叫道奇森,是英国著名大学牛津大学的数学讲师。一位数学老师的著作里的内容,如果灵感来自他的老本行,总是可以理解的吧。
 
 
不过,卡洛尔在“爱丽丝”中的数学暗示,很多都不是对数学的推崇,而是对当时的一些“新数学”的调侃或者说讽刺。要说清这一点,我们不得不回顾一下历史。《爱丽丝梦游仙境》在1865年出版,而那个时代,数学这门学科也在经历一场大的变革之中。一些诸如非欧几何、抽象代数这种更为抽象的数学开始发展——数学开始变得更加抽象,越来越脱离人们的直观感觉。
 
 
用现在的观点来看,这场变革是多么让人兴奋与惊奇。但是,作为历史的局中人可不能向现代人一样站在历史的高处俯瞰自己的时代。和所有变革一样,总有人会对变革采取反对或者排斥的态度,这其中就包括“爱丽丝”的作者卡洛尔。
 
 
卡洛尔不能接受一些没有直观意义的纯数学概念。比如能对负数开方的虚数,比如算术研究中使用变量。对于哈密顿1843年发明的四元数,他更是不喜欢。
 
 
四元数是形如a+bi+cj+dk的数字全体。其中a,b,c,d是实数, i² = j²  = k²  = -1,ij=k、ji=-k、jk=i、kj=-i、ki=j、ik=-j。 当c=d=0的时候,四元数就是复数。所以,四元数是复数概念的推广。和大多数当时的数学家一样,哈密顿在为四元数找直观的解释。i,j,k可以理解为旋转,对于第一个分量a,哈密顿隐隐约约的提到过,可以理解为时间。
 
 

卡洛尔在数学上是绝对的无名小辈,所以对那些数学大家的“嘲讽”是用非常隐晦的“吐槽”进行的。原著中有个著名桥段,就是疯帽子的茶会。本部电影中演绎了原著中这个茶会的主要情节。不同的是,爱丽丝因为还在时空旅行而没参加茶会。茶会里本来有三个人,疯帽子、三月兔、睡鼠。

 

 

后来“时间”闯入。茶会开始前,因为“时间”感到疯帽子愚弄了他——其实看上去是真的愚弄了他——于是愤然离席。离席前,把时间永远定格在了茶会开始前1分钟。这样,疯帽子永远只能循环往复从座位站起又坐下,三月鼠永远只能重复他倒咖啡放糖的动作,而睡鼠就像复读机一样反复念到“鬼才相信他说的!”。

 
 
 
卡洛尔似乎认为,哈密顿的四元数就像这个茶会一样扯淡。一个重要的分量时间没了,于是剩下的分量只能原地打转。
 
 
 
其实,原著和第一部中还有很多类似对数学的嘲讽和吐槽,我们哆嗒数学网的小编建议大家有兴趣的可以去搜索一下。
 
 
 
 
 
最后,告诉大家关于这个小说的另外一个数学趣事。当时英国的维多利亚女王看了《爱丽丝梦游仙境》非常喜欢,对身边的人说,以后卡罗尔的每一本著作都要呈上来给她阅读。结果卡洛尔的下一本书是名叫《行列式基础》的线性代数教材。我们不知道,女王陛下拿到这本教材的时候会是什么表情,也不知道这是不是唯一一本女王钦点要看的线性代数教材。
 
 

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2016年度邵逸夫数学科学奖得主揭晓

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据邵逸夫奖官网(shawprize.org)6月1日消息。2016年度邵逸夫奖得主揭晓,六位科学家获颁奖项。今年为第十三届颁发,颁奖典礼定于2016年9月27日(星期二)于香港举行。


数学科学奖方面,2016年度邵逸夫数学科学奖颁予英国牛津大学教授奈杰尔·希钦 (Nigel J Hitchin),以表彰他对几何学、表示论和理论物理学作出极重要贡献。他引入了基本而优美的概念和技术,影响深远。


  几何学是数学的核心。它与数学的其他部份有着密切的联系,包括与研究对称有关的表示论、微分方程、数论,近年更与理论高能物理有所关连。邵逸夫数学奖的官方新闻稿中介绍,希钦是我们近代最有影响力的几何学家之一。他的研究工作,为几何学及其相关的科目带来深远的影响。他多次发现几何学中优美又自然的特点,这些特点至为关键,激发了很多其他领域的研究工作。

 


   有趣的是,希钦教授却与大家熟知的其他著名的数学大奖无缘。曾有数学家表示,“邵逸夫数学奖有点好玩,似乎专门给得不到其他大奖的,往好处想不是锦上添花,往不好的想是做补充”。这确实多少符合邵逸夫数学奖的部分风格,但也不尽然,我们哆嗒数学网的小编可以帮你回顾一下,就近几年一些菲尔兹奖得主也获得过此奖,比如孔采维奇(2012)、法尔廷斯(2015)。

 

附录:“邵逸夫奖”简介


“邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立,以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果,和该成果对人类生活产生深远影响的科学家,原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。


“邵逸夫奖”是国际性奖项,由邵逸夫奖基金会管理及执行。邵逸夫先生亦为邵逸夫慈善信托基金和邵氏基金会的创办人,这两个慈善组织主要发展教育科研、推广医疗福利及推动文化艺术。


“邵逸夫奖”有三个奖项,分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次,2015年前每项奖金一百万美元,从2016年开始每项奖金增加至一百二十万美元。

 

 

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数学告诉你结婚吧,别再约了!

 

原文作者,Ana Swanson,Wonblog记者,原文发表于华盛顿邮报的网站上。

译文作者:小王子,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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出于各种各样的原因,人们怯于对伴侣许下承诺。原因之一就是,他们无法预料未来会不会有更好的在等着他。早早地确定关系,意味着你放弃了将来会遇见更完美恋人的可能。倘若拖着不表态,那么所有美好的都将错失。人们即便不想与初恋结婚也不想拖得太久。


    
 这个选择对于有完美主义倾向的人而言更是两难。事实上已经有一个简单的数学规律可以指导你走出困境,它能计算出你要寻找多久的伴侣才会决定安定下来。

 

 这个数学问题有很多为人们所熟知的名字——“秘书问题”,“挑剔的求婚者问题”,“苏丹的嫁妆问题”,“见好就收问题(止步问题)”。问题的答案虽然已经由几个数学家得出了,可是直到1960年,在数学爱好者Martin Gardner将答案发表在《科学美国人》后才被普及。

 

 这是一个你需要从一定数量的选项中做出选择的场景。假设你一生中会遇见11个可以认真约会并且决定安定下来的潜在伴侣。碰巧地,你在同一个时间遇见了他们,那么你将毫无疑虑地选出你的最佳伴侣。遗憾的是这样选择终身伴侣的方式明显是不现实的。

 

其中之一的问题就是追求者出现的顺序是随机的,而你又无法判断现在的追求者与将来会遇见的追求者相比谁更好。现在的同伴是否只是过客?还是说他或她已经是你的真爱了?还有一个问题是,一般情况下,被你拒绝过的追求者与你之间的关系很难再回到过去了。

 

 

那么,到底该如何寻找你的另一半呢?可以说,这就是一种赌博。并且和大多数的赌博游戏一样,它有一个非常吸引人的头奖,而且你可以知道并提高自己获得头奖——最佳伴侣的机会。确实存在这样一个可以增加你的胜算的奇妙答案。

 

这个奇妙的数字是百分之三十七。要想以最高的机会挑选到最佳求婚者,你应该考虑并拒绝你一生中前37%的追求者。(如果你对数学感兴趣,你就会知道0.368或者说36.8%来源于1/ e。)事实上,你只要遵循一个简单的规则:如果遇到了比任何一位前任都优秀的,那就选择他。

 

要想将这个规则运用到现实生活中,你必须得知道你一生中会有多少位可能拥有或希望拥有的追求者——而这是不可能明确知道的;你还必须判断出谁有资格作为备胎,谁又只是一时冲动。而这些问题的答案都不是清晰的,所以你只能去估计。在这里,我们假设你在你的人生历程中将有11位真诚的求婚者。

 

如果在11个追求者中随机选择,你选出最佳伴侣的概率约为9%。但如果你使用了上述的方法,挑选出最佳伴侣的概率将明显增加到37%。这虽然不是一个肯定的概率,但远胜于随机选择。

 

数学家汉娜·弗里曾在2014年TED上迷人的谈话中揭露过,这个策略不能保证百分百成功的,而是有风险的。比如说,你所遇见的是下面的插图中描绘的情景,你的初恋就是你最完美的另一半,按照规则,你无论如何都会拒绝他。而当你继续和其他人约会时,再没有能比你的初恋更好的人出现了,可以预料到,你会拒绝所有的追求者,决定和你的猫相依为命。(当然,也不排除有人会更喜欢让猫来当男朋友或女朋友的可能性)。

 


下一幅插图表现的情景或许会更现实一些:当你在你的情感世界里先遇见的是一连串不靠谱的前任。按照规则,即使你下一位约会的对象只比你的前任们好那么一点点,你也还是会嫁给他。但是他任然不是一个好的对象,而实际上未来还有更好的。

 


有很多方法可以证明这个策略是会出错的。但与任何其他的方案相比,不论你想考虑的对象是10位追求者还是100位追求者,它依然是你最值得期待的指导你获得真爱的方法。

 

这个策略是如何起到作用的呢?一旦你决定在茫茫人海中认真地寻找一位候选人的时候,它的作用就会突显出来。你既想和足够多的人约会以掌握选择权,又不想选择太久而增加错过理想情人的风险。于是,你就需要借助这样一个可以权衡是太早还是太迟安定下来的风险的准则。

 

这个逻辑在越小的例子里可以越清晰地解释清楚。不妨设在你的一生中你只有一位求婚者。如果你选择了那个人,那么你就永远地赢得了这场赌注,他或她就是你一生的陪伴。

 

如果你有两个追求者,那么现在就是有一个平分秋色的机会可以挑选到最好的追求者。这种情况下,你是用我们的策略——在选择一位候选人前考虑过另一位候选人还是用其他的方法都不重要。因为无论你用什么方法,你选到真爱的概率都是50%。

 

但是当追求者变多的时候,你就将注意到秘诀到底是如何帮你获得真爱的。下面的图比较了从三位追求者中随机选择到真爱的成功率。每位求婚者被置于自己的方框中,并根据他们的品质排了序(一表示是最优,三表示是最差)。如果你按照策略中指导的那样做选择,你会发现,在一群追求者中获得真爱的机会显著地增加:

 

 


图中:如果不论什么情况都选第一位追求者,你选到真爱的次数是2次(2/6);
如果不论什么情况都选第二位追求者,你选到真爱的次数是2次(2/6);
如果不论什么情况都选第三位追求者,你选到真爱的次数是2次(2/6);
但是如果你考虑并拒绝了第一位追求者,在之后的追求者中选择比之前好的那位,你选到真爱的次数是3次(3/6)

 

 数学家们在不断重复上述过程时发现一个有趣的规律:当“追求者”趋向无穷大时,在求得真爱之前,你需要考虑和拒绝的追求者的最佳数量是收敛于一个特殊的数字——37%的。

 

 在数学领域中解释这个策略是如何起到作用的,又是另一个通俗易懂的数学知识,这与神奇的自然常数e有关。e是唯一一个可以在统计学中描述在只有成功和失败两个结果的统计试验中成功的机率的数字。(可以在二项分布中起独有作用的数字?)

长话短说,凭这个策略,不论你所评估的对象是追求者,还是其他重要的东西,公寓,房子,或是卫生间,你在未知序列中都有最大可能选到最合适的对象。

 

其他变形问题


还有一些问题的变形,根据不同的变动,结果也将稍作变化。


在上述的场景中,你的理想就是是最大限度地提高你在一群追求者中找到真爱的机会——如果你找到了真爱,你就是赢家;如果你选择的是其他任何一个人那你就是失败者。但在现实中,更多的是像数学家Matt Parker笔下的那样的情形,“如果得到的比最好的不差多少,这只会给你带来微不足道的不悦。”你并不一定要求最好的,即使选择了次好或第三好的,你也依然很满足,那么孤独终身对你而言依然遥远。

 

如果你的理想就是找一个很好的相伴者,而不是最好的那一位,那么这个策略也要随之改变了。在这种情况下,不妨设你一生中会遇见n个求婚者,那么,在决定接受任何人之前,你将考虑并拒绝的求婚者是根号n个。正如上面的公式,过了这个准点,错过理想伴侣的赔率就将超过早早就获得真爱的赔率。就像在上述11个追求者的模型中,30%就是那个错过理想伴侣的风险超过早早获得真爱的准点。因此,你只需考虑并拒绝一生中前30%的追求者,而不必再遵循之前的数据37%了。

 

总而言之,这个方法意味着你会更早地选好伴侣安定下来。并且你有很高的机率和非常好的人相伴终身,同时还降低了孤独终身的概率。根据帕克说法,在10个人之间做选择,使用这个方法你将获得的基本上是你有75%概率满意的人。在100个人的选择中,你将选到的基本上就是你有90%概率满意的人了,这已经比大多数人希望的要好多了。

 

1984,一位名叫Minoru Sakaguchi的日本数学家进一步升级了对这个问题的处理,因为她发现坚强独立的男性和女性会更有魅力。在sakaguchi的模型中,有这样一些人,他们虽然想找到他们的真爱,但他们更愿意过独身生活。在这种情况下,人们直到考虑了约60.7%的候选人才会寻找可以确定关系的人。你注意到,一旦人们不再在意自己是否会孤独终老,他们将很乐意考察更多的候选人,收集更多有关他们的信息,自然而然地也会有更大的机会选择最最棒的那位。

 

虽然说这些模型都是理论上的,但它们也支持了一些交往方面的传统观点。首先,想要选择一个人安定下来他给我们无法拒绝的理由去认真交往。如果没有约会的经历,你就没有足够的认知在约会这潭深水中理性地做出选择。最普遍的情况就是你会认为你遇见的第一或第二段情感就是你的真爱,当然也不排除例外。

 

其次,你什么时候安定下来和你的要求也是有关的。如果你想找一个非常好的对象来减少你最终孤独的机会,经过审查和拒绝在你一生中可能拥有的前30%的追求者之后,你就该早早地安定下来了。

 

但如果你确定自己的目标就是从追求者中找到最好的,那你不妨等待久一些,审查和拒绝了追求者总数的37%后再确定关系。如果你想找到你的完美配偶,并且你也不介意孤独终身,那你可以再耐心些,在考虑和拒绝60.7%的追求者后再开始寻找你的伴侣来结束单身,这些方程既让那些担心会错失真爱的人安心,也指导了那些因为不知道他们将来会失去什么而怯于对同伴许下承诺的人。这道数学题恰巧指导了你不必为了不错过真爱而大海捞针。

 

 

 

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二胎政策中的数学

 

原文作者:Jorge Almeida,任教于葡萄牙的里斯本大学,教授遗传学。

译文作者:donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员,华东师范大学数学博士。

 

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中国刚刚取消了独生子女政策。如何更好地从一个例子来探究人口增长过程中的数学。你可能会对下面的研究结果感到惊讶。

 

 

一胎只有一个孩子

 

不像我们的犬科朋友,它们经常一窝可以有好几只小狗,而我们人类通常一胎只有一个孩子。与可以相对自由地决定何时生孩子相比,我们可能会面临这样一个问题:“如果我们已经有了孩子,那么考虑到已有孩子的数量以及孩子们的特征,我们是否应该再要个孩子?”例如,一个恰有2个孩子(都是男孩)的家庭可能会面临这样的困境:一方面,3个孩子可能会太多了,但另一方面,如果能有1个女孩的话,可能会给家庭带来额外的快乐。当然,第3个孩子依然可能还是男孩,如果真是这样的话,那么这个家庭将面临更深的困境。在考虑了所有可能性之后,具有某项特征(此处为性别是女性)的孩子数的数学期望,可能并不会太大(可能只有3或者4)。

 

图1:人和狗有不同的养育模式。

 

 

但是,究竟要靠什么来决定是否继续生育孩子,是依据之前孩子的性别,还是需要考虑因此可能会带来的对人口增长的影响?这个疑问导致了如下的人口问题。

 

 

统治者R的需求

 

人们往往从不考虑解决该问题的过程中对数学家的需求,从而养成了仅靠自己就做决定的糟糕习惯。为了消除这种不便,我们稍微简化一下问题,想象在一个由还不算太差的统治者(注:“Ruler”,简称R)所统治的国家,R有权决定每个女性可以生多少个孩子。然后在某时刻R发现,本国的人口太多了(显然R不属于多余的那些),于是R决定要通过限制女性生孩子的数量来限制人口增长。R知道这样一种措施不会受欢迎,尤其是因为在这个国家,人们更看重男孩(不像上面那段中的那个家庭),并且如果一个家庭只有女孩的话会感到不开心。因此,R希望能确保所有的女性都能得到一个有男性后代的公平的机会。

 

 

负责数学问题的部长M的法令

 

 

为了达到R的要求,该国负责数学问题的部长(注:“Minister for Mathematical Problems”,简称MMP或M)提出了一个简单的法令:每个女性都可以如她自己所愿地生尽量多的孩子,直到她有了一个男孩为止。显然,因为不能强迫女性去生孩子,所以她们可能没有孩子,也可能在生了任何数量的女孩后,不管出于什么原因,她们决定不再生了。例如,一个女性可以有十个孩子,如果恰巧是先有九个女孩然后有一个男孩或十个全是女孩。但是,不像那个有男孩的母亲,那个有十个女孩的母亲可以自由选择是否生第十一个孩子。

 

 

R被M给出的建议弄困惑了,特别是在看到执行这一法令所产生的结果的图解(见下图)之后。看上去,这条规则确实给了所有女性生男孩的公平的机会,但它怎么可能能够抑制人口增长?毕竟,规则的第一部分说,女性可以有尽可能多的孩子,只要她们想要。在下面的卡通图片中有很多的粉色(注:代表女孩)和很少的蓝色(注:代表男孩)。那么,这个规则会不会导致女孩多于男孩吗?以下M将解释为什么不会的原因。

 

 

图2.根据M的规则(这里仅考虑不超过四个孩子):可能出现的孩子的组合(每一列是一个可能的组合)(译者注:此处还少一种可能:仅有一个孩子且为女孩;每一列中从上往下的顺序即孩子出生的先后顺序)。

 

 

M的解释

 

 

如果女性生女孩的概率小于或等于生男孩的概率,那么在孩子们最初的比例中女性将最多只占一半。如果每个女性生育孩子的平均数小于2,那么人口不会持续增长,这是因为给定一代人,不是其中的每个人都能被替代(译者注:这里牵涉到“replacement rate/人口替换率”这一概念。粗糙地说,可以认为人口替换率就是每个女性平均生小孩的个数。先考虑每个家庭:夫妇(这一代)共2人,他们的孩子(下一代)的平均数小于2,然后把所有家庭的情况加起来,就能得出:下一代的人数少于这一代,这也就是上文中“人口不会持续增长”的具体原因)。事实上,生男孩的概率要比生女孩的概率略高(男女孩出生比率约为51:49),因此,即使每个女性平均生育2个孩子,还是会低于人口替换率。(译者注:在下一代中女性的数量会少于这一代中女性的数量,从而导致再下一代的人数减少。)不管怎样,M会把男女孩出生比定为50:50。

 

 

图3.抛硬币,50:50的机会生男孩或女孩。

 

 

如果该规则意味着女性更容易生出女孩而不是男孩,那么这将给女孩的性别均衡提供支持。然而事实并非如此:根据该规则,对于每个打算继续生下一个孩子的女性,下一个孩子是女孩或男孩的机会依然是均等的,即,都是1/2。于是,对于M而言,很显然女孩并没有变得比男孩更多。每个女性的平均男孩数与女孩数是相等的。(虽然M忽略了某些女性可能会选择流产女胎)。

 

 

因为没有一个女性能有超过一个的男孩,所以平均每个女性的男孩数目不能超过一个,同样地,平均每个女性的女孩数目也不能超过一个,给出这样的规则对于性别均衡是没有影响的。所以,平均每个女性的孩子数目最多是2。但是这就最大限度地要求所有的女性成为母亲,并且使每个母亲都有可能需要持续地生无限多个孩子,直到有男孩出生。由于以上条件没有一个可以在实际中发生,所以每个女性的孩子数的平均数目将永远达不到2,因此,人口将不会增长。

 

 

然而,R并不相信这种解释并且要求M给出证明。于是,M开始计算:在规则允许的前提下,每个母亲的平均孩子数的最大可能值,请始终记住下面这点:这个值将永远大于实际上的每个母亲的平均孩子数,因为不是所有的女性都会有孩子。此时多胞胎将被忽略,因为这本身就已经是罕见的事件,如果还需要考虑性别并且出现了多于1个男孩的情况那就是更罕见的事件了。

 

 

概率

 

 

我们记p(1),p(2),……,p(n)依次为一个母亲在其一生中总共有1个,2个,……,n个女孩的概率,g_i为一个母亲已有i个女孩且还想继续生另一个孩子的概率。则(1-g_i)为一个母亲已有i个女孩且不再想继续生孩子的概率。则

 

                  

 

类似地,

 

         

 

一般地,一个女性一生中恰有n个女孩的概率p(n)是


         

 

上式等号右边第一项对应于有n个女孩后决定不再生的女性,第二项对应于有n个女孩后又生了一个男孩的女性。

 

整理上式,得

 

                  

 

现在让我们转到男孩数上,记q(n)为一个女性有n个男孩的概率。因为女性一旦有了男孩,就不能在生孩子了,所以,对于所有的n>1,有q(n)=0。作为对比,q(1),可由无限多项组成:

 

 

 

 

其中第n项是

 

      

          

 

性别均衡

 

 

每个女性有的男孩数的均值(期望)是

 

(注:上式原文有误,这里作了订正。  )

          

 

其实只需要q(1)这一项,因为所有其它的q(n)都等于0。所以我们有

 

         

女孩数d的均值是


      

          

 

稍微想一下,你可以得到

 

         

 

所以,d=s,所以女孩不会多于男孩。

 

 

孩子数的均值

 

 

我们不知道一个母亲已有给定数量个女孩且还想继续生另一个孩子的概率,换句话说--我们不知道那些g_i的值。然而,我们还是可以按如下方式算出每个母亲孩子数均值的一个上界:第一,任何一个母亲的孩子数都不超过某个数m(例如,为了保险起见,在正常情况下,一个女性不可能有超过100个孩子)。这意味着,g_m = 0。于是现在上式成为如下形式

 

          

 

这个平均值依赖于那些g_i的值,当然,当它达到其最大可能值时,所有的g_i(i<m)都等于1,即:无论母亲已有多少个的女孩,总是决定是继续要孩子。(这显然是不现实的,但有助于得到均值的最大可能值。)假设现在就是这种情况,于是

 

    

         

 

它们的和是

 

             

 

所以,每个母亲孩子数的均值最多为

 

                  

 

设m>1,我们会发现每个母亲孩子数的均值将永远小于2。而且因为不是所有的女性都会成为母亲,所以每个母亲孩子数的均值甚至会小于c。

 

 

现在R相信了,通过禁止已有一个男孩的母亲继续生育,M的规则将限制人口的增长,而且给予每个女性一个能够生男孩的公平合法的机会,同时也并不影响性别均衡。然而,事实上,这个规则只适用于短期使用而无法世代沿袭。因为如果一直沿用该规则,会使人口越来越少。

 

中国

 

图4.中国的出生率和死亡率。独生子女政策并没有影响所有人口。专家们不确定该政策在多大程度上降低了生育率。图片来源:phoenix7777,CC BY-SA 4。

 

 

M的规则看上去可以人为地设计成一个和人们的生活无关的数学问题。但事实上,这个规则是中国部分地区采用的一项政策的延伸部分。直到最近,官方的政策禁止大多数女性生育超过一个孩子,这是一个用来抑制人口增长的严厉措施。然而,许多女性被允许生育2个孩子,如果第1个孩子是女孩,这相当于是一个带有非常小的上界的M的规则的版本(相当于在M的数学推导中,令m=2,这将导致c≤1.5)。在一个众多家庭都偏好男孩的国家里,这给了那些只有一个女孩的母亲又一次生男孩的机会,同时又没有直接改变自然的性别比例,并且使每个女性平均孩子数的均值在所有人口中的贡献小于2。M的规则讲的是,即使所有只有女孩的母亲拥有无穷多次(而不是仅仅只有一次)生男孩的机会,这样人口仍然达不到所需的人口替换率,原因很简单,因为即使女性自己愿意不断生育,但实际上也不可能无限地生育下去。

 

 

中国家庭现在已经允许生育2个孩子,而且不论第一个孩子的性别。因为不是所有的女性都会有孩子,也不是所有已有第一个孩子的女性愿意有第二个孩子,所以每个女性的孩子数均值将仍然小于2,所以按照M的规则,也就低于人口替换率。

 

 

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数学家发明把披萨切成异国情调形状的新方法

 

 

 

原文作者:雅各布·阿隆(Jacob Aron)

译文作者:333,哆嗒数学网翻译组成员,就读于中南大学数学学院。

 

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等你下次点外卖的时候就能用这个技能在你朋友面前炫耀了:全新而充满异国情调的切披萨方式。

 

大多数人切披萨都是从正中间直接切,但是要是披萨当中部分有一个食材配料呢?这是很多人宁愿避免切到的,不过这时一旁的人可能已经迫不及待地想用脆皮蘸酱开吃了。

 

数学家之前已经想出了一种切披萨的方式——正式说法是“单面圆盘平铺”(monohedral disc tiling)——这种方法能够让你切出12块完全一样的披萨,其中的六块组成一个从中心延伸出的星形图案,另外的六块分割了边上剩下的脆皮部分。具体要怎么做呢?首先你要切三道穿过披萨中心的弧线,然后把切出的小块每个一分为二,如下图所示。

 

 

现在,英国利物浦大学的乔尔·哈德利和斯蒂芬·沃斯利推广了这个技术,创造了更多的切法。这两个人证明了利用任意有着奇数条边的“曲边披萨块”,如5边、7边等(即下面的阴影部分),能够创造出相似的的平铺方式,接着只要像之前那样把它们等分为二就可以了。“从数学上来说,这种操作可以无限进行下去。”哈德利说道,尽管你可能会发现对于超过9条边的披萨块,再要实施上述步骤已经不切实际了。

 

 

哈德利和沃斯利甚至更进一步,通过在边角上切出楔形,创造出怪异的、带尖角的披萨块,这些披萨块仍然组成一个圆(下面这张图展示了5边披萨块的这种情形)。哈德利说:“这真是令人惊奇。”

 

 

正如许多数学结果一样,它的用处并不会立刻显现。另外一个披萨定理也是如此,它表明了当一个披萨被随意的、不经过中心的切割后会发生什么变化。

 

“我不知道我们的成果除了用来切披萨外还会有什么用处。”哈德利说,他已经实际尝试过用这种方法去切披萨(如下图)。但这个结果“在数学上很有趣,并且你能由此制作一些漂亮的照片。

 

 

 

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